등가 힘 힘 –– 우력 우력 계 계

등가

등가 힘 힘 –– 우력 우력 계 계

교육 목표:

1) 힘을 이동하는 경우의 효과에 대하여 알아본다.

2) 임의의 힘과 우력 계에 대한 등가 힘- 우력 계를 구한다.

학습 내용 :

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등가하중( Equivalent load ):

외부 효과가 변하지 않고 작용하는 두 세트의 하중

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예습

예습 확인 확인 퀴즈 퀴즈

1. 어떤 강체에 여러 개의 힘과 우력 모멘트가 작용하는 일반 계는 ___ 로 단순화할 수 있다.

A) 단일 힘.

B) 단일 모멘트.

C) 단일 힘과 두 개의 모멘트.

D) 단일 힘과 단일 모멘트.

D) 단일 힘과 단일 모멘트.

2. 원래의 힘 및 우력 계와 등가인 힘-우력 계는 물체에 대하여 같은 _____ 효과를 나타낸다.

A) 내부 B) 외부

C) 내부 및 외부 D) 미시적

응용

응용 예 예

힘이 네 가지 다른 방식으로 작용할 때 사람의 손에 미치는 최종 효과(resultant effects)는

무엇인가?

응

응 용 용 ((계속 계속))

여러 개의 힘과 하나의

우력이 I-빔의 수직 단면에 작용하고 있다.

여러분은 이들을 같은 외부 효과를 갖는 O점에 작용하는 하나의 힘과 하나의 우력으로 바꾸어 놓을 수 있을까?

만약 가능하다면, 그것을 어떻게 하면 할 수 있을까?

등가 계 (4.7절)

=

여러 개의 힘과 우력 모멘트가 물체에 작용할 때, 만약 그것이 같은 외부 효과를 갖는 단일 힘과 우력으로 나타낼 수 있다면, 물체에 작용하는 그 전체적인 효과를 이해하는 것이 보다

쉬울 것이다.

이때 두 힘 및 우력 계는 물체에 같은 외부 효과를 나타내므로 등가계(equivalent systems)라 부른다.

힘의

힘의 작용선 작용선 상에서 상에서 힘의 힘의 이동 이동

A에서 O로 힘을 옮기더라도, 두 점이 동일 작용선상에 있다면, 외부효과(external effect)는 변하지 않는다

있다면, 외부효과(external effect)는 변하지 않는다

(전달성의 원리). 그래서, 힘 벡터를 미끄럼벡터(sliding vector)라 부른다. (그러나 물체내에서 힘의 내부효과 (internal effect)는 힘이 작용하는 장소에 의존한다.).

힘의

힘의 작용선을 작용선을 벗어난 벗어난 힘의 힘의 이동 이동

A점에서 O점으로 힘의 이동은(위에 보인 바와 같이)

부가적인 우력 모멘트의 생성을 (힘 + 우력으로)가져온다.

부가적인 우력 모멘트의 생성을 (힘 + 우력으로)가져온다.

이때 새로 생성된 우력 모멘트는 자유벡터(free vector)이므로, 물체상 임의의 점 P에 작용할 수 있다.

힘과 우력 계의 합력 (4.8절)

여러 개의 힘과 우력 모멘트가 물체에 작용할 때, 각 힘과 공통점 O에 관한 그 모멘트로 각 힘을 이동할 수 있다.

그리고 나서 모든 힘과 우력 모멘트 들을 더하여, 한 쌍의 힘-우력

모멘트를 구할 수 있다.

모멘트를 구할 수 있다.

1) 계의 합력은 모든 힘의 합과 같다.

2) 계의 합 우력 모멘트는 모든 우력 모멘트의 합에 점 O에 대한 모든 힘의 모멘트를 더한 것과 같음

M_RO = Σ M_C + Σ ( r_i × F_i )

만약 힘 계가 x-y 평면에 놓여 있는 2-D 경우, 그러면 단순화된 등가 계는 아래의 세 스칼라 방정식을

사용하여 얻을 수 있다.

힘과 우력 계의 합력 (계속)

예 제 4.14

o

그림과 같은 부재에 작용하는 힘을 점 A에 작용하는 등가 합력과 합 우력으로 대체하라.

