지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

정답 ^과 풀이

지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

01

유제

1 ② 2 2 3 ③ 4 ② 5 216 6 ⑤ 7 ④ 8 ⑤

두 함수 y=('b )^x, y=c^x은 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하므로 'b>1, c>1이고, 함수 y=aÅ`은 x의 값이 증 가하면 y의 값은 감소하므로 0<a<1이다.

이때 위의 그림과 같이 두 점 (1, 'b ), (1, c)에서 c<'b 이고 'b>1이므로 'b<b이다.

따라서 a<c<'b<b이므로 a<c<b

 ② Y

Z Z Cˆ

C

D B ZBˆ

ZDˆ

0 

1

f(x)=2^x+a_{;2!;}^2x=2^x+a_2^-2x=2^-x+a=2^a_{;2!;}^x 0<;2!;<1이므로 함수 y=f(x)는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

-1ÉxÉ2에서 함수  f(x)의 최댓값은  f(-1)이고 최솟 값은 f(2)이다.

f(-1)=2^a_{;2!;}^-1=2^a+1=8 a=2

b=f(2)=2^a_{;2!;}²=2²_;4!;=1 따라서

ab=2_1=2

 2

2

함수 y=log£`(2x)의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y 축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은

3

f(x)=logª`;[$;+log'2`x-3

=(logª`2<sup>2</sup>-logª`x)+log2^;2!;`x-3

=(2-logª`x)+2`logª`x-3

=logª`x-1

2>1이므로 함수 y=f(x)는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

;4!;ÉxÉ8에서 함수 f(x)의 최댓값은 f(8)이고 최솟값은 f {;4!;}이다.

f(8)=logª`8-1=logª`2³-1=3-1=2 f {;4!;}=logª`;4!;-1=logª`2^-2-1=-2-1=-3 따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값의 합은 f(8)+f {;4!;}=2+(-3)=-1

 ②

4

2^3x-1+11_2^x-1=3_2^2x+3에서

;2!;_2^3x+:Á2Á:_2^x=3_2^2x+3 2^3x-6_2^2x+11_2^x-6=0

이때 2^x=t`(t>0)이라 하면 이 방정식은 t³-6t²+11t-6=0

(t-1)(t²-5t+6)=0 (t-1)(t-2)(t-3)=0 t=1 또는 t=2 또는 t=3

5

y=log£`{2(x-m)}+n yy`㉠

이 함수의 그래프의 점근선의 방정식은 2(x-m)=0, 즉 x=m이므로 m=-;2#;

m=-;2#;을 ㉠에 대입하면 y=log£`[2{x+;2#;}]+n

이고 이 함수의 그래프가 점 (3, 4)를 지나므로 4=log£`[2{3+;2#;}]+n=log£`3²+n=2+n n=2

따라서

mn=-;2#;_2=-3

 ③

즉, 2^x=1 또는 2^x=2 또는 2^x=3이므로 주어진 방정식의 근은 x=0 또는 x=1 또는 x=logª`3이고 그 합은 a=0+1+logª`3=logª`6

따라서

8^a=8^{logª`6</sup>=6<sup>logª`8}=6³=216

 216

27^3x-4=(3³)^3x-4=3^9x-12 {;3!;}^{3xÛ`</sup>=(3<sup>-1</sup>)<sup>3xÛ`}=3^-3xÛ`

이므로 주어진 부등식 27^3x-4É{;3!;}^{3xÛ`</sup>은 3<sup>9x-12</sup>É3<sup>-3xÛ`} yy`㉠

이때 3>1이므로 부등식 ㉠의 해는 9x-12É-3xÛ`

x²+3x-4É0 (x+4)(x-1)É0 -4ÉxÉ1

따라서 정수 x의 값은 -4, -3, -2, -1, 0, 1로 그 개수 는 6이다.

 ⑤

6

log£`x_log£`;8Ó1;-12=0에서 로그의 진수의 조건에 의하여 x>0 yy`㉠

log£`x_(log£`x-log£`81)-12=0 (log£`x)²-4`log£`x-12=0 이때 log£`x=t라 하면 이 방정식은 t²-4t-12=0

(t+2)(t-6)=0 t=-2 또는 t=6

즉, log£`x=-2 또는 log£`x=6이므로 x=3^-2 또는 x=3⁶ yy`㉡

㉠, ㉡에서

a=3^-2, b=3⁶ 또는 a=3⁶, b=3^-2 따라서

log»`ab=log»`(3^-2_3⁶)

=log3Û``3⁴

=;2$;`log£`3

=2

 ④

7

부등식 logª`f(x)+log;2!;`(x+1)É0에서 로그의 진수의 조건에 의하여

f(x)>0 yy`㉠

x+1>0 yy`㉡

주어진 함수 y=f(x)의 그래프에서 ㉠을 만족시키는 x의 값의 범위는

-1<x<2 또는 x>2 이므로 ㉠, ㉡에서

-1<x<2 또는 x>2 yy`㉢

logª`f(x)+log;2!;`(x+1)É0에서 logª`f(x)-logª`(x+1)É0 logª`f(x)Élogª`(x+1) 이때 2>1이므로 f(x)Éx+1

주어진 그림에서 이 부등식을 만족시키는 x의 값의 범위는 xÉ-1 또는 1ÉxÉ3 yy`㉣

㉢, ㉣에서 주어진 부등식의 해는 1Éx<2 또는 2<xÉ3 이므로 모든 정수 x의 값의 합은 1+3=4

 ⑤

8

1 ② 2 ② 3 ⑤ 4 81 5 ①

Level

1 ^{기초 연습}

함수 y=2^x+1+1의 그래프가 y축과 만나는 점 A의 좌표는 x좌표가 0이므로

y=2⁰⁺¹+1=3 즉, A(0, 3)이다.

함수 y=log£`(x+k)+1의 그래프가 x축과 만나는 점 B 의 좌표는 y좌표가 0이므로

0=log£`(x+k)+1 x+k=3^-1 x=;3!;-k

즉, B{;3!;-k, 0}이다.

1

선분 AB의 길이가 5이므로

ABÓ=¾Ð[{;3!;-k}-0]²+(0-3)²=5 k²-;3@;k- 1439 =0

9k²-6k-143=0 yy`㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D4 =(-3)²-9_(-143)>0

이므로 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 - -69 =;3@;이므 로 모든 실수 k의 값의 합은 ;3@;이다.

 ②

이차방정식 9kÛ`-6k-143=0에서 (3k+11)(3k-13)=0

k=-:Á3Á: 또는 k=:Á3£:

따라서 모든 실수 k의 값의 합은 -:Á3Á:+:Á3£:=;3@;

f(x)=2(aÅ`-1)=2_aÅ`-2 g(x)=3^x+1+b

에서 함수 y=f(x)의 그래프의 점근선은 직선 y=-2이고 함수 y=g(x)의 그래프의 점근선은 직선 y=b이다.

이 두 함수의 그래프의 점근선이 일치하므로 b=-2

한편 f(1)=2(a-1), g(1)=3²-2=7이므로 직선 x=1 이 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프와 만나는 두 점 A, B의 좌표는 각각 (1, 2(a-1)), (1, 7)이다.

ABÓ=10이므로

|2(a-1)-7|=|2a-9|=10 2a-9=-10 또는 2a-9=10 a=-;2!; 또는 a=:Á2»:

이때 a>0, a+1이므로 a=:Á2»:

따라서

a+b=:Á2»:+(-2)=:Á2°:

 ②

2

네 점 A, B, C, D의 좌표는 각각 (1, a), (1, 0), (0, 1), (b, 1)이다.

