Ⅰ 지수함수와 로그함수 지수함수와 로그함수 지수함수와 로그함수

Ⅰ

4 ^상용로그 5 지수함수의 뜻과 그래프 6 로그함수의 뜻과 그래프

7 지수함수와 로그함수의 활용

지수함수와 로그함수

바닷속 물의 깊이에 따른 빛의 세기는 지

수함수로 나타낼 수 있다.

밤하늘에 보이는 별들은 가까이 있는 하나의 점으로 보이지만 실제로는 지구로 부터 수억`km 떨어져 있고, 그 크기가 태양보다 수백 배 큰 것도 있다. 북쪽 하늘 에서 밝게 빛나는 북극성까지의 거리는 약 4_10<sup>15</sup>`km이며, 이 거리는 빛의 속도 로 수백 년을 가야 다다를 수 있다고 한다.

이처럼 별이나 행성까지의 거리를 나타내거나 행성의 운동을 연구하기 위해서 는 매우 큰 수를 사용해야 하므로 이것을 간단하게 나타내기 위한 도구가 필요하 다. (알랭시루·레일라 아다, “지구와 우주”)

로그 지수와 ^{를 이용한}

별의 연구

배운 내용 확인하기

우주에 있는 별이나 행성 등은 천체 망원경을 사용하여 관찰할 수 있다.

이렇게 관찰하여 얻은 자료를 분석하고 연구하는 과정에서 매우 큰 수를 다루어야

하는데 이때 지수나 로그를 이용하면 편리하다.

2

⑴ '2_'8 ⑵ '2Œ7-'3 ⑶ '2Œ4Ö'3_'8

1

⑴ 16 ⑵ ;1¢0»0; ⑶ 0.25

경상북도 영천시에 있는 보현산 천문대의 1.8 m 반사 망원경은 2011년 지구에서 약 39억 광년  (3.9X10²²km) 떨어진 블랙홀이 별을 삼키는 장면을 포착하였다.

(“경향신문”, 2011년 8월 25일) 밤하늘을 아치형으로

가로지르는 은하수에는 약 2X10¹¹개에서 4X10¹¹개의 별이 있다.

(위키백과 https://ko.wikipedia.org)

1977년에 발사된 보이저 2호는 1989년 태양에서 약 4.5X10⁹km 떨어진 해왕성을 지나면서

많은 사진과 자료를 지구로 전송하였다.

4

⑴ 5Ü`_5Ý`=5 ⑵ 8Û`_4Û`=2 ⑶ 6Þ`Ö6Û`=6

3

⑴ 2 =64 ⑵ ('2) =4 ⑶ {;3!;} =;8Á1;

거듭제곱과 거듭제곱근

거듭제곱과 거듭제곱근의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

성취 기준

실수 a를 n번 곱한 것을 a의 n제곱이라 하고, 기호로 aÇ`

과 같이 나타낸다.

또 a, aÛ`, aÜ`, y, aÇ`, y을 통틀어 a의 거듭제곱이라 하 고, aÇ` 에서 a를 거듭제곱의 밑, n을 거듭제곱의 지수라 한다.

거듭제곱

탐구 학습

다음을 읽고 세제곱하여 8이 되는 수 중에서 실수인 것을 말하여 보자.

열기

거듭제곱과 거듭제곱근이란 무엇일까?

세제곱하여 8이 되는 수를 x라 하면 xÜ`=8이므로 xÜ`-8=0, (x-2)(xÛ`+2x+4)=0 에서 x=2 또는 x=-1Ñ'3i

따라서 세제곱하여 8이 되는 수 중에서 실수인 것은 2뿐이다.

다지기

거듭제곱하여 실수 a가 되는 수 중에서 실수인 것은 어떻게 구할까?

키우기

2의 세제곱은

얼마지? 8이지! 그럼 세제곱해서 2잖아! 2뿐인가?

8이 되는 수는?

신문지를 반으로 50번 접으면 그

두께는 얼마나 될까? 가능할까?

신문지 두께의 2⁵⁰배가 되니까 태양까지 도달할 수 있겠다.

a, b가 0이 아닌 실수일 때, 다음 식을 간단히 하시오.

⑴ (aÛ`)Ü`_(aÛ`)Û` ⑵ abÜ`ÖaÛ`b ⑶ {aÛ`b }3`_{;aB;}3`

1

문제

지수가 자연수일 때의 지수법칙 a, b가 실수이고 m, n이 자연수일 때

➊ aµ``aÇ`=a<sup>m+n</sup> ➋ (aµ``)Ç`=a^mn

➌ (ab)Ç`=aÇ` bÇ` ➍ {;bA;}n`=aÇ`

bÇ` (단, b+0)

➎ aµ``ÖaÇ`=

à

a^m-n (m>n)

1 (m=n) (단, a+0) 1

a^n-m (m<n)

지수가 자연수일 때, 다음 지수법칙이 성립한다.

제곱하여 실수 a가 되는 수를 a의 제곱근이라 하고, 세제곱하여 실수 a가 되는 수 를 a의 세제곱근이라 한다. 예를 들어 5Û`=25이므로 5는 25의 제곱근이고, (-2)Ü`=-8이므로 -2는 -8의 세제곱근이다.

일반적으로 n이 2 이상의 정수일 때, n제곱하여 실수 a 가 되는 수, 즉 방정식

xÇ`=a

를 만족시키는 수 x를 a의 n제곱근이라 한다.

또 a의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, …, n제곱근, …을 통틀어 a의 거듭제곱근이라 한다.

실수 a의 n제곱근은 복소수의 범위에서 n개가 있음이 알려져 있다.

거듭제곱근

중학교에서 배운 내용이에요.

실수 a의 n제곱근 중에서 실수인 것을 구하여 보자.

n이 2 이상의 정수일 때, 실수 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 방정식 xÇ`=a의 실근이므로 함수 y=xÇ` 의 그래프와 직선 y=a의 교점의 x좌표와 같다.

Ú n이 홀수일 때

Ú 임의의 실수 x에 대하여 Ú (-x)Ç`=-xÇ`

Ú 이므로 함수 y=xÇ` 의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 원점에 대하여 대칭이다.

Ú 이때 이 그래프와 직선 y=a의 교점은 실수 a의 값에 관계없이 항상 한 개이다.

Ú 따라서 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 오직 하나 존재하고, 이것을 기호로

Ú Ç 'a

Ú 와 같이 나타낸다.

실수인 거듭제곱근

Ç 'a는 ‘n제곱근 a’라 읽는다.

또 Û'a는 간단히 'a로 나타낸다.

x y=x«

y=a

O y

«÷a

0 1 -1

-1 1 2 3

-2 -3 -2

-3 0 2 3

y=x y=x‹

다음 거듭제곱근을 모두 구하시오.

