Ⅴ 확률

진 도 북 해 설

1. ^{경우의 수와 확률}

경우의 수

1차례로 사건, 사건, 경우의 수 1^-1㉠1 ^㉡1 ^㉢2 2^⑴3 ^⑵3 ^⑶2 2^-1⑴3 ^⑵2 ^⑶3

8^쪽

0 1

1

Step

2

Step

5 3^-111 3^-213

③ 4-16 4-215^가지

11^쪽

3이하의 수는1^, 2^, 3^의3^개 5^{이상의 수는}5^, 6^의2^개

따라서 구하는 경우의 수는3+2=5 1^에서20^{까지의 수 중에서}

소수는2^, 3^, 5^, 7^, 11^, 13^, 17^, 19^의8^개 6^{의 배수는}6^, 12^, 18^의3^개

따라서 구하는 경우의 수는8+3=11 (^{구하는 경우의 수})

=(수학 문제집을 사는 경우의 수)

=+(영어 문제집을 사는 경우의 수)

=7+6=13

자음이 적힌 카드가3장, 모음이 적힌 카드가2장이므로 만들 수 있 는 글자는3_2=6^(개)

셔츠를 고를 수 있는 방법은2가지이고, 그 각각에 대하여 바지를 고를 수 있는 방법은3가지이므로 구하는 경우의 수는2_3=6 A^지점⁄ B^{지점 :} 5^가지

B^지점⁄ C^{지점 :} 3^가지

A^지점에서B^{지점을 거쳐}C지점까지 가는 방법은 5_3=15^(가지)

4

4

3

3

ㄷ. 주사위의 눈은1^에서6^{까지이므로}1보다 작은 눈이 나오는 사 건은 일어날 수 없다.

⑤ 정육면체에 흰색은 없으므로 흰색이 나오는 사건은 일어날 수 없다.

⑴3^{의 배수는}3^, 6^, 9^, 12이므로 구하는 경우의 수는4

⑵8^{의 약수는}1^, 2^, 4^, 8이므로 구하는 경우의 수는4

⑶2^{보다 크고}10^{보다 작은 수는}3^, 4^, 5^, 6^, 7^, 8^, 9^{이므로 구하는} 경우의 수는7

⑷ 소수는2^, 3^, 5^, 7^, 11이므로 구하는 경우의 수는5

⑴4^{의 배수는}4^, 8^, 12^, 16^, 20이므로 구하는 경우의 수는5

⑵ 두 자리의 자연수는10^, 11^, 12^, 13^, 14^, 15^, 16^, 17^, 18^, 19^, 20이므로 구하는 경우의 수는11

3000^{원 이상}5000원 미만인 음식은 잔치국수, 라면, 떡국이므로 구하는 경우의 수는3^이다.

x+y=5를 만족하는 순서쌍(x^, y)는 (1^, 4)^, (2^, 3)^, (3^, 2)^, (4^, 1)^의4^개이다.

2

2

2

1

Step

ㄷ 1^-1⑤

⑴4 ^⑵4 ^⑶7 ^⑷5

2^-1⑴5 ^⑵11 2^-23 2^-3②

9^쪽

Ⅴ 확률

3 ^⑴2 ^⑵1 ^⑶3 3^-1⑴1 ^⑵4 ^⑶5

4 4 4-136

10^쪽

1

Step

5^차례로1^, 3^, 3^, 3^, 6 5^-1차례로1^, 3^, 2^, 2^, 4

12^쪽

1

Step

⑴ 짝수는2^, 4^, 6이므로 구하는 경우의 수는3

⑵ 소수는2^, 3^, 5이므로 구하는 경우의 수는3

⑶4^{보다 큰 수는}5^, 6이므로 구하는 경우의 수는2

⑴ 홀수는1^, 3^, 5이므로 구하는 경우의 수는3

⑵5^{이상인 수는}5^, 6이므로 구하는 경우의 수는2

⑶4^{의 약수는}1^, 2^, 4이므로 구하는 경우의 수는3

2

2

각 동전에서 일어나는 경우의 수가 2이므로 구하는 경우의 수는 2_2=4

각 주사위에서 일어나는 경우의 수가6이므로 구하는 경우의 수는 6_6=36

4

4

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5_4_3_2_1=120 5_4_3=60

A가 맨 앞에 서는 경우의 수는A^{뒤에 나머지}B^, C^, D^, E 4^명을 한 줄로 세우는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 4_3_2_1=24

백의 자리에 올 수 있는 수는1^, 2^, 3^, 4^의4^개

십의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수를 제외한3^개 일의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수와 십의 자리의 수를 제 외한2^개

따라서 구하는 세 자리의 정수의 개수는4_3_2=24^(개) 십의 자리에 올 수 있는 수는3^, 4^, 5^의3^개

일의 자리에 올 수 있는 수는 십의 자리의 수를 제외한4^개 따라서 구하는30이상인 정수의 개수는3_4=12^(개) 십의 자리에 올 수 있는 수는0^{을 제외한}1^, 2^, 3^, 4^의4^개 일의 자리에 올 수 있는 수는 십의 자리의 수를 제외한4^개 따라서 구하는 두 자리의 정수의 개수는4_4=16^(개) 백의 자리에 올 수 있는 수는0^{을 제외한}1^, 2^, 3^, 4^의4^개 십의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수를 제외한4개 일의 자리에 올 수 있는 수는 백의 자리의 수와 십의 자리의 수를 제 외한3개

따라서 구하는 세 자리의 정수의 개수는4_4_3=48^(개)

⑴5_4=20

⑵ =10

⑶A^{를 제외한}4^{명 중 대표}2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로

=6

⑷A^{를 제외한}4^{명 중 대표}1명을 뽑는 경우의 수와 같으므로4

⑴5+4=9

⑵9_8=36 2

8

4_3 2 5_4

2

7

6

5

5

⑶ 남자 대표1^{명을 뽑는 경우는}5^{가지 여자 대표}1^{명을 뽑는 경우} 는4^{가지이므로 대표}2명을 뽑는 경우의 수는5_4=20

⑷ 남학생5^{명 중 대표}2명을 뽑는 경우의 수와 같으므로 5_4=10

2

3

Step

01^④ 026 033^가지 04^⑤ 059 06^③ 07^① 0824 09^③ 109^가지 1148 1248 13^① 1418 15^⑤ 16100

14~15^쪽

홀수는1^, 3^, 5^, 7이므로 구하는 경우의 수는4

두 눈의 수의 차가3^{이 되는 경우는}(1^, 4)^, (2^, 5)^, (3^, 6)^, (4^, 1)^, (5^, 2)^, (6^, 3)이므로 구하는 경우의 수는6

돈을 지불할 수 있는 방법을 표로 나타내면 오 른쪽과 같다. 따라서 볼펜 값을 지불하는 방법 은3^{가지이다.}

흰 주사위가6일 때 검은 주사위는1^, 2^, 3^, 4^, 5^{이므로 경우의 수} 는5

흰 주사위가5일 때 검은 주사위는1^, 2^, 3^, 4^{이므로 경우의 수는}4 마찬가지로 흰 주사위가4^, 3^, 2일 때 검은 주사위의 경우의 수는 각각3^, 2^, 1^이다.

