電磁에너지변환공학
2장 에너지변환이론과
전기기기
인덕턴스는 전류에 대한 자속쇄교수의 비이다.
자속 쇄교수의 시간적 변화 e (파라데이법칙)
→ 기전력 (-)e는 자속의 방향과 반대로 유기됨을 뜻한다.
즉, 자속의 증가를 저지하는 방향으로 생긴다.
그러므로
여기서, i(A)는 인던턴스 L인 회로에 흐르는 전류 v(V)는 유도성 회로단자에 인가한 전압 L(H)은 회로소자
그림 2.28 v, i, e, λ, Φ의 기준방 향
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.1 인덕턴스
(2.70) (λ = L i)
(2.71)
※ 회전력을 인덕턴스로 표시
실제 기전력 방향
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.2 인덕턴스로 표시한 에너지
에너지 평형식
단자전압 v는
이므로
→ 이 미분식에서 L과 i를 변수로 취급
그림 2.29 전압, 기계적 입력 기준 표시도
(2.72)
(2.73)
※ L을 이용해서, 에너지 관계를 다중여자의 경우에 적용시킨다.
R-L-C로 구성
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.2 인덕턴스로 표시한 에너지
dt 동안에 자계로 축적되는 에너지 증가량
에너지 평형식에서, 입력과 출력의 에너지증가분을 대입
정리하면,
(2.74)
(2.75) (2.76)
자계에 축적되는 에너지
≫
전계로 축적되는 에너지2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.2 인덕턴스로 표시한 에너지
여기서, -(기계적 입력) = 기계적 출력 전기저항에 의한 열 손실 Ri2 dt = 0
공기나 축수 마찰에 의한 손실 = 기계적 열손실 에너지 평형식을 재정리
→ 결국, 축에서 나타나는 유용한 기계적 출력과 속도변화에 따른 운동에너지와 기계의 포텐셜 에너지에 해당하는 총 기계적 축적에너지의 증가분, 그리고 마찰 에 의한 기계적 손실 등이 기계가 동작되고 있는 자장으로부터 공급되는 것이다.
좌변을 기계적 에너지로 통합해서 나타내면 다음과 같다.
(2.77)
(2.78)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.3 인덕턴스로 표시한 힘과 회전력
미소 시간 dt간에 dx 만큼 움직인 경우, 기계 내에 발생된 기계적 힘
→ 기계적 힘을 단지 전류와 인덕턴스의 변화율로 나타낼 수 있다.
(1) 기계가 직선운동을 하는 경우
이므로
(2.79) 기계 내에서 발생된 힘 F
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.3 인덕턴스로 표시한 힘과 회전력
(2) 회전기기일 경우
발생 회전력 T
두 식으로 부터,
(1) 힘과 회전력은 dL/dx 또는 dL/dθ가 (+)가 되는 방향으로 발생한다.
(2) 기계에 작용하는 힘(회전력)은 항상 인덕턴스가 증가되는 방향으로 작용한다.
(2.80)
이므로
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.4 전자석
그림 2.23 전자석 개념도
그림에서, L은 코일의 인덕턴스 w는 공극의 폭 ( = x) 정의에 의에서,
공극의 자속밀도 B
여기서, 기계 내에서 발생된 힘 F를 전자석에 적용
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.4 전자석
자속 쇄교수 λ
인덕턴스 L
변수 w로 미분하면
(2.81)
(2.82)
( )
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.4 전자석
따라서 기계 내에서 발생된 힘 F는
(-) 부호는 이 때 발생한 힘이 화살표 방향과 반대방향으로 생긴다는 것을 뜻한다.
그러므로 이 장치의 전기자는 공극이 없어질 때까지 끌리게 된다.
(2.83)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.5 릴럭턴스 토오크
전동기에 적용하여 발생회전력인 릴럭턴스 토오크를 구한다.
그림 2.26 릴럭턴스 회전력을 발생하는 철극회전자
인덕턴스 L (식 2.81로 부터)
여기서, A는 회전시 단면적으로써 변수이며 A = θρℓ 이다.
폭 w는 일정하게 유지된다.
따라서 인덕턴스 L
(2.84)
(2.85)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.5 릴럭턴스 토오크
L을 변수 θ에 대해서 미분
발생회전력 T
→ 이 결과는 식(2.56), 식(2.63)의 결과와 동일하다.
따라서 전류나 자속을 일정하다고 가정할 필요도 없이, dL/dθ의 변화만으로도 회전력을 구할 수 있다.