사각형 ACBD의 넓이가 10이고 두 선분 AB, CD가 서로 수직이므로

;2!;_ABÓ_CDÓ=;2!;ab=10 ab=20 yy`㉠

또한 ABÓ=a

ACÓ="Ã(0-1)Û`+(1-a)Û`="ÃaÛ`-2a+2 BCÓ="Ã(0-1)Û`+(1-0)Û`='2

이고 삼각형 ACB가 직각삼각형이므로 ABÓ`Û`=ACÓ`Û`+BCÓ`Û`에서

aÛ`=(aÛ`-2a+2)+2 a=2

이때 ㉠에서 ab=2b=20이므로 b=10

따라서

a+b=2+10=12

 ⑤

상수 a의 값을 다음과 같이 구할 수도 있다.

세 점 A(1, a), B(1, 0), C(0, 1)에 대하여 삼각형 ACB 가 직각삼각형이므로 두 직선 AC, BC가 서로 수직이다.

직선 AC의 기울기는 1-a0-1 =a-1

이고 직선 BC의 기울기는 1-00-1 =-1

이므로

(a-1)_(-1)=-1 따라서

a=2

3

16Å`+3_8Å`-27_2Å`-81=0에서 (2Ý`)Å`+3_(2Ü`)Å`-27_2Å`-81=0 (2Å`)Ý`+3_(2Å`)Ü`-27_2Å`-81=0 이때 2Å`=t`(t>0)이라 하면 이 방정식은 tÝ`+3tÜ`-27t-81=0

(tÝ`-81)+3t(tÛ`-9)=0 (tÛ`+9)(tÛ`-9)+3t(tÛ`-9)=0 (tÛ`+3t+9)(tÛ`-9)=0

4

log£`(3<sup>x</sup>-3)+log£`(3^x+3)É10에서 로그의 진수의 조건에 의하여

3^x-3>0, 3^x+3>0 즉, x>1 yy`㉠

주어진 부등식에서 log£`(3^x-3)(3^x+3)É10 3>1이므로

(3^x-3)(3^x+3)É3¹⁰ 3^2x-9É3¹⁰

9^xÉ9Þ`+9 이때 9>1이므로

xÉlog»`(9Þ`+9) yy`㉡

㉠, ㉡에서 주어진 부등식의 해는 1<xÉlog»`(9Þ`+9)

이때 5=log»`9Þ`<log»`(9Þ`+9)<log»`9ß`=6이므로 정수 x의 최댓값은 M=5, 최솟값은 m=2이다.

따라서

M+m=5+2=7

 ①

5

(tÛ`+3t+9)(t+3)(t-3)=0

이때 t>0에서 tÛ`+3t+9>0, t+3>0이므로 t=3

따라서 2^a=3이므로 16^a=(2Ý`)<sup>a</sup>=(2<sup>a</sup>)Ý`=3Ý`=81

 81

1 ③ 2 ④ 3 ② 4 ②

Level

2 ^{기본 연습}

함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식이 y=4^x 이므로 함수 y=4^x의 그래프를 x축의 방향으로 -m만큼, y축의 방향으로 -n만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식 은 y=f(x)이다.

즉, f(x)=4^x+m-n이다.

함수 y=f(x)의 그래프가 점 (-2, 2)를 지나므로 f(-2)=4^-2+m-n=2 yy`㉠

함수 y=f(x)의 그래프가 점 (0, 17)을 지나므로

1

f(0)=4^m-n=17 yy`㉡

㉡-㉠을 하면 4^m-4^-2+m=15 4^m-;1Á6;_4^m=15

;1!6%;_4^m=15 4^m=16=4Û`

m=2 yy`㉢

㉢을 ㉡에 대입하면 4Û`-n=17 n=-1 따라서

m+n=2+(-1)=1

 ③

곡선 y=logª`x를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으 로 2만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은

y=logª`(x+1)+2

이므로 f(x)=logª`(x+1)+2

두 점 A(1, 0), B(4, 2)를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 2만큼 평행이동한 두 점 A', B'의 좌표는 A'(0, 2), B'(3, 4)

이때 곡선 y=logª`x와 선분 AB로 둘러싸인 부분의 넓이 는 곡선 y=f(x)와 선분 A'B'으로 둘러싸인 부분의 넓이 와 같다.

따라서 구하는 넓이는 사각형 ABB'A'의 넓이와 같고, 사각 형 ABB'A'의 넓이는 넓이가 같은 두 삼각형 A'AB, A'BB' 의 넓이의 합과 같으므로

2_{;2!;_4_2}=8

 ④ ZMPHm Y

ZG Y

0" Y

"

#

#







 Z

2

함수 f(x)=logª`(x-3)+1에서 y=logª`(x-3)+1

y-1=logª`(x-3)

3

x-3=2^y-1 x=2^y-1+3

x와 y를 서로 바꾸면 y=2^x-1+3이므로 f ^-1(x)=2^x-1+3

방정식 f ^-1(x){ f ^-1(x)-8}-2^x+2+31=0에서 (2^x-1+3){(2^x-1+3)-8}-2^x+2+31=0 (2^x-1+3)(2^x-1-5)-2^x+2+31=0 2^2x-2-2_2^x-1-2^x+2+16=0 2^2x-20_2^x+64=0

이때 2^x=t`(t>0)이라 하면 이 방정식은 t²-20t+64=0

(t-4)(t-16)=0 t=4 또는 t=16 2Å`=4 또는 2Å`=16 x=2 또는 x=4

따라서 a=2, b=4 또는 a=4, b=2이므로 f ^-1(ab)=f ^-1(8)=2^8-1+3=131

 ②

따라서 f '(2)=0, g'(3)=0이므로 집합 X의 원소 x의 값 에 따라  f '(x), g'(x)의 값의 부호를 표로 나타내면 다음 과 같다.

x -2 0 2 4 6 8

f '(x) - - 0 + + +

g'(x) + + + - - -

이때 {;3!;}^f '(x)<{;3!;}^g'(x)에서 0<;3!;<1이므로

 f '(x)>g'(x)이고 이 부등식을 만족시키는 집합 X의 원소 는 4, 6, 8이므로

B={4, 6, 8}

따라서

n(A)-n(B)=2-3=-1

 ②

1=2â`이므로 2 <sup>f(x)</sup>É2â`É2^g(2x) 이때 2>1이므로 f(x)É0Ég(2x)

함수 g(x)가 이차함수이고 g(0)=g(6)=0이므로 함수 y=g(2x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 부등식 f(x)É0을 만족시키는 집합 X의 원소는 -2, 0, 2, 4, 6이고 부등식 0Ég(2x)를 만족시키는 집합 X의 원소는 0, 2이므로

A={0, 2}

한편 함수  f(x)가 이차함수이고  f(-2)=f(6)=0이므 로 함수 y=f(x)의 그래프의 축은 직선 x= -2+62 , 즉 x=2이다.

마찬가지로 함수 g(x)가 이차함수이고 g(0)=g(6)=0이 므로 함수 y=g(x)의 그래프의 축은 직선 x= 0+62 , 즉 x=3이다.

Y

Z ZG Y

ZH Y 0

  

4

³

본문 14쪽

실력 완성

A(1, 0), B(k, 1)이고 직선 l의 방정식은 y=-(x-k)+1

y=-x+k+1

이므로 두 점 C, D의 좌표는 각각 C(k+1, 0), D(0, k+1)

이때 삼각형 ABD의 넓이가 삼각형 ACB의 넓이의 4배이 므로 점 B는 선분 CD를 1`:`4로 내분하는 점이다.

k=1_0+4_(k+1)

1+4 이므로

k=4

즉, 직선 l의 방정식은 y=-x+5이고 C(5, 0), D(0, 5) 이다.

곡선 y=log¢`x를 평행이동 또는 x축에 대하여 대칭이동 또는 y축에 대하여 대칭이동 및 이들을 여러 번 결합한 이동 을 통해 두 점 C, D를 지나는 곡선이 되는 경우는 다음 두 가 지 경우가 있다.

