電磁에너지변환공학
3장 전기와 기계적 관계
Kirchhoff 전압법칙에 의하면, 기전력 = 역전압의(전압강하) 합( R, L, C에 걸리는 전압 포함)
3.1.1 전기적인 요소
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
(1) 저항에 걸리는 전압
(2) 인덕터에 걸리는 전압을 전기운동량의 변화율에 비례한다.
(3.2) (3.1)
인덕턴스 L이 고정된 상수이면, 다음 식으로 나티낸다.
(3.3)
3.1.1 전기적인 요소
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
두 회로가 전기적으로 결합되어있는 경우, 회로 1과 2 사이의 상호인덕턴스 M에 의해 유도되는 전압은,
(3) 커패시터에 걸리는 전압
커패시터에 흐르는 전류 i
(3.4)
(3.5)
(3.6)
3.1.1 전기적인 요소
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
전압 v를 전류 i에 관련한 식으로 변환하면,
양 변을 적분 변수 분리
따라서
여기서, v0는 t = 0인 순간 커패시터에 남아있던 초기전압이다.
초기전압 v0가 0 이었다면
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
3.1.2 직선 운동계
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
물체에 기계적인 힘이 가해지면 물체는 가속된다. 즉 운동량이 변화된다.
운동량(mU)의 변화가 힘으로 나타난다.
만약, 물체의 질량이 일정하면, 힘은 다음 식으로 된다.
가속도 α( = dU/dt)일 때의 힘 F는.
여기서, F는 힘(N)
m은 물체의 질량(kg) U는 속도(m/s) a는 가속도(m/s2)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
3.1.3 회전운동
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
물체에 회전력이 가해지면 각가속도가 붙게되어 각운동량이 변화한다.
이 각운동량의 변화가 회전력으로 나타난다.
만약, 관성모멘트 J가 일정하면, 회전력은 다음 식으로 된다.
각가속도 α( = dΩ/dt)일 때, 회전력 T는.
여기서, T는 회전력(N-m)
J는 관성모멘트(kg-m2) Ω는 각속도(rad/s) α는 각가속도(rad/s2)
→ 회전력, 각속도, 각가속도는 회전축 상에 나타난 측정값이다.
(3.14)
(3.15)
(3.16)
3.1.4 마찰
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
기계적 저항인 마찰은 보통 비선형적이다. 그리고 마찰을 극복하는데 필요한 힘은 속도에 직접 비례하지 않는다.
마찰에 따른 기계적 힘은 다음 식으로 주어진다.
이 때, 기계적 저항 γ는 보통 상수로 간주된다.
여기서, F는 마찰력(N) U는 속도(m/s) γ는 기계적 저항(Ω)
1(mechanical ohm) : 1(N)의 힘이 1(m/s)의 속도일 때의 저항을 말한다.
마찰력을 이기는 데 필요한 회전력 T는,
여기서, D는 계수
Ω는 각속도(rad/s)
(3.17)
(3.18)
3.1.5 스프링력(탄성력)
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
기계계통에 있어서 스프링이나 다른 탄성체가 탄성한계 내에서의 복원력은 변위에 비례한다. → Hook의 법칙
스프링 끝이 움직인 거리 w는 속도의 시간적분으로 나타낸다.
따라서, 식 (3.19)는 다음 식으로 나타낼 수 있다.
여기서, F는 스프링의 탄성력(N) U는 속도(m/s)
C는 탄성 Compliance(m/N)
Compliance C는 변위를 만드는 힘에 대한 변위의 비로 정의된다.
스프링의 힘 F에 의해서 거리 w만큼 늘었다고 하면, 이 때의 Compliance C는, (3.19)
(3.20)
3.1.6 적분에 의한 해법
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
Fly wheel의 회전력 T는 정지관성과 마찰을 이겨내야 하므로 각 항을 회전력으로 나타낸다. ,
점성액체
(3.21)
식 (3.21)을 변수 분리(t와 Ω항으로 분리)
(3.22) 그림 3.1 댐핑을 갖는 플라이휠
여기서, J(dΩ/dt)는 관성을 이겨내는데 필요한 회전력으로, J는 관성모멘트, Ω는 각속도이다.
DΩ는 마찰회전력으로 마찰(제동)을 이겨내는데 필요한 회전력이다. D는 마찰계수, Ω는 각속도이다.
