電磁에너지변환공학에너지변환공학

電磁에너지변환공학

2장 에너지변환이론과

전기기기

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.5 경계면에서의 압력

자계 내에 임의 모양의 철편이 놓여진 경우,

→ 즉, 에너지밀도가 높은 쪽으로 힘이 생기게 된다. 자속은 철편 표면과 직각방향으 로 유입되며, 철 표면의 압력크기는 그 부분의 공간에너지밀도와 같아진다.

이때 표면에 작용하는 힘은 자속밀도의 제곱에 비례한다.

철편 표면에 작용하는 힘

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.5 경계면에서의 압력

그림 2.24 철구와 자극간의 경계면 압력

전극 가까이 철구를 놓은 경우, 자극에 가까운 쪽이 에너지밀도가 높기 때문에 자계압력에 의 해서 구는 흡입된다.

그러나 균일 자계 내에 철구를 놓으면 구 표면은 모두 에너지밀도가 같기 때문에 압력이 균일하 므로 구는 움직이지 않는다.

→ 즉, 에너지밀도가 높은 쪽으로 힘이 생기게 된다.

앞의 식에서,

자기압력과 에너지밀도가 같다는 것은, 철이 자 계 중심으로 끌려들어가면 그 운동에 의해서 그 공간의 자계에너지를 전부 흡수한다는 것을 의 미한다.

→ 즉, 철에 흡수된 에너지는 철을 움직이게 하 려는 기계적 에너지로 재현된 것이다.

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.6 가동철편형 계기

두 연철편이 척력(밀어내기)으로 동작하므로 가동판이 회전

그림 2.25 (a) 가동 철편형 계기

가동철편형 계기는 연철판의 경계자기압력을 이용한 한 예이다. 근본 구조는 코일 에 측정할 전류를 흘리고 이 전류에 의해서 발생한 자계 내에서 연철편이 동작하 는 것이다.

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.6 가동철편형 계기

코일에 전류를 흘리면 양 철편은 같은 방향으로 자화되기 때문에 전류방향에 관계없이 서로 밀게 된다.

(b) 상부에서 본 철편자속

두 철편 사이에는 자속이 반대방향으로 생기므로 상쇄되어 자계가 존재하지 않는다.

그러므로 철편은 자속밀도가 높은 쪽으로 힘이 생겨 회전 하게 된다.

이 철편에 지침을 부착해서 코일의 전류량을 측정하게 된 다.

이 영역에는 가까이 배치되어 있어서 자계가 존재하지 않는다

F

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.6 가동철편형 계기

가동철편형 계기의 특징

(1) 철편에 작용하는 힘은 전류의 방향에 관계없이 같은 방향으로 작용한다 (직류와 교류가 같은 방향→ i²에 비례하므로).

(2) 지침은 전류의 제곱에 비례해서 움직인다.

교류에서 평균회전력은 순시전류의 실효값에 비례하므로 실효값(rms) 지시용 계기가 된다.

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.6 가동철편형 계기

가동철편형 계기의 특징

(3) 전자력이 전류의 제곱에 비례하는데 비해 나선형 스프링의 복원력은 변위에 비례하므로 불균등 눈금으로 된다.

(소 전류 부분은 눈금이 압축, 대 전류에서는 눈금이 확대)

가동철편형 계기의 눈금

(4) 대 전류가 흘러 철편간의 공간이 넓어 지면 그 사이에 자계가 생기게 되어 철편 양단에 자기압력이 생기므로 대 전류부분 의 눈금은 제곱보다는 선형이 가깝게 된다.

2.3 에너지변환이론의 적용

그림 2.26 릴럭턴스 회전력을 발생하는 철극회전자(대형 동기기, 전자시계 전동기) 아령형 회전자

철극(凸極) 회전자를 가진 전기기기의 회전력 은 자기저항의 변화에 의해서 생기게 된다.

이때의 회전력이 릴럭턴스 토오크 (Reluctance torque)이다.

2.3.7 릴럭턴스 토오크

이 회전자에 대한 에너지 평형을 구한다.

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.7 릴럭턴스 토오크

양 극이 중첩된 부분의 체적

θ ρ

w T

중첩된 부분의 호

중첩된 부분의 표면적

중첩된 부분의 체적(양 극)

여기서, W는 공극 길이 ρ는 반지름 ℓ은 축 길이 그림 2.26에서 회전자 극면이 각 θ만큼 고정자

극면과 중첩된 부분에 모든 자기에너지가 축적된다.