Ú 곡선 y=log¢`x를 x축에 대하여 대칭이동한 후, x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 경우 곡선 y=log¢`x를 x축에 대하여 대칭이동한 그래프를

나타내는 식은 -y=log¢`x, 즉 y=-log¢`x이고, 이

1

ㄱ. 점 B는 두 곡선 y=;4!;_{;3!;}^x-1-;4%;, y=3^x-4의 교 점이므로

;4!;_{;3!;}^x-1-;4%;=3^x-4 3_3^-x-5=4_3^x-16 4_(3^x)Û`-11_3<sup>x</sup>-3=0 3<sup>x</sup>=t`(t>0)이라 하면 4tÛ`-11t-3=0 (4t+1)(t-3)=0 이때 t>0이므로 t=3

즉, 3^x=3에서 x=1이므로 점 B의 좌표는 (1, -1) 이다.

두 점 A(-1, 1), B(1, -1)을 지나는 직선의 방정식 은 y=-x이다.

한편 두 함수 y=log£`(x+4), y=3^x-4는 서로 역함 수 관계이므로 두 점 O, C를 지나는 직선의 방정식은 y=x이다.

따라서 두 점 A, B를 지나는 직선과 두 점 O, C를 지 나는 직선의 기울기의 곱이 -1이므로 이 두 직선은 서 로 수직이다. (참)

ㄴ. f(x)=;4!;_{;3!;}^x-1-;4%;, g(x)=3^x-4, h(x)=log£`(x+4)라 하면

f(-1)=h(-1)=1

f(0)=;4#;-;4%;=-;2!;, h(0)=log£`4 f(1)=g(1)=-1, h(1)=log£`5 f(2)=;1Á2;-;4%;=-;6&;, g(2)=3Û`-4=5 h(2)=log£`6

ZH Y

ZI Y ZG Y

Y Z

0



 



" $

#

 

Å 

2

곡선을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 식은

y=-log¢`(x-m)+n

즉, f(x)=-log¢`(x-m)+n이고 곡선 y=f(x)의 점근선은 직선 x=m이다.

이때 위의 그림과 같이 f(k)<1이고, 곡선 y=f(x)가 두 점 C(5, 0), D(0, 5)를 지나므로

f(5) =-log¢`(5-m)+n=0 yy`㉠

f(0)=-log¢`(-m)+n=5 yy`㉡

㉡-㉠을 하면

log¢`(5-m)-log¢`(-m)=5 log¢` 5-m-m =5

5-m-m =4Þ`=(2Û`)Þ`=2¹⁰ 5-m=-2¹⁰m m= 5

1-2¹⁰

따라서 곡선 y=f(x)의 점근선은 직선 x= 5 1-2¹⁰이다.

Û 곡선 y=log¢`x를 y축에 대하여 대칭이동한 후, x축의 방 향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 경우 곡선 y=log¢`x를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프를

나타내는 식은 y=log¢`(-x)이고, 이 곡선을 x축의 방 향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만큼 평행이동한 그래 프를 나타내는 식은

y=log¢`(-x+m)+n 즉, f(x)=log¢`(-x+m)+n

이때 다음 그림과 같이 곡선 y=f(x)에서  f(k)>1이 므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다.

Y

Z ZG Y

G L M

0



 L

#



ZMPH² Y

ZMPH² Y

Y Z

ZG Y M

0





 # L



ZMPH² Y ZMPH² Y G L

Ú, Û에서 곡선 y=f(x)의 점근선은 직선 x= 5 1-2¹⁰ 이다.

 ⑤

1<log£`4<log£`5<log£`6<2 이므로 세 곡선

y=;4!;_{;3!;}^x-1-;4%;, y=log£`(x+4), y=3^x-4 로 둘러싸인 도형의 경계 및 내부의 점 중 x좌표와 y좌 표가 모두 정수인 점은

(-1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1) 로 그 개수는 6이다. (참)

ㄷ. 점 C는 직선 y=x 위의 점이므로 점 C의 좌표를 (t, t)`(t>0)이라 하자.

점 C에서 두 점 A, B를 지나는 직선 y=-x에 내린 수선의 발은 원점 O이고, ABÓ=2'2이므로 삼각형 ABC의 넓이 S는

S=;2!;_ABÓ_OCÓ=;2!;_2'2_t'2=2t

한편 ;2#;<t<2임을 다음과 같이 ;2#;-g{;2#;}과 2-g(2) 의 부호를 통해 알 수 있다.

;2#;-g{;2#;}=;2#;-(3^;2#;-4)=:Á2Á:-3'3 이때 :Á2Á:>0, 3'3>0이고

{:Á2Á:}Û`-(3'3)Û`= 1214 -27>0이므로

;2#;-g{;2#;}>0 yy`㉠

또한 2-g(2)=2-(3Û`-4)=-3이므로 2-g(2)<0 yy`㉡

㉠, ㉡에서 점 C의 x좌표 t는 ;2#;보다 크고 2보다 작다.

즉, ;2#;<t<2

따라서 삼각형 ABC의 넓이 S는 3<S=2t<4 (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

 ⑤

함수 y=log¢`x+14에서 log¢`x=y-14

x=4^y-14 x=2^2y-28

x와 y를 서로 바꾸면 y=2^2x-28

즉, 함수 y=log¢`x+14의 역함수는 y=2<sup>2x-28</sup>이고 두 함수 y=log¢`x+14, y=2^2x-28의 그래프는 직선 y=x에 대하 여 대칭이다.

3

이때 2^2x-28=2^x-12에서 2x-28=x-12 x=16

이므로 두 함수 y=2^2x-28, y=2^x-12의 그래프의 교점은 점 (16, 16)이다.

또 두 함수 y=2^2x-28, y=2^x-12의 그래프는 각각 점 (14, 1), 점 (12, 1)을 지난다.

위의 그림에서 집합

C={(x, y)|2^2x-28ÉyÉx, x, y는 자연수}에 대하여 n(A)=n(C)이고 B,C이므로

n(A)-n(B)=n(C)-n(B)=n(C-B) C-B={(x, y)|2^2x-28Éy<2^x-12, x, y는 자연수}

'{(x, y)|y=x, x, y는 16 이하의 자연수}

2^2x-28Éy<2^x-12을 만족시키는 자연수 x, y의 모든 순서쌍

은 x의 값에 따라 다음과 같다.

1ÉxÉ12일 때, y의 값은 존재하지 않는다.

x=13일 때, ;4!;Éy<2이므로 y의 값은 1이다.

x=14일 때, 1Éy<4이므로 y의 값은 1, 2, 3이다.

x=15일 때, 4Éy<8이므로 y의 값은 4, 5, 6, 7이다.

x>15일 때, y의 값은 존재하지 않는다.

그러므로 2^2x-28Éy<2^x-12을 만족시키는 자연수 x, y의 모 든 순서쌍은 (13, 1), (14, 1), (14, 2), (14, 3), (15, 4), (15, 5), (15, 6), (15, 7)로 그 개수는 8이다.

또 y=x를 만족시키는 16 이하의 두 자연수 x, y의 순서쌍 은 (1, 1), (2, 2), (3, 3), y, (16, 16)으로 그 개수는 16이다.

따라서 n(A)-n(B)=n(C-B)=8+16=24

 24 Y

Z

0 

 ZMPHe Y

ZY

Z™ˆ‘™d Zˆ‘˜™

지수함수와 로그함수의 도함수

02

유제

1 4 2 ④ 3 ⑤ 4 ④ 5 ⑤ 6 ② 7 ③ 8 ④

x`Ú¦lim logª`x=¦에서 lim

x`Ú¦  1logª`x =0이므로

x`Ú¦lim logª`x+log¢`x log¥`2x =lim

x`Ú¦ logª`x+log2Û``x log2Ü``2x

  =lim<sub>x`Ú¦</sub> logª`x+;2!;`logª`x

;3!;`logª`2x

  =lim

x`Ú¦  ;2#;`logª`x

;3!;+;3!;`logª`x

  =lim

x`Ú¦ 

3 2

;3!;_ 1logª`x +;3!;

  = ;2#;

0+;3!;=;2(;

 ④

2

x`Ú¦lim 2^2x+1+3^x-1 2^2x-1+3^1-x=lim

x`Ú¦ 2+;3!;_{;4#;}^x

;2!;+3_{;1Á2;}^x 이때 0<;4#;<1, 0<;1Á2;<1이므로 lim_x`Ú¦{;4#;}^x=0,

x`Ú¦lim{;1Á2;}^x=0이다.