⑴ -125의 세제곱근 ⑵ 16의 네제곱근

2

문제

-8의 세제곱근을 모두 구하시오. 1의 네제곱근을 모두 구하시오.

| 거듭제곱근 구하기

예제

1

풀이 ▶ -8의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-8, xÜ`+8=0 (x+2)(xÛ`-2x+4)=0 이므로

x=-2 또는 x=1Ñ'3i

따라서 -8의 세제곱근은 -2, 1Ñ'3i이다.

 -2, 1Ñ'3i

풀이 ▶ 1의 네제곱근을 x라 하면     xÝ`=1, 

이므로

따라서 1의 네제곱근은 (이)다.



다음 값을 구하시오.

⑴ Ü '1¶25 ⑵ Ý '2¶56

⑶ Þ 'Ä-243 ⑷ -ß '6Œ4

3

문제

Û n이 짝수일 때

Û 임의의 실수 x에 대하여 (-x)Ç`=xÇ`

Û 이므로 함수 y=xÇ` 의 그래프는 오른쪽 그림과 같 이 y축에 대하여 대칭이다. 이때 이 그래프와 직선 y=a의 교점은 실수 a의 값에 따라 다음과 같다.

Û ➊ a>0이면 교점은 두 개이고, 두 교점의 x좌표는 각각 양수와 음수이다.

따라서 a의 n제곱근 중에서 양의 실수인 것을 Ç 'a, 음의 실수인 것을 -Ç 'a로 나타낸다.

Û ➋ a=0이면 교점은 한 개이고, 교점의 x좌표는 0이다.

따라서 0의 n제곱근은 0 하나뿐이고, Ç '0=0이다.

Û ➌ a<0이면 교점은 없다.

따라서 a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 없다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

x y=x«

(a>0)y=a

(a<0)y=a O

y

«÷a

«÷a -

❶

❷

❸

a의 실수인 n제곱근

a가 실수이고 n이 2 이상의 정수일 때

a>0 a=0 a<0

n이 홀수 Ç 'a 0 Ç 'a

n이 짝수 Ç 'a, -Ç 'a 0 없다.

1 2 3 4 5

-1 0

y=x› y=x¤

0 1 -1 -2

-3 2 3

오른쪽 그림에서 같은 번호의 그래프를 참고해!

실수인 거듭제곱근 구하기

n제곱근에서 n이 홀수인지 짝수인지 구분해야 돼.

거듭제곱근에는 어떤 성질이 있을까?

거듭제곱근의 성질

예제 a>0, b>0이고 n이 2 이상의 정수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

Ç 'a Ç 'b=n ®;bA;

| 거듭제곱근의 성질 증명하기

2

µ`"Çà 'a=µ``Ç 'a=Ç "µÃ`'a

거듭제곱근의 성질

a>0, b>0이고 m, n이 2 이상의 정수일 때

➊ Ç 'a Ç 'b=Ç 'a§b ➋ Ç 'a Ç 'b =n ®;bA;

➌ (Ç 'a )µ``=Ç "aµ`` ➍ µ`"Ç 'a =µ``Ç 'a

a>0이고 n이 2 이상의 정수일 때, Ç 'a 는 a의 양의 n제곱근이므로 (Ç 'a )Ç`=a

이다.

이제 지수법칙을 이용하여 거듭제곱근의 성질을 알아보자.

a>0, b>0이고 n이 2 이상의 정수일 때 (Ç 'a Ç 'b)Ç`=(Ç 'a )Ç` (Ç 'b )Ç`=ab 이다. 이때 Ç 'a >0, Ç 'b >0이므로

Ç 'a Ç 'b >0

이다. 따라서 Ç 'a Ç 'b는 ab의 양의 n제곱근인 Ç 'aŒb와 같다. 즉 Ç 'a Ç 'b=Ç 'aŒb

이다.

일반적으로 거듭제곱근의 성질은 다음과 같다.

증명 ▶ 지수법칙에 따라 {Ç 'a

Ç 'b }n`= (Ç 'a )Ç`(Ç 'b )Ç`=;bA;

이때 Ç 'a >0, Ç 'b >0이므로 Ç 'a Ç 'b>0 따라서 Ç 'a

Ç 'b는 ;bA;의 양의 n제곱근인 n ®;bA; 와 같으므로 Ç 'a Ç 'b=n ®;bA; 

지수법칙 ➌을 이용한 거야.

a>0이고 m, n이 2 이상의 정수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

⑴ (Ç 'a )µ``=Ç "aµ`` ⑵ µ`"Ç 'a =µ``Ç 'a

4

문제

오류 찾기 생각을넓히는 수학

다음 중에서 틀린 것을 찾아 그 까닭을 말하고 바르게 고쳐 보자.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ Ü '6_Ü '3§6 ⑵ Ý '2¶43 Ý '3`

⑶ (ß '1Œ6 )Ü` ⑷ Ü

"

5

문제

예제 다음 식을 간단히 하시오.

⑴ Ü '4_Ü '2 ⑵ Ü '5Œ4 Ü '2

⑶ (Ü '3)ß` ⑷ Ü "Ã^Ý"5¹²

| 거듭제곱근의 성질을 이용하여 계산하기

3

풀이 ▶ ⑴ Ü '4_Ü '2=Ü 'Ä4_2=Ü "Å2Ü`=(Ü '2 )Ü`=2

⑵ Ü '5Œ4

Ü '2 =Ü ®É:°2¢:=Ü '2Œ7=Ü "Å3Ü`=(Ü '3 )Ü`=3

⑶ (Ü '3)ß`={(Ü '3 )Ü`}Û`=3Û`=9

⑷ Ü "Ã^Ý"Å5¹²=^3_4"Å5¹²=¹²"Å5¹²=(¹²"5 )¹²=5

 ⑴ 2 ⑵ 3 ⑶ 9 ⑷ 5

어느 것이 틀렸을까?

스스로 확인하기

1

a>0, b>0이고 m, n이 2 이상의 정수일 때, 다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ n이 홀수일 때, a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 (이)다.

n이 짝수일 때, a의 n제곱근 중에서 실수인 것은 Ç 'a , (이)다.

⑵ ➊ Ç 'a Ç 'b =Ç`

"Ã

Ç 'b=n ¾Ð ➌ (Ç 'a )µ``=Ç`"a ➍ µ` "Ç 'a = 'a

2

다음 거듭제곱근 중에서 실수인 것을 모두 구하시오.

⑴ -64의 세제곱근 ⑵ 625의 네제곱근

4

다음 식을 간단히 하시오.

5

3Ú`â`의 다섯 제곱근 중에서 실수인 것을 a라 할 때, a의 네제 곱근 중에서 실수인 것을 모두 구하시오.

3

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ Ý '3_Ý '2Œ7 ⑵ Ü '2¶43 Ü '9`

⑶ (Þ '2 )Ú`â` ⑷ Þ "^Ü "7Ú`Þ`

Ü '¶-8+Ü '2_Ü '4 +"ÃÜ '6§4

6

서양 음악의 음계에서 한 옥타브는 12개의 반음으로 이루어 져 있다. 다음을 읽고, x의 값을 구하시오.

창의• 융합

음이 반음 올라가면 음의 진동수는 이전

음의 x배가 돼.

