공간좌표

⑴ 세 점 A, C, G는 각각 x축, y축, z축 위의 점이므로 A(3, 0, 0), C(0, 4 , 0), G(0, 0, 2)

⑵ 세 점 B, F, D는 각각 xy평면, yz평면, zx평면 위의 점 이므로

B( 3 , 4, 0), F(0, 4, 2), D(3, 0, 2 )

1-1

⑴ 점 P에서 xy평면에 내린 수선의 발은 점 D이므로 (1, 2, 0 )

⑵ 점 P에서 x축에 내린 수선의 발은 점 A 이므로 (1, 0, 0)

⑶ 점 P와 yz평면에 대하여 대칭 인 점은 점 P와 y좌표, z좌표 는 서로 같고, x좌표는 절댓 값은 같고 부호는 반대인 점 E'이므로

( -1 , 2, 3)

2-1

⑴ OPÓ="Ã3Û`+Ã(-2Ã)Û`+Å1½Û ='Ä9+4Ä+1= '1Œ4

⑵ PQÓ="Ã(-2Ã-2)ÃÛ`+(Ã4-1Ã)Û`+Ã(1-3)Û `

='Ä16+Ä9+4= '2Œ9

⑶ PQÓ ="Ã(3-Ã4)ÃÛ`+{Ã-2Ã-(Ã-1Ã)}Û`Ã+Ã{0-(Ã-2)}Û `

="Ã1+Ã 1 +4= '6

3-1

A O B C

D D'

F E P

3 -3 2

-4

y z

x

z

y x

AO C F

DB E

2 3

1 -1

E'(-1, 2, 3)

P (1, 2, 3)

두 점 사이의 거리

➊ 좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª) 사이의 거리는 ABÓ="Ã(xªÃ-xÁÃ)Û`+Ã(yªÃ-yÁ)Û`

➋ 수직선 위의 두 점 A(xÁ), B(xª) 사이의 거리는 ABÓ=|xª-xÁ|

LEC TURE

⑴ 선분 AB를 2`:`3으로 내분하는 점 P의 좌표는 {2_1+3_2

2+3 , 2_2+3_5

2+3 , 2_5+3_7 2+3 } ∴ P{;5*;, :Á5»:, :£5Á:}

⑵ 선분 AB를 2`:`3으로 외분하는 점 Q의 좌표는 {2_1-3_2

2-3 , 2_2-3_5

2-3 , 2_5-3_7 2-3 } ∴ Q(4, 11, 11)

⑶ 선분 AB의 중점 M의 좌표는 {2+1

2 , 5+2 2 , 7+5

2 } ∴ M{;2#;, ;2&;, 6}

4-2

⑴ 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는 { 2_(-4)+1_22+1 , 2_5+1_(-1)

2+1 ,

2_3+1_(-3)

2+1 }

∴ P( -2 , 3, 1)

⑵ 선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는 {2_(-4)-1_2

2-1 , 2_5-1_(-1) 2-1 ,

2_3-1_(-3)

2-1 }

∴ Q(-10, 11, 9 )

⑶ 선분 AB의 중점 M의 좌표는 {2+(-4)

2 , -1+ 5

2 , -3+3 2 } ∴ M(-1, 2 , 0)

4-1

확인 문제 ^{본문 |} 180~195 ^쪽

점 A(a, 3, b)와 x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는

(a, -3, -b)이므로 -3=c, -b=-4 ∴ b=4, c=-3 또 점 P(a, -3, -4)와 z축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-a, 3, -4)이므로 -a=-2 ∴ a=2

01-1

^셀파 점 P의 좌표를 구한 다음 점 Q의 좌표를 구한다.

점 A(3, -4, -7)에서 xy평면에 내린 수선의 발은 B(3, -4, 0)

또 점 B(3, -4, 0)과 yz평면에 대하여 대칭인 점 C의 좌표는 C(-3, -4, 0)

01-2

^셀파 점 B의 좌표를 구한 다음 점 C의 좌표를 구한다.