2.3 에너지변환이론의 적용

공극에서의 에너지밀도

축적되는 총 자기에너지

극을 통과하는 전 자속

2.3.7 릴럭턴스 토오크

(2.48

)

(2.49)

(B는 공극에서의 자속밀도)

표면적

2.3 에너지변환이론의 적용

코일에 전류가 흐를 때의 동작특성

(1) 자속 Φ가 일정하다고 가정할 수 있다.

→ 회전자의 속도가 빠르고 권선저항이 대단히 적은 자기회로에서는 Φ가 일정하게 된다.

(2) 자화권선 전류 i가 일정하다고 가정할 수 있다.

→ 회전자의 속도가 느리고 자화 권선저항이 크면 i는 거의 일정하게 된다.

2.3.7 릴럭턴스 토오크

실제의 경우, 기계가 동작할 때 Φ와 i가 다소 변하지만,

회전자가 dθ만큼 회전했다고 가정할 경우, 기계 내부에 어떤 현상이 일어나고 있는 가를 알기 위해서는 일정량과 변화량이 무엇인지 알아야 한다.

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.8 자속이 일정하다고 가정할 경우

자속이 일정할 때는 코일에 기전력이 유기되지 않는다. 따라서 자속이 일정하다고 가정할 때는 우선 회전자 위치에 따른 자장 축적에너지를 계산해야 한다.

Φ로 표시된 축적 자기에너지 (회전자가 각θ의 위치에 있을 때)

회전자가 dθ 만큼 회전했을 때 축적에너지의 증가 변화율

(축적에너지변화율 X dθ) = 축적에너지의 증가

→ 축적에너지 변화율의 (-)부호는 θ가 증가함에 따라 축적에너지가 감소됨을 뜻한다. (이때 자속는 일정하게 유지)

(2.50

)

(2.51) 식 (2.48

)

)

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.8 자속이 일정하다고 가정할 경우

에너지 평형식

(1) 기계적 입력에너지 :

(2) 전기적 입력에너지 : 자속이 일정하다고 가정했으므로 유기기전력 e = 0이다.

(3) 기계적 축적에너지 : 속도가 일정하다고 보면 기계에너지의 축적의 증감이 없으므로

= 0 가 된다.

(4) 마찰 손과 저항 손 = 0 로 간주한다.

(5) 장축적에너지

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.8 자속이 일정하다고 가정할 경우

→ 이 식은 자속 Φ가 일정한 경우에 회전자가 θ각 위치에 있을 때의 회전력이며, 이 회전력은 전동기에 의해서 부하에 작용하는 출력 토오크이다.

회전력 T

(2.52)

(2.53) 따라서 에너지 평형식은,

회전력 T를 구하기 위해 양 변을 dθ로 나누면,

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.8 자속이 일정하다고 가정할 경우

자속밀도 B로써 회전력 표시

여기서, -T(N-m)는 출력토오크

w(m)는 공극에서의 자속선의 길이 ρ(m)는 공극까지의 반지름

ℓ(m)는 극면의 길이

B(Wb/m²)는 공극에서의 자속밀도

μ0(H/m)는 진공의 투자율 (= 4π x 10^-7)

(2.54)

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.8 자속이 일정하다고 가정할 경우

회전력을 기자력으로 표시 이므로

따라서

(2.55)

(2.56) 공극이 2곳이므로

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.9 전류가 일정하다고 가정할 경우

전류 i가 일정하다고 가정하면

(1) 자속 Φ는 회전자의 회전각도에 따라 변하게 될 것이다.

(2) 기자력이 일정하게 되어 공극에 가해지는 자위차가 일정하게 되므로 H와 B가 일정하게 된다.

즉, 식(2.55)와 같다 (전류가 일정하면 B가 일정).

축적에너지를 전류 i로 나타내면

이고,

(2.57) 식 (2.50)에서,

→ 여기서, 전류 i가 일정하므로 θ만이 변수가 된다.

축적된 자기에너지

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.9 전류가 일정하다고 가정할 경우

(1) 회전자가 각 dθ 만큼 움직일 때 장축적 에너지

즉, 자화전류가 일정하면 회전자의 회전에 따라 축적에너지는 증가한다.

→ 자속이 변하면 자화권선에 기전력이 유기되는데, 자속이 θ에 따라 증가할 경우에는 유기기전력 e는 전류 i와 반대방향이 되므로 전류를 일정하게 유지하려면 외부회로에 서 에너지가 공급되어야 한다.