음이 한 옥타브 올라가면 음의 진동

수는 2배가 돼.

지수의 확장과 지수법칙

지수가 유리수, 실수까지 확장될 수 있음을 이해한다.

지수법칙을 이해하고, 이를 이용하여 식을 간단히 나타낼 수 있다.

성취 기준

지금까지는 지수가 양의 정수인 경우에만 지수법칙을 생각하였다.

이제 지수가 0 또는 음의 정수인 경우에도 지수법칙이 성립하도록 지수의 범위를 정수까지 확장하여 보자.

0 또는 음의 정수인 지수

나노 주사기를 이용하면 세포의 핵에 직접 유전자를 전달할 수 있대.

우와! 대단하다! 그런데 나노가 뭐야?

나노는 1

10á`을 나타내는데 1`nm(나노미터)는 1

10á``m로 성인 머리카락 굵기의 1

10Þ` 크기래. (“매일경제”, http://dic.mk.co.kr)

탐구 학습

다음 표를 보고 물음에 답하여 보자.

열기

지수의 범위를 정수까지 확장할 수 있을까?

⑴ n의 값이 3, 2, 1로 1씩 작아질 때마다 10Ç` 의 값은 1000, 100, 10과 같이 ;1Á0;배씩 작아진다.

⑵ ⑴의 규칙에 따라 빈칸에 알맞은 값을 써넣으면 다음과 같다.

다지기

n이 0 또는 음의 정수일 때, 10Ç` 은 어떻게 정의할까?

키우기

n 3 2 1 0 -1 -2 -3

10Ç` 1000 100 10

n 3 2 1 0 -1 -2 -3

10Ç` 1000 100 10 1 ;1Á0; ;10!0; ;10Á00;

⑴ n의 값이 3, 2, 1로 1씩 작아질 때마다 10Ç`의 값이 어떻게 변하는지 그 규칙을 말하시오.

⑵ ⑴의 규칙이 그대로 유지된다고 할 때, 빈칸에 알맞은 값을 써넣으시오.

나노 주사기를 이용하면 세포의 핵에 직접 유전자를 전달할 수 있대.

-1 -1

_;1Á0; _;1Á0;

a+0이고 m, n이 양의 정수일 때, 지수법칙 aµ``aÇ`=a^m+n yy ㉠

이 성립한다.

➊ m=0일 때

Ú ㉠이 성립한다고 하면 aâ`aÇ`=a⁰⁺ⁿ=aÇ`

Ú 이므로 aâ`=1이다.

➋ m=-n(n은 양의 정수)일 때 Ú ㉠이 성립한다고 하면

a^-naⁿ=a^-n+n=aâ`=1 Ú 이므로 a<sup>-n</sup>= 1aÇ` 이다.

따라서 지수가 0 또는 음의 정수인 경우는 다음과 같이 정의한다.

다음 값을 구하시오.

⑴ (-5)â` ⑵ ('2 )â`

⑶ 3ÑÛ` ⑷ (-2)ÑÜ`

1

문제

0 또는 음의 정수인 지수 a+0이고 n이 양의 정수일 때

➊ aâ`=1 ➋ a^-n=1

0â`, 0<sup>-n</sup> ( n은 양의 정수 ) 은 aÇ`

정의하지 않는다.

0을 제외하고 어떤 수든 0제곱은

1이구나!

지수의 범위가 정수까지 확장되었어.

a^-n은 aÇ`의 역수야!

지수의 범위를 정수로 확장하였을 때, 지수법칙이 성립하는지 알아보자.

Ú m, n이 모두 음의 정수일 때

a+0이고 m, n이 모두 음의 정수일 때, m=-p, n=-q ( p, q는 양의 정수)로 놓으면 다음이 성립한다.

aµ``aÇ`=a<sup>-p</sup>a<sup>-q</sup>= 1a¹`_ 1aÏ`= 1a<sup>p+q</sup> aµ``aÇ`=a^-(p+q)=a^(-p)+(-q)=a^m+n

Û m, n 중에서 하나가 음의 정수일 때

a+0이고 m이 양의 정수, n이 음의 정수일 때, n=-q ( q는 양의 정수 )로 놓 으면

aµ``aÇ`=aµ``a^-q=aµ``_ 1aÏ`=aµ``ÖaÏ`=

( a^m-q=a^m+n (m>q)

{

9

Ü m, n 중에서 하나가 0일 때

a+0이고 m=0, n이 정수일 때, aµ``=1이므로 aµ``aÇ`=1_aÇ`=aÇ`=a⁰⁺ⁿ=a^m+n

이다. 즉 m, n 중에서 어느 하나가 0일 때도 aµ``aÇ`=a^m+n이 성립한다.

따라서 a+0이고 m, n이 정수일 때 aµ``aÇ`=a^m+n

이 성립한다.

지수가 정수일 때의 지수법칙

일반적으로 지수가 정수일 때, 다음 지수법칙이 성립한다.

지수가 정수일 때의 지수법칙 a+0, b+0이고 m, n이 정수일 때

➊ aµ``aÇ`=a<sup>m+n</sup> ➋ aµ``ÖaÇ`=a^m-n

➌ (aµ``)Ç`=a<sup>mn</sup> ➍ (ab)Ç`=aⁿbⁿ

➋는 m, n의 대소에 관계없 이 성립한다.

예제 a+0이고 m, n이 모두 음의 정수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

(aµ``)Ç`=a^mn

| 지수가 음의 정수일 때 지수법칙 증명하기

1

증명 ▶ m=-p, n=-q ( p, q는 양의 정수)로 놓으면 (aµ``)Ç`=(a^-p)^-q={1

a¹` }

-q= 1

{1 a¹` }q`

(aµ``)Ç`= 1 1 a^pq

=a^pq=a^(-p)(-q)=a^mn

a+0, b+0이고 m, n이 모두 음의 정수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

⑴ aµ``ÖaÇ`=a<sup>m-n</sup> ⑵ (ab)Ç`=aÇ` bÇ`

2

문제

다음 식을 간단히 하시오. (단, a+0, b+0)

⑴ 3^-5_3Û` ⑵ (2^-3)^-2

⑶ aÜ`Ö(aÛ`)^-1 ⑷ (aÜ`b^-2)^-2

3

문제

예제 다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 2^-4_2Û` ⑵ 3Û`Ö3^-3

⑶ (5^-2)Û` ⑷ (2_3^-1)^-3

| 지수가 정수일 때의 지수법칙을 이용하여 계산하기

2

풀이 ▶ ⑴ 2^-4_2Û`=2<sup>-4+2</sup>=2<sup>-2</sup>=1 2Û`=;4!; 

⑵ 3Û`Ö3<sup>-3</sup>=3<sup>2-(-3)</sup>=3Þ`=243

⑶ (5^-2)Û`=5<sup>(-2)_2</sup>=5<sup>-4</sup>=1 5Ý`=;62!5;

⑷ (2_3^-1)^-3=2^-3_(3^-1)^-3= 1

2Ü`_3<sup>(-1)_(-3)</sup>= 3Ü`

2Ü`=:ª8¦:

 ⑴ ;4!; ⑵ 243 ⑶ ;62!5; ⑷ :ª8¦:

지수의 범위를 유리수까지 확장할 수 있을까?

