제 8 장 부정정보

제 8 장 부정정보

학습목표

부정정보에서 부정정량들을 양지지단의 조건식에서 구하게 되 면 정정보가 된다. 그러면 단순보나 외팔보를 응용하여 미분방 정식법, 면적모멘트법, 특이함수법 및 중첩법 등으로 F, M, θ 및 y 등을 계산 할 수 있다. 따라서, 각 문제에서 어떤 방법으로 풀 이하는 것이 가장 편리한가를 터득하도록 한다.

8-1 부정정보

(1) 양단이 부동힌지로 지지된 보

그림 8-1 양단 부동힌지보

이 경우는 부정정수가 1이다. 평형조건식

외에 다른 조건식 한 개를 더 세워야 미지수 4개의 반력이 계산된다. 그림 8-1에서

양단이 고정되어 있으므로

의 신량을 생기게 하는 수평력 H를 계산 하면 된다. 실제로 계산해보면 매우 적어 실 용상 그림 8-1의 경우는 단순보로 취급한다.

) 0 ,

0 ,

0

( Σ Px = Σ Py = Σ M =

(2) 고정단과 가동힌지단의 보(fixed-simple beam)

그림 8-2의 경우 반력은 세 개이고 평형방정식은 두 개

이므로 부정정량이 1이다.

8-1 부정정보

) 0 ,

0

( Σ Py = Σ M =

[해법 1] 외팔보로 생각하여 푸는 방법 :

부정정량을 라 하면 그림(b)의 외팔보에서 를 구하기 위한 조건식이 이다.

P에 의한 B단의 처짐

(7-7) R_B에 의한 B단의 처짐

(8-1)

R

R

y

= 0

그림 8-2 고정단-가동힌지단의 보

외팔보 로 생각

단순보

로 생각 기본도(a)에서 B점은 지지점이므로

0

B

=

y

∴

(8-2) 이렇게 부정정량 가 구해지면 정정보가 되므로

의 두 식에서 다음과 같이 미지수 , 를 구하게 되고 를 7장에서 배운 방법으로 구할 수 있다.

R

0 ,

0 Σ =

=

Σ Px M ^R

^M

y

θ ,

[해법 2] 단순보로 생각하여 푸는 방법 :

부정정량을 M_A 라 하면 그림(c)의 단순보에서 M_A 를 구하기 위한

조건식이 이다.

(8-3)

= 0 θ

(P에 의한 A지점의 경사각)

그림 8-2 고정단-가동힌지단의 보

외팔보 로 생각

단순보 로 생각

(M_A에 의한 A지점의 경사각)

기본도(c)에서 A점은 고정단이므로

0

A

= θ

[숙제] 나머지 미지수 는 P, 가 알고 있는 값이므로 평형방정식 2개에서 구하여 볼 것.

B A R

R , M_A

[ 그림 1 ] 중첩법 설명도

그림 8-2(a)의 경우를 풀 때 그림 8-2(a)를 생각하며 중첩해주면 쉽게 M_A를 얻을 수 있다.

분포하중이 b=0~a 존재

(3) 양단고정보(fixed-end beam)의 경우

그림 8-3 양단고정보

양단고정보의 미지수는 4개( ) 이므로 부정정량이 2개이다. 따라서 M_A, M_B에 의한 단순보라 생각하고 각 경우를 중첩하면, 양단고정보에 대한 해답을 얻을 수 있다.

고정단 조건식

단순보로 생각

(8-4)

∴

P에 의한 BMD선

도

M_A에 의 한 BMD

M_B에 의한 BMD

SFD 선 도

P, M_A, M_B에 의한 BMD선도의 합

=0 θA

B A B

A R M M

R , , ,

(8-5)

B

A M

M , 가 (-)이므로 기본도의 방향과 반대임을 알 수 있다.

나머지 미지수 R ,_A R_B는 평형방정식에서 구할 수 있다.

그림 8-5 양단고정보(중첩법)

그림 2의 M_A, M_B는 그림8-4의 P대신에 부분적인 등분포하중이므로 식(8-4)을 활용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

[ 그림 2 ] 양단고정보 (중첩법)

[예제 8-3] [그림 3]의 문제에서 처짐의 식을 유도하라.

풀이

그림(a)의 경우 : 그림(b)의 경우 : 그림(c)의 경우 :

[그림 3]

별해 [그림 3(c)]의 경우만 특이함수법으로 풀어본다.

미지수 ⁽MA^,MB^,RA^,RB⁾를 구한다.

따라서 기울기, 처짐곡선은 다음과 같다.

[예제 8-4] [그림 4]와 같은 하중이 없는 양단고정보에서 지점 B가 회전없이 수직으로 δ만큼 이동되었을 때 θ, y식을 구하라.

풀이 하중은 없지만 B점의 처짐 δ가 있는 경우와 같다.

그림 8-8

[그림 4]

적분상수가 4개이므로 조건식 4개를 세운다.

이것은 보 전체에 일정하다. 따라서 반력도 같은 값이다. 또, 이였으므로 (M은 + 방향) 윗 식에서 구한다.

모멘트의 일반식

이 식에서 즉, 반시계방향

역시 반시계방향 (B점에 대해서는 + )

별법 S.F.법으로 해를 구해본다.

F와 M을 구하여 에 대입한다.

미지수(R_A, R_B, M_A, M_B)를 구한다.

원래 양단이 고정이므로 x =0 인 A점의 θ, y 가 없다.

임의 단면의 기울기 θ와 처짐 y식은 다음과 같다.

[예제 8-6] [그림 6]에서 봉 AB가 온도상승으로 αl(t-t₀)만큼 팽 창했을 때 AB속에 생기는 압축력 P와 점 B에 생기는 굽힘모멘트 M_B를 계산하라.

[그림 6]

풀이 구조물은 그림 (b)의 점선과 같이 변형될 것이다. 이것을 그림 (c)

와 같이 BC부재는 P와 M_B를 받는 외팔보와 같고 AB부재는 M_B를 받는

일단고정, 일단가동힌지보라고 생각할 수 있고, θ′_B=θ″_B의 강절(rigid joint)의 조건 이 있다. 보 BC에서 식 (1)을 얻는다.

그림 (c)에서 θ′B를 계산한다. 고정단 A의 모멘트를 M_A라고 할 때 고정단 에서는 θ_A=0이며 M_A= M_B/2 이다.

그러므로 θ′B=θ″B에서 식(2)를 구한다.

식 (1), (2)에서 P와 M_B를 계산하면 된다.

(1)

(2)