따라서

x`Ú¦lim 2^2x+1+3^x-1 2^2x-1+3^1-x=lim

x`Ú¦ 2+;3!;_{;4#;}^x

;2!;+3_{;1Á2;}^x

  = 2+0

;2!;+0=4

 4

1

limx`Ú=0 ln(1+axÛ`)

2xÛ`+b =6에서

limx`Ú=0 ln`(1+axÛ`)=0이고 0이 아닌 극한값이 존재하므로

limx`Ú=0 (2xÛ`+b)=0+b=0 이어야 한다. 즉, b=0 이때 a=0이면 limx`Ú=0 ln(1+axÛ`)

2xÛ`+b =lim<sub>x`Ú=0</sub> ln`1

2xÛ`=lim<sub>x`Ú=0</sub> 0+6 이므로 a+0이다.

따라서

limx`Ú=0 ln(1+axÛ`)

2xÛ`+b =lim<sub>x`Ú=0</sub> ln(1+axÛ`) 2xÛ`

  =;2A;_lim<sub>x`Ú=0</sub> ln(1+axÛ`) axÛ`

  =;2A;_1=;2A;=6 즉, a=12이므로

a+b=12+0=12

 ④

4

limx`Ú=2 `f(x)-f(2)

xÛ`-4 =lim<sub>x`Ú=2</sub> [`f(x)-f(2)

x-2 _ 1x+2 ]   =;4!; f '(2)

함수 f(x)=2^x+4^x에서 f '(x)=2^x`ln`2+4^x`ln`4

=2^x`ln`2+(2^x)Û`_2`ln`2

=2^x`ln`2_(1+2^x+1) 이므로

5

x`Ú¦lim {2+;[@;}^2x 4^x-1+2^x =lim

x`Ú¦ [2{1+;[!;}]<sup>2x</sup> (2Û`)^x-1+2^x

  =lim_x`Ú¦ 2^2x_[{1+;[!;}^x]²

;4!;_2^2x+2^x

  =lim

x`Ú¦ [{1+;[!;}^x]²

;4!;+{;2!;}^x

  = eÛ`

;4!;+0=4eÛ`

 ⑤

3

함수 f(x)=(ax+b)e^x에 대하여 곡선 y=f(x)가 점 (1, e)를 지나므로

f(1)=(a+b)e=e a+b=1 yy`㉠

f '(x) =(ax+b)'_e^x+(ax+b)_(e^x)'

=a_e^x+(ax+b)_e^x

=e^x(ax+a+b)

곡선 y=f(x) 위의 점 (1, e)에서의 접선의 기울기가 3e이 므로

f '(1)=e(2a+b)=3e 2a+b=3 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=-1

즉, f(x)=(2x-1)e^x이고 f '(x)=e^x(2x+1)

이때 곡선 y=f(x) 위의 점 (p, q)에서의 접선의 방정식이 y=q이므로 접선의 기울기는 0이다.

즉, f '(p)=0이므로 f '(p)=e ^p(2p+1)=0 e^p>0이므로

2p+1=0 p=-;2!;

따라서 q=f(p)=f {-;2!;}=-2e^-;2!;이므로 pq=-;2!;_(-2e^-;2!;)=e^-;2!;

ln`(pq)=ln`e^-;2!;=-;2!;

 ②

6

f(x)=lim

t`Ú¦ logª`[x {1+;t@;}^t ]

=limt`Ú¦ [logª`x+logª`{1+;t@;}^t ]

=logª`x+lim<sub>t`Ú¦</sub> logª`[{1+;t@;}^;2T; ]²

=logª`x+logª`eÛ`

=logª`x+2`logª`e 이므로

7

limx`Ú=2 `f(x)-f(2)

xÛ`-4 =;4!; f '(2)

  =;4!;_2Û``ln`2_(1+2Û`⁺¹)

  =9`ln`2

 ⑤

f '(x)= 1 x`ln`2 따라서

`f(e)

f '(e)=logª`e+2`logª`e e`ln`21

= 3`logª`e e`ln`21

= ln`23 e`ln`21

=3e

 ③

f(x)= 3^x (ln`3)Û`에서 f(0)= 1

(ln`3)Û`이고 f '(x)= 3<sup>x`</sup>ln`3

(ln`3)Û`= 3ln`3 이므로 <sup>x</sup> f '(0)= 1ln`3

또한 g(x)=log£`x에서 g'(x)= 1

x`ln`3 이므로 g'(a)= 1 a`ln`3

이때 두 접선이 서로 평행하므로 두 접선의 기울기가 같다.

즉, f '(0)=g'(a)이므로 ln`3 =1 1

a`ln`3 a=1

g(1)=log£`1=0

따라서 A{0, 1(ln`3)Û` }, B(1, 0)이므로 삼각형 OAB의 넓이는

;2!;_OAÓ_OBÓ=;2!;_ 1(ln`3)Û`_1= 1 2 (ln`3)Û`

 ④

8

1 ① 2 ② 3 18 4 ③ 5 ②

Level

1 ^{기초 연습}

x`Ú-¦lim 2^2x+{;3!;}^x+1

2^2x+1+{;3!;}^x에서 -x=t라 하면 x`Ú-¦일 때 t`Ú¦이고 lim_t`Ú¦ {;1Á2;}^t=0이므로

x`Ú-¦lim 2^2x+{;3!;}^x+1 2^2x+1+{;3!;}^x=lim

t`Ú¦ 2^-2t+{;3!;}^-t+1 2^-2t+1+{;3!;}^-t

  =lim

t`Ú¦ {;4!;}^t+;3!;_3^t 2_{;4!;}^t+3^t

  =lim

t`Ú¦ {;1Á2;}^t+;3!;

2_{;1Á2;}^t+1   =0+;3!;

0+1 =;3!;

 ①

x`Ú-¦lim 12^x=0이므로

x`Ú-¦lim 2^2x+{;3!;}^x+1 2^2x+1+{;3!;}^x= lim

x`Ú-¦ 4^x+;3!;_{;3!;}^x 2_4^x+{;3!;}^x

  = lim

x`Ú-¦ 12^x+;3!;

2_12^x+1

  =0+;3!;

0+1 =;3!;

1

x`Ú¦lim{1+;[^;+ 9xÛ` }

kx=lim

x`Ú¦[{1+;[#;}²]^kx

=limx`Ú¦ {1+;[#;}^2kx

=limx`Ú¦[{1+;[#;}^;3{;]^6k

=e^6k=e¹² 따라서 6k=12에서

k=2

 ②

2

limx`Ú0

`f(x)

e^x-1=3에서 lim<sub>x`Ú0</sub> `f(2x)

e^2x-1=3이므로

3

limx`Ú0

`f(x)f(2x) ln`(xÛ`+1)

=limx`Ú0[`f(x) e^x-1 _

`f(2x)

e^2x-1_ xÛ`

ln`(xÛ`+1) _ e^x-1

x _e^2x-1 x ]