+ → F_Rx = ΣF_Rx ; F_Rx= -100-400cos45= -382.8 N

↓ F_Ry = ΣF_Ry ; F_Ry= -600-400sin45= -882.8 N + M_RA = 551 N.m

예 제 4.15

o

그림과 같은 부재가 우력모멘트 M과 힘 F1 및 F2를 받고 있다. 이 계를 부재의 기저에 작용하는

등가 합력과 합 우력으로 대체하라.

힘-모멘트 계를 단일 합력으로 단순화

(4.9절)

= =

만약 F_R 과 M_RO 가 서로 수직관계에 있으면, 그 힘-모멘트 계는 추가적으로 단일 힘 F_R 로 더 단순화할 수 있다.

단순히 O점에서 d만큼 떨어진 P점으로 F_R 을 이동 시킴으로써.

세 개의 특별한 경우, 공점력계(concurrent), 동일

평면력계(coplanar), 그리고 평형력계(parallel)에서, 그 계들은 언제나 단일 힘으로 단순화할 수 있다.

힘-모멘트 계를 단일 합력으로 단순화

= =

세 개의 특별한 경우, 공점력계(concurrent), 동일 평면력계(coplanar), 그리고 평형력계(parallel)에서, 그 계들은 언제나 단일 힘으로 단순화할 수 있다.

1) 공점력계(concurrent), 합우력=0

2) 동일 평면력계(coplanar)

3) 평형력계(parallel)

힘 힘--모멘트 모멘트 계를 계를 단 단 하나의 하나의 힘으로 힘으로 단순화 단순화

평행력계(paralell force system)

F_R=F₁ + F₂ + F₃

F_R d = F₁d₁ + F₂d₂ + F₃d₃

예

예 제 제 11

주어진 값: 2차원 힘과 우력 계

목표: (a) A점에 작용하는 등가 합력과 우력.

(b) 보AB를 따라서 작용하는 등가 단일

1) 합력 F_RA를 구하기 위하여 모든 힘의 x와 y성분을 더하라.

2) A점으로 각 힘을 이동시킴으로 인해 생기는 모든 모멘트의 합을 구하라.

3) d = M_RA/F_ry 관계를 사용하여 거리 d만큼 F_RA 를 이동시켜라 작용하는 등가 단일 힘의 위치.

계획 (풀이):

+ → ΣF_Rx = 25 + 35 sin 30° = 42.5 kN + ↓ ΣF_Ry = 20 + 35 cos 30° = 50.31 kN + M_RA = 35 cos30° (0.2) + 20(0.6) –

25(0.3) = 10.56 kN.m

예제

예제 ((계속 계속))

F_R

F_R = ( 42.5² + 50.31² )^1/2 = 65.9 kN θ = tan^-1 ( 50.31/42.5) = 49.8 ° 등가 단일 힘 F_R 을 보 AB상에서 A점으로 d 만큼의 거리에 위치시킬 수 있다.

d = M_RA/F_Ry = 10.56/50.31 = 0.210 m.

예

예 제 제 22

o

주어진 값: 건물 슬라브가

4대의 기둥을 갖는다.

F₁과 F₂=0

목 표: 원점 O점에서 등가 합력과 우력모멘트를 구하라. 단일 등가

1) 합력 F_RO = ∑F_i = F_Rzo k 를 구하라.

2) 합 우력 M_RO = ∑ (r_i

×

3) 단일 등가 합력의 위치는 x = -M_RyO/F_RzO 와 y = M_RxO/F_RzO 로 주어진다.

합력의 위치(x,y)의 위치를 구하라.

계획 (풀이):

F_RO = {-50 k – 20 k} = {-70 k} kN

M_RO = (10 i) × (-20 k) + (4 i + 3 j)x(-50 k)

= {200 j + 200 j – 150 i} kN·m

= {-150 i + 400 j } kN·m

o

예

예 제 제 2( 2(계속 계속))

단일 등가 합력의 위치는 아래와 같다.

x = -M_Ryo/F_Rzo = -400/(-70) = 5.71 m y = M_Rxo/F_Rzo = (-150)/(-70) = 2.14 m

개념

개념 확인 확인 퀴즈 퀴즈

1. 장대에 작용하는 힘들은 점 ____ 에 대한 단일 힘과 단일 모멘트로

단순화할 수 있다.