따라서 구하는 경우의 수는5+4+3+2+1=15

소설책을 꺼내는 경우의 수는7이고, 만화책을 꺼내는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는7+2=9

1^에서15^{까지의 수 중}5^{의 배수는}5^, 10^, 15^의3^개이고, 7^{의 배수} 는7^, 14^의2개이므로 구하는 경우의 수는3+2=5

짝수가 나오는 경우의 수는2^, 4^, 6^의3^이고, 25^{의 약수가 나오는} 경우의 수는1^, 5^의2이므로 구하는 경우의 수는3+2=5 음료수가4^{가지, 햄버거가}6가지이므로 구하는 경우의 수는 4_6=24

한 사람이 낼 수 있는 경우는 가위, 바위, 보의3^{가지이므로} 3명이 가위바위보를 한 번 할 때 일어나는 모든 경우의 수는 3_3_3=27

A^{``마을 ``}⁄ B^{``마을` ``}⁄ C``마을로 가는 방법 : 4_2=8<sup>(가지)</sup> A<sup>``마을 ``</sup>⁄ C``마을로 가는 방법 : 1^가지

따라서 구하는 방법은8+1=9^(가지)

10 09 08 07 06 05 04 03 02 01

Step

120 5-160 5-224 24^개 6^-112^개

16^개 7^-148^개

⑴20 ^⑵10 ^⑶6 ^⑷4 8^-1⑴9 ^⑵36 ^⑶20 ^⑷10

13^쪽

50^원 100^원

0^개 5^개

2^개 4개 4^개 3개

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진 도 북 해 설 A가 맨 처음 오는 경우의 수는A ^이므로

4_3_2_1=24

A가 맨 끝에 오는 경우의 수는 A^이므로 4_3_2_1=24

따라서 구하는 경우의 수는24+24=48

3^번, 5번을 한 묶음으로 생각하면4명을 한 줄로 세우는 경우의 수 와 같으므로4_3_2_1=24

이때3^번, 5번이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는2_1=2 따라서 구하는 경우의 수는24_2=48

십의 자리에 올 수 있는 수는0^{을 제외한}1^, 2^, 3^의3^개 일의 자리에 올 수 있는 수는 십의 자리의 수를 제외한3^개 따라서 구하는 두 자리의 정수의 개수는3_3=9^(개) 남녀 부대표를 각각1명씩 뽑는 경우의 수는3_2=6 남녀 부대표1^{명씩을 제외한}3명 중 대표를 뽑는 경우의 수는3 따라서 구하는 경우의 수는6_3=18

A^, B^, C^, D^, E 5^{개의 점 중}2개를 뽑아 나열하는 경우는 5_4=20^(개)

이때AB”=BA”이므로 구하는 선분의 개수는 =10^(개) 첫 번째 자리에 올 수 있는 숫자는0^에서9^까지의10^개 두 번째 자리에 올 수 있는 숫자는0^에서9^까지의10^개 따라서 비밀 번호를 만들 수 있는 경우의 수는10_10=100

16

5_4 2

15 14 13 12 11

확률의 뜻과 성질

1^⑴6 ^⑵3 ^⑶;2!; 1^-1⑴6 ^⑵3 ^⑶;2!;

2^⑴36 ^⑵5 ^⑶;3∞6; 2^-1⑴36 ^⑵3 ^⑶;1¡2;

16^쪽

0 2

1

Step

3^⑴10 ^⑵3 ^⑶7 ^⑷;1£0; ^⑸;1¶0; ^⑹1 ^{⑺ 차례로};1£0;^, ;1¶0;

3^-1⑴20 ^⑵8 ^⑶12 ^{⑷ 차례로}8^, ;5@;

⑸ 차례로12^, ;5#; ^⑹1 ^{⑺ 차례로};5@;^, ;5#;

18^쪽

1

Step

2

Step

⑴;7$; ^⑵;7#; 1-1② 1-2;8!;

;1∞6; 2^-1;2!;

;1¡8; 3-1;2!;

17^쪽

모든 경우의 수는10^이고, 12의 약수가 나오는 경우의 수는1^, 2^, 3^, 4^, 6^의5

따라서 구하는 확률은;1∞0;=;2!;

모든 경우의 수는2_2_2=8

모두 뒷면이 나오는 경우의 수는 (뒤, 뒤, 뒤)의1 따라서 구하는 확률은;8!;

모든 경우의 수는4_4=16

32보다 큰 경우의 수는34^, 40^, 41^, 42^, 43^이므로5 따라서 구하는 확률은;1∞6;

모든 경우의 수는4_3=12

홀수인 경우의 수는13^, 21^, 23, 31^, 41^, 43^의6 따라서 구하는 확률은;1§2;=;2!;

모든 경우의 수는6_6=36

x-2y=2를 만족하는 순서쌍(x^, y)는(4^, 1)^, (6^, 2)^의2^개 따라서 구하는 확률은;3™6;=;1¡8;

모든 경우의 수는6_6=36 2x-y<4^{인 경우는}

⁄ x=1^{일 때,} y=1, 2^, 3^, 4^, 5^, 6^의6^개

¤ x=2^{일 때,} y=1^, 2^, 3^, 4^, 5^, 6^의6^개

‹ x=3^{일 때,} y=3, 4^, 5^, 6^의4^개

› x=4^{일 때,} y=5, 6^의2^개

이므로 그 경우의 수는6+6+4+2=18 따라서 구하는 확률은;3!6*;=;2!;

3

2

1

1

⑶ 모든 경우의 수는6^이고, 4의 약수인 경우의 수는1^, 2^, 4^의3 따라서 구하는 확률은;6#;=;2!;

⑶ 모든 경우의 수는6이고, 소수인 경우의 수는2^, 3^, 5^의3 따라서 구하는 확률은;6#;=;2!;

⑴6_6=36

⑵(2^, 6)^, (3^, 5)^, (4^, 4)^, (5^, 3)^, (6^, 2)^의5

⑴6_6=36

⑵(4^, 6)^, (5^, 5)^, (6^, 4)^의3

2

2 1

1

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3

Step

01^⑴;1¡2; ^⑵;9!; 02^③ 03^⑤ 04;1¡2; 05^④ 06^② 07;5!; 08^④ 09^② 10^① 11;3@; 12^④ 13;1!2!;

14^⑤ 15;6%; 16;2!;

20~21^쪽

일어날 수 있는 모든 경우의 수는6_6=36

⑴ 두 눈의 수의 합이4^{인 경우의 수는}(1^, 3)^, (2^, 2)^, (3^, 1)^의 3이므로 구하는 확률은;3£6;=;1¡2;

⑵ 두 눈의 수의 차가4^{인 경우의 수는}(1^, 5)^, (2^, 6)^, (5^, 1)^, (6^, 2)^의4이므로 구하는 확률은;3¢6;=;9!;

모든 경우의 수는4+8=12, 검은 구슬이 나오는 경우의 수는4^이 므로 구하는 확률은;1¢2;=;3!;

카드2장을 뽑아 두 자리의 정수를 만드는 모든 경우의 수는 5_4=20

그중40^{이상인 경우는}4 ^, 5 ^{로 각각}4^{가지씩 모두}8가지 따라서 구하는 확률은;2•0;=;5@;

모든 경우의 수는6_6=36

x+2y=7을 만족하는 순서쌍(x^, y)는(1^, 3)^, (3^, 2)^, (5^, 1) 의3^개

따라서 구하는 확률은;3£6;=;1¡2;

모든 경우의 수는 3+5+x=8+x

이때 흰 공일 확률이;5!;^이므로 =;5!;^, 8+x=15 ^∴x=7 따라서 빨간 공은7^개이다.

모든 경우의 수는8^{이고, 점수의 합이}1이 되는 경우의 수는 (앞, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 앞)의3

따라서 구하는 확률은;8#;

모든 경우의 수는6_5_4_3_2_1=720

여학생3명을 한 묶음으로 생각하면4명이 줄을 서는 경우의 수는 4_3_2_1=24

여학생3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는3_2_1=6

07 06

3 8+x

05 04 03 02 01

Step

⑴;2!; ^⑵1 ^⑶0

4^-1⑴;4!; ^⑵0 ^⑶1 4^-2⑴;9!; ^⑵0 ^⑶1

⑴;3#6!; ^⑵;6%; 5^-1;2@5@;

④ 6-1;8&;

19^쪽

모든 경우의 수는6

⑴3^{보다 큰 수는} 4^, 5^, 6^의3^개이므로 구하는 확률은 ;6#;=;2!;

⑵7^{보다 작은 수는}1^, 2^, 3^, 4^, 5^, 6^의6^개이므로 구하는 확률은 ;6^;=1

⑶6보다 큰 눈은 없으므로 구하는 확률은0 모든 경우의 수는20

⑴ 당첨 제비가5개이므로 당첨될 확률은 ;2∞0;=;4!;

⑵ 당첨 제비가 하나도 없으므로 당첨될 확률은0

⑶ 당첨 제비가20개이므로 당첨될 확률은1

⑴ 두 눈의 수의 합이9^{인 경우의 수는}(3^, 6)^, (4^, 5)^, (5^, 4)^,

⑵(6^, 3)^의4이므로 구하는 확률은;3¢6;=;9!;

