공간도형 - 2020 셀파 기하 답지 정답

ㄱ. 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점은 하나의 평면을 결 정한다.

ㄴ. 꼬인 위치에 있는 두 직선은 하나의 평면을 결정하지 못한다.

ㄷ. 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 하나의 평면 을 결정한다.

따라서 하나의 평면을 결정하는 조건은 ㄱ, ㄷ

1-2

⑴ 직선 AB와 꼬인 위치에 있는 직선은 직선 CD

⑵ 직선 AB를 포함하는 평면은 평면 ABC, 평면 ABD

⑶ 직선 AB와 한 점에서 만나는 평면은 평면 ACD, 평면 BCD

2-2

⑴ 직선 AB와 한 점에서 만나는 직선은 점 A와 만나거나 점 B와 만난다. 즉,

직선 AD, 직선 AE, 직선 BC, 직선 BF

⑵ 직선 AB와 평행한 직선은 직선 DC, 직선 EF , 직선 HG

⑶ 직선 AB와 꼬인 위치에 있는 직선은 직선 AB와 만나 지도 않고 평행하지도 않다. 즉,

직선 CG, 직선 DH, 직선 EH, 직선 FG

2-1

POÓ⊥a, OHÓ⊥l이므로 삼수선의 정리에서 PHÓ⊥ l

따라서 △PQH는 직각삼각형이므로 PQÓ=¿¹^PHÓÛ`¹^+QHÓÛ`

="Ã4Û`+3Û =5

3-1

⑴ 선분 AB의 평면 a 위로의 정사영인 선분 A'B'의 길이는

 AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`60ù=8_ 1

2 = 4

⑵ 선분 AB의 평면 a 위로의 정사영이 선분 A'B'이므로 AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h, 3'3= 6 cos`h

cos`h= '3

2 ∴ h= 30ù `(∵ 0ùÉhÉ90ù)

4-1

POÓ⊥a, OHÓ⊥l이므로 삼수선의 정리에서 PHÓ⊥l

따라서 △PQH는 직각삼각형이므로 PHÓ=¿¹^PQÓÛ`¹^-¹^QÕHÓÛ`=¿¹2Û`-¹(¹'2)Û`='2

이때 △PHO는 직각삼각형이므로 OHÓ=¿¹^PHÓÛ`¹^-¹^POÓÛ`=¿¹⁽"2)Û`¹^-1Û`=1

3-2

O Q

2 1 H l

a 2

a b B

A C

A B

H G

E F

본문 | 157~171^쪽 확인 문제

어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않고 어느 네 점도 한 평면 위에 있지 않은 서로 다른 5개의 점으로 만들 수 있는 평면의 수는

°C£=°Cª= 5_4 2_1=10

01-1

^셀파 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 하나의 평 면을 결정한다.

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 하나의 평면을 결정하 므로 서로 다른 다섯 개의 점 A, B, D, E, F 중 세 점을 뽑는 경 우의 수는

°C£

이때 네 점 A, B, D, E는 한 평면 위의 점이므로 이들 중 어떤 세 점을 선택해도 같은 평면이 만들어진다.

따라서 구하는 평면의 수는

°C£-¢C£+1=10-4+1=7

| 참고 |

세 개의 점으로 만들 수 있는 서로 다른 평면은 평면 ABD(=평면 ABE=평면 ADE=평면 BDE) 평면 ABF, 평면 ADF, 평면 AEF, 평면 BDF, 평면 BEF, 평면 DEF이다.

01-2

^셀파 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점은 하나의 평 면을 결정한다.

⑴ 직선 AB와 꼬인 위치에 있는 직선은 직선 AB와 만나지도 않 고 평행하지도 않은 직선이므로

직선 CD, 직선 DE, 직선 EF, 직선 CF

⑵ 직선 AC와 평행한 평면은 직선 AC와 한 점에서 만나지 않고 직선 AC를 포함하지도 않는 평면이므로

평면 BEF, 평면 DEF

⑶ 평면 ABC와 평행한 평면은 평면 DEF이므로 평면 ABC와 만나는 평면은 정팔면체의 평면 중 평면 DEF를 제외한 평면 ABE, 평면 AED, 평면 ACD, 평면 BEF, 평면 BFC, 평면 CFD

02-1

^셀파 ⑵ 직선 AC와 만나지 않고 직선 AC를 포함하지도 않는 평면을 찾는다.