본문 | 181 ^쪽 집중 연습

⑴ 점 A(6, 4 ,2)와

x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (6, -4, -2) y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-6, 4, -2) z축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-6, -4, 2) 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-6, -4, -2)

⑵ 점 B(-2, 1, -5)와

x축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-2, -1, 5) y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (2, 1, 5) z축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (2, -1, -5) 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (2, -1, 5)

01

⑴ 점 P(3, 6, 2)와

xy평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (3, 6, -2) yz평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-3, 6, 2) zx평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (3, -6, 2)

⑵ 점 Q(8, -1, -3)과

xy평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (8, -1, 3) yz평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는

(-8, -1, -3)

zx평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (8, 1, -3)

02

좌표평면 위의 선분의 내분점과 외분점

좌표평면 위의 두 점 A(xÁ, yÁ), B(xª, yª)를 이은 선분 AB 를 m`:`n`(m>0, n>0)으로 내분하는 점 P와 외분하는 점 Q 의 좌표는

P{mxª+nxÁ

m+n , myª+nyÁ m+n } Q{mxª-nxÁ

m-n , myª-nyÁ

m-n } (단, m+n)

LEC TURE

⑴ 점 P(-5, 3, 4)에서

x축에 내린 수선의 발의 좌표는 (-5, 0, 0) y축에 내린 수선의 발의 좌표는 (0, 3, 0) z축에 내린 수선의 발의 좌표는 (0, 0, 4) xy평면에 내린 수선의 발의 좌표는 (-5, 3, 0)   yz평면에 내린 수선의 발의 좌표는 (0, 3, 4) zx평면에 내린 수선의 발의 좌표는 (-5, 0, 4)

⑵ 점 Q(2, 4, -1)에서

x축에 내린 수선의 발의 좌표는 (2, 0, 0) y축에 내린 수선의 발의 좌표는 (0, 4, 0) z축에 내린 수선의 발의 좌표는 (0, 0, -1) xy평면에 내린 수선의 발의 좌표는 (2, 4, 0) yz평면에 내린 수선의 발의 좌표는 (0, 4, -1) zx평면에 내린 수선의 발의 좌표는 (2, 0, -1)

03

점 A(2, 1, a)와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-2, 1, -a)이므로

-2=b, 1=c, -a=3

∴ a=-3, b=-2, c=1

04

점 A(a, 1, -2)와 yz평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (-a, 1, -2)이므로

-a=3, 1=b, -2=c

∴ a=-3, b=1, c=-2

05

점 P의 좌표를 P(a, b, c)라 하면 점 P에서 xy평면에 내린 수선의 발은 점 (a, b, 0)이고, 이것은 점 A(3, 1, 0)과 같으 므로 a=3, b=1

이때 점 P(3, 1, c)에서 yz평면에 내린 수선의 발은 점 (0, 1, c)이고, 이것은 점 B(0, 1, 5)와 같으므로 c=5 따라서 점 P(3, 1, 5)와 zx평면에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (3, -1, 5)

06

두 점 A(2, 3, a), B(3, 1, -2)에 대하여 ABÓ="Ã(3Ã-2Ã)Û`Ã+(1Ã-3)ÃÛ`+Ã(-Ã2-a)Û`

="ÃaÛ`Ã+4a+½9

ABÓ=3에서 "ÃaÛ`Ã+Ã4a+½9=3 양변을 제곱하여 정리하면 aÛ`+4a=0, a(a+4)=0

∴ a=-4 또는 a=0

02-1

^셀파 두 점 A(xÁ, yÁ, zÁ), B(xª, yª, zª)에 대하여 ABÓ="Ã(xªÃ-xÁÃ)Û`+Ã(yªÃ-yÁÃ)Û`+Ã(zªÃ-zÁ)Û`

세 점 A(2, -1, 1), B(3, 0, 4), C(2, -2, 5)에 대하여 ABÓ="Ã(3-Ã2)Û`Ã+{Ã0-(Ã-1)Ã}Û`+Ã(4Ã-1)Û`='1Œ1 BCÓ="Ã(2-Ã3)Û`Ã+(Ã-2Ã-0Ã)Û`+Ã(5Ã-4)Û`='6 CAÓ="Ã(2-Ã2)Û`Ã+{Ã-1Ã-(Ã-2)Ã}Û`+Ã(1Ã-5)Û`='1Œ7 이때 ABÓÛ`+BCÓÛ`=CAÓÛ`이므로

삼각형 ABC는 ∠B=90ù인 직각삼각 형이다.

따라서 구하는 삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_'1Œ1_'6= '6Œ62

02-2

^셀파 ABÓ, BCÓ, CAÓ의 길이를 각각 구해 삼각형 ABC가 어 떤 삼각형인지 알아본다.