⑵ 두 눈의 수의 합이1인 경우는 없으므로 구하는 확률은0

⑶ 눈의 수의 합은 모두12이하이므로 구하는 확률은;3#6^;=1

⑴ 두 눈의 수의 합이6^{인 경우의 수는}(1^, 5)^, (2^, 4)^, (3^, 3)^, (4^, 2)^, (5^, 1)^의5^이므로

(두 눈의 수의 합이6^{이 아닐 확률})

⑴=1-(두 눈의 수의 합이6일 확률)=1-;3∞6;=;3#6!;

⑵(서로 다른 수의 눈이 나올 확률)

⑴=1-(서로 같은 수의 눈이 나올 확률)=1-;3§6;=;3#6);=;6%;

(합격품이 나올 확률)=1-(^{불량품이 나올 확률}) (비가 오지 않을 확률)=1-;5§0;=;5$0$;=;2@5@;

모든 경우의 수는4이고, 모두 앞면이 나오는 경우의 수는 (앞, 앞) 의1^이므로

(적어도 한 개는 뒷면이 나올 확률)

=1-(모두 앞면이 나올 확률)=1-;4!;=;4#;

5

4

4

모든 경우의 수는2_2_2=8이고, 세 문제를 모두 틀리는 경우 의 수는1^이므로

(적어도 한 문제는 맞힐 확률)=1-(^{모두 틀릴 확률}) (적어도 한 문제는 맞힐 확률)=1-;8!;=;8&;

6

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진 도 북 해 설 즉, 여학생3명이 이웃하여 사진을 찍는 경우의 수는

24_6=144이므로 구하는 확률은;7!2$0$;=;5!;

①, ②, ③, ⑤ 절대로 일어나지 않는 사건이므로 확률은0

④ 모든 경우의 수는4이고, 모두 뒷면인 경우의 수는 (뒤, 뒤)의1 이므로 확률은;4!;

각각의 확률을 구해 보면

①;3§6;=;6!; ^②1-;3§6;=;6%; ^③0 ^④;3#6^;=1

⑤ 두 눈의 수의 차가2^{이하인 경우의 수는}

(1^, 1)^, (1^, 2)^, (1^, 3)^, (2^, 1)^, (2^, 2)^, (2^, 3)^, (2^, 4)^, (3^, 1)^, (3^, 2)^, (3^, 3)^, (3^, 4)^, (3^, 5)^, (4^, 2)^, (4^, 3)^, (4^, 4)^, (4^, 5)^, (4^, 6)^, (5^, 3)^, (5^, 4)^, (5^, 5)^, (5^, 6)^, (6^, 4)^, (6^, 5)^, (6^, 6)^의24^이므로

구하는 확률은;3@6$;=;3@;

따라서 확률이 큰 순서는 ④ , ② , ⑤ , ① , ③이므로 두 번째로 큰 것은 ②이다.

(비가 오지 않을 확률)=1-(^{비가 올 확률}) (비가 오지 않을 확률)=1-0.6=0.4

1^에서12^{까지의 수 중}3^{의 배수인 수는}3^, 6^, 9^, 12^의4^개이므로 (3의 배수가 적힌 공이 나오지 않을 확률)

=1-(3의 배수가 적힌 공이 나올 확률)

=1-;1¢2;=;1•2;=;3@;

십의 자리에는0이 올 수 없으므로 모든 경우의 수는3_3=9 이 중3^{의 배수는}12^, 21^, 30^의3^개이므로

(3의 배수가 아닐 확률)=1-(3^{의 배수일 확률}) (3의 배수가 아닐 확률)=1-;9#;=;9^;=;3@;

모든 경우의 수는6_6=36

두 눈의 수의 합이10보다 큰 경우의 수는 (5^, 6)^, (6^, 5)^, (6^, 6)^의3^이므로 (^{두 눈의 수의 합이}10^{이하일 확률})

=1-(^{두 눈의 수의 합이}10^{보다 클 확률})

=1-;3£6;=;3#6#;=;1!2!;

모든 경우의 수는 =21

대표2명 모두 여학생이 뽑히는 경우의 수는 3_2=3 2 7_6

14

13 12 11 10 09 08

∴(적어도 한 명은 남학생이 뽑힐 확률)

∴=1-(모두 여학생이 뽑힐 확률)=1-;2£1;=;2!1*;=;7^;

모든 경우의 수는6_6=36이고, 은서와 예은이가 비겨서 승부가 나지 않는 경우의 수는6^이므로

(^{승부가 날 확률})=1-(승부가 나지 않을 확률) (^{승부가 날 확률})=1-;3§6;=;3#6);=;6%;

자녀의 혈액형이AB^{형일 확률은};4@;=;2!;

∴(^혈액형이AB^{형이 아닐 확률})

∴=1-(^혈액형이AB^{형일 확률})=1-;2!;=;2!;

16 15

확률의 계산

1 ^⑴;5!; ^⑵;1¶5; ^⑶;3@; 1^-1⑴;1£0; ^⑵;5!; ^⑶;2!;

2^⑴;5@; ^⑵;8#; ^⑶;2£0; 2^-1⑴;5@; ^⑵;5#; ^⑶;2§5;

22^쪽

0 3

1

Step

모든 경우의 수는10^이고,

⑴3^{의 배수는}3^, 6^, 9^의3^{개이므로 그 확률은};1£0;

⑵5^{의 배수는}5^, 10^의2^{개이므로 그 확률은};1™0;=;5!;

⑶;1£0;+;5!;=;2!;

2

Step

⑴;1£0; ^⑵;5!; ^⑶;2!; 1-1③ 1-2;1∞6;

⑴;2!; ^⑵;2!; ^⑶;4!; 2^-1② 2^-2③ 23^쪽

⑶;5!;+;1¶5;=;1!5);=;3@;

⑶;1£0;+;5!;=;1∞0;=;2!;

⑶;5@;_;8#;=;2£0;

⑶;5@;_;5#;=;2§5;

2

2 1

1

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3

Step

01^② 02;1£0; 03;9@; 04^⑤ 05;2!5^; 06;3∞6; 07;5@;

08;5!; 09^⑴;4!; ^⑵;4#; 10;1!5#; 11;1•5; 12^④ 13;9@;

14;9%; 15;6!; 16;10%0)0#0;

26~27^쪽

뽑은 카드에 적힌 수가5^{의 배수일 확률은};2¢0;^이고, 6^{의 배수일 확률은};2£0;^이므로

구하는 확률은;2¢0;+;2£0;=;2¶0;

30일 중 수요일과 금요일이 각각5^번, 4번 있으므로 선택한 날이

02 01

3^⑴;2¢5; ^⑵;1¡0; 3^-1⑴;10(0; ^⑵;1¡5;

4;2!; 4^-1;2!;

24^쪽

1

Step

첫 번째 제비가 당첨이 될 확률은;1£0;

두 번째 제비가 당첨이 되지 않을 확률은;1¶0;

따라서 구하는 확률은;1£0;_;1¶0;=;1™0¡0;

첫 번째 제품이 불량품일 확률은;10%0;

두 번째 제품이 불량품일 확률은;9¢9;

따라서 구하는 확률은;10%0;_;9¢9;=;49!5;

한 개의 공을 꺼낼 때 빨간 공이 나올 확률은;1£0;이므로 모두 빨간 공이 나올 확률은;1£0;_;1£0;=;10(0;

한 개의 공을 꺼낼 때 파란 공이 나올 확률은;1™0;^이므로 모두 파란 공이 나올 확률은;1™0;_;1™0;=;10$0;

따라서 구하는 확률은;10(0;+;10$0;=;1¡0£0;

두 수의 곱이 홀수인 경우는 두 수 모두 홀수일 때이다.