A) P B) Q C) R D) S E) 위의 모든 점.

R Z S

Q P X

• Y

•

•

•

2. 물체에 작용하는 두 개의 우력을 생각하자.그 물체의 임의 점에서 나타낼 수 있는 가장 단순한 등가 계는 다음 중

어느 것 인가?

A) 하나의 힘과 하나의 우력 모멘트.

B) 하나의 힘.

C) 하나의 우력 모멘트.

D) 두 개의 우력 모멘트.

집단

집단 문제 문제 해결 해결 능력배양 능력배양 ((계속 계속))

주어진 값: 전동드릴의 핸들에 힘 F₁과 F₂가 작용하고 있다.

목 표: 원점 O점에서 등가 합력과 우력 모멘트를 구하라.

a) F_RO = Σ F_i 를 구하라.

b) M_RO = Σ M_C + Σ ( r_i × F_i )를 여기서,

F_i 는 직교 벡터로 표시(CVN)한 개별 힘 .

M_C는 직교벡터로 표시한 임의의 자유 우력 모멘트 (본 예제에서는 해당 없음).

R_i O점으로부터 F_i 의 작용선상 임의 점까지 위치벡터.

계획 (풀이):

해

해 법 법

F₁ = {6 i – 3 j – 10 k} N F₂ = {0 i + 2 j – 4 k} N F_RO = {6 i – 1 j – 14 k} N r₁ = {0.15 i + 0.3 k} m r₂ = {-0.25 j + 0.3 k} m M_RO = r₁ × F₁ + r₂ × F₂

= {0.9 i + 3.3 j – 0.45 k + 0.4 i + 0 j + 0 k} N·m

= {1.3 i + 3.3 j – 0.45 k} N·m

i j k

0.15 0 0.3 6 -3 -10

+ i j k

0 - 0.25 0.3 0 2 -4

M_RO = { } N·m

예 제 4.16

o

그림과 같이 보 AB에

동일평면력계가 작용하고 있다. 이 힘계와 등가인 합력의 크기, 방향 그리고 보위에서의 위치를 구하라.

:

d = 5.07 m 힘의 합: 힘을 직각성분으로

분해한 후 x방향과 y방향 성분의 합력을 구한다.

모멘트의 합: 합력 F_R에 의한 E점에 대한 모멘트와 각 힘의 E점에 대한 모멘트의 합은 등가가 되어야 하고, 이때 d 를 구하면 된다.

예 제 4.17

o

그림과 같이 지브 크레인에 세 개의 동일 평면력이 작용하고 있다. 이 힘들을 하나의 등가 합력으로 대체하고, 이 합력의 작용선과 기둥 AB 및 붐BC 와의교차점을 구하라.

힘의 전달성의 원리를 사용하여 기둥 AB와 만나는 경우의

모멘트아암 y, BC와 만나는 경우의 모멘트 아암 x를 구하면 된다.

1. 아래 힘 계에 대하여, P점에서 등가 계는 ___________ . A) F_RP = 40 N (+ x방향을 따르는) 그리고 M_RP = +60 N.m

B) F_RP = 0 N 그리고 M_RP = +30 N.m

C) F_RP = 30 N (+y방향을 따르는) 그리고 M_RP = -30 N.m D) F = 40 N (+x방향을 따르는) 그리고 M = +30 N.m

주의

주의 환기 환기 퀴즈 퀴즈

D) F_RP = 40 N (+x방향을 따르는) 그리고 M_RP = +30 N.m

P

1m 1m

30 N

40 N 30 N

• x

y

주의

주의 환기 환기 퀴즈 퀴즈

2. 어떤 물체에 작용하는 세 개의 우력을 생각하자. 등가 계는 물체 상의 다른 점에 위치하였을 때 _______

것이다.

A) 다를 것.

B) 같을 것.

B) 같을 것.

C) 0이 될 것

D) 위의 어느 것도 아니다.