⑴ EFÓ∥ACÓ이므로 두 직선 AB와 EF 가 이루는 각의 크기는 두 직선 AB 와 AC가 이루는 각의 크기와 같다.

이때 △ABC는 정삼각형이므로 두 직선 AB와 AC가 이루는 각의 크기 는 60ù이다.

따라서 두 직선 AB와 EF가 이루는 각의 크기도 60ù

⑵ AEÓ∥CFÓ이므로 두 직선 AE와 CD 가 이루는 각의 크기는 두 직선 CF와 CD가 이루는 각의 크기와 같다.

이때 △CFD는 정삼각형이므로 두 직선 CF와 CD가 이루는 각의 크기 는 60ù이다.

따라서 두 직선 AE와 CD가 이루는 각의 크기도 60ù

03-1

^셀파 두 직선이 한 점에서 만나도록 직선을 평행이동한다.

C D E

B C D

CGÓ∥BFÓ이므로 두 직선 AF와 CG가 이루는 각의 크기 h는 두 직선 AF와 BF가 이루는 각의 크기와 같다.

즉, h=∠AFB

이때 △AFB는 직각삼각형이고

03-2

^셀파 CGÓ와 평행하면서 AFÓ와 한 점에서 만나는 선분을 찾 는다.

2 D

A 4 B

H h G

E F

⑴ 선분 AB의 평면 a 위로의 정사영을 선분 A'B'이라 하 면

AÕ'B'Ó=ABÓ`cos`h

3'2=6`cos`h, cos`h= '22 ∴ h=45ù (∵ 0ùÉhÉ90ù)

⑵ 넓이가 S인 도형의 평면 a 위로의 정사영의 넓이를 S' 이라 하면

S'=S`cos`h

따라서 구하는 정사영의 넓이 S'은 S'=6_cos`30ù=6_ '3

2 =3'3

4-2

ㄱ. [반례]

l⊥m, m⊥n이지만 l⊥n이다. (거짓)

ㄴ. l⊥a, l∥b이면 a⊥b이다. (참)

ㄷ. [반례]

l∥a, a⊥b이지만 l⊥b이다. (거짓)

ㄹ. [반례]

a⊥b, b⊥c이지만 a⊥c이다. (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ

| 다른 풀이 |

공간에서 직선과 평면을 그려 위치 관계를 확인하면 다음과 같다.

ㄱ. [반례] ㄴ.

(거짓) (참)

ㄷ. [반례] ㄹ. [반례]

(거짓) (거짓) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ

l b a

l a b

a b c

b l l

a b c

a b

04-1

^셀파 직육면체를 그려 위치 관계를 파악한다.

m n

ABÓ=4, BFÓ=AEÓ=3이므로 AFÓ=¿¹^ABÓÛ`¹⁺¹^BÕFÓÛ`="Ã4Û`+3Û =5

∴ sin`h=ABÓ AFÓ=;5$;

COÓ⊥(평면 OAB), CHÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의 정리에서 OHÓ⊥ABÓ 직각삼각형 ABO에서