17

A 11 B

C

16 점의 수선의 발 (정사영)의 좌표

평면 a 밖의 한 점 P에서 평면 a에 내린 수선의 발 P'이 점 P 의 평면 a 위로의 정사영이므로 점의 정사영의 좌표와 수선의 발의 좌표는 같다. 이때 점 P(a, b, c)에서 좌표평면에 내린 수 선의 발의 좌표는 다음과 같다.

➊ xy평면에 내린 수선의 발의 좌표

⇨ A(a, b, 0)

➋ yz평면에 내린 수선의 발의 좌표 ⇨ B(0, b, c)

➌ zx평면에 내린 수선의 발의 좌표 ⇨ C(a, 0, c)

LEC TURE

O

A(a, b, 0) B(0, b, c) P(a, b, c) C(a, 0, c)

y

x z

a b

c

z축 위의 점 P의 좌표를 P(0, 0, c)로 놓으면 APÓÛ`=(0-0)Û`+(0-1)Û`+(c-1)Û`=cÛ`-2c+2 BPÓÛ`=(0+1)Û`+(0+3)Û`+(c+2)Û`=cÛ`+4c+14 이때 APÓ=BPÓ에서 APÓÛ`=BPÓÛ`이므로

cÛ`-2c+2=cÛ`+4c+14, 6c=-12

∴ c=-2

따라서 점 P의 좌표는 P(0, 0, -2)

03-1

^셀파 z축 위의 점 P의 좌표를 P(0, 0, c)로 놓는다.

xy평면 위의 점 C의 좌표를 C(a, b, 0)으로 놓으면 ABÓÛ`=(3-2)Û`+(2-1)Û`+(1+1)Û`=6

BCÓÛ` =(a-3)Û`+(b-2)Û`+(0-1)Û

=aÛ`+bÛ`-6a-4b+14

CAÓÛ` =(2-a)Û`+(1-b)Û`+(-1-0)Û`

=aÛ`+bÛ`-4a-2b+6

이때 ABÓ=BCÓ=CAÓ에서 ABÓÛ`=BCÓÛ`, BCÓÛ`=CAÓÛ`이므로 6=aÛ`+bÛ`-6a-4b+14

∴ aÛ`+bÛ`-6a-4b+8=0 yy㉠

aÛ`+bÛ`-6a-4b+14=aÛ`+bÛ`-4a-2b+6 2a+2b-8=0

∴ b=-a+4 yy㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

aÛ`+(-a+4)Û`-6a-4(-a+4)+8=0 aÛ`-5a+4=0, (a-1)(a-4)=0

∴ a=1 또는 a=4

이것을 ㉡에 대입하면 b=3 또는 b=0

∴ a=1, b=3 또는 a=4, b=0

따라서 점 C의 좌표는 C(1, 3, 0) 또는 C(4, 0, 0)

03-2

^셀파 xy평면 위의 점 C의 좌표를 C(a, b, 0)으로 놓는다.

⑴ 점 A(1, -2, 3)은 x좌표의 부호 가 양이고, 점 B(-2, -3, 5)는 x 좌표의 부호가 음이므로 두 점 A, B는 yz평면을 기준으로 서로 다른 쪽에 있다.

04-1

^셀파 두 점 A, B가 주어진 좌표평면의 같은 쪽에 있는지 서로 다른 쪽에 있는지 확인한다.

두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영을 A', B'이라 하면 A'(1, 3, 0), B'(1, -3, 0)

선분 AB의 xy평면 위로의 정사영은 선분 A'B'이므로 정사영의 길이는

AÕ'B'Ó="Ã0Û`+Ã(-6)Û`=6

05-1

^셀파 두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영을 구한다.

즉, AQÓ+BQÓ의 최솟값은 선분 AB의 길이와 같고 ABÓ="Ã(-3Ã)Û`+Ã(-1Ã)Û`+2Û`='1Œ4

따라서 구하는 최솟값은 '1Œ4

⑵ 두 점 A(1, -2, 3),

B(-2, -3, 5)의 y좌표의 부호가 모두 음이므로 두 점 A, B는 zx평 면을 기준으로 같은 쪽에 있다.