(2.86)
(2.87)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.6 가동철편형 전류계의 동작
동작특성
연철편에 자력이 작용하여 거기에 달려있는 지침이, 회전을 억제하는 스 프링의 반대방향으로 회전하여 눈금을 가리키게 되어있다.
스프링에 대항하여 바늘을 움직여 주는 회전력은 인덕턴스의 변화율에 비 례하게 된다.
이때 전류가 흐르면 인덕턴스가 증가하는 방향으로 움직인다.
이 때 철편이 멀어지게 되면 이에 따라서 인덕턴스는 증가한다.
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
단일 여자방식 장치
단일 여자방식은 코일이 한 개인 장치로써
전자석, 가동 철편형, 전류계, 릴럭턴스 전동기 등…이다.
다중 여자방식 장치
다중 여자방식은 코일이 둘 이상인 장치로써
제어기기, 일반 전동기나 발전기, 여자권선과 전기자 권선이 있는 직류발전기, 회전자 권선과 고정자 권선이 있는 유도기 등이 모두 다중여자권선이다.
에너지 평형식
→ 에너지 평형식은 단일여자 방식과 동일하다.
(2.88)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
그림 2.30 이중 여자장치의 각 량의 기준방향
미소시간 dt간의 입력 전기에너지
v1 전압방정식
여기서, L11은 회로 1의 자기인덕턴스 M은 두 회로사이의 상호인덕턴스 R1은 회로 1의 저항
(2.89)
(2.90)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
v2 전압방정식
여기서, L22 는 회로 2의 자기인덕턴스 M은 두 회로사이의 상호인덕턴스 R2은 회로 2의 저항
전기적 입력
→ 여기서, L과 i 모두 변수라는 것을 염두에 두어야 한다.
(2.91)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
L과 i를 변수로 해서 미분식을 전개하면 다음과 같다.
(2.92)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
상호인덕턴스를 갖는 두 회로에서, 자장으로 축적된 에너지
미소 시간 dt 동안의 에너지 변화량은, (식을 미분하고 dt를 곱하면 된다) (2.93)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
(2.94)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
여기서, 에너지 평형식을 적용하면
→ (기계적 입력)+(전기적 입력)-(장축적)-(기계적 축적)-(열)=0 (전기적 입력) - (장축적) =
=
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
→ (기계적 입력)+(전기적 입력)-(장축적)-(기계적 축적)-(열)=0
- (기계적 입력) + (기계적 축적) + (열) = (전기적 입력) - (장축적) 다시 정리하면
- (기계적 입력) + (기계적 축적) + (열) =
권선저항 열손실 그러므로
(2.95) 기계적 손실
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
- (기계적 입력) = (기계적 출력) 이므로
변환된 기계적 에너지
변환된 기계적 에너지
→ 이 식은 전기로부터 기계적으로 변환되는 에너지를 전류와 인덕턴스로 나타낸 식이다.
(일정 전류나 일정 자속이라는 제약이 없다) (계통이 선형적이고 전계 에너지는 무시된다. )
(2.96)
(2.97)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.7 다중 여자인 경우의 평형식
2중 여자기기에서,식(2.92)와 식(2.94) 비교
(1) I1, i2 모두 일정하다면 di1, di2는 모두 0이 된다.
(2) R1, R2가 0 이라면 전기적 입력은 장의 축적에너지의 2배가 된다.
(3) 전류가 일정하고 저항손실이 없다면, 입력에너지의 ½은 장의 축적에너지로 변환되고 나머지 ½은 기계적 에너지로 변환된 것이다.
(4) 여기서, i2=0 이면 단일여자의 경우가 되고 같은 방법으로 확장시키면 다중여자기에 적용할 수 있다.
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.8 다중 여자에 의한 힘과 회전력
(1) 계가 직선운동을 하는 경우
미소 시간 dt에 dx 만큼 움직였다면 이때 발생한 기계적 힘 F
변환된 기계적 에너지 이므로,
이므로,
(2.98)
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.8 다중 여자에 의한 힘과 회전력
(2) 회전기기의 경우
미소 시간 dt에 dθ 만큼 회전했다면 이때 발생한 회전력 T
(2.99) 이므로,
변환된 기계적 에너지 이므로,
2.4 에너지와 인덕턴스
2.4.8 다중 여자에 의한 힘과 회전력
(2.56)의 식 이 식에서, i2 = 0로 놓으면 단일여자 경우와 같아진다.
식(2.85)에서, 이므로,
( )
식 (2.56)과 동일한 결과
