로그함수를 활용하여 문제를 어떻게 해결할까?

로그의 진수에 미지수를 포함하는 방정식을 풀 때는 다음 성질을 이용한다.

로그의 진수에 미지수를 포함하는

방정식

오른쪽 그림과 같이 로그함수 y=logª x는 일대일 함수이므로 직선 y=3과의 교점의 개수는 하나 이다.

이때 logª x=3에서 로그의 정의에 따라 x=2Ü`, 즉 x=8 다지기

logª x=3과 같이 로그의 진수에 미지수를 포함하는 방정식은 어떻게 풀까?

키우기

y

O 1 8 x

3 y=log™ x

y=3

로그의 진수에 미지수를 포함하는 방정식을 풀 때는 (진수)>0인 조건에 주의해야 한다.

주의

a>0, a+1이고 x>0, xÁ>0, xª>0일 때 logŒ x=b HjjK x=aº`

logŒ xÁ=logŒ xª HjjK xÁ=xª

예제 다음 방정식을 푸시오.

⑴ logª (x-1)=4 ⑵ log° (2x-1)=log° 7

| 로그의 진수에 미지수를 포함하는 방정식 풀기

3

풀이 ▶ ⑴ 로그의 진수는 양수이므로 x-1>0, 즉 x>1

⑴ 로그의 정의에 따라 x-1=2Ý`, 즉 x=17

⑴ 이때 x=17은 진수의 조건 x>1을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.

⑵ 로그의 진수는 양수이므로 2x-1>0, 즉 x>;2!;

⑴ 로그함수의 성질에 따라 2x-1=7, 즉 x=4

⑴ 이때 x=4는 진수의 조건 x>;2!; 을 만족시키므로 주어진 방정식의 해이다.

 ⑴ x=17 ⑵ x=4

다음 방정식을 푸시오. 0<a<1일 때 logŒ xÁ<logŒ xª HjjK xÁ>xª

O 1 x log£ (2x-1)É2에서 2=log£ 9이므로 log£ (2x-1)Élog£ 9

로그함수를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있다.

로그함수의 실생활에서의 활용

예제

| 로그함수를 활용하여 실생활 문제 해결하기

5

풀이 ▶ 1등급인 별의 밝기를 m이라 하고, 6등급인 별의 밝기를 n이라 하면 log n-log m=;5@;(1-6), log n

m =-2 n

m =;10!0;에서 m=100n

따라서 1등급인 별의 밝기는 6등급인 별의 밝기의 100배이다.

 100배

pH는 용액의 산성도를 가늠하는 척도로서 용액 1`L 속에 들어 있는 수소 이온 농도가 [H±]일 때, pH=-log [H±]`

로 정한다. pH=6.5인 용액 1`L 속에 들어 있는 수소 이온 농도는 pH=7.2인 용액 1`L 속에 들어 있는 수소 이온 농도의 몇 배인지 구하시오.

(단, 10^0.7=5로 계산하고 수소 이온 농도의 단위는 mol/L로 나타낸다.)

6

문제

문제 만들기 생각을넓히는 수학

모둠별로 우리 주변에서 지수함수나 로그함수를 활용한 예를 찾아보고, 이를 이용하여 실생활과 관련된 문제를 만 들어 보자. 또 모둠별로 만든 문제를 바꾸어 풀어 보자.

모둠 _활동

지수함수나 로그함수를 활용한 예는 뭐가

있을까?

소리의 세기와 소리의 크기 사이에는 로그함수

의 관계가 있어.

천문학자 히파르코스(Hipparchos, B.C. 190?~B.C. 125?)는 가장 밝게 보이는 별 을 1등급으로 정하고 겨우 식별이 가능한 별을 6등급으로 구분하였다.

등급이 p, q인 두 별의 밝기를 각각 m, n이라 하면 log n-log m=;5@;(p-q)

가 성립한다고 한다. 1등급인 별의 밝기는 6등급인 별의 밝기의 몇 배가 되는지 구하시오.

스스로 확인하기

1

다음 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

⑴ a>0, a+1일 때 a^xÁ=a^xª HjjK

⑵ a>1일 때 a^xÁ<a^xª HjjK xÁ xª 0<a<1일 때 a^xÁ<a^xª HjjK xÁ xª

⑶ a>0, a+1이고 x>0, xÁ>0, xª>0일 때

⑶ logŒ x=b HjjK

⑶ logŒ xÁ=logŒ xª HjjK

⑷ xÁ>0, xª>0이고

⑶ a>1일 때 logŒ xÁ<logŒ xª HjjK xÁ xª

⑶ 0<a<1일 때 logŒ xÁ<logŒ xª HjjK xÁ xª

2

다음 방정식을 푸시오.

⑴ 4^x-1=;1Á6;

⑵ ('3)^x+1={;3!;}^x

⑶ log_;2!; (3x-2)=log_;2!; (5-x)

⑷ logª (xÛ`+x+2)=logª 2xÛ`

4

다음 부등식을 푸시오.

⑴ log;2!; (xÛ`-2x)¾-3

⑵ 2 log£ (x+1)É1+log£ (x+7)

3

다음 부등식을 푸시오.

⑴ 4^x-1É8

⑵ {;3@;}^x<{;9$;}^x-3

5

x>0에서 정의된 함수 f(x)=log£ (2xÛ`+1)에 대하여 ( f ^-1ç f ^-1)(2)의 값을 구하시오.

6

신호를 입력받아 그 신호를 증폭시켜 출력하는 전송 기기가 있다. 이 전송 기기가 입력받는 신호를 SÁ, 그때의 잡음을 NÁ이라 하고, 출력하는 신호를 Sª, 그때의 잡음을 Nª라 하 면 잡음 지수 F dB는

F=10 log SÁ_Nª Sª_NÁ

이다. 이 전송 기기의 잡음 지수가 5 dB이고 SÁ : Sª=1 : '1Œ0 일 때, Nª

NÁ의 값을 구하시오.

창의• 융합

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