이때 zx평면에 대하여 점 B와 대 칭인 점을 B'이라 하면

B'(-2, 3, 5) BRÓ=BÕ'RÓ이므로

ARÓ+BRÓ=ARÓ+BÕ'RÓ¾æAÕB'Ó

="Ã(-3Ã)ÃÛ`+5ÃÛ`+2Û`='3Œ8 따라서 구하는 최솟값은 '3Œ8

B(-2, -3, 5)

A(1, -2, 3) R

B'(-2, 3, 5) zx평면

B(-2, -3, 5)

A(1, -2, 3) Q

yz평면

두 점 A('2, 1, 3), B(0, 4, 2)에서 ABÓ=¿¹(-'¹2)Û`¹+3Û`¹+(¹-1)Û`=2'3

두 점 A, B의 zx평면 위로의 정사영을 각각 A', B'이라 하면 A'('2, 0, 3), B'(0, 0, 2)

선분 AB의 zx평면 위로의 정사영은 선분 A'B'이므로 AÕ'B'Ó=¿¹(-¹'2)Û`¹+(¹-1)Û`='3

이때 ABÓ`cos`h=AÕ'B'Ó이므로 2'3`cos`h='3, cos`h=;2!;

∴ h=60ù

05-2

^셀파 선분 AB의 zx평면 위로의 정사영의 길이를 구한다.

선분 AB를 2`:`3으로 내분하는 점 P의 좌표는 {2_(-4)+3_1

2+3 , 2_5+3_0

2+3 , 2_2+3_(-3)

2+3 }

∴ P(-1, 2, -1)

선분 AB를 2`:`1로 외분하는 점 Q의 좌표는 {2_(-4)-1_1

2-1 , 2_5-1_0

2-1 , 2_2-1_(-3)

2-1 }

∴ Q(-9, 10, 7)

따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는 PQÓ="Ã(-8Ã)Û`+Ã8Û`+8Û`=8'3

06-1

^셀파 두 점 A, B를 이은 선분 AB를 내분하는 점과 외분하 는 점을 구한다.

점 A(-3, 2, 1)과 xy평면에 대하여 대칭인 점 P의 좌표는 P(-3, 2, -1)

또 점 B(-1, 0, 2)와 원점에 대하여 대칭인 점 Q의 좌표는 Q(1, 0, -2)

이때 점 R의 좌표를 R(a, b, c)라 하면 삼각형 PQR의 무게중심 의 좌표는

{-3+1+a

3 , 2+0+b

3 , -1-2+c

3 }

이 점이 점 C(0, 1, -2)와 일치하므로 -2+a3 =0, 2+b

3 =1, -3+c

3 =-2

∴ a=2, b=1, c=-3

따라서 점 R의 좌표는 R(2, 1, -3)

07-1

^셀파 삼각형의 무게중심의 좌표를 구하는 공식을 이용한다.

평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 두 대각 선의 교점은 각 대각선의 중점이다.

이때 평행사변형 ABCD에서 A(-2, -3, -4), B(-1, -2, 5) 이고, 두 점 C, D의 좌표를 각각 C(xÁ, yÁ, zÁ), D(xª, yª, zª) 로 놓으면

대각선 AC의 중점의 좌표는 {-2+xÁ

2 , -3+yÁ

2 , -4+zÁ 2 } 이 점이 점 M(0, 2, -3)과 일치하므로

-2+xÁ

2 =0, -3+yÁ

2 =2, -4+zÁ

2 =-3

에서 xÁ=2, yÁ=7, zÁ=-2

∴ C(2, 7, -2)

또 대각선 BD의 중점의 좌표는 {-1+xª

2 , -2+yª 2 , 5+zª

2 } 이 점이 점 M(0, 2, -3)과 일치하므로

-1+xª

2 =0, -2+yª

2 =2, 5+zª 2 =-3 에서 xª=1, yª=6, zª=-11

∴ D(1, 6, -11)

06-2

^셀파 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다.