=lim<sub>x`Ú0</sub> `f(x) e^x-1_lim

x`Ú0

`f(2x) e^2x-1_lim

x`Ú0

ln`(xÛ`+1)`xÛ`

_limx`Ú0 e^x-1 x _2 lim

x`Ú0 e^2x-1 2x

=3_3_1_1_2=18

 18 함수 f(x)=a`logb`x+c에 대하여 곡선 y=f(x)가 점 (1, 2)를 지나므로

f(1)=a`logb`1+c=0+c=2 c=2

또한 곡선 y=f(x)가 점 (2, 5)를 지나므로 f(2)=a`logb`2+2=5

a`logb`2=3 a= 3

log_b`2 =3`logª`b

따라서 함수  f(x)=a`logb`x+2에서  f '(x)= a x`ln`b 이 므로 곡선 y=f(x) 위의 점 (2,  f(2))에서의 접선의 기울 기 f '(2)의 값은

f '(2)= a2`ln`b =3`logª`b 2`ln`b =

3_ ln`bln`2 2`ln`b = 3

2`ln`2

 ③

4

f(x)=2^x-1=;2!;_2^x에서 f '(x)=;2!;_2^x`ln`2=2^x-1`ln`2

g(x)=logª`2x=logª`2+logª`x=1+logª`x에서 g'(x)= 1

x`ln`2 따라서

limh`Ú0 `f(1+h)g(1-h)-f(1+h)g(1)-f(1)g(1-h)+f(1)g(1) hÛ` 

=limh`Ú0 `f(1+h){g(1-h)-g(1)}-f(1){g(1-h)-g(1)}

hÛ` 

=limh`Ú0

{ f(1+h)-f(1)}{g(1-h)-g(1)}

h²

=limh`Ú0

`f(1+h)-f(1)

h _lim

h`Ú0

g(1-h)-g(1)

-h _(-1)

5

1 ④ 2 ④ 3 16 4 ④

Level

2 ^{기본 연습}

두 점 A, B는 각각 직선 x=t`(t>0)이 두 곡선 y=f(x), y=g(x)와 만나는 점이므로

A(t, 3^t-1), B(t, logª`(t+1)) 한편 t=3<sup>x</sup>-1에서 3<sup>x</sup>=t+1 x=log£`(t+1)

이므로 직선 y=t`(t>0)이 곡선 y=f(x)와 만나는 점 C 의 좌표는 (log£`(t+1), t)이다.

또 t=logª`(x+1)에서 x+1=2^t

x=2^t-1

이므로 직선 y=t`(t>0)이 곡선 y=g(x)와 만나는 점 D 의 좌표는 (2^t-1, t)이다.

따라서

SÁ(t)=;2!;_ABÓ_t=;2T;_|(3^t-1)-logª`(t+1)|

Sª(t)=;2!;_CDÓ_t=;2T;_|(2^t-1)-log£`(t+1)|

이므로

t`Ú0+lim SÁ(t) Sª(t)= lim

t`Ú0+

;2T;_|(3^t-1)-logª`(t+1)|

;2T;_|(2^t-1)-log£`(t+1)|

= lim

t`Ú0+

|

|

= lim

t`Ú0+

|

|

=

|

|

1

=f '(1)_g'(1)_(-1)

=(2â``ln`2)_ 1ln`2 _(-1)=-1

 ②

=|ln`3`(ln`3`_ln`2-1) ln`2`(ln`3`_ln`2-1) |

=|ln`3 ln`2 |

=|logª`3|=logª`3

 ④

limx`Ú0 e^ax+3e^bx-4 2x =lim

x`Ú0{ e^ax-1

2x +3_e^bx-1 2x }

  =lim

x`Ú0{;2A;_ e^ax-1 ax +3b

2 _e^bx-1 bx } 이때 ax=t, bx=s라 하면 x`Ú 0일 때 t`Ú 0, s`Ú 0이 므로

limx`Ú0 e^ax+3e^bx-4 2x =lim

x`Ú0{;2A;_ e^ax-1 ax +3b

2 _e^bx-1 bx }   =;2A; lim_t`Ú0 e^t-1

t +3b 2 lim

s`Ú0 e^s-1 s   =;2A;_1+ 3b2 _1

  = a+3b2 =10 a+3b=20 yy`㉠

방정식 ㉠을 만족시키는 두 자연수 a, b를 순서쌍 (a, b)로 나타내면

(2, 6), (5, 5), (8, 4), (11, 3), (14, 2), (17, 1) 이고, ab의 값은 각각 12, 25, 32, 33, 28, 17이므로 ab의 최댓값은 33이다.

 ④

2

p(x)=logª`x라 하면 p(2)=logª`2=1이고 p'(x)= 1

x`ln`2 이다.

limx`Ú2

`f(x)-1

logª`x-1 =4에서 x`Ú 2일 때 (분모)`Ú 0이고 극한 값이 존재하므로 (분자)`Ú 0이어야 한다.

즉, lim

x`Ú2{ f(x)-1}=f(2)-1=0, f(2)=1이므로 limx`Ú2

`f(x)-1 logª`x-1 =limx`Ú2

`f(x)-f(2) p(x)-p(2)

=limx`Ú2

`f(x)-f(2) x-2 p(x)-p(2)

x-2

=`f '(2) p'(2)=4 f '(2)=4p'(2)=4_ 12`ln`2 = 2

ln`2

3

x`Ú16lim

2-g(x)

2-log¢`x =8에서 x`Ú 16일 때 (분모)`Ú 0이고 극한값이 존재하므로 (분자)`Ú 0이어야 한다.

즉, lim

x`Ú16{2-g(x)}=2-g(16)=0, g(16)=2이고

log¢`x=;2!;`logª`x=;2!; p(x) p(16)=logª`16=logª`2Ý`=4 이므로

x`Ú16lim

`2-g(x) 2-log¢`x =limx`Ú16

g(16)-g(x)

;2!;p(16)-;2!;p(x)

=2 lim

x`Ú16

g(x)-g(16) p(x)-p(16)

=2 lim

x`Ú16

g(x)-g(16) x-16 p(x)-p(16)

x-16

=`2g'(16) p'(16) =8 g'(16)=4p'(16)=4_ 1

16`ln`2 = 1 4`ln`2 따라서

limh`Ú0

`f(2+2h)-1

g(16+h)-2=lim<sub>h`Ú0</sub> `f(2+2h)-f(2) g(16+h)-g(16)

=lim_h`Ú0

2_`f(2+2h)-f(2) 2h g(16+h)-g(16)

h

=2 f '(2) g'(16)

= 2_ 2

ln`2 1 4`ln`2

=16

 16

ln`x+a+1Éf(x)Ée<sup>x-1</sup>+a에 x=1을 대입하면 ln`1+a+1Éf(1)Ée^1-1+a

a+1Éf(1)Éa+1 a+1Éa+bÉa+1이므로 b=1

즉, f(x)=ax+1이다.

x=1일 때, 세 함수 y=ln`x+a+1, y=f(x), y=e^x-1+a의 함숫값이 모두 a+1로 같으므로 일차함수 f(x)=ax+1이 x>0인 모든 실수 x에 대하여 주어진 부 등식을 만족시키려면 다음 그림과 같이 직선 y=ax+1이

4

1 8 2 ④ 3 ② 4 4

Level

3 ^{실력 완성}

3a<5b, 3a=5b, 3a>5b일 때로 나누어 주어진 식의 극 한값을 구하면 다음과 같다.

Ú 3a<5b일 때 0< 3a5b <1에서 lim

x`Ú¦ { 3a5b }

x=0이므로

limx`Ú¦

15_(3a)^x+15_(5b)^x (3a)^x+1+(5b)^x+1

=limx`Ú¦

15_{ 3a5b }

x+15

3a_{ 3a5b }

x+5b

= 0+150+5b =;b#;

1

두 곡선 y=ln`x+a+1, y=e^x-1+a와 점 (1, a+1)에서 접해야 한다.