ABÓ=¿¹^OAÓÛ`¹⁺¹^OÕBÓÛ`="Ã2Û`+2Û =2'2

이때 △OAB=;2!;_OÕAÓ_OBÓ=;2!;_ABÓ_OÕHÓ에서

;2!;_2_2=;2!;_2'2_OÕHÓ ∴ OÕHÓ='2

03

HÕIò를 그으면

DHÓ⊥(평면 EFGH), DÕIò⊥EGÓ 이므로 삼수선의 정리에서 HÕIò⊥EGÓ

직각삼각형 HEG에서 EGÓ=¿¹^HEÓÛ`¹⁺¹^HÕGÓÛ`="Ã1Û`+1Û

='2

이때 △HEG=;2!;_HEÓ_HGÓ=;2!;_EGÓ_HIÓ에서

;2!;_1_1=;2!;_'2_HIÓ ∴ HIÓ= 1'2

△DHI가 직각삼각형이므로

DIÓ=¿¹^DHÓÛ`¹⁺¹^HÕIÓÛ`=¾¨1Û`+¨{¨ 1'2}Û = '62

04

본문 | 165^쪽 집중 연습

POÓ⊥a, OHÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의 정리에서 PHÓ⊥ABÓ

직각삼각형 PHO에서 PHÓ=¿¹^POÓÛ`¹⁺¹^OHÓÛ`

="Ã3Û`+4Û =5

이때 △PAH는 직각삼각형이므로 PAÓ=¿¹^PHÓÛ`¹⁺¹^AHÓÛ`=¿¹5Û`+¹('¹11)Û =6

01

O 3

4 5 H B a 11

A B

H G

I F

PHÓ를 그으면 POÓ⊥a, OHÓ⊥l이므 로 삼수선의 정리에서 PHÓ⊥l 직각삼각형 PHO에서

PHÓ=¿¹^POÓÛ`¹⁺¹^OHÓÛ`="Ã6Û`+8Û`=10 이때 △PAH는 직각삼각형이므로

AHÓ=¿¹^PAÓÛ`¹^-¹^PÕHÓÛ`="Ã12Û`Ã-10Û ='44=2'11

02

A H

O 12 P

a l

삼각형 ABD의 무게중심 I에서 면 EFGH 에 내린 수선의 발을 K라 하면 점 K는 삼각 형 EFH의 무게중심이다.

IKÓ⊥(평면 EFGH), IJò⊥HFÓ이므로 삼수선의 정리에서 KJÓ⊥HFÓ 직각삼각형 HEF에서

HFÓ=¿¹^HEÓÛ`¹⁺¹^EFÓÛ`="Ã6Û`+6Û =6'2

이때 △HEF=;2!;_EHÓ_EFÓ=;2!;_HFÓ_EÕJò에서

;2!;_6_6=;2!;_6'2_EÕJò ∴ EÕJò=3'2 또 점 K는 선분 EJ를 2`:`1로 내분하므로 KJÓ=;3!; EÕJò=;3!;_3'2='2

따라서 직각삼각형 IKJ에서

IJò=ø¿¹^IKÓÛ`¹⁺¹^KÕJÓÛ`=¿¹6Û`+¹('2)Û ='38

05-2

^셀파 삼각형 ABD의 무게중심 I에서 면 EFGH에 내린 수 선의 발은 삼각형 EFH의 무게중심이다.

점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면

COÓ⊥(평면 OAB), CHÓ⊥ABÓ 이므로 삼수선의 정리에서 OHÓ⊥ABÓ

직각삼각형 OAB에서

ABÓ=¿¹^OAÓÛ`¹⁺¹^OÕBÓÛ`="Ã3Û`+4Û =5

이때 △OAB=;2!;_OAÓ_OBÓ=;2!;_ABÓ_OÕHÓ에서

;2!;_3_4=;2!;_5_OHÓ ∴ OHÓ=;;Á5ª;;

△OHC는 직각삼각형이므로

CHÓ=¿¹^OCÓÛ`¹⁺¹^OÕHÓÛ`=¾¨1Û`+¨{:Á¨5ª:}Û =:Á5£:

∴ △ABC=;2!;_ABÓ_CHÓ=;2!;_5_:Á5£:=:Á2£:

05-1

^셀파 점 C에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼 수선의 정리에서 OHÓ⊥ABÓ가 성립한다.

B C

O 1

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 밑면 BCDE에 내린 수선의 발을 H라 하면

△ABD, △AEC는 이등변삼각형이므 로

BDÓ⊥AHÓ, BHÓ=DÕÕHÓ ECÓ⊥AHÓ, EHÓ=CHÓ

즉, 점 H는 사각형 BCDE의 두 대각선의 교점과 같다.

BCÓ의 중점을 M이라 하면 AÕMÓ⊥BCÓ, MòHÓ⊥BCÓ

따라서 평면 ABC와 평면 BCDE가 이루는 각의 크기는 AÕMÓ과 MòHÓ가 이루는 각의 크기와 같으므로

h=∠AMH

이때 AÕMÓ=¿¹^ABÓÛ`¹^-¹^BÕMÓÛ`=¿(¹'5)Û`¹-1Û`=2 MòHÓ=;2!; CDÓ=;2!;_2=1

따라서 직각삼각형 AMH에서 cos`h= MÕòHÓ

AÕMÓ=;2!; ∴ h=60ù

06-1

^셀파 꼭짓점 A에서 밑면에 내린 수선의 발을 H라 한다.