거듭제곱근을 이용하여 지수가 유리수인 경우에도 지수법칙이 성립하도록 지수의 범위를 유리수까지 확장하여 보자.

a>0이고 m, n이 정수일 때 지수법칙 (aµ``)Ç`=a^mn

이 성립한다.

이 식이 지수가 유리수일 때도 성립한다고 하면 유리수 m

n (n¾2)에 대하여 (a^;;n;M;)Ç`=a^;;n;M;_n=aµ``

이다. 이때 a>0이므로 a^;;n;M;>0이다.

여기서 a^;;n;M;은 aµ``의 양의 n제곱근이므로 a<sup>;;n;M;</sup>=Ç "aµ``

으로 정의할 수 있다.

따라서 지수가 유리수인 경우는 다음과 같이 정의한다.

유리수인 지수

유리수인 지수

a>0이고 m, n ( n¾2 )이 정수일 때

➊ a^;;n;M;=Ç "aµ`` ➋ a^;n!;=Ç 'a

다음 식에서 근호를 사용한 것은 지수를 사용하여 나타내고, 지수를 사용한 것은 근호를 사용하 여 나타내시오. (단, a>0)

⑴ Ü "ÅaÝ`    ⑵ Þ "a^-3

⑶ a^;2#; ⑷ a^-;5@;

4

문제

a<0일 때도

a^;;n;M;=Ç "aµ``이 성립하나요?

a<0일 때는 성립하지 않아 요. 예를 들어

a=-3, m=6, n=2이면 (-3)^{;2^;}=(-3)Ü`=-27 이지만

"Ã(-3)ß`="Å3ß`=27 이므로 (-3)^{;2^;}+"Ã(-3)ß` 이에 요. 따라서 지수가 유리수일 때는 a>0인 조건에 주의해야 해요.

지수의 범위가 유리수까지 확장되었어.

지수가 유리수일 때 근호를 사용하여 나타내기

Û 'a는 2를 생략하여 'a로 표현해!

a>0이고 r, s가 유리수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

⑴ a¨`Öa§`=a^r-s ⑵ (a¨`)§`=a^rs

5

문제

지수가 유리수일 때의 지수법칙 a>0, b>0이고 r, s가 유리수일 때

➊ a¨`a§`=a^r+s ➋ a¨`Öa§`=a^r-s

➌ (a¨`)§`=a^rs ➍ (ab)¨`=a¨`b¨`

예제 a>0이고 r, s가 유리수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

a¨`a§`=a^r+s

| 지수가 유리수일 때 지수법칙 증명하기

3

증명 ▶ r=m n , s=

p

q ( m, n, p, q는 정수, n¾2, q¾2 )로 놓으면 a¨`a§`=a^mna ^pq=a^mqnqa^npnq

a¨`a§`=^nq"a^mq nq"a^np=^nq"a^mqa^np=^nq"a^mq+np a¨`a§`=a^mq+npnq =a^{mn + pq}=a^r+s

지수의 범위를 유리수로 확장하였을 때, 지수법칙이 성립하는지 알아보자.

a>0, b>0이고 r가 유리수일 때, r=m

n ( m은 정수, n은 2 이상의 정수)으로 놓으면 (ab)¨`=(ab)^;;n;M;=Ç "Ã(ab)µ``=Ç "Ãaµ``bµ``

(ab)¨`=Ç "aµ`` Ç "bµ``=a<sup>;;n;M;</sup>b<sup>;;n;M;</sup>=a¨`b¨`

이다. 따라서 r가 유리수일 때 (ab)¨`=a¨`b¨`

이 성립한다.

일반적으로 지수가 유리수일 때, 다음 지수법칙이 성립한다.

지수가 유리수일 때의 지수법칙

다음 식을 간단히 하시오. (단, a>0, b>0)

⑴ 3^;2!;_3^-;8%; ⑵ 5^-;3!;Ö5^-2

⑶ (a^;3@;)^;5#; ⑷ (a^;2!;b^;4!;)Ý`

6

문제

오류 찾기 생각을넓히는 수학

다음은 재용이와 혜진이가 지수법칙을 이용하여 {(-2)Û`}^;2#;을 계산한 것이다. 누구의 계산이 잘못되었는지 고르고 그 까닭을 말하여 보자.

다음 식을 간단히 하시오. (단, a>0, b>0)

⑴ 3^;5$;_3^{;5^;} ⑵ (ab^-;3@;)Ü`

다음 식을 간단히 하시오. (단, a>0, b>0)

⑴ 2^;3@;Ö2^;3*; ⑵ a^;2!;Ö(a^-;2!;)Ý`

| 지수가 유리수일 때의 지수법칙을 이용하여 계산하기

예제

4

풀이 ▶ ⑴ 3^;5$;_3^{;5^;}=3^{;5$;+;5^;}

⑴ 3^;5$;_3^{;5^;}=3Û`=9

⑵ (ab^-;3@;)Ü`=aÜ`(b^-;3@;)Ü`

⑵ (25^-;3@;)Ü`=aÜ`b^-2

⑵ (25^-;3@;)Ü`=aÜ`

bÛ`

 ⑴ 9 ⑵ aÜ`

bÛ`

풀이 ▶ ⑴ 2^;3@;Ö2^;3*;=

⑴ 2^;3@;Ö2^;2#;=

⑵ a^;2!;Ö(a^-;2!;)Ý`=

⑵ a^;2!;Ö(a^-;2!;)Ý`=

⑵ a^;2!;Ö(a^-;2!;)Ý`=

 ⑴ ⑵

재용 혜진

지수가 실수일 때의 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 하기

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 5^-2'2_5^3'2 ⑵ 10^'2Œ7Ö10^'3

⑶ (2^'3)^-'3 ⑷ 9^'2_{;3!;}^'2

7

문제

지수의 범위를 실수까지 확장할 수 있을까?

지수가 무리수인 경우를 살펴보고, 지수가 실수인 경우에도 지수법칙이 성립하도 록 지수의 범위를 실수까지 확장하여 보자.

무리수 '2=1.41421356y에 한없이 가까워지는 유리수 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, y

을 각각 지수로 하는 3의 거듭제곱 3Ú`, 3^1.4, 3^1.41, 3^1.414, 3^1.4142, 3^1.41421, y

의 값은 오른쪽 표와 같이 일정한 수에 한없이 가까워진다 는 사실이 알려져 있다. 이 일정한 수를 3^'2으로 정의한다.

이와 같은 방법을 이용하면 x가 임의의 무리수일 때, 3Å`을 정의할 수 있다.

따라서 a>0이고 x가 임의의 실수일 때, aÅ`을 정의할 수 있다.

일반적으로 지수가 실수일 때, 다음 지수법칙이 성립함이 알려져 있다.