홀수일 확률은;3@;^이므로 구하는 확률은;3@;_;3@;=;9$;

첫 번째 화살이 색칠한 부분을 맞힐 확률은;9%;

두 번째 화살이 색칠하지 않은 부분을 맞힐 확률은;9$;

따라서 구하는 확률은;9%;_;9$;=;8@1);

가장 작은 원의 반지름의 길이를r라 하면

세 원의 반지름의 길이의 비가1 : 2 : 3=r : 2r : 3r이므로 원판 전체의 넓이는p_(3r)¤ =9pr¤

9^{점인 부분의 넓이는}4pr¤ -pr¤ =3pr¤

따라서 구하는 확률은3pr¤ =;3!;

9pr¤

4

4

3

3

2

Step

;1™0¡0; 3^-1;49!5; 3^-2;1¡0£0;

;9$; 4^-1;8@1); 4^-2;3!;

25^쪽 모든 경우의 수는12^이고,

소수는2^, 3^, 5^, 7^, 11^의5^{개이므로 그 확률은};1∞2;

4^{의 배수는}4^, 8^, 12^의3^{개이므로 그 확률은};1£2;

따라서 구하는 확률은;1∞2;+;1£2;=;1•2;=;3@;

(^{구하는 확률})=(^{도가 나올 확률})+(^{모가 나올 확률}) (^{구하는 확률})=;4!;+;1¡6;=;1¢6;+;1¡6;=;1∞6;

⑶;2!;_;2!;=;4!;

첫 번째에5이상의 눈이 나올 확률은;6@;=;3!;

두 번째에5이상의 눈이 나올 확률은;6@;=;3!;

따라서 구하는 확률은;3!;_;3!;=;9!;

;1£0;_;1¢0;=;1¡0™0;이므로 이틀 연속 비가 올 확률은12 %^이다.

2

2

1

1

⑴;5@;_;5@;=;2¢5; ^⑵;5@;_;4!;=;1¡0;

⑴;1£0;_;1£0;=;10(0; ^⑵;1£0;_;9@;=;1¡5;

짝수인 경우의 수는2^, 4^의2이므로 짝수를 맞힐 확률은;4@;=;2!;

홀수인 경우의 수는1^, 3^, 5^, 7^의4이므로 홀수를 맞힐 확률은

;8$;=;2!;

4

4 3

3

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진 도 북 해 설 수요일일 확률은;3∞0;^{, 금요일일 확률은};3¢0;

따라서 구하는 확률은;3∞0;+;3¢0;=;3ª0;=;1£0;

모든 경우의 수는6_6=36

두 눈의 수의 합이4^{인 경우의 수는}(1^, 3)^, (2^, 2)^, (3^, 1)^의3^이 므로 그 확률은;3£6;

두 눈의 수의 합이6^{인 경우의 수는}(1^, 5)^, (2^, 4)^, (3^, 3)^, (4^, 2)^, (5^, 1)^의5^{이므로 그 확률은};3∞6;

따라서 구하는 확률은;3£6;+;3∞6;=;3•6;=;9@;

전체 학생 수가13+12+8+2=35^{(명)이므로}

혈액형이A^{형일 확률은};3!5#;^{, 혈액형이}B^{형일 확률은};3!5@;

따라서 구하는 확률은;3!5#;+;3!5@;=;3@5%;=;7%;

모든 경우의 수는5_5=25

20이하의 정수인 경우의 수는 10^, 12^, 13^, 14^, 15^, 20^의6^이므 로 그 확률은;2§5;

40이상의 정수인 경우의 수는40^, 41^, 42^, 43^, 45^, 50^, 51^, 52^, 53^, 54^의10^{이므로 그 확률은};2!5);

따라서 구하는 확률은;2§5;+;2!5);=;2!5^;

모든 경우의 수는6_6=36

x=2^{일 때,} 2a-b=0^{을 만족하는 순서쌍}(a^, b)^는(1^, 2)^, (2^, 4)^, (3^, 6)^의3^{개이므로 그 확률은};3£6;

x=3일 때, 3a-b=0을 만족하는 순서쌍(a^, b)는(1^, 3)^, (2^, 6)^의2^{개이므로 그 확률은};3™6;

따라서 구하는 확률은;3£6;+;3™6;=;3∞6;

A주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은;3@;

B주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은;5#;

따라서 구하는 확률은;3@;_;5#;=;5@;

두 스위치가 모두 닫혀야 전구에 불이 들어오므로 구하는 확률은

;3!;_;5#;=;5!;

⑴(A^, B모두 문제를 풀지 못할 확률)

⑴={1-;3@;}_{1-;4!;}=;3!;_;4#;=;4!;

09 08 07 06 05 04 03

⑵(적어도 한 사람은 문제를 풀 확률)

⑴=1-(A^, B모두 문제를 풀지 못할 확률)

⑴=1-;4!;=;4#;

두 사람 모두 불합격할 확률은 {1-;5#;}_{1-;3@;}=;5@;_;3!;=;1™5;

따라서 구하는 확률은1-;1™5;=;1!5#;

⁄ A^, B에서 나온 공이 모두 흰 공일 확률은

⁄;3@;_;5#;=;1§5;

¤ A^, B에서 나온 공이 모두 검은 공일 확률은

⁄;3!;_;5@;=;1™5;

따라서 구하는 확률은;1§5;+;1™5;=;1•5;

경수가 당첨 제비를 뽑을 확률은;8@;=;4!;

꺼낸 제비를 확인한 후 다시 넣으므로 민정이가 당첨 제비를 뽑을 확률은;8@;=;4!;

따라서 구하는 확률은;4!;_;4!;=;1¡6;

혜진이가 포도 맛 사탕을 꺼낼 확률은;1∞0;

우진이가 포도 맛 사탕을 꺼낼 확률은;9$;

따라서 구하는 확률은;1∞0;_;9$;=;9@;

두 자리의 정수가 홀수이려면 일의 자리의 수가 홀수이어야 한다.

⁄ 처음에 홀수가 적힌 카드를 뽑고, 나중에도 홀수가 적힌 카드를

⁄ ^{뽑을 확률은};9%;_;8$;=;1∞8;

¤ 처음에 짝수가 적힌 카드를 뽑고, 나중에는 홀수가 적힌 카드를

⁄ ^{뽑을 확률은};9$;_;8%;=;1∞8;

따라서 구하는 확률은;1∞8;+;1∞8;=;1!8);=;9%;

1^에서10까지의 수 중 소수는2^, 3^, 5^, 7^이다.

원판 ㈎의 바늘이 소수가 적힌 칸을 가리킬 확률은;4@;=;2!;

원판 ㈏의 바늘이 소수가 적힌 칸을 가리킬 확률은;6@;=;3!;

따라서 구하는 확률은;2!;_;3!;=;6!;

;100#00;+;10%0)0)0;=;10%0)0#0;

16 15 14 13 12 11 10

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십의 자리에 올 수 있는 수는 모두5^개이고,

두 자리의 정수가30이상이려면 십의 자리의 수는3^, 4^, 5^이어야

하므로 그 확률은;5#; yy`①

일의 자리에 올 수 있는 수는 모두5^개이고,

두 자리의 정수가 홀수이려면 일의 자리의 수는7^, 9^{이어야 하므로}

그 확률은;5@; yy②

따라서 구하는 확률은;5#;_;5@;=;2§5; yy③

두 눈의 수의 합이5^{인 경우의 수는} (1^, 4)^, (2^, 3)^, (3^, 2)^, (4^, 1)

의4^{이므로 그 확률은};3¢6; yy`①

두 눈의 수의 합이10^{인 경우의 수는}(4^, 6)^, (5^, 5)^, (6^, 4)^의3

이므로 그 확률은;3£6; yy`②

따라서 구하는 확률은;3¢6;+;3£6;=;3¶6; yy`③

4 3

채점 기준

① 십의 자리의 수가3^, 4^, 5^{일 확률 구하기}

② 일의 자리의 수가7^, 9^{일 확률 구하기}

③30이상의 홀수일 확률 구하기

2점 2점 2점 배점

채점 기준

① 두 눈의 수의 합이5^{일 확률 구하기}

② 두 눈의 수의 합이10^{일 확률 구하기}

③ 바둑돌이 꼭짓점A^{에 올 확률 구하기}

2점 2점 2점 배점

5

Step 30~31^쪽

01^⑤ 0220^가지 039 04^④ 056 06;9@; 07^④ 08^⑤ 09;6%; 10;3@; 11;5@0!; 12;1¶9; 13;1¡2; 1410^명 15;4#9#; 16;4#;

문항정보 | 01 경우의 수 - 사건과 경우의 수

⑤ 소수의 눈이 나오는 경우의 수는2^, 3^, 5^의3^이다.