두 점 A(-2, 1, 3), B(4, -5, 0)에 대하여 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는

{2_4+1_(-2)

2+1 , 2_(-5)+1_1

2+1 , 2_0+1_3 2+1 }

∴ P(2, -3, 1)

선분 AB를 2`:`3으로 외분하는 점 Q의 좌표는 {2_4-3_(-2)

2-3 , 2_(-5)-3_1

2-3 , 2_0-3_3 2-3 }

∴ Q(-14, 13, 9)

따라서 선분 PQ의 중점 M의 좌표는 {2+(-14)

2 , -3+13 2 , 1+9

2 }

∴ M(-6, 5, 5)

확인 체크 01

셀파 특강

직선과 평면이 이루는 각 직선 AB와 zx평면이 이루는 각의 크기가 h이고 오른쪽 그림과 같이 점 A'을 지나고 선분 AB와 평행한 선 분을 선분 A'B"이라 하면

ABÓ=AÕ'B"Ó이므로

ABÓ`cos`h=AÕ'B"Ó`cos`h=AÕ'B'Ó

LEC TURE

B' B"

A'

h h

A B

zx평면

삼각형 ABC의 무게중심과 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA 를 각각 2`:`1로 내분하는 세 점 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각 형 PQR의 무게중심은 일치하므로 구하는 무게중심의 좌표는 {-1+3+1

3 , 0+4+2

3 , 1+(-2)+(-5)

3 }

∴ (1, 2, -2)

| 다른 풀이 |

변 AB를 2`:`1로 내분하는 점 P의 좌표는 {2_3+1_(-1)

2+1 , 2_4+1_0

2+1 , 2_(-2)+1_1

2+1 }

∴ P{;3%;, ;3*;,-1}

변 BC를 2`:`1로 내분하는 점 Q의 좌표는 {2_1+1_3

2+1 , 2_2+1_4

2+1 , 2_(-5)+1_(-2)

2+1 }

∴ Q{;3%;, ;3*;, -4}

변 CA를 2`:`1로 내분하는 점 R의 좌표는 {2_(-1)+1_1

2+1 , 2_0+1_2

2+1 , 2_1+1_(-5)

2+1 }

∴ R{-;3!;, ;3@;, -1}

따라서 세 점 P, Q, R를 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR의 무게중심의 좌표 는

;3%;+;3%;-;3!;

3 , ;3*;+;3*;+;3@;

3 , -1-4-1 3

∴ (1, 2, -2)

07-2

^셀파 삼각형의 세 변을 각각 일정하게 내분하는 세 점을 이

은 삼각형의 무게중심과 원래 삼각형의 무게중심은 일치한다. 구하는 구의 중심을 C(a, b, c)라 하면 점 C는 선분 AB의 중점 이므로

a=-2+4

2 =1, b=1+3

2 =2, c=2+(-4)

2 =-1

∴ C(1, 2, -1)

반지름의 길이는 선분 AC의 길이와 같으므로 ACÓ="Ã3Û`+Ã1Û`+Ã(-3)Û`='1Œ9

따라서 구하는 구의 방정식은 (x-1)Û`+(y-2)Û`+(z+1)Û`=19

08-1

^셀파 구의 중심을 C(a, b, c)로 놓는다.

구의 방정식을 xÛ`+yÛ`+zÛ`+Ax+By+Cz+D=0으로 놓고 네 점의 좌표를 각각 대입하면

A+B+C+D=-3 yy㉠

2A+C+D=-5 yy㉡

3A+B+C+D=-11 yy㉢

3A+4B+D=-25 yy㉣

㉡-㉠을 하면 A-B=-2

㉢-㉡을 하면 A+B=-6

두 식을 연립하여 풀면 A=-4, B=-2 A=-4, B=-2를 ㉠, ㉣에 대입하면 C+D=3, D=-5

두 식을 연립하여 풀면 C=8, D=-5

∴ A=-4, B=-2, C=8, D=-5 따라서 구의 방정식은

xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x-2y+8z-5=0 이 식을 변형하면

(x-2)Û`+(y-1)Û`+(z+4)Û`=26 따라서 구하는 구의

중심의 좌표는 (2, 1, -4), 반지름의 길이는 '2Œ6

08-2

^셀파 주어진 네 점을 구의 방정식에 대입한다.

⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`-2x-6y+9=0을 변형하면 (xÛ`-2x+1)+(yÛ`-6y+9)+zÛ`=1 ∴ (x-1)Û`+(y-3)Û`+zÛ`=1

따라서 주어진 방정식이 나타내는 구의 중심의 좌표는 (1, 3, 0), 반지름의 길이는 1

⑵ xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+6y-2z+5=0을 변형하면 (xÛ`-4x+4)+(yÛ`+6y+9)+(zÛ`-2z+1)=9 ∴ (x-2)Û`+(y+3)Û`+(z-1)Û`=9

따라서 주어진 방정식이 나타내는 구의 중심의 좌표는 (2, -3, 1), 반지름의 길이는 3

확인 체크 02

셀파 특강

구 (x-3)Û`+(y+1)Û`+(z+2)Û`=rÛ`이 x축에 접하므로 접점의 좌표는 (3, 0, 0)이고, 구의 반지름의 길이는 구의 중심

(3, -1, -2)와 접점 (3, 0, 0) 사이의 거리와 같다.