실수인 지수

지수가 실수일 때의 지수법칙 a>0, b>0이고 x, y가 실수일 때

➊ aÅ`a´`=a^x+y ➋ aÅ`Öa´`=a^x-y

➌ (aÅ`)´`=a^xy ➍ (ab)Å`=aÅ`bÅ`

지수의 범위가 실수까지 확장되었어.

스스로 확인하기

5

다음 식을 간단히 하시오. (단, a>0, b>0)

⑴ (a^;2!;+b^-;2!;)(a^;2!;-b^-;2!;)

⑵ (a^;3!;-b^;3!;)(a^;3@;+a^;3!;b^;3!;+b^;3@;)

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ a+0이고 n이 양의 정수일 때 aâ`= , a^-n=

⑵ a>0이고 m, n (n¾2)이 정수일 때 a^;n;M;= "a , a^;n!;= 'a

3

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ 2^;3%;_2^;3$;    ⑵ 7^3'2Ö7^-'2

⑶ (25^-;4#;)^;3@; ⑷ (3^-5_5Û`)^-3

2

다음 식에서 근호를 사용한 것은 지수를 사용하여 나타내고, 지수를 사용한 것은 근호를 사용하여 나타내시오.

⑴ Þ '1Œ0  ⑵ Ü "3^-2

⑶ 3^;3&; ⑷ {;2!;}^;8#;

4

다음 식을 간단히 하시오. (단, a>0, b>0)

⑴ aÞ`_a<sup>-3</sup>Öaà`  ⑵ "ÅaÜ`ÖÜ "ÅaÝ`_Ý "ÅaÞ`

⑶ (a^'23)ß`_a<sup>-'2</sup> ⑷ Ü "ÅaÛ`bÜ`Ö'§ab

6

어느 바다의 수면에서의 빛의 세기가 A일 때, 수심이 k`m인 곳의 빛의 세기는 A{;2!;}^;4K;이라 한다. 수심이 7 m인 곳에서 의 빛의 세기는 수심이 27 m인 곳에서의 빛의 세기의 몇 배 인지 구하시오.

창의• 융합

생활  속

수학  

쏙  생활 기상 지수, 체감 온도

바람이 많이 부는 겨울에는 실제의 기온보 다 체감 온도가 더 낮게 느껴진다. 이것은 바 람의 영향으로 피부가 열을 빼앗기면서 나타 나는 현상이다. 그렇다면 체감 온도는 어떻게 알 수 있을까?

현재 기온이 T`ùC, 풍속이 V`km/h일 때, 체감 온도 ( ùC )는 다음과 같은 식으로 구할 수 있다.

예를 들어 현재 기온이 -3`¾일 때, 풍속이 5`km/h이면 체감 온도는 약 -5`¾이지만 풍속이 20`km/h이면 체감 온도는 약 -9`¾가 된다. (기상청 http://www.kma.go.kr)

풍속(km/h) 5 10 15 20 25

체감 온도(ùC)

오늘 아침 최저 기온은 -3`¾로 어제보다

기온이 올랐습니다.

나는 -10`¾처럼 느껴지는데….

(체감 온도)=13.1+0.6T+(0.4T-11.4)V^0.16

문제 해결하기 현재 기온이 -10`¾일 때, 공학용 계산기를 이용하여 다음 체감 온도를 구하여 보자.

(단, 소수점 아래 첫째 자리에서 버림하여 구한다.)

탐구 학습

다음을 읽고 2Å`=3을 만족시키는 실수 x의 값은 얼마인지 추측하여 보자.

열기

로그의 뜻과 성질

로그의 뜻을 알고, 그 성질을 이해한다.

성취 기준

로그란 무엇일까?

일반적으로 a>0, a+1일 때, 임의의 양수 N에 대하여 등식 aÅ`=N을 만족시키 는 실수 x는 오직 하나 존재함이 알려져 있다.

이 실수 x를 기호로 logŒ N

과 같이 나타내고, a를 밑으로 하는 N의 로그라 한다. 이때 N을 logŒ N의 진수라 한다.

로그의 뜻

계산기를 이용하여 구하여 보면

2^1.5=2.828y, 2^1.6=3.031y이므로 1.5<x<1.6 2^1.58=2.989y, 2^1.59=3.010y이므로 1.58<x<1.59 2^1.584=2.997y, 2^1.585=3.000y이므로 1.584<x<1.585

따라서 2Å`=3을 만족시키는 실수 x의 값은 1.584y라 추측할 수 있다.

다지기

2Å`=3을 만족시키는 실수 x의 값은 어떻게 나타낼 수 있을까?

키우기

2Å`=3을 만족시키는 실수

x는 존재할까?

2Ú`=2, 2Û`=4 이니까 x는 1과 2

사이의 수이겠네.

2^1.5=2.828y

이야! 2^1.6=3.031y

log는 ‘logarithm’의 약자 이다.

로그를 쓰면 간단히 계산할 수 있지!

계산이 너무 복잡해.

두 행성 사이 의 거리는?

다음 등식에서 aÅ`=N 꼴로 나타낸 것은 로그를 사용하여 나타내고, 로그를 사용하여 나타낸 것 은 aÅ`=N 꼴로 나타내시오.

⑴ 5Ü`=125 ⑵ 10^-2=0.01

⑶ log£ 243=5 ⑷ logÁ¤ 2=;4!;

1

문제

다음 값을 구하시오.

⑴ logª 32 ⑵ log° '5

⑶ logÁ¼ ;10Á00; ⑷ log;3!; 9

2

문제

로그의 정의

a>0, a+1, N>0일 때

aÅ`=N HjjK x=logŒ N 이상을 정리하면 다음과 같다.

log_;2!; 8=x로 놓으면

이때 ;2!;=2^-1, 8= 이므로

따라서 log_;2!; 8= (이)다.

 log£ 27의 값을 구하시오. log_;2!; 8의 값을 구하시오.

| 로그의 값 계산하기

예제

1

풀이 ▶ log£ 27=x로 놓으면 3Å`=27 이때 27=3Ü`이므로

3Å`=3Ü`, 즉 x=3

따라서 log£ 27=3이다.

 3

풀이 ▶

2Ý`에서 밑 2는 로그에서도

밑이네!

로그에는 어떤 성질이 있을까?

로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 하기

로그의 정의와 지수법칙을 이용하여 로그의 성질을 알아보자.

a>0, a+1일 때, aâ`=1, aÚ`=a 이므로 로그의 정의에 따라

logŒ 1=0, logŒ a=1 이다.