문항정보 | 01 경우의 수 - 두 사건A, B가 동시에 일어나는 경우의 수

올라가는 길은5가지이고, 내려오는 길은5-1=4(^가지)^이므로 구하는 코스는5_4=20(^가지)

02 01

채점 기준

①A^``⁄^`B로 가는 경우의 수 구하기

②B^``⁄^`C로 가는 경우의 수 구하기

③ 가장 짧은 거리로 가는 모든 경우의 수 구하기

2점 2점 2점 배점

채점 기준1| 일의 자리의 수가2^, 4인 경우로 나누기 (1점)

두 자리의 정수를 만들 때, 짝수가 되는 경우는 일의 자리의 수가2 인 경우, 4^{인 경우이다.}

채점 기준2| 각 경우의 짝수의 개수 구하기 (3점)

⁄^{일의 자리의 수가}2^{인 짝수는}32^, 42^, 52^의3^개

¤^{일의 자리의 수가}4^{인 짝수는}24^, 34^, 54^의3^개

채점 기준3| 짝수가 되는 경우의 수 구하기 (1점)

짝수가 되는 경우의 수는3+3=6

채점 기준1| 모든 경우의 수 구하기 (1점)

두 개의 주사위를 동시에 던질 때 일어나는 모든 경우의 수는 6_6=36

채점 기준2^| 3a+b=9를 만족하는a, b의 값 구하기 (3점)

ax+b=9의 해가3^{일 때}3a+b=9이므로

이를 만족하는a, b의 값은a=1, b=6또는a=2, b=3의2^가 지이다.

채점 기준3| 확률 구하기 (1점)

구하는 확률은;3™6;=;1¡8;

모든 경우의 수는6_6=36 yy`①

;bA;가 자연수가 되는 경우를 순서쌍(a, b)로 나타내면 (1^, 1)^, (2^, 1)^, (2^, 2)^, (3^, 1)^, (3^, 3)^, (4^, 1)^, (4^, 2)^, (4^, 4)^, (5^, 1)^, (5^, 5)^, (6^, 1)^, (6^, 2)^, (6^, 3)^, (6^, 6)

의14^개이다. yy`②

따라서 구하는 경우의 수는36-14=22 yy`③

왼쪽에서 오른쪽으로 가는 것을a, 아래에서 위로 가는 것을b라 하면 A<sup>`</sup>⁄`B로 가는 경우의 수는

(a, a, b, b), (a, b, a, b), (a, b, b, a), (b, b, a, a), (b^, a^, b^, a)^, (b^, a^, a^, b)^의6 yy`① B`⁄`C로 가는 경우의 수는(a, b), (b, a)의2 yy`② 따라서 구하는 경우의 수는6_2=12 yy`③

2 1 2

1

채점 기준

① 모든 경우의 수 구하기

②;bA;가 자연수가 되는 경우의 수 구하기

③;bA;가 자연수가 아닌 경우의 수 구하기

1점 2점

2점 배점

28~29^쪽

4

Step

1-16 2-1;1¡8;

122 212 3;2§5; 4;3¶6;

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진 도 북 해 설 문항정보 | 01 경우의 수 - 사건A또는 사건B가 일어나는 경우의 수

두 눈의 수의 합이4가 되는 경우의 수는(1^, 3)^, (2^, 2)^, (3^, 1)^의3 두 눈의 수의 합이8이 되는 경우의 수는(2^, 6)^, (3^, 5)^, (4^, 4)^, (5^, 3)^, (6^, 2)^의5

두 눈의 수의 합이12가 되는 경우의 수는(6^, 6)^의1 따라서 구하는 경우의 수는3+5+1=9

문항정보 | 01 경우의 수 - 여러 가지 경우의 수

회장1명을 뽑는 경우의 수는5^{이고, 회장}1^{명을 제외한}4^{명 중 부} 회장2명을 뽑는 경우의 수는 =6

따라서 구하는 경우의 수는5_6=30

문항정보 | 01 경우의 수 - 사건과 경우의 수

연립방정식 이 무수히 많은 해를 가지려면a=b^이 면 되므로 (a, b)는(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6^, 6)이므로 구하는 경우의 수는6^이다.

문항정보 | 02 확률의 뜻과 성질 - 어떤 사건이 일어나지 않을 확률

모든 경우의 수는3_3=9

두 사람이 비기는 경우의 수는3^이므로

(단 한 번에 승부가 날 확률)=1-(두 사람이 비길 확률)

=1-;9#;=;9^;=;3@;

문항정보 | 02 확률의 뜻과 성질 - 어떤 사건이 일어나지 않을 확률

(적어도 한 개는 앞면이 나올 확률)

=1-(모두 뒷면이 나올 확률)=1-;2!;_;2!;=;4#;

문항정보 | 02 확률의 뜻과 성질 - 확률의 뜻

4장의 카드 중 두 장을 뽑는 경우의 수는6이고, 이 중 최대공약수 가2^{인 경우의 수는} (2^, 4)^, (2^, 6)^, (2^, 8)^, (4^, 6)^, (6^, 8)^의

5이므로 구하는 확률은;6%;

문항정보 | 03 확률의 계산 - 확률의 덧셈

‘적극 찬성’으로 대답할 확률은;1∞2;^{, ‘찬성’으로 대답할 확률은}

;1£2;이므로 구하는 확률은;1∞2;+;1£2;=;1•2;=;3@;

문항정보 | 03 확률의 계산 - 확률의 곱셈

첫 번째만 안타를 칠 확률은;1£0;_;1¶0;=;1™0¡0;, 두 번째만 안타를 칠 확률은;1¶0;_;1£0;=;1™0¡0;이므로 구하는 확률은

;1™0¡0;+;1™0¡0;=;5@0!;

문항정보 | 03 확률의 계산 - 확률의 곱셈

(적어도 한 명은 보너스 상품권을 받을 확률)

=1-(두 명 모두 보너스 상품권을 받지 못할 확률)

=1-;2!0^;_;1!9%;=;1¶9;

12 11 10 09 08 07

gax+by=0 x+y=0

05

4_32

04

03

(은서가 풀지 못할 확률)=1-;3@;=;3!;

(명수가 풀지 못할 확률)=1-;4#;=;4!;

∴(두 사람 모두 풀지 못할 확률)=;3!;_;4!;=;1¡2;

문항정보 | 03 확률의 계산 - 여러 가지 확률

여자 회원의 수를n명이라 할 때, 여자가 회장이 될 확률은;1˜6;^이고, 여자가 부회장이 될 확률은 이므로

1˜6;_ =;8#;, n_(n-1)=90 연속한 두 자연수의 곱이90^{이 되려면}n=10 따라서 여자 회원의 수는 모두10명이다.

문항정보 | 03 확률의 계산 - 여러 가지 확률

큰 원의 넓이는p_7¤ =49p(cm¤ )^이고

작은 원의 넓이는p_4¤ =16p(cm¤ )^이다. yy`① B<sup>부분의 넓이는</sup>49p-16p=33p(cm¤ ) yy`②

따라서 구하는 확률은 =;4#9#; yy`③

문항정보 | 02 확률의 뜻과 성질 - 확률의 뜻

막대3개를 선택하는 모든 경우의 수는(4^, 6^, 8)^, (4^, 6^, 10)^, (4^, 8^, 10)^, (6^, 8^, 10)^의4^이다. yy`① 삼각형이 만들어지는 경우의 수는 두 막대의 길이의 합이 나머지 한 막대의 길이보다 큰(4^, 6^, 8)^, (4^, 8^, 10)^, (6^, 8^, 10)^의3^이다.

yy`②

따라서 구하는 확률은;4#; yy`③

16

33p49p

15

n-115

n-1 15

14 13

채점 기준

① 막대를 선택하는 모든 경우의 수 구하기

② 삼각형이 만들어지는 경우의 수 구하기

③ 삼각형이 만들어질 확률 구하기

2점 3점 2점 배점 채점 기준

① 두 원의 넓이 구하기

②B^{부분의 넓이 구하기}

③ 확률 구하기

2점 2점 2점 배점

32^쪽

각 문제를 맞힐 확률은;5!;^이므로25문제를 모두 맞힐 확률은{;5!;}¤ fi 3과목에서 모두 맞힐 확률은 {;5!;}¤ fi_{;5!;}¤ fi_{;5!;}¤ fi={;5!;}‡ fi http://zuaki.tistory.com