5 D

B M C

H E

A B

H G

J K

정육면체의 한 모서리의 길이를 a, 선분 EG의 중점을 M이라 하면 DÕMÓ⊥EGÓ, HÕMÓ⊥EGÓ

이므로 두 평면 DEG와 EFGH가 이루는 각의 크기 h는 h=∠DMH

직각삼각형 HEG에서

△HEG=;2!;_HEÓ_HGÓ=;2!;_EGÓ_HÕMÓ

;2!;_a_a=;2!;_'2a_HÕMÓ ∴ HÕMÓ= '22 a 직각삼각형 DMH에서 DÕHÓ=a이고

DÕMÓ=¿¹^DHÓÛ`¹⁺¹^HÕMÓÛ`=¾¨^aÛ`+¨{ '22 a}Û =¾¨;2#;aÛ`= '62 a

∴ cos`h=HòMÓ

DÕMÓ= = '3 3 '22 a '62 a

06-2

^셀파 ▵DEG는 정삼각형이므로 선분 EG의 중점을 M이 라 하면 DÕMÓ⊥EGÓ이다.

A B

H G

E MF

오른쪽 그림에서 삼각형 ABC는 직

오른쪽 그림과 같이 주어진 정육면체와 합동인 정육면체를 면 DHGC에 나란히 붙이면 ACÓ∥DÕC'Ó이므로 ACÓ와 DFÓ가 이 루는 각의 크기 h는 DÕC'Ó과 DFÓ가 이루는 각의 크기와 같다.

이때 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면

DÕC'Ó=¿¹^DCÓÛ`¹⁺¹^CÕC'ÓÛ`="ÃaÛ`+aÛ ='2a DFÓ=¿¹^DBÓÛ`¹⁺¹^BÕFÓÛ`="Ã⁽'2aÃ^)Û`+^{aÛ =}'3a FÕC'Ó=¿¹^BÕC'ÓÛ`¹⁺¹^BÕFÓÛ`="Ã(2a)ÃÛ`+aÛ ='5a 따라서 삼각형 DFC'에서 코사인법칙에 의하여 cos`h= DÕC'ÓÛ`+DFÓÛ`-FÕC'ÓÛ`

2_DÕC'Ó_DFÓ

= 2aÛ`+3aÛ`-5aÛ`

2_'2a_'3a=0

03

^셀파 주어진 정육면체와 합동인 정육면체를 면 DHGC에 나란 히 붙이고 직선 AC를 평행이동한다.

직선 AD는 평면 BCD 위의 두 직선 BD, CD와 수직이므로 직 선 AD는 평면 BCD와 수직이다.

즉, 직선 AD는 평면 BCD 위의 직선 BC와 수직이다.

따라서 구하는 각의 크기는 90ù

05

^셀파 직선 l과 평면 a가 수직이면 평면 a 위의 모든 직선과 직 선 l은 수직이다.

A B

h C

H G

E F

오른쪽 그림과 같이 FHÓ를 평행이동하면 BDÓ와 일치한다.

이때 삼각형 BDE는 정삼각형이고 점 M 은 정사각형의 두 대각선의 교점이므로 BDÓ의 중점이다.

∴ EÕMÓ⊥BDÓ

따라서 두 직선 FH와 EM이 이루는 각의 크기는 90ù

04

^셀파 직선 FH를 평행이동하여 생각한다.

A B

M C

H G

E F

 PHÓ=4, PAÓ=8, PBÓ=5이므로 직각삼각형 PAH에서

AHÓ=¿¹^PAÓÛ`¹^-¹^PÕHÓÛ`

 ="Ã8Û`-4Û =4'3 직각삼각형 BHP에서 BHÓ=¿¹^PBÓÛ`¹^-¹^PÕHÓÛ`

 ="Ã5Û`-4Û =3

 PHÓ⊥a, PAÓ⊥l이므로 삼수선의 정리에서 AHÓ⊥l 또 PHÓ⊥a, PBÓ⊥m이므로 삼수선의 정리에서 BHÓ⊥m 이때 사각형 OAHB에서 ∠O=30ù, ∠A=∠B=90ù이고 사각형의 네 내각의 크기의 합은 360ù이므로

∠BHA=150ù

 따라서 삼각형 BAH에서 코사인법칙에 의하여 ABÓÛ`=BHÓÛ`+AHÓÛ`-2_BHÓ_AHÓ_cos`150ù

=3Û`+(4'3)Û`-2_3_4'3_{- '32 }=93 ∴ ABÓ='93

06

^셀파 AHÓ, BHÓ의 길이를 구한 후 삼수선의 정리를 이용하여

∠BHA의 크기를 구한다.