또 M>0, N>0일 때,

logŒ M=m, logŒ N=n 으로 놓으면

aµ``=M, aÇ`=N

이므로 로그의 정의에 따라 다음이 성립함을 알 수 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

로그의 성질

로그의 성질

a>0, a+1, M>0, N>0일 때

➊ logŒ 1=0, logŒ a=1 ➋ logŒ MN=logŒ M+logŒ N

➌ logŒ M

N=logŒ M-logŒ N  ➍ logŒ Mû`=k logŒ M (단, k는 실수) MN=aµ``aÇ`=a^m+n

 logŒ MN=m+n

 logŒ MN=logŒ M+logŒ N M N=aµ``

aÇ`=a^m-n

 logŒ M

N=m-n

 logŒ =logŒ M-logŒ N

Mû`=(aµ``)û`=a^mk

 logŒ Mû`=mk

 logŒ Mû`=k logŒ M (단, k는 실수)

➋ 진수의 곱셈은 로그의 덧셈으로 생각해.

➌ 진수의 나눗셈은 로그의 뺄셈으로 생각해.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ logª '3§2 ⑵ log£ 1 '9

⑶ logÁª 4+logÁª 3 ⑷ logª 56-logª 7

3

문제

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ ;2!; log£ ;5(;+log£ '5 ⑵ 2logª '1Œ2-logª ;4#;

4

문제

예제 다음 식을 간단히 하시오.

⑴ logª 3-2logª '6 ⑵ logÁ¼ '5+;2!; logÁ¼ 2

| 로그의 성질을 이용하여 계산하기

2

풀이 ▶ ⑴ logª 3-2 logª '6

⑴ =logª 3-logª ('6)Û`

⑴ =logª 3-logª 6

⑴ =logª ;6#;=logª ;2!;

⑴ =logª 2^-1

⑴ =-1

⑵ logÁ¼ '5+;2!;logÁ¼ 2

⑴ =;2!;logÁ¼ 5+;2!;logÁ¼ 2

⑴ =;2!;(logÁ¼ 5+logÁ¼ 2)

⑴ =;2!;logÁ¼ (5_2)

⑴ =;2!;logÁ¼ 10=;2!;

 ⑴ -1 ⑵ ;2!;

의사소통 생각을넓히는 수학

모둠별로 다음 4장의 카드에 적힌 로그의 계산에서 각각 잘못된 부분을 찾고, 로그의 성질을 이용할 때 주의해야 할 점을 서로 이야기하여 보자.

모둠활 동

로그의 성질이 뭐였더라?

a>0, a+1, b>0일 때, logŒ b를 1이 아닌 양수 c를 밑으로 하는 로그로 바꾸어 나타내는 방법을 알아보자.

logŒ b=x, log a=y로 놓으면 로그의 정의에 따라 aÅ`=b, c´`=a

이므로 지수의 성질에 따라 b=aÅ`=(c´`)Å`=c^xy

이다. 즉 로그의 정의에 따라 xy=log b이므로 logŒ b_log a=log b yy ㉠

이다. 그런데 a+1일 때, log a+0이므로 ㉠의 양변을 log a로 나누면 다음이 성립한다.

logŒ b=log b log a 이상을 정리하면 다음과 같다.

로그의 밑의 변환

다음 값을 구하시오.

⑴ log» 27 ⑵ log¥ ;1Á6;

5

문제

로그의 밑의 변환

a>0, a+1, b>0, c>0, c+1일 때 logŒ b=log b

log a

a, b가 1이 아닌 양수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

⑴ logŒ b= 1 logº a

⑵ logaµ`` bÇ`= n

m log_a b (단, m, n은 실수, m+0)

6

문제

로그의 밑을 변환하여 계산하기

로그는 경우에 따라 밑을 다른 수로 바꾸어

나타낼 수 있어!

logÁ¼ 2=a, logÁ¼ 3=b일 때, 다음을 a, b로 나타내시오.

⑴ logÁ¼ 12 ⑵ logª 72

⑶ log¥ '3 ⑷ log° 36

7

문제

예제 logÁ¼ 2=a, logÁ¼ 3=b일 때, log° 24를 a, b로 나타내시오.

| 로그의 밑의 변환 이해하기

3

풀이 ▶ log° 24를 10을 밑으로 하는 로그로 바꾸어 나타내면

log° 24=logÁ¼ 24 logÁ¼ 5

logÁ¼ 24를 a, b로 나타내면 logÁ¼ 24=logÁ¼(2Ü`_3)=logÁ¼ 2Ü`+logÁ¼ 3 logÁ¼ 24=3logÁ¼ 2+logÁ¼ 3=3a+b logÁ¼ 5를 a, b로 나타내면 logÁ¼ 5=logÁ¼ :Á2¼:=logÁ¼ 10-logÁ¼ 2

logÁ¼ 5=1-logÁ¼ 2=1-a 따라서 log° 24를 a, b로 나타내면 log° 24=3a+b

1-a

 3a+b 1-a

추론 생각을넓히는 수학

다음은 a, b, c가 1이 아닌 양수일 때, a ^{logº c}=c ^{logº a}

가 성립함을 보이는 과정이다. ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 구하여 보자.

a^{logº c}=x라 하면 로그의 정의에 따라

logº c= ^㈎ yy ㉠

이때 ㉠의 양변을 각각 c를 밑으로 하는 로그로 바꾸면 logº c= 1_㈏ , ㈎ = log x

㈐ 이므로 1

㈏ = log x

㈐ 즉 log x= ^㈐_㈏ =logº a이므로 로그의 정의에 따라 x=c^{logº a} 따라서 a^{logº c}=c^{logº a}가 성립한다.

증명

스스로 확인하기

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ a>0, a+1, N>0일 때 aÅ`=N HjjK x=

⑵ a>0, a+1, M>0, N>0일 때 ➊ logŒ 1= , logŒ a=

➋ logŒ MN=

➌ logŒ M N=

➍ logŒ Mû`= (단, k는 실수)

⑶ a>0, a+1, b>0, c>0, c+1일 때 logŒ b= log b

2

다음 등식에서 aÅ`=N 꼴로 나타낸 것은 로그를 사용하여 나타내고, 로그를 사용하여 나타낸 것은 aÅ`=N 꼴로 나타 내시오.

⑴ 3Ý`=81 ⑵ 2^-3=;8!;

⑶ log;5!; 25=-2 ⑷ logÁ¼ 0.001=-3

4

logª 3=a, logª 5=b일 때, 다음을 a, b로 나타내시오.

⑴ log¤ 15 ⑵ log° ;9*;

5

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ ;2!; log£ ;7#;+log£ '7

⑵ log£ '1Œ6+;2!; log£ ;5!;+;2#; logª¦ 20

3

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ logª 256 ⑵ log_;4!;;1Á6;

⑶ logÁ¼ 8+logÁ¼ 125 ⑷ log° 45-log° 9

6

다음은 logÁ¼ 5는 유리수가 아님을 보이는 과정이다. ㈎, ㈏ 에 알맞은 것을 구하시오.

도전

결론을 부정하여 logÁ¼ 5가 유리수라 하자.

두 자연수 p, q가 서로소일 때 logÁ¼ 5=;qP; (p<q) 라 하면 로그의 정의에 따라 10^;qP;=5, 10¹`=5Ï`

이므로 2¹`5¹`=5Ï`, 즉 ^㈎ =5^q-p

그런데 5^q-p은 홀수이고, ^㈎ 은/는 ^㈏ 이 므로 5^q-p과 ^㈎ 은/는 항상 같지 않다.