1. ^{삼각형의 성질}

이등변삼각형의 성질

1^⑴70˘ ^⑵65˘ 1^-1⑴70˘ ^⑵90˘

2^⑴4 cm ^⑵90˘ 2^-1⑴90˘ ^⑵6

36^쪽

0 1

1

Step

⑴∠B=∠ACB=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

∴∠x=180˘-50˘=130˘

⑵∠BCA=∠CAD+∠CDA=2∠x=64˘

∴∠x=32˘

△ABC^에서∠ABC=∠C=70˘

△BCD^에서∠BDC=∠C=70˘

∴∠DBC=180˘-2_70˘=40˘

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC

=70˘-40˘=30˘

1

Step

⑴130˘ ^⑵32˘ 1^-130˘ 1^-2145˘

x=6^, y=90 2-158˘ 2-28 cm

37^쪽

⑴∠C=∠B=55˘

∴∠x=180˘-2×55˘=70˘

⑵∠B=∠A^이므로∠x+∠x+50˘=180˘

2∠x=130˘ ∴∠x=65˘

⑴∠B=∠C^이므로∠x+∠x+40˘=180˘

2∠x=140˘ ^∴∠x=70˘

⑵∠A=∠C=45˘

∴∠x=180˘-2_45˘=90˘

∠BAD=∠CAD^이므로AD”^는BC”^{를 수직이등분한다.}

⑴DC”=DB”=;2!;_8=4(cm)

⑵∠ADB=90˘

⑵BC”=BD”+DC”=3+3=6(cm)

∴y=6

2

2 1

1

도형의 성질

Ⅵ

∠B=∠ACB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

∠ACD=180˘-70˘=110˘

△ACD^에서

∠ADC=∠DAC=;2!;_(180˘-110˘)=35˘

∴∠x=180˘-35˘=145˘

이등변삼각형의 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하므로 BD”=CD”=6 cm^에서x=6

∠ADB=∠ADC=90˘^에서y=90 AB”=AC”^이므로∠C=∠B

AD”^{는 꼭짓점}A^{와 밑변}BC^{의 중점}D^를 잇는 선분이므로

∠ADC=90˘

따라서△ADC^에서

∠x=180˘-(32˘+90˘)=58˘

AD”⊥BC”^이고BD”=CD”^이므로 BD”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm)

△ABD=;2!;_BD”_AD”^이므로 20=;2!;_5_AD” ^∴AD”=8(cm)

2

A 32˘

x x

B D C

2

1

3^{차례로 이등변,} AC”^, 5 3^-1차례로65^{, 이등변,} BC”^, 8 38^쪽

1

Step

⑴△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이므로 AB”=AC”=13 cm ^∴x=13

⑵△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이고, 점D^는BC”^{의 중} 점이므로

BD”=;2!; BC”=;2!;_10=5(cm) ^∴x=5 2

Step

⑴13 ^⑵5 3^-1⑴8 ^⑵8 3^-26 cm

⑴66˘ ^{⑵ 이등변삼각형 ⑶}6 cm 4^-17 cm 4^-230˘

39^쪽

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진 도 북 해 설

⑴△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이므로x=8

⑵△ABC^는AB”=AC”인 이등변삼각형이므로x=2_4=8

∠ABC=∠C=;2!;_(180˘-36˘)=72˘

∠ABD=;2!;∠ABC

∠ABD=;2!;_72˘=36˘

∠BDC=∠A+∠ABD

=36˘+36˘=72˘

따라서△ABD^와△BCD는 이등변삼각형이므로 AD”=BD”=BC”=6 cm

⑴∠ABC=∠x^{`(접은 각),</sup> ∠ACB=∠x<sup>`(엇각)}

△ABC^에서48˘+2∠x=180˘

∴∠x=;2!;_(180˘-48˘)=66˘

⑵△ABC는 두 내각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이다.

⑶AB”=AC”^이므로AB”=6 cm^이다.

∠BAD=∠ABC=58˘^(엇각)

∠BAC=∠CAE^{(접은 각)이므로}

∠BAC=∠CAE

∠BAC=;2!;_(180˘-58˘)

∠BAC=61˘

△ABC^에서

∠ACB=180˘-(58˘+61˘)=61˘

따라서△ABC^는BA”=BC”인 이등변삼각형이므로 BC”=7 cm^이다.

∠FEG=∠DEG=75˘^(접은각)

∠EGF=∠DEG=75˘^(엇각)

△EFG^에서

∠x=180˘-(75˘+75˘)=30˘

A 75˘

B x G

D C E

F 75˘

75˘

4

A

58˘ C B

D E

58˘61˘61˘

4

6 cm A 36˘

36˘ 72˘

72˘

36˘ C B

D

3

3

3

Step

01^⑴55˘ ^⑵40˘ 02^④ 03^⑴18˘ ^⑵75˘ 0496˘

05^④ 06^① 0765˘ 0850˘ 09^④ 108 cm 11^⑤ 1265˘ 1367˘

40~41^쪽

⑴∠x=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

⑵∠B=∠ACB=180˘-110˘=70˘

∴∠x=180˘-2_70˘=40˘

01

△BCD^에서∠DCB=∠DBC=35˘^이므로

∠ADC=35˘+35˘=70˘

△ACD^에서

∠x=∠DCA=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

⑴△ABC^에서∠ABC=∠C=66˘

△BCD^에서∠BDC=∠C=66˘^이므로

∠DBC=180˘-2_66˘=48˘

∴∠x=66˘-48˘=18˘

⑵∠B=∠ACB=;2!;_(180˘-40˘)=70˘^이므로

∠ACD=;2!;∠ACB=;2!;_70˘=35˘

△ADC^에서

∠x=40˘+35˘=75˘

∠ACB=∠B=64˘

∠ACD=;2!;_∠ACB=;2!;_64˘=32˘

△BCD^에서∠x=64˘+32˘=96˘

△ABC는 이등변삼각형이므로 AD”⊥BC”^에서∠ADB=90˘

△ABD^에서∠B=180˘-(25˘+90˘)=65˘

∠BAC=2∠BAD=2_25˘=50˘

∴∠B=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

△ABC^에서

∠ABC=∠ACB=;2!;_(180˘-110˘)=35˘

△ACD^에서

∠CDA=∠CAD=180˘-110˘=70˘

△DBC^에서

∠x=∠CDB+∠DBC=70˘+35˘=105˘

∠ABC=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

AE”∥BC”^이므로∠DAE=∠ABC=65˘^(동위각)

∠ACB=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

∠ECD=;2!;_(180˘-30˘)=75˘

∴∠ACE=180˘-(55˘+75˘)=50˘

①, ③, ⑤ 두 밑각의 크기가 같으므로 이등변삼각형이다.

② 두 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형이다.

09 08 07 06 05 04 03 02

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△ABC^에서∠ABC=∠C=72˘

∴∠A=180˘-2_72˘=36˘

AD”=BD”^이므로∠ABD=∠A=36˘

△ABD^에서∠BDC=36˘+36˘=72˘

∠C=∠BDC=72˘^이므로△BCD^{는 이} 등변삼각형이다.

∴BC”=BD”=8 cm

AD”^가∠A^{의 이등분선이므로}BD”=CD”^, PD”⊥BC”

BD”=CD”^, ∠PDB=∠PDC=90˘^, PD”^{는 공통이므로}

△PBD™△PCD(SAS^합동)

∴BP”=CP”

∠x=∠CBD^{(접은 각)}

∠ACB=∠CBD^(엇각)

△ABC^에서∠x=∠ACB^이므로

∠x=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

∠A=∠a^{라 하면}∠EBD=∠a^, ∠C=∠a+21˘^이므로

△ABC^에서∠a+∠a+21˘+∠a+21˘=180˘

∴∠a=46˘

∴∠C=46˘+21˘=67˘

13

50˘x x

x B A C

D

12 11

72˘72˘

36˘

36˘

D 8 cm A

C B

10

직각삼각형의 합동

1^차례로∠F^, DE”^, ∠DEF^, RHA 1^-1차례로90^, ED”^, ∠DEF^, RHA

42^쪽

0 2

1

Step

⑴∠E=180˘-(40˘+90˘)=50˘

⑵△ABC^와△DEF^에서∠C=∠F=90˘^, AB”=DE”=9 cm^, ∠B=∠E=50˘^이므로

△ABC™△DEF(RHA^합동)