(2.58)

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.9 전류가 일정하다고 가정할 경우

이므로 전기적 입력

(2.59) 전기적 입력을 각 θ로 나타내면

(2.60)

식 (2.55)

이므로

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.9 전류가 일정하다고 가정할 경우

에너지평형식

(2.62) (2) dθ 변화에 따른 전기적 입력

(2.61)

정리하면,

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.9 전류가 일정하다고 가정할 경우

따라서 출력 토오크 T

이 식은 Φ를 일정하다고 가정해서 구한 식 (2.56)과 동일하다.

→ 전류가 일정하다고 가정하거나 자속이 일정하다고 가정하거나 동일한 결과를 얻을 수 있음을 알 수 있다.

(2.63)

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.10 전기적 에너지의 분할

출력 토오크 T

(1) 괄호 안의 1에 해당되는 에너지는 전기적 입력이고 괄호 안의 1/2/에 해당되 는 에너지는 자계의 증가에 의한 것이다.

(2) 전기적 입력이나 기계적 입력이거나 자장의 에너지 증가량 중 하나를 알게 되면 나머지 둘은 바로 알 수 있게 된다.

전류가 일정하다고 가정한 식으로부터 알 수 있는 내용은,

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.11 릴럭턴스 전동기

릴럭턴스 토오크를 발생시키는 방법

그림 2.26 릴럭턴스 회전력을 발생하는 철극회전자

철극 회전자는 수평이 될 때까지 회전하고 는 더 이상 회전하지 않게 된다.

왜냐하면 회전자를 수평축으로 되돌리려는 역 토오크가 발생되기 때문이다.

만약 수평이 되는 순간에 전류를 차단한다 면 역 토오크가 생기지 않으므로 수평축을 벗어나서 수직축이 될 때까지 계속 회전하 게 될 것이다.

그리고 수직축이 되었을 때 다시 전류를 흘 리면 수평이 될 때까지 회전하게 된다.

이와 같이 적재적소에서 전류를 유입, 차단 시키면 항상 시계방향으로 릴럭턴스 토오크 를 발생시킬 수 있다.

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.11 릴럭턴스 전동기

그림 2.27 정현파 교류전류는 릴럭턴스 전동기에 이상적인 구형파로 접근시킨다

릴럭턴스 전동기를 정현파 교류로 구동가능

수평축에서 전류차단

수직축에서 전류투입

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.11 릴럭턴스 전동기

회전자는 교류가 최대값이 될 때마다 수평축이 도달되고 이때 구동토오크는 강하게 회전방향으로 작용하게 된다.

회전자가 수평축을 벗어나려할 때 회전자에 작용하는 토오크는 역기전력으로 인 해서 반대가 되지만 이때는 전류가 작기 때문에 역방향 토오크는 작아진다.

→ 결국 회전자는 같은 방향으로 계속해서 회전하게 된다.

릴럭턴스 전동기의 특성

릴럭턴스 전동기는 동기속도로 돌게 되며 전류의 위상과 일치된다.

따라서 릴럭턴스 전동기는 비교적 부하가 적은 경부하의 전기시계 등에 이용된다.

릴럭턴스 전동기의 이용

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.12 전달함수

전달함수는 전기기계의 에너지에 관계되는 또 다른 표현방식이다.

→ 전달함수는 기본적으로 입력에 대한 출력의 비이다.

(1) 자계 B인 영역에서 길이 ℓ인 도체전류 i가 자장 B에 대해서 수직 으로 흐르는 경우, 도체에 작용하는 힘은,

입력인 전류 i와 출력인 힘 F 사이의 전달함수

(2.64)

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.12 전달함수

(2) 길이 ℓ인 도체가 속도 U로 자계 B 내에서 직각으로 움직인다면 도체에 유기되는 기전력은

입력인 속도 U와 출력인 기전력 e 사이의 전달함수

상기 두 식의 전달함수는 같다.

→ 전달함수가 같다는 것은 평형 관계식 면에서 다른 것 같지만 결국은 같은 표현이다.

(2.65)

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.12 전달함수

기계의 공극에 있어서 전기적 에너지를 고려하는데 있어서, 변환된 에 너지만 고려하고 열로 소비되는 에너지와 기계 내 축적되는 에너지를 고려하지 않는 경우의 에너지 평형식은

어떤 기계에 있어서,

이면

(2.66)

(

)

2.3 에너지변환이론의 적용

2.3.12 전달함수

기전력과 전압의 방향은 반대이므로

따라서

전달함수는

→ 이 식은 힘과 전류간의 전달함수는 기전력과 속도간의 전달함수와 같다는 것으로써 에너지평형의 원리로부터 유도된 식이다.

(2.68)

(2.69)