電磁에너지변환공학
3장 전기와 기계적 관계
3.3.1 Laplace 변환
3.3 라플라스 전달함수
Laplace 전달함수는 입력전압의 Laplace 변환에 대한 출력전압의 Laplace변환의 비로 전달함수를 나타내는 방식이다.
→ Laplace 전달함수는 주파수 변수 jω를 대수적 변수 s로 대치하여 표현한다.
지금까지의 전달함수는,
정상상태 입력전압에 대한 정상상태 출력전압의 비로서 주어졌다.
이 때 회로해석은 주파수 ω의 함수로 표현되었다.
⇒
Laplace 전달함수 : s 함수로 표현
일반 전달함수 : ω 함수로 표현
3.3.2 Laplace 전달함수
3.3 라플라스 전달함수
그림 5.12회로에 대한 미분방정식
Laplace 변환에 의해 대수방정식으로 변환
로 변환
따라서
(3.73)
(3.74) 그림 3.12(a) 회로도
3.3.2 Laplace 전달함수
3.3 라플라스 전달함수
그러므로 전압 v2
이므로
전달함수 v2/v1
(3.75)
(3.76)
(3.77)
3.3.2 Laplace 전달함수
3.3 라플라스 전달함수
(3.78)
그림 3.12(b) 회로를 표시하는 블록선도
3.3.3 블록선도
3.3 라플라스 전달함수
입력과 출력의 관계를 Laplace 표시법으로 나타낸 전달함수를 블록 내에 삽입한 형태를 블록선도(Block Diagram)라 한다.
전달함수
3.3.4 쌍방성과 일방성의 요소
3.3 라플라스 전달함수
(1) 일방성 요소(Unilateral)
ⅰ) 폭포
폭포는 아래 쪽의 물의 깊이는 위쪽의 물의 흐름에 아무런 영향을 미치지 못한다.
ⅱ) 비행기의 날개와 꼬리 표면
날개의 진동은 기류를 통해서 꼬리에 영향을 미치나 꼬리의 진동은 기류를 통해 날개에 영향을 미치지 못한다.
ⅲ) 증폭기로 사용되는 발전기
자속을 만드는 입력계자전류에 이해 전기자 권선에 기전력이 유기되어 출력전압과 전류가 생성된다. 그러나 전기자권선의 전류에 의해서 계자회로에 기전력이나 다른 신호가 유기되지 않는다. 즉, 신호는 계자회로에서 전기자회로로 전달될 뿐이다.
ⅳ) 진공관 증폭기
그리드에 인가된 전압은 양극전류에 영향을 미치지만, 양극에 인가된 전압은 그리드 전류에 영향을 미치지 못한다. 신호가 그리드에서 양극에 전달되어 증폭되지만, 신호가 양극에서 그리드로 갈 수 없다.
3.3.4 쌍방성과 일방성의 요소
3.3 라플라스 전달함수
(2) 쌍방성 요소(Bilateral)
ⅰ) 전기자 전압에 의해서 제어되는 서보전동기
전기자 단자에 인가된 전압은 축회전수에 영향을 미치고, 축회전수는 전기자 단자전압에 영향을 미친다.
ⅱ) 전기 4단자망 회로
신호를 어떤 방향이든지 전송한다.
ⅲ) R-L-C로 구성된 회로
ⅳ) 변압기
3.3.5 일방성 블록
3.3 라플라스 전달함수
해석방법
입력 측에서부터 첫째 번의 일방성 성분까지의 성분만을 한꺼번에 해석한다.
즉, 한 블록에서 그 다음 블록까지의 연결이 일방성을 지니도록 시스템을 나눈다.
한 예로써,
계자로 제어되는 정류자 전동기에 대해서, 함수의 변환과 역변환을 취해서 시정수를 구함으로써 강제응답과 자연응답을 계산하여 임펄스 교란(攪亂)과 자연응답사이의 관계 에 대해 알 수 있다.
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
그림 3.13은 부하를 구동시키는 정류자 전동기이다.
정류자 전류가 독립전원에 이해 전동기에 공급된다. 전동기는 계자회로에 인가된 전압 Vf를 변화시켜 제어한다.
여기서, If : 계자전류(A) Rf : 계자회로저항(Ω) Lf : 계자회로 인덕턴스(H)
τf : (= Lf/Rf) 계자회로 시정수(s)
J : 전동기와 부하의 관성모멘트(kg-m2) D : 기계적 감쇠정수(kg-m2/s)
τm : (=J/D) 회전시스템의 시정수 (s)
그림 3.13(a) 계자제어전동기(전기자전류=일정)
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
시스템을 두 블록으로 나타낸다.