각속도 Ω는 다음과정으로 구한다.
3.1.6 적분에 의한 해법
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
양 변을 적분
따라서
(3.23)
(3.24)
3.1.6 적분에 의한 해법
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
다시 정리하면,
점성액체
그리고
따라서 (3.25)
(3.26)
3.1.6 적분에 의한 해법
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
t = 0일 때.
t > 0일 때.
즉 각속도 Ω는 회전력 T와 마찰계수 D로 정해지는 일정속도의 정상상태로 접근한다.
그림 3.2 일정한 회전력을 받는 제동 플라이휠의 속도와 변위 t = ∞ 0일 때.
0
Ω는 증가한다.
3.1.7 변 위
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
초기값 θ0에서부터 각의 증가는 각속도의 적분으로 나타낸다.
즉, 각의 변위는 각속도를 적분함으로써 구해진다.
(3.27)
(3.28) 적분하면,
그림과 같이 각 θ는 지수함수적으로 증가하게 된다.
1
3.1.8 정현파 회전력일 때의 속도
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
- 회전력 T가 정현적으로 변화하는 경우,
관성모멘트 J가 일정한 경우, 회전력은 식 (3.15)와 같다.
이를 적분함으로써 각속도를 구한다.
(3.29)
(3.30) 여기서 변화하는 회전력이 인가되었을 때, 회전자 각속도 Ω를 구한다.
그림 3.3 정현적 인가 회전력에 대한 각속도와 변위 T와 Ω는 위상이 90도 차이가 나며, 각속도 Ω는 회전력 T가 0일 때 마다 최대값에 도달한다.
3.1.9 정현적 회전력인 경우의 변위
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
따라서
(3.31)
(3.32) 변위 각 θ는 다음 식으로 주어진다.
→ 다음 단계는 플라이 휠의 각 위치를 시간함수로 구한다.
여기서, θ0는 t = 0 에서의 플라이 휠의 위치이다.
3.1.9 정현적 회전력인 경우의 변위
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
(3.33)
만약, 플라이 휠의 위치 θ0를 –Tm/Jω2이 되도록 하면,
그러므로
변위 θ는 인가된 회전력 T와 위상이 반대(180도)가 되고, 각속도 Ω와는 90도 위상차가 된다.
3.1.10 기계적 량의 페이서
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
→ 이와 같이 정현적으로 변화하는 량은 기계적으로나 전기적으로나 회전력, 힘, 변위, 전압, 전류 등을 페이서로 나타낼 수 있다.
그림 3.4 T, θ, Ω의 페이서 표시
lead
lag
3.1.11 정현적 회전력과 제동
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
관성과 마찰력에 대항되는 회전력이 가해진 경우는, 식 (3.21)과 같이, (3.34)
(3.35) 이때, 회전력을 T = Tm cosωt 라고 하면,
식 (5.35)는 변수 t와 변수 Ω를 동시에 구하는 것은 난해하다.
그러므로 t→∞로 하는 정상상태에 대한 해인 정상해만 취급하기로 한다.
정상상태는 인가회전력에 대한 회전자의 일정한 진동상태를 말한다.
→ 회전자나 플라이 휠에 정현적으로 변하는 회전력이 가해지고, 또한 제동이 있는 경우에 대해 다룬다.
(3.21)
3.1.12 정상해
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
식 (5.34)를 페이서로 표시한다.
(3.34)
따라서
→ 페이저 표시
여기서,
(3.36)
(3.37)
교번 인가회전력을 알면 회전진동자의 속도를 쉽게 구할 수 있다.
→ 페이저 표시
3.1.12 정상해
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
식(3.37)을 바꾸면
의 관계로 인하여
를 회전임피던스(Rotational Impedance)라 한다
.
(3.38)
의 유사성이 있으므로, 여기서,
3.1.12 정상해
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
이므로
페이서로 변환하면,
(3.39)
(3.40) 이와 같은 방법으로, 회전자의 각변위 θ를 구할 수 있다.
각속도 Ω는 변위 θ의 시간미분이므로,
3.1.12 정상해
3.1 전기적 요소와 기계적 요소
따라서
(3.41)
이와 같이 기기의 인가회전력 T와 상수만으로도 정상상태의 변위 θ를 구할 수 있으므로 식 (3.39)를 풀 수 있다.
(3.39)