따라서 logÁ¼ 5는 유리수가 아니다.

증명

탐구 학습

지진이 일어난 곳으로부터 100`km 떨 어진 지점에서 측정한 지진파의 최대 진폭이 I 5m일 때, 리히터 규모 M은

M=logÁ¼ I

이다. 어떤 지진이 일어난 곳으로부터 100 km 떨어진 지점에서 측정한 지진 파의 최대 진폭이 100000 5m일 때, 이 지진의 리히터 규모를 구하여 보자.

(단, 5m는 ‘마이크로미터’라 읽는다.) 열기

상용로그란 무엇일까?

일상생활에서 사용하는 수는 주로 10의 거듭제곱을 이용하여 나타내므로 로그의 계산에서도 10을 밑으로 하는 로그를 사용하면 편리한 경우가 많다. 이때 10을 밑으 로 하는 로그를 상용로그라 하고, 양수 N의 상용로그 logÁ¼ N은 보통 밑 10을 생략 하여 기호로

log N

과 같이 나타낸다. 예를 들어 logÁ¼ 2는 간단히 log 2로 나타낸다.

한편 log 10Ç`=logÁ¼ 10Ç`=n이므로 10의 거듭제곱 꼴의 수에 대한 상용로그의 값은 로그의 성질을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.

상용로그의 뜻

I=100000=10Þ`이므로 M=logÁ¼ 10Þ`=5

따라서 구하는 지진의 리히터 규모는 5이다.

다지기

밑이 10인 로그를 사용하는 까닭은 무엇일까?

키우기

0~3.5 미만

지진계에 의해서만 탐지가 가 능하며 대부분 사람이 진동을 느끼지 못함.

지진의 강도 (리히터 규모)

3.5~5.4

창문과 방 안의 물건들이 흔들 리는 것을 관찰할 수 있음.

5.5~6.0

모든 사람이 진동을 느끼며 건 물에 작은 피해를 줌.

6.1~6.9

건물에 상당한 피해를 줌.

7 이상

건물이 무너지고 지표면 이 심하게 갈라짐.

지진의 강도는 리히터 규 모라는 단위를 사용하여 나 타낸다.

상용로그

상용로그를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.

성취 기준

데시벨은 소리의 크기를 나타내는 단위로 밑이 10인

로그로 나타낼 수 있대.

벨 소리의 크기는

60 데시벨이야. 데시벨?

◀ 지진계

(“한국경제”, http://dic.hankyung.com)

상용로그표에서 구한 log 8.02=0.9042를 이용하여 다음 값을 구하시오.

⑴ log 8020 ⑵ log0.00802 ⑶ log'8¶.02

2

문제

다음 상용로그의 값을 구하시오.

⑴ log 100 ⑵ log '1Œ0 ⑶ log ;10Á00;

1

문제

상용로그의 값 계산하기 밑 10이

생략되어 있어.

상용로그표에서 구한 log 2.56=0.4082를 이용하여 log 256의 값을 구하시오.

상용로그표에서 구한 log 2.56=0.4082를 이용하여 log 0.256의 값을 구하시오.

| 상용로그의 값 구하기

예제

1

풀이 ▶ log 256=log(10Û`_2.56) log 256=log 10Û`+log 2.56 log 256=2+0.4082=2.4082

 2.4082

풀이 ▶ log 0.256=

log 0.256=

log 0.256=

 상용로그표에 있는 상용로그의 값은 반올림

하여 구한 것이지만 편의상 등호를 사용하여 나타낸다.

참고

상용로그의 값은 계산기를 이용하거나 이 책의 부록에 있는 상용로그표를 이용하 여 구할 수 있다. 상용로그표는 0.01의 간격으로 1.00부터 9.99까지의 수에 대한 상 용로그의 값을 반올림하여 소수점 아래 넷째 자리까지 나타낸 것이다.

예를 들어 상용로그표에서 log 3.12의 값을 구하려면 3.1의 가로줄과 2의 세로줄이 만나는 곳에 있는 .4942를 찾으면 된다.

즉 log 3.12=0.4942이다.

상용로그의 값

수 0 1

…

1.0 1.1

3.1 3.2

…

.0000 .0414

.4914 .5051

…

.0043 .0453

.4928 .5065

…

.0086 .0492

.4942 .5079

…

.0128 .0531

.4955 .5092

2 3

계산기의 로그 단추를 이용하면 상용로그의 값을 구할 수 있어!

예제 어떤 미생물의 개체 수는 매시간 r %씩 일정하게 증가하여 n시간 후의 개체 수는 처음 의 {1+;10R0;}n`배가 된다고 한다. 이 미생물의 개체 수가 매시간 30 %씩 일정하게 증가 할 때, 11시간 후의 개체 수는 처음의 약 몇 배가 되는지 구하시오. (단, log 1.3=0.1139, log 1.79=0.2529로 계산하고, 계산 결과는 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림한다.)

| 상용로그를 활용하여 실생활 문제 해결하기

2

풀이 ▶ 11시간 후의 개체 수가 처음의 k배라 하면 k={1+;1£0¼0;}¹¹={;1!0#;}¹¹

양변에 상용로그를 취하면 log k=log {;1!0#;}¹¹ log k=11(log 13-1) log k=11(1+log 1.3-1) log k=11_0.1139=1.2529 이때 log 1.79=0.2529이므로 log k=1.2529

log k=1+0.2529

log k=log 10+log 1.79=log 17.9 에서 k=17.9

따라서 11시간 후의 개체 수는 처음의 약 18배가 된다.

 약 18배

상용로그는 어떻게 활용될까?

상용로그를 이용하면 복잡한 계산을 간단히 할 수 있으며, 이를 활용하여 여러 가 지 문제를 해결할 수 있다.

상용로그의 활용

어느 지역의 하천은 하천 정화 작업으로 인해 생화학적 산소 요구량 [BOD]이 매년 20 %씩 감 소하고 있다고 할 때, 5년 후 이 하천의 생화학적 산소 요구량은 처음의 약 몇 배가 되는지 구하 시오. (단, log 2=0.301, log 3.27=0.515로 계산하고, 계산 결과는 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림한다.)

3

문제

반올림한다.)

동물의 에너지 사용량의 한 지표인 표준 대사량 E는 그 동물의 몸무게를 W라 할 때, E=kW^;4#; (단, k는 상수)

로 나타낼 수 있다. 동물 A의 몸무게가 동물 B의 몸무게의 161배 일 때, 동물 A의 표준 대사량은 동물 B의 표준 대사량의 몇 배인지 구하시오. (단, log 1.61=0.2068,

log 4.52=0.6551로 계산한다.)

4

문제

數

수 ^군 수 ^군

로그의 발전에 이바지한 학자들

복잡한 계산을 할 때, 로그를 이용하면 간편하게 그 결과를 얻을 수 있다. 그래서 로그의 발전 으로 인해 복잡한 계산을 해야만 했던 천문학자들의 수명이 길어졌다고 하는 사람도 있다. 다음 은 로그의 발전에 이바지한 학자들이다.