PQÓ를 그으면 PHÓ⊥(평면 ABH)이므로 직각삼각형 PQH에서

PQÓ=¿¹^PHÓÛ`¹⁺¹^HÕQÓÛ`="Ã6Û`+2Û =2'10 PHÓ⊥(평면 ABH),

HÕòQÓ⊥ABÓ이므로 삼수선의 정리에서 PQÓ⊥ABÓ

따라서 직각삼각형 PAQ에서

AQÓ=¿¹^PAÓÛ`¹^-¹^PÕQÓÛ`=¿¹('41¹)Û`¹-(¹2'10)Û =1

AHÓ, BHÓ를 긋고 ∠HAB=h라 하면 직각삼각형 HAQ에서 AHÓ=¿¹^AQÓÛ`¹⁺¹^HÕQÓÛ`="Ã1Û`+2Û ='5

∴ cos`h=AQÓ AHÓ= 1

'5 yy㉠

직각삼각형 ABH에서 cos`h= AÕHÓ

ABÓ= '5

AÕBÓ yy㉡

㉠, ㉡에서 '5 AÕBÓ= 1

'5 ∴ ABÓ=5

A Q

1h B

07

^셀파 삼수선의 정리를 이용하여 선분 AQ의 길이를 구한다.

A Q

B P

채점 기준 배점

AHÓ, BHÓ의 길이를 구한다. 20%

삼수선의 정리를 이용하여 ∠BHA의 크기를 구한다. 50%

선분 AB의 길이를 구한다. 30%

O A

B H

30ù

a l

△EAC는 직각삼각형이므로

;2!;_ACÓ_BHÓ=;2!;_4'10_ 14'105 =56

08

^셀파 꼭짓점 B에서 ACÓ에 수선의 발을 내려 삼수선의 정리를 이용한다.

잘린 단면인 타원의 장축의 밑면 위로의 정사영은 밑면의 지름이다.

이때 타원의 장축의 길이를 2a라 하면 2a`cos`30ù=10, 2a_ '3

2 =10

⑴ 점 P에서 xy평면에 내린 수선의 발은 점 B이므로 (2, 3, 0)

⑵ 점 P에서 z축에 내린 수선의 발은 점 F이므로 (0, 0, -4)

⑶ 점 P와 zx평면에 대하여 대칭인 점은 점 P의 z좌 표, x좌표는 서로 같고, y좌표는 절댓값은 같고 부호는 반대인 점 D'이 므로

(2, -3, -4)

2-2

⑴ 세 점 A, C, D는 각각 y축, x축, z축 위의 점이므로 A(0, 5, 0), C(-3, 0, 0), D(0, 0, 4)

⑵ 세 점 B, E, G는 각각 xy평면, yz평면, zx평면 위의 점 이므로

B(-3, 5, 0), E(0, 5, 4), G(-3, 0, 4)

1-2

⑴ O(0, 0, 0), P(2, -2, -1)에서 OPÓ="Ã2Û`Ã+(Ã-2)ÃÛ`+Ã(-1Å)Û`

='Ä4+Ä4+1=3

⑵ P(3, -2, 5), Q(2, 3, -1)에서

PQÓ="Ã(2-Ã3)Û`Ã+{3Ã-(Ã-2)Ã}Û`+Ã(-1Ã-5)Û`

='Ä1+Ä25+¶36='62

⑶ P(2, 0, 7), Q(5, -3, -2)에서

PQÓ="Ã(5-Ã2)Û`Ã+(Ã-3Ã-0)ÃÛ`+(Ã-2Ã-7)Û`

='Ä9+Ä9+81=3'11

3-2

본문 | 177, 179^쪽 개념 익히기

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