즉, g(x)=e^x-1+a라 하면 f '(1)=g'(1)이어야 한다.

f '(x)=a, g'(x)=e^x-1이므로 f '(1)=g'(1)에서

a=e⁰=1

따라서 f(x)=x+1, f '(x)=1이므로 f '(1)+f(2)=1+3=4

 ④

h(x)=ln`x+a+1이라 하면 h'(x)=;[!;이고 f '(1)=h'(1)이어야 하므로

a=1

ZBY

B

ZMO YB ZFˆ‘˜ B

Y Z

0 

이때 집합 A의 원소 중 ;b#;의 값이 자연수가 되도록 하는 b의 값은 b=1 또는 b=3이다.

b=1일 때, 3a<5, 즉 a<;3%;를 만족시키는 집합 A의 원소 a의 값은 1이므로 순서쌍 (a, b)는 (1, 1)로 그 개 수는 1

b=3일 때, 3a<15, 즉 a<5를 만족시키는 집합 A의 원소 a의 값은 1, 2, 3, 4이므로 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)으로 그 개수는 4 Û 3a=5b일 때

x`Ú¦lim

15_(3a)^x+15_(5b)^x (3a)^x+1+(5b)^x+1

=limx`Ú¦

15_(3a)^x+15_(3a)^x (3a)^x+1+(3a)^x+1

=lim_x`Ú¦ 30_(3a)^x 6a_(3a)^x=;a%;

이때 집합 A의 원소 중 ;a%;의 값이 자연수가 되도록 하 는 a의 값은 a=1 또는 a=5이다.

a=1일 때, 3=5b를 만족시키는 집합 A의 원소 b의 값 은 존재하지 않는다.

a=5일 때, 15=5b, 즉 b=3이고 3<A이므로 순서쌍 (a, b)는 (5, 3)으로 그 개수는 1

Ü 3a>5b일 때 0< 5b3a <1에서 lim

x`Ú¦ { 5b3a }

x=0이므로

x`Ú¦lim

15_(3a)^x+15_(5b)^x (3a)^x+1+(5b)^x+1

=limx`Ú¦

15+15_{ 5b3a }

x

3a+5b_{ 5b3a }

x

= 15+03a+0 =;a%;

이때 집합 A의 원소 중 ;a%;의 값이 자연수가 되도록 하는 a의 값은 a=1 또는 a=5이다.

a=1일 때, 3>5b, 즉 b<;5#;을 만족시키는 집합 A의 원소 b의 값은 존재하지 않는다.

a=5일 때, 15>5b, 즉 b<3을 만족시키는 집합 A의 원소 b의 값은 1, 2이므로 순서쌍 (a, b)는

(5, 1), (5, 2)로 그 개수는 2

따라서 구하는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 (1+4)+1+2=8

 8

두 점 A(k, f(k)), B(k+1, f(k+1))에 대하여 ABÓ="Ã{(k+1)-k}Û`+{ f(k+1)-f(k)}Û`='5 { f(k+1)-f(k)}Û`=4

직선 AB의 기울기가 양수이므로 f(k+1)-f(k)

(k+1)-k =f(k+1)-f(k)>0

따라서  f(k+1)-f(k)=2이고 직선 AB의 기울기는 2 이다.

이때 함수 f(x)가 x=k+1에서 연속이고 kÉxÉk+1에 서 함수 y=f(x)의 그래프는 기울기가 b인 직선이므로 b=2, 즉 f(x)는

f(x)=

( { 9

aeÅ`+1 2x+1 c`ln`x+d

` (x<k) (kÉx<k+1) (x¾k+1) 함수 f(x)가 x=k에서 연속이므로

x`Úk-lim`f(x)= lim

x`Úk+`f(x)=f(k)

x`Úk-lim(ae^x+1)= lim

x`Úk+(2x+1)=2k+1

ae^k+1=2k+1

ae^k=2k yy`㉠

함수 f(x)가 x=k에서 미분가능하므로

h`Ú0-lim

`f(k+h)-f(k)

h = lim

h`Ú0+

`f(k+h)-f(k) h

h`Ú0-lim

(ae^k+h+1)-(ae^k+1) h

= lim

h`Ú0+

{2(k+h)+1}-(2k+1) h

ae^k_ lim

h`Ú0- e^h-1 h =lim

h`Ú0+ 2hh

ae^k_1=2, ae^k=2 yy`㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 k=1, a=;e@;이므로 f(x)는 f(x)=

( { 9

2e^x-1+1 2x+1 c`ln`x+d

` (x<1) (1Éx<2) (x¾2)

또한 함수 f(x)가 x=2에서 연속이므로

x`Ú2-lim`f(x)= lim

x`Ú2+`f(x)=f(2)

x`Ú2-lim(2x+1)= lim

x`Ú2+(c`ln`x+d)=c`ln`2+d

5=c`ln`2+d yy`㉢

즉, f(2)=5=c`ln`2+d

함수 f(x)가 x=2에서 미분가능하므로

h`Ú0-lim

`f(2+h)-f(2)

h = lim

h`Ú0+

`f(2+h)-f(2) h

2

h`Ú0-lim

{2(2+h)+1}-5 h

= lim

h`Ú0+

{c`ln`(2+h)+d}-(c`ln`2+d) h

h`Ú0-lim 2hh =;2C; lim

h`Ú0+ ln`{1+;2H;}

;2H; , 2=;2C;_1, c=4 c=4를 ㉢에 대입하면 d=5-c`ln`2=5-4`ln`2 따라서

ln`(abc)+d=ln`{;e@;_2_4}+(5-4`ln`2)

=(4`ln`2-1)+(5-4`ln`2)

=4

 ④

f(x)=e^x-1이라 하면 f '(x)=e^x이므로 점 A(t, e^t-1)에서의 접선 l의 기울기는 f '(t)=e^t이고 접선 l의 방정식은 y=e^t(x-t)+e^t-1

직선 l이 y축과 만나는 점 B의 좌표는 (0, -te^t+e^t-1) 이때 곡선 y=e^x-1 위의 점 중 제 1 사분면 위에 있는 점에 서의 접선의 y절편은 항상 음수이므로

OBÓ=|-te^t+e^t-1|=te^t-e^t+1 따라서 삼각형 AOB의 넓이 S(t)는

S(t)=;2!;_t_(te^t-e^t+1)=;2!;tÛ`e^t-;2!;te^t+;2!;t 이므로

S '(t)

=;2!;_2t_e^t+;2!;_tÛ`_e^t-;2!;_1_e^t-;2!;_t_e^t+;2!;

=;2!;e^t(tÛ`+t-1)+;2!;

따라서

S '(1)=;2!;e(1+1-1)+;2!;=;2ÉE;+;2!;

 ②

3

g(x)=x²ⁿ⁺¹+1이라 하면 g(-1)=0이므로 g(x)는 x+1을 인수로 갖는다.

g(x)를 x+1로 나누었을 때의 몫을 조립제법을 이용하여 구하면 다음과 같다.