복잡한 계산을 간단히 하기 위하여 로그

계산법을 만들었어.

밑이 10인 로그를 제안하고 상용로그표를

만들었어.

log라는 기호를 처음 사용한 사람은

나야.

네이피어

(Napier, J., 1550~1617) 영국의 수학자

브리그스

(Briggs, H., 1561~1630) 영국의 수학자

케플러

(Kepler, J., 1571~1630) 독일의 천문학자

(칼 B. 보이어·유타 C. 메르츠바흐, “수학의 역사 상”)

스스로 확인하기

5

다음을 읽고 두 음향 기기에서 각각 50 dB의 소리를 동시 에 낼 때, 합쳐진 소리의 크기는 몇 dB인지 구하시오.

(단, log 2=0.3으로 계산하고, dB는 ‘데시벨’이라 읽는다.) 창의• 융합

소리의 크기가 각각 dÁ dB, dª dB인 두 소리를 동시에 낼 때, 합쳐진 소리의 크기는

얼마일까요?

그렇게 생각하기 쉽지만 합쳐진 소리의

크기는 이렇게 구해요.

(dÁ+dª) dB 이요!

10 log(10 ^dÁ10+10 ^10dª) dB

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

3

log 2=0.3010, log 3=0.4771일 때, 다음 값을 구하시오.

⑴ log 1200 ⑵ log 0.006

2

log 3.14=0.4969임을 이용하여 다음 값을 구하시오.

⑴ log 3140 ⑵ log 0.0314

4

다음 식의 값을 구하시오.

10을 밑으로 하는 로그를 로그라 하고, 양수 N에 대하여 logÁ¼ N은 기호로 와/과 같이 나타낸다.

log {1-;2!;}+log {1-;3!;}+log {1-;4!;}+ y +log {1-;10!0;}

생활  속

수학  

쏙  종이 접어 태양까지

종이를 반으로 계속 50번을 접을 수 있다면 태양까지 도달할 수 있을까?

두께가 0.2`mm이고 계속하여 반으로 접을 수 있 는 종이가 있다고 가정하면 이 종이를 50번 접었을 때 의 두께는 0.2_2<sup>50</sup>`mm가 된다.

x=0.2_2⁵⁰이라 하고 양변에 상용로그를 취하면

    log x=log(0.2_2⁵⁰)=-1+51 log 2 상용로그표에서 1og 2=0.3010이므로     log x=-1+51_0.3010=14.351     log x=10^14.351

이때 x=10^14.351`mm=10<sup>14.351</sup>_10<sup>-6</sup>`km=10^8.351`km이므로 종이를 50번 접었을 때의 두께는 약 2.24_10¡``km가 된다.

실제 지구에서 태양까지의 거리는 약 1.5_10¡``km이므로 두께가 0.2`mm인 종이를 50번 접으면 그 두께가 태양까지의 거리보다 더 크다. 하지만 실제로 종이를 10번 이상 접는 것은 거의 불가능하 다고 알려져 있다.

탐구 학습

실험실에서 어떤 세균을 배양하였더니 하루가 지날 때마다 배양된 세 균 전체의 질량이 2배가 되었다. 이 세균 1`mg을 배양한 지 x일 후의 배양된 세균 전체의 질량을 y`mg이라 할 때, x와 y 사이의 관계식 을 구하여 보자.

열기

지수함수의 뜻과 그래프

지수함수의 뜻을 안다.

지수함수의 그래프를 그릴 수 있고, 그 성질을 이해한다.

성취 기준

지수함수란 무엇일까?

최근 몇 년간 매출액이 매년 10 %씩 증가하고 있습니다.

우리 회사 매출 상황 이 어떤가요?

다음 중에서 지수함수인 것을 모두 찾으시오.

⑴ y=xÜ` ⑵ y={;2!;}<sup>x</sup>` ⑶ y=x^-1 ⑷ y=pÅ`

1

문제

일반적으로 a>0이고 a+1이면 x가 임의의 실수일 때, aÅ`의 값은 하나로 정해지므 로 y=aÅ`은 x에 대한 함수이다. 이처럼 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수

y=aÅ` (a>0, a+1) 을 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

지수함수의 뜻

x의 값이 1씩 증가할 때마다 y의 값은 2배 가 되므로 표로 나타내면 오른쪽과 같다.

즉 1=2â`, 2=2Ú`, 4=2Û`, 8=2Ü`, 16=2Ý`, y 이므로 x와 y 사이의 관계식은 y=2Å` 이다.

다지기

x가 실수일 때, y=2Å` 은 x에 대한 함수일까?

키우기

지수함수 y=aÅ` 에서 a=1 이면 y=1로 상수함수가 되므로 지수함수는 a+1 (a>0)인 경 우만 생각한다.

x (일) 0 1 2 3 4 y

y ( mg) 1 2 4 8 16 y

x의 위치가 다르네.

지수함수의 그래프는 어떻게 그릴까?

지수함수 y=2Å` 에서 실수 x의 여러 가지 값에 대응하는 y의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.

지수함수의 그래프

x y -3 -2 -1 0 1 2 3 y

y y ;8!; ;4!; ;2!; 1 2 4 8 y

위의 표에서 얻은 순서쌍 (x, y)를 좌표로 하는 점을 좌 표평면 위에 나타내고, 이 점들을 매끄러운 곡선으로 연결 하면 오른쪽 그림과 같은 지수함수 y=2Å` 의 그래프를 얻는다.

이 함수의 그래프에서 다음을 알 수 있다.

➊ 지수함수 y=2Å` 의 정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역 은 양의 실수 전체의 집합이다.

➋ 지수함수 y=2Å` 에서 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가 한다.

➌ 지수함수 y=2Å` 의 그래프는 점 (0, 1)을 지나고, x의 값이 한없이 작아지면 y의 값은 0에 한없이 가까워지므로 x축을 점근선으로 갖는다.

O x

y y=2≈

2 2 4 6 8

-2

다음 지수함수의 그래프를 그리시오.

⑴ y=3Å` ⑵ y={;3!;}^x

2

문제

예제 지수함수 y=2Å` 의 그래프를 이용하여 지수함수 y={;2!;}^x의 그래프를 그리시오.

| 지수함수의 그래프 그리기

1

풀이 ▶ y={;2!;}^x=2^-x이므로 지수함수 y={;2!;}^x의 그래프

) )

O x 1

y y=2≈

y= 1 ≈ 2 는 지수함수 y=2Å` 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이

동한 것이다.

따라서 지수함수 y={;2!;}^x의 그래프는 오른쪽 그림 과 같다.

 풀이 참조

1 2 3 4 5 6

-1

-1 1 2 3

-2

-3 0

y=4^x

y=3^x y=2^x

0

y=f(x), y=f(-x)두 함수 의 그래프는 y축에

대하여 대칭이야!