∴BC”=EF”=6 cm 2

Step

⑴50˘ ^⑵6 cm

1-1⑴30˘ ^⑵10 cm 1-2③ 4 cm 2^-115 cm¤

43^쪽

⑴∠A=180˘-(60˘+90˘)=30˘

⑵△ABC^와△EDF^에서∠C=∠F=90˘^, AB”=ED”=20 cm^, ∠A=∠E=30˘^이므로

△ABC™△EDF(RHA^합동)

∴DF”=BC”=10 cm

△POQ^와△POR^에서

∠PQO=∠PRO=90˘^, OP”^{는 공통,} ∠POQ=∠POR 이므로△POQ™△POR(RHA^합동)

∴PQ”=PR”

△BED^와△BEC^에서

∠EDB=∠ECB=90˘^, BE”^{는 공통,} ∠DBE=∠CBE 이므로△BED™△BEC(^`RHA^합동)

따라서BD”=BC”=8^`cm^이므로 DA”=AB”-BD”=12-8=4(cm)

∠AED=∠ACD=90˘^, AD”^{는 공통,}

∠DAE=∠DAC^이므로

△ADE™△ADC(RHA^합동)

∴DE”=DC”=3 cm

∴△ABD=;2!;_10_3=15(cm¤ )

A

B D C

10 cm

3 cm 3 cm

E

2

1

1

⑴△ABC^와△EFD^에서

∠ABC=∠EFD=90˘^, AC”=ED”=13 cm^, AB”=EF”=12 cm

∴△ABC™△EFD(RHS^합동)

⑵DF”=CB”=5 cm

①, ③RHA합동이 되기 위해 필요한 조건이다.

3

Step

⑴△ABC™△EFD(RHS^합동) ^⑵5 cm 3-1①, ③ 3-2③

10 4^-18 cm

45^쪽 2^차례로∠E^, DF”^, DE””^, RHS

2^-1차례로∠F^, DE”^, 8^, DF”^, 4^, RHS

44^쪽

1

Step

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진 도 북 해 설

△POQ^와△POR^에서

∠PQO=∠PRO=90˘^, OP”^{는 공통,} PQ”=PR”

이므로△POQ™△POR(RHS^합동)

따라서OQ”=OR”^, ∠OPQ=∠OPR^, ∠POQ=∠POR^이다.

△ACE™△ADE(RHS^합동)^이므로CE”=DE”

△DBE^에서∠DBE=∠DEB=45˘^이므로

△DBE^는DE”=DB”=5 cm인 이등변삼각형이다.

∴x+y=5+5=10

△ADE™△ACE(RHS^합동)^이므로DE”=CE”=8 cm

△DBE^에서∠DBE=∠DEB=45˘^이므로△DBE^는 DB”=DE”인 이등변삼각형이다.

∴DB”=DE”=8 cm

4

3

3

Step

01^③ 025 cm 03^② 04^③ 0526 cm¤ 06^④ 07^③ 088 cm¤ 0940˘ 10 65˘ 1115˘ 1218 cm 13^민규

46~47^쪽

△ACM^과△BDM^에서

∠ACM=∠BDM=90˘^, AM”=BM”

∠AMC=∠BMD^{(맞꼭지각)}

이므로△ACM™△BDM(RHA^합동)

∴CD”=CM”+MD”=5+5=10(cm)

△ABD^와△AED^에서

∠B=∠AED=90˘^, AD”^{는 공통,} ∠BAD=∠EAD 이므로△ABD™△AED(RHA^합동)

∴AE”=AB”=7 cm

∴CE”=AC”-AE”=12-7=5(cm)

△DBE^와△DBC^에서

∠DEB=∠DCB=90˘^, BD”^{는 공통,}

∠DBE=∠DBC

이므로△DBE™△DBC(RHA^합동)

∴DC”=DE”=6 cm

△ADE^에서∠EAD=∠EDA=45˘^이므로 △ADE^{는 직} 각이등변삼각형이고AE”=DE”=6 cm

∴△ADE=;2!;_6_6=18(cm¤ )

03 02 01

△ADB^와△CEA^에서

∠ADB=∠CEA=90˘^, AB”=CA”

∠DBA=90˘-∠DAB

=∠EAC

이므로△ADB™△CEA(RHA^합동)

∴DE”=DA”+AE””=8+12=20(cm)

△ABD^와△CAE^에서

∠ADB=∠CEA=90˘^, AB”=CA”

∠ABD=90˘-∠DAB

=∠CAE

이므로△ABD™△CAE(RHA^합동) DA”=EC”=4 cm^, BD”=AE”=6 cm DE”=DA”+AE”=4+6=10(cm)

△ABD=△CAE=;2!;_6_4=12(cm¤ )

∴△ABC=(^사다리꼴DBCE^{의 넓이})-2△ABD

∴△ABC=;2!;_(6+4)_10-2_12=26(cm¤ )

①RHA^{합동 ②}ASA^합동

③RHS^{합동 ⑤}SAS^합동

△ABD^와△AED^에서

∠ABD=∠AED=90˘^, AD”^{는 공통,} AB”=AE”

이므로△ABD™△AED(RHS^합동)

∴∠C=90˘-∠BAC=90˘-2_28˘=34˘

△ADE^와△ACE^에서

∠ADE=∠ACE=90˘^, AE”^{는 공통,} AD”=AC”

이므로△ADE™△ACE(RHS^합동)

∴ED”=EC”=4 cm

△DBE^에서

∠DEB=90˘-∠DBE=90˘-45˘=45˘

이므로△DBE^는DB”=DE”인 직각이등변삼각형이다.

∴△DBE=;2!;_4_4=8(cm¤ )

△DBM^과△ECM^에서

∠BDM=∠CEM=90˘^, BM”=CM”^, DM”=EM”

이므로△DBM™△ECM(RHS^합동)

∠B=∠C=;2!;_(180˘-80˘)=50˘

△EMC^에서

∠EMC=180˘-(90˘+50˘)=40˘

09 08 07 06

6 cm 4 cm A

C B

D E

05

D A

B

C E

12 cm 8 cm

04

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⑴ 점O^가△ABC^{의 외심이므로} OA”=OB”=OC”=8 cm

∴OA”+OB”=16(cm)

⑵△OBC^는OB”=OC”인 이등변삼각형이므로

∠OCB=∠OBC=40˘

∴∠BOC=180˘-(40˘+40˘)=100˘

⑴△OAB는 이등변삼각형이므로 BD”=AD”=4 cm

⑵BE”=CE”=6 cm^, CF”=AF”=5 cm

∴(△ABC^{의 둘레의 길이})

=AB”+BC”+CA”

=2_(4+6+5)

=30(cm)

점O^가△ABC^{의 외심이므로}OA”=OB”=OC”

△AOC^에서OA”+OC”+7=19^, OA”+OC”=12(cm)

∴OA”=OC”=6(cm)

따라서△ABC의 외접원의 반지름의 길이는6 cm^이다.

△ABC가 직각삼각형이므로 점M^은△ABC^{의 외심이다.}

MA”=MC”=MB”=6 cm

∴AC”=MA”+MC”=6+6=12(cm) 점M^은△ABC^{의 외심이므로}MA”=MB”=MC”

△MAB^는MA”=MB”인 이등변삼각형이므로

∠MBA=∠MAB=50˘

∴∠BMC=∠MAB+∠MBA

=50˘+50˘=100˘

OA”=OB”=OC”=;2!;_5=;2%;(cm)

∴(△OAC^{의 둘레의 길이})=AO”+OC”+CA”

=;2%;+;2%;+3=8(cm)

2

2

1

A

D O

B E C

F 4 cm 5 cm

6 cm

1

삼각형의 외심

1^차례로BD”^, SAS^, OB”^, OC”

1^-1차례로∠OFC^, OC”^, OF”^, △OCF^, CF”

48^쪽

0 3

1

Step

2

Step

⑴16 cm ^⑵100˘

1-1⑴4 cm ^⑵30 cm 1-26 cm

③ 2-1100˘ 2-28 cm

49^쪽

△BCE^와△BDE^에서

∠BCE=∠BDE=90˘^, BE”^{는 공통,} CE”=DE”

이므로△BCE™△BDE(RHS^합동)

∠CBE=∠DBE=;2!;∠ABC=;2!;_50˘=25˘

△EBC^에서∠BEC=180˘-(25˘+90˘)=65˘

△ADE^와△ACE^에서

∠ADE=∠ACE=90˘^, AE”^{는 공통,} DE”=CE”

이므로△ADE™△ACE(RHS^합동)

∴∠DAE=∠CAE

∠BAC=90˘-60˘=30˘^이므로

∠CAE=;2!;∠BAC=15˘

△ADE^와△ACE^에서

∠ADE=∠ACE=90˘^, AE”^{는 공통,} AD”=AC” 이므로△ADE™△ACE(RHS^합동)

ED”=EC”^, AD”=AC”=9 cm DB”=AB”-AD”=15-9=6(cm)

∴(△DBE^{의 둘레의 길이})

=DB”+BE”+ED”=DB”+(BE”+EC”)

=6+12=18(cm)

△POQ^와△POR^에서

∠PQO=∠PRO=90˘^, OP”^{는 공통,} ∠POQ=∠POR^이 므로△POQ™△POR(RHA^합동)

∴PQ”=PR”

따라서 필요한 조건이 아닌 것을 말한 학생은 민규이다.