-1 1 0 0 0 y 0 0 1

-1 1 -1 y -1 1 -1

1 -1 1 -1 y -1 1 0

4

즉, x²ⁿ⁺¹+1=(x+1)(x²ⁿ-x^2n-1+x^2n-2-y-x+1) an= lim_x`Ú-1 x²ⁿ⁺¹+1

`f(x+2)

= lim<sub>x`Ú-1</sub>(x+1)(x<sup>2n</sup>-x<sup>2n-1</sup>+x<sup>2n-2</sup>-y-x+1) k(x+2)Û``ln`(x+2)

= lim<sub>x`Ú-1</sub>[ x+1ln`(x+2)

_ x²ⁿ-x^2n-1+x^2n-2-y-x+1 k(x+2)Û` ] 이때 x+1=t라 하면 x`Ú -1일 때, t`Ú 0이므로

x`Ú-1lim x+1ln`(x+2)=lim<sub>t`Ú0</sub> t ln`(t+1)

=lim<sub>t`Ú0</sub> 1 ln`(t+1)

t

=;1!;=1 따라서

an= lim

x`Ú-1 x+1ln`(x+2) _ lim

x`Ú-1 x<sup>2n</sup>-x<sup>2n-1</sup>+x<sup>2n-2</sup>-y-x+1 k(x+2)Û`

=1_1-(-1)+1-y-(-1)+1 k(-1+2)Û`

= 2n+1k 이므로

an+1-an=2(n+1)+1

k - 2n+1k =;k@;=1 k=2

즉, f(x)=2xÛ``ln`x이고

f '(x)=4x_ln`x+2xÛ`_;[!;=4x`ln`x+2x 따라서

f '(2)-f(2)=(8`ln`2+4)-8`ln`2=4

 4

an을 다음과 같이 구할 수도 있다.

an= lim

x`Ú-1 x²ⁿ⁺¹+1

`f(x+2)

= lim

x`Ú-1

x²ⁿ⁺¹+1 k(x+2)Û``ln`(x+2)

=;k!; lim<sub>x`Ú-1</sub>[ 1 (x+2)Û`_ x

2n+1+1

`x+1 _ x+1 ln`(x+2) ]

yy`㉠

이때 g(x)=x²ⁿ⁺¹이라 하면

g(-1)=-1, g'(x)=(2n+1)x²ⁿ이므로

x`Ú-1lim x²ⁿ⁺¹+1 x+1 =lim

x`Ú-1

g(x)-g(-1)

x-(-1) =g'(-1)

=(2n+1)_(-1)²ⁿ

=2n+1

또한 x+1=t라 하면 x`Ú -1일 때, t`Ú 0이므로

x`Ú-1lim x+1ln`(x+2)=lim

t`Ú0

ln`(t+1)t =1 따라서 ㉠에서

an

=;k!;[ lim_x`Ú-1  1

(x+2)Û`_ lim

x`Ú-1 x

2n+1+1

`x+1 _ lim

x`Ú-1

ln`(x+2) ]x+1

=;k!;[ 11Û`_(2n+1)_1]

= 2n+1k

삼각함수의 뜻과 그래프

03

유제

1 5 2 ⑤ 3 ② 4 4 5 3 6 ③ 7 ③ 8 ⑤ 9 ④ 10 ①

삼각형 OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로

∠AOB=180ù-(75ù+75ù)

=30ù

=;6Ò;

그러므로 a=;6!;

또, 부채꼴 OAB의 넓이는

;2!;\_2Û`_\;6Ò;=;3Ò;

그러므로 b=;3!;

따라서

10(a+b)=10_{;6!;+;3!;}=10_;2!;=5

 5

1

∠AOB=h, OCÓ=r`(r>1)이라 하면 lÁ`:`lª=1`:`2에서 h`:`rh=1`:`2

그러므로 r=2

두 호 AB, CD와 두 선분 AC, BD로 둘러싸인 부분의 넓 이가 2이므로

;2!;_2Û`_h-;2!;_1Û`_h=2

;2#;h=2 h=;3$;

 ⑤

2

sin`h=;5#;이므로 cosÛ``h=1-sinÛ``h

=1-{;5#;}Û`=;2!5^;

3

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그러므로

cos`h=;5$; 또는 cos`h=-;5$;

한편 csc`h_tan`h<0에서 sin`h _1 sin`h

cos`h <0 cos`h<0

따라서 cos`h=-;5$;이므로 sec`h= 1cos`h =-;4%;

 ②

함수 y=-cos`x+k의 그래프는 함수 y=cos`x의 그래프 를 x축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 k만큼 평행 이동한 것이다.

한편 함수 y=-cos`x`(0ÉxÉ2p)의 그래프와 직선 y=2 는 다음 그림과 같다.

따라서 함수 y=-cos`x+k의 그래프가 직선 y=2와 서 로 다른 두 점에서 만나도록 하는 k의 값의 범위는

1<kÉ3

이므로 k의 최댓값은 3이다.

 3 Y

Z

0



 L L

ZDPT Y Z

5

sin`h+cos`h= '6

2 이므로 양변을 제곱하면 sinÛ``h+2`sin`h`cos`h+cosÛ``h=;2#;

1+2`sin`h`cos`h=;2#;

sin`h`cos`h=;4!;

따라서

tan`h+cot`h= sin`hcos`h +cos`h sin`h

= sinÛ``h+cosÛ``h cos`h`sin`h

= 1

cos`h`sin`h =4

 4

4

sec`{;2Ò;+h}+csc`(p+h)

= 1

cos`{;2Ò;+h}+ 1 sin`(p+h)

= 1

-sin`h + 1 -sin`h

=- 2sin`h yy`㉠

한편 cos`h=-;3!;에서 sinÛ``h=1-cosÛ``h

=1-{-;3!;}Û`

=;9*;

이때 p<h<;2#;p이므로

8

a>0이고 주기가 4p이므로

;aÒÒ;=4p

a=;4!;

이때 주어진 함수는 y=3`tan`;4{;+b이고 이 함수의 그래프 가 점 (3p, 2)를 지나므로

2=3`tan`;4#;p+b 2=(-3)+b b=5

따라서 ab=;4%;

 ③

6

tan`{;2Ò;+h}=-cot`h=- 1tan`h =-;2!;

tan`(p+h)=tan`h=2

tan`{;2#;p+h}=tan`{;2Ò;+h}=-cot`h=-;2!;

tan`(2p+h)=tan`h=2

⋮

따라서 Á10

k=1 tan { kp2 +h}=5[{-;2!;}+2]

=:Á2°:

 ③

7

cosÛ``x+sinÛ``x=1에서 cosÛ``x로 양변을 나누면 1+tanÛ``x=secÛ``x

그러므로 secÛ``x+tan`x-1<0에서 (1+tanÛ``x)+tan`x-1<0 tan`x`(tan`x+1)<0 -1<tan`x<0

이 부등식의 해는 함수 y=tan`x`{;2Ò;<x<;2#;p}의 그래프 가 직선 y=-1보다 위쪽에 있고 직선 y=0보다 아래쪽에 있는 x의 값의 범위이므로 다음 그림에서

;4#;p<x<p

따라서

a+b=;4#;p+p=;4&;p

 ④ Y

Z

0

ŎL

YwŽ

L Z

ZUBO Y

YŎL

9

2`cos`x+sec`x+3=0에서 2`cos`x+ 1cos`x +3=0 2`cosÛ``x+3`cos`x+1=0 (2`cos`x+1)(cos`x+1)=0 cos`x=-;2!; 또는 cos`x=-1

L ZŎ

Z

Y Z

0





L

ZDPT Y

ŽL ŽL

10

sin`h=-2'2

3 yy`㉡

따라서 ㉡을 ㉠에 대입하면

sec`{;2Ò;+h}+csc`(p+h)=- 2sin`h =3'2 2

 ⑤

이때 0<x<2p이고 cos`x+0인 x의 값의 범위에서 함수 y=cos`x의 그래프와 두 직선 y=-;2!;, y=-1이 만나는 점의 x좌표는

x=;3@;p 또는 x=p 또는 x=;3$;p  이때

tan`;3@;p=-'3, tan`p=0, tan`;3$;p='3 이므로 tan`x<1을 만족시키는 해는 x=;3@;p 또는 x=p

따라서 조건을 만족시키는 모든 x의 값의 합은

;3@;p+p=;3%;p

 ①

1 ② 2 ① 3 ② 4 ⑤

Level

1 ^{기초 연습}

sin`;3Ò;+tan`;3%;p=sin`;3Ò;+tan`{2p-;3Ò;}

=sin`;3Ò;+tan`{-;3Ò;}

=sin`;3Ò;-tan`;3Ò;

= '3 2 -'3

=- '3 2

 ②

두 각 ;3Ò;, ;3%;p를 나타내는 동경과 원 xÛ`+yÛ`=1이 만나는 두 점을 각각 P, Q라 하면 두 점 P, Q는 x축에 대하여 서 로 대칭이다.