∴ r="Ã(3-Ã3)Û`Ã+(Ã-1Ã-0)ÃÛ`+(Ã-2Ã-0)Û`='5

09-1

^셀파 x축에 접하는 구의 반지름의 길이는 구의 중심과 구와 x축의 접점 사이의 거리와 같다.

xÛ`+yÛ`+zÛ`-4x+4y-6z+7=0에서 (x-2)Û`+(y+2)Û`+(z-3)Û`=10

zx평면 위의 점은 y좌표가 0이므로 위의 방정식에 y=0을 대입 하면

(x-2)Û`+(z-3)Û`=6 따라서 구하는 원의 넓이는 6p

10-1

^셀파 구가 zx평면과 만나서 생기는 교선의 방정식은 구의 방정식에 y=0을 대입하여 구한다.

xÛ`+yÛ`+zÛ`+2x-4y+6z+k=0에서 (x+1)Û`+(y-2)Û`+(z+3)Û`=14-k

yz평면 위의 점은 x좌표가 0이므로 위의 방정식에 x=0을 대입 하면

(y-2)Û`+(z+3)Û`=13-k 이 원의 반지름의 길이가 3이므로 13-k=3Û` ∴ k=4

10-2

^셀파 구가 yz평면과 만나서 생기는 교선의 방정식은 구의 방정식에 x=0을 대입하여 구한다.

점 (-5, 1, 4)를 지나면서 xy평면, yz평면, zx평면에 모두 접하 는 구의 방정식을

(x+r)Û`+(y-r)Û`+(z-r)Û`=rÛ` (r>0) 이라 하면 구가 점 (-5, 1, 4)를 지나므로 (-5+r)Û`+(1-r)Û`+(4-r)Û`=rÛ`

rÛ`-10r+21=0, (r-3)(r-7)=0

∴ r=3 또는 r=7

따라서 두 구의 반지름의 길이의 합은 3+7=10

09-2

^셀파 중심이 점 (a, b, c)이고 xy평면, yz평면, zx평면에 모 두 접하는 구의 반지름의 길이 r는 r=|a|=|b|=|c|

좌표평면에 모두 접하는 구의 방정식

xy평면, yz평면, zx평면에 모두 접하는 구의 방정식을 구할 때, 구가 지나는 점에 따라 구의 방정식을 다르게 놓고 푼다.

Ú 구가 지나는 점이 (2, 2, 2)일 때

⇨ 구가 지나는 점의 x, y, z좌표의 부호가 모두 양 ⇨ (x-r)Û`+(y-r)Û`+(z-r)Û`=rÛ

Û 구가 지나는 점이 (2, 2, -2)일 때

⇨ 구가 지나는 점의 x, y좌표의 부호는 양, z좌표의 부호 는 음

⇨ (x-r)Û`+(y-r)Û`+(z+r)Û`=rÛ`

Ü 구가 지나는 점이 (2, -2, 2)일 때

⇨ 구가 지나는 점의 x, z좌표의 부호는 양, y좌표의 부호 는 음

⇨ (x-r)Û`+(y+r)Û`+(z-r)Û`=rÛ`

Ý 구가 지나는 점이 (-2, 2, 2)일 때

⇨ 구가 지나는 점의 y, z좌표의 부호는 양, x좌표의 부호 는 음

⇨ (x+r)Û`+(y-r)Û`+(z-r)Û`=rÛ`

Þ 구가 지나는 점이 (-2, -2, 2)일 때

⇨ 구가 지나는 점의 x, y좌표의 부호는 음, z좌표의 부호 는 양

⇨ (x+r)Û`+(y+r)Û`+(z-r)Û`=rÛ`

ß 구가 지나는 점이 (-2, 2, -2)일 때

⇨ 구가 지나는 점의 x, z좌표의 부호는 음, y좌표의 부호

⇨ 구가 지나는 점의 x, z좌표의 부호는 음, y좌표의 부호

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