13 12 11 10

2^{⑴ 차례로}OC”^, ∠OCB^, 30^, 90^, 40

⑵ 차례로∠OBC^, 120^, 120^, 60 2-1⑴ 차례로OB”^, 90^, 30

⑵ 차례로2^, 2^, 110

50^쪽

1

Step

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진 도 북 해 설

⑴30˘+25˘+∠x=90˘

∴∠x=90˘-(30˘+25˘)=35˘

⑵40˘+∠x+26˘=90˘

∴∠x=90˘-(40˘+26˘)=24˘

⑴∠x+34˘+36˘=90˘

∴∠x=90˘-(34˘+36˘)=20˘

⑵47˘+19˘+∠x=90˘

∴∠x=90˘-(47˘+19˘)=24˘

점O^가△ABC^{의 외심이므로}△OBC는 이등변삼각형이다.

∠OBC=∠OCB

∠OBC=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

∠x+40˘+20˘=90˘

∴∠x=30˘

⑴∠x=2∠A=2_64˘=128˘

⑵∠AOB=2∠x ∴∠x=;2!;∠AOB ∴∠x=;2!;_122˘=61˘

⑴∠x=2∠C=2_70˘=140˘

⑵∠AOC=2∠x

⑵∴∠x=;2!;∠AOC

⑵ ∴∠x=;2!;_114˘=57˘

점O^가△ABC^{의 외심이므로}△OAB는 이등변삼각형이다.

∠OBA=∠OAB=23˘

∴∠AOC=2∠ABC

=2_(23˘+32˘)=110˘

4

4

3

3

Step

⑴35˘ ^⑵24˘

3^-1⑴20˘ ^⑵24˘ 3^-230˘

⑴128˘ ^⑵61˘

4^-1⑴140˘ ^⑵57˘ 4^-2110˘

51^쪽

3

Step

01^④ 02^{②, ③} 03^③ 047 cm 05^④ 065p cm 0736˘ 08^③ 0965˘ 10^③ 1125˘ 1252˘ 1360˘

14^윤수

52~53^쪽

④△AOD^와△BOD^에서

∠ODA=∠ODB=90˘^, OD”^{는 공통,} AD”=BD”

이므로△AOD™△BOD(SAS^합동)

①, ④ 직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.

⑤ 둔각삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 있다.

③ 외심에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 같다.

OA”=OB”=OC”=(외접원의 반지름의 길이)이므로 OA”+OC”+10=24^, 2 OA”=14

∴OA”=7(cm)

따라서 외접원의 반지름의 길이는7 cm^이다.

△OAB^에서

∠OAB=∠OBA=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

△OBC^에서

∠OBC=∠OCB=;2!;_(180˘-54˘)=63˘

∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=70˘+63˘=133˘

직각삼각형에서 외심은 빗변의 중점이므로 (외접원의 반지름의 길이)=;2!;^`BC”=;2%;(cm)

∴ (외접원의 둘레의 길이)=2p_;2%;=5p(cm)

∠AMB+∠AMC=180˘^이고

∠AMB : ∠AMC=2 : 3^이므로

∠AMC=180˘_;5#;=108˘

점M^은△ABC^{의 외심이므로}MA”=MC”

즉, △AMC는 이등변삼각형이다.

∴∠C=∠MAC=;2!;_(180˘-108˘)=36˘

30˘+∠x+25˘=90˘

∴∠x=35˘

∠OAB=∠OBA^, ∠OBC=∠OCB=25˘^,

∠OCA=∠OAC^이므로 25˘+∠OAB+∠OAC=90˘

∴∠BAC=∠OAB+∠OAC

=90˘-25˘=65˘

∠AOC=2∠B=2_56˘=112˘

∴∠OCA=;2!;_(180˘-112˘)=34˘

∠ACB=;2!;∠AOB=;2!;_120˘=60˘

△OAC^에서∠OCA=∠OAC=35˘

△OBC^에서∠OBC=∠OCB=60˘-35˘=25˘

11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01

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∠AOB=2∠C=2_64˘=128˘

∴∠BOD=180˘-128˘=52˘

∠AOB+∠BOC+∠COA=360˘^이고

∠AOB : ∠BOC : ∠COA=3 : 4 : 5^이므로

∠BOC=360˘_ =120˘

∴∠BAC=;2!;∠BOC=;2!;_120˘=60˘

원 위에 세 점A^, B^, C^{를 잡아}AB”^, BC”^, CA”^{의 수직이등분선을} 그리면 교점O^가△ABC의 외심이므로 원의 중심이 된다.

14

4 3+4+5

13 12

삼각형의 내심

0 4

1^차례로90^, RHA^, IF”^, IE”

1^{-1차례로∠}IFC^, IF”^, RHS^, ∠ICF

54^쪽

1

Step

⑴AF”=AD”=6 cm

⑵∠FCI=∠ECI=30˘

⑴IE”=ID”=5 cm

⑵∠CAI=∠BAI=20˘

∠DBI=∠EBI=30˘

∴∠CAI+∠DBI=20˘+30˘=50˘

ㄱ. AF”=AD”^, CF”=CE”

ㄴ. ID”=IE”=IF”

ㅁ. △BIE™△BID

∠IBA=∠IBC=20˘^, ∠ICA=∠ICB=40˘^이므로

△ABC^에서∠A=180˘-2(20˘+40˘)=60˘

∠ABI=∠CBI=∠x^, ∠BAI=∠CAI=20˘^이므로

△ABI^에서∠x=180˘-(20˘+130˘)=30˘

2

1

1

Step

⑴6 cm ^⑵30˘

1^-1⑴5 cm ^⑵50˘ 1^-2④

③ 2^-130˘

55^쪽

2^{⑴ 차례로}90^, 30 ^{⑵ 차례로}70^, 125 2-1⑴ 차례로90^, 20 ^{⑵ 차례로}80^, 130

56^쪽

1

Step

2

Step

⑴ 25˘ ^⑵115˘ 3-1⑤ 3 cm 4-1①

3 cm 5^-18 cm

57^쪽

⑴35˘+30˘+∠x=90˘

∴∠x=90˘-(35˘+30˘)=25˘

⑵∠x=90˘+;2!;∠A

⑵∠x=90˘+;2!;_50˘=115˘

∠CAI=∠BAI=35˘^이므로

∠BAC=2_35˘=70˘

∴∠BIC=90˘+;2!;∠BAC

∴∠BIC=90˘+;2!;_70˘=125˘

내접원의 반지름의 길이를r라 하면

;2!; r(10+12+10)=48

∴r=3(cm)

내접원의 반지름의 길이를r라 하면

△ABC=;2!;r(5+4+3)

△ABC=6r(cm¤ )

△ABC=;2!;_4_3

△ABC=6(cm¤ ) 이므로6r=6

∴r=1(cm) BD”=BE”=x^{라 하면} AD”=AF”=9-x CE”=CF”=7-x

AC”=(9-x)+(7-x)=10 16-2x=10

∴x=3(cm)

A

C

B E

D I F 9-x 9-x

7-x 7-x x

x B C

F D

E A 5 cm

4 cm

3 cm r

I

4

10 cm 10 cm

12 cm A

C B

I r

3