Y

 





Z

0 2 1

1

w

w

Y™ Z™ 

1

한편 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 P'이라 하면

∠POP'=;3Ò;이므로 P{;2!;, '3

2 } 그러므로 sin`;3Ò;= '3

2

또, 점 Q는 점 P를 x축에 대하여 대칭이동한 점이므로 Q{;2!;, - '3

2 } 그러므로 tan`;3%;p=-'3 따라서

sin`;3Ò;+tan`;3%;p= '3

2 +(-'3)=-'3 2

이때 sin`x`cos`x<0에서 x는 제 2사분면의 각 또는 제 4사 분면의 각이므로

x=;3@;p 또는 x=;3%;p

따라서 모든 x의 값의 합은 ;3&;p이다.

 ②

y =cosÛ``x+2`sin`x+3

=(1-sinÛ``x)+2`sin`x+3

=-sinÛ``x+2`sin`x+4

이때 sin`x=t로 놓으면 -1ÉtÉ1이고 주어진 함수는 y =-tÛ`+2t+4=-(t-1)Û`+5

따라서 t=-1일 때 최솟값은 1, t=1일 때 최댓값은 5이 므로

m_M=1_5=5

 ①

2

4`sinÛ``x-3=0에서 sinÛ``x=;4#;

sin`x=- '3

2 또는 sin`x='3 2

이때 함수 y=sin`x`(0<x<2p)의 그래프와 직선 y=- '3

2 또는 직선 y='3

2 이 만나는 점의 x좌표는 다음 그림에서

x=;3Ò; 또는 x=;3@;p 또는 x=;3$;p 또는 x=;3%;p

3

Y

Z ZTJO Y

0





wŽ L L

Z

Z

ŽL ŽL

ŽL

10 이하의 자연수 n에 대하여 점 Bn이 제 1사분면에 있어야 하므로

0< np10 <;2Ò;, 0<n<5 그러므로 n의 최댓값은 4이므로 k=4

따라서 ∠AOB4=;5@;p이므로 부채꼴 OAB⁴의 넓이는

;2!;_5Û`_;5@;p=5p

 ⑤

4

∠AOB=h라 하면 부채꼴 OAB의 넓이가 1이므로

;2!;_1Û`_h=1 h=2

이때 점 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면

∠HOA=1 그러므로 ABÓ =2 AHÓ

=2_OAÓ_sin`1

=2`sin`1

 ②

1

1 ② 2 ④ 3 ① 4 ①

Level

2 ^{기본 연습}

)

0   "

#

좌표평면에서 중심이 원점 O인 원 xÛ`+yÛ`=1 위에 세 점 A{cos`;6%;p, sin`;6%;p}, B{cos`;6&;p, sin`;6&;p}, C{cos`:Á6Á:p, sin`:Á6Á:p}를 나타내면 다음 그림과 같다.

이때 점 A에서 x축에 내린 수선의 발을 A'이라 하면

∠AOA'=;6Ò;이므로 A{- '3

2 , ;2!;}

또, 점 B는 점 A를 x축에 대하여 대칭이동한 점이므로 B{- '3

2 , -;2!;}

또, 점 C는 점 A를 원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 C{ '3

2 , -;2!;}

따라서 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는

»{- '3

2 }+{-'3 2 }+'3

3 2 , ;2!;+{-;2!;}+{-;2!;}

3 ^¼

즉, {- '3

6 , -;6!;}이므로

;bA;='3

 ④ Y

 





Z

0

"

"

# w w $

w L Y™ Z™ 

2

y=sinÛ``{;2Ò;-x}+sinÛ``x+3`sin`2x

=cosÛ``x+sinÛ``x+3`sin`2x

=3`sin`2x+1

이 함수의 그래프는 함수 y=3`sin`2x의 그래프를 y축의 방 향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

이때 함수 y=3`sin`2x의 주기는 2p2 =p이므로 0ÉxÉp 에서 함수 y=3`sin`2x+1의 그래프는 다음 그림과 같다.

3

점 Pn의 좌표는 {cos`{ np2 +h}, sin`{np

2 +h}}이므로 an=cos`{ np2 +h}

이때

aÁ=cos`{;2Ò;+h}=-sin`h aª=cos`(p+h)=-cos`h

a£=cos`{;2#;p+h}=cos`[p+{;2Ò;+h}]

=-cos`{;2Ò;+h}=sin`h a¢=cos`(2p+h)=cos`h

a°=cos`{;2%;p+h}=cos`[2p+{;2Ò;+h}]

=cos`{;2Ò;+h}=-sin`h   ⋮

이므로

aÁ+aª+a£+a¢=a°+a¤+a¦+a¥=0 또,

a»=aÁ=-sin`h=-;1!3@;

또, 0<h<;2Ò;이므로

aÁ¼=aª=-cos`h=-"Ã1-sinÛ``h

=-¾Ð1-{;1!3@;}Û`=-;1°3;

따라서 Á10

k=1 ak={-;1!3@;}+{-;1°3;}=-;1!3&;

 ①

4

따라서 함수 y=3`sin`2x+1은 x=;4Ò;일 때, 최댓값 4를 가 지므로

a_M=;4Ò;_4=p

 ① Y

Z

0 L







Z TJO Y

ŎL

wŽ

wŽ

조건 (가)에서 넓이가 작은 부채꼴의 중심각의 크기를 a라 하면 넓이가 ;3%;p이므로

;2!;_2Û`_a=;3%;p a=;6%;p

  Y





Z

0 1

1 "

w

w L Y™ Z™ 

2

함수 y=a`cos`b(x-c)+d의 그래프는 함수

y=a`cos`bx의 그래프를 x축의 방향으로 c만큼, y축의 방 향으로 d만큼 평행이동한 것이다.

이때 f(x)의 최댓값과 최솟값의 차는 3-(-1)=4

이므로 a=2

또, 함수 y=f(x)의 그래프는 함수 y=2`cos`bx의 그래프 를 y축의 방향으로는 1만큼 평행이동한 것이므로

d=1

또, f(0)=f {;2Ò;}=0이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=;4Ò;에 대하여 대칭이고 함수 y=f(x)는 x=;4Ò;에서 최 댓값 3을 갖는다.

한편 함수 y=2`cos`bx의 그래프는 직선 x=0에 대하여 대 칭이고 함수 y=2`cos`bx는 x=0에서 최댓값 2를 갖는다.

한편 y=f(x)가 최댓값을 갖는 x의 값 중 가장 작은 값은

x=0+;2Ò;

2 =;4Ò;

3

부채꼴 OAB의 반지름의 길이가 1이고 호 AB의 길이가 h 이므로

∠AOB=h

한편 구하는 원의 중심을 C, 반지름의 길이를 r라 하면 OCÓ+r=1 yy`㉠

이때 점 C에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 H라 하면

∠COH=;2½;이므로 r=OCÓ`sin`;2½;

따라서 ㉠에서 OCÓ=1-r이므로 위 식에 대입하면 r=(1-r)`sin`;2½;

r {1+sin`;2½;}=sin`;2½;

r= sin`;2½;

1+sin`;2½;

 ②

1

1 ② 2 ⑤ 3 ④ 4 17

Level

3 ^{실력 완성}

0  ) "

$

#

D

조건 (나)에서 tan`h<sec`h`csc`h이므로 sin`h

cos`h < 1 cos`h`sin`h sinÛ``h-1

cos`h`sin`h <0 -cosÛ``h cos`h`sin`h <0 cos`h`sin`h>0

즉, cos`h`sin`h>0이므로 점 P는 제 3사분면의 점이다.

이때 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 P'이라 하면

∠POP'=;6Ò;이므로 P(-'3, -1)이고 cos`h=- '3

2 , sin`h=-;2!;

따라서

sin`h-csc`h=sin`h- 1sin`h

={-;2!;}-(-2)

=;2#;

 ⑤