첫째 블록은 전기적 부분으로써 계자회로이다.
둘째 블록은 시스템의 기계적 부분으로써 전기자 전동기와 기계적 부하이다.
첫째 블록에서 둘째 블록으로 들어가는 전류는 계자전류 If이다.
그림 3.13(b) 전달함수를 사용한 전동기 속도제어계의 블록선도
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
시스템을 두 블록으로 나타낸다.
첫째 블록은 전기적 부분으로써 계자회로이다.
둘째 블록은 시스템의 기계적 부분으로써 전기자 전동기와 기계적 부하이다.
첫째 블록에서 둘째 블록으로 들어가는 전류는 계자전류 If이다.
첫째 블록의 전달함수는 입력에 대한 출력의 관계 If/Vf이다.
둘째 블록의 전달함수는 Ω/if이다.
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
(1) 첫째 블록 전달함수
계자회로에 Kirchhoff의 법칙을 적용하면,
전달함수
(3.79)
(3.80)
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
계자회로에 Kirchhoff의 법칙을 적용하면,
전달함수
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
시스템의 기계적 부분은 관성과 제동부를 갖고 있다. 전동기 전기자에 자기적으로 미치는 회전력을 T라고 하면, 식 (3.34)와 같이 미분방정식은,
기계의 회전력은 전기자 전류 i와 자속 Φ, 극수 P, 전기자권선수 Ns에 의하여 다음 식으로 된다.
자속이 계자전류에 비례한다고 가정하면, Φ = kf If로 놓을 수 있으므로
(2) 둘째 블록 전달함수
(3.81)
(3.82)
(3.83)
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
이 식을 식(3.81)에 대입하면 다음 식으로 된다.
Laplace 변환하면,
따라서 전달함수
(3.84)
(3.85)
(3.86)
3.3.6 계자로 제어되는 정류자 전동기
3.3 라플라스 전달함수
출력의 전동기 회전수와 입력 전압과의 전체 전달함수는,
(3) 전체 전달함수
(3.87)
3.3.7 위치제어
3.3 라플라스 전달함수
축의 각도를 제어하는 경우
전달함수 θ/V는 기계적 미분방정식 식(3.18)의 Ω를 θ로 표시하면, 각 θ가 출력인 둘째 블록에 대한 전달함수를 구할 수 있다.
속도 Ω는 각 θ의 시간적 변화율이다.
Laplace 변환, (초기조건, t=0에서 θ=0)
각속도와 각위치의 관계
(3.88)
(3.89)
(3.90)
3.3.7 위치제어
3.3 라플라스 전달함수
그리고
따라서, 축각과 계자회로전압과의 전체 전달함수는 다음 식으로 된다.
그림 3.14 각변위 출력을 갖는 전동기의 블록선도
(3.91)
(3.92)
3.3.8 해석
3.3 라플라스 전달함수
(1) 전기적 부분(첫째 블록)
전달함수에 1/(1+sτf)인 형태의 인자는 Laplace 역변환에 의해서 e-t/τf 형태로 되기 때 문에 지관적으로 전달함수가 지수함수적으로 변화됨을 알 수 있다.
(3.93)
3.3.8 해석
3.3 라플라스 전달함수
(2) 기계적 부분(둘째 블록)
전달함수에 1/(1+sτm)인 형태의 인자는 Laplace 역변환에 의해서 e-t/τm 형태로 되기 때 문에 지관적으로 전달함수가 지수함수적으로 변화됨을 알 수 있다.
(3.94)
3.3.9 시정수
3.3 라플라스 전달함수
시정수(Time constant)는 시스템의 응답속도를 나타내는 척도로 사용된다.
의 함수인 경우,
A
t i
τ
0.368A
t = τ일 때의 i(t)
기울기
t = 0에서의 접선 기울기
그림 3.15 시정수를 나타낸 지수함수 그래프
(3.95)
3.3.10 전체 전달함수
3.3 라플라스 전달함수
전체 전달함수는 2개의 시정수를 갖고 있다.
각 블록은 e-t/τ형태의 시간함수로써 응답한다.
(1) 첫 째 블록→ 둘 째 블록으로 τf인 지수함수 형태의 계자전류가 유입된다.
(2) 둘 째 블록은 계자회로의 지수함수와 시정수 τm 인 기계적 성분의 지수함수의 영향을 받는 기계적 속도를 출력으로 나타난다.
