로그에는 어떤 성질이 있을까?

로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 하기

로그의 정의와 지수법칙을 이용하여 로그의 성질을 알아보자.

a>0, a+1일 때, aâ`=1, aÚ`=a 이므로 로그의 정의에 따라

logŒ 1=0, logŒ a=1 이다.

또 M>0, N>0일 때,

logŒ M=m, logŒ N=n 으로 놓으면

aµ``=M, aÇ`=N

이므로 로그의 정의에 따라 다음이 성립함을 알 수 있다.

이상을 정리하면 다음과 같다.

로그의 성질

로그의 성질

a>0, a+1, M>0, N>0일 때

➊ logŒ 1=0, logŒ a=1 ➋ logŒ MN=logŒ M+logŒ N

➌ logŒ M

N=logŒ M-logŒ N  ➍ logŒ Mû`=k logŒ M (단, k는 실수) MN=aµ``aÇ`=a^m+n

 logŒ MN=m+n

 logŒ MN=logŒ M+logŒ N M N=aµ``

aÇ`=a^m-n

 logŒ M

N=m-n

 logŒ =logŒ M-logŒ N

Mû`=(aµ``)û`=a^mk

 logŒ Mû`=mk

 logŒ Mû`=k logŒ M (단, k는 실수)

➋ 진수의 곱셈은 로그의 덧셈으로 생각해.

➌ 진수의 나눗셈은 로그의 뺄셈으로 생각해.

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ logª '3§2 ⑵ log£ 1 '9

⑶ logÁª 4+logÁª 3 ⑷ logª 56-logª 7

3

문제

다음 식을 간단히 하시오.

⑴ ;2!; log£ ;5(;+log£ '5 ⑵ 2logª '1Œ2-logª ;4#;

4

문제

예제 다음 식을 간단히 하시오.

⑴ logª 3-2logª '6 ⑵ logÁ¼ '5+;2!; logÁ¼ 2

| 로그의 성질을 이용하여 계산하기

2

풀이 ▶ ⑴ logª 3-2 logª '6

⑴ =logª 3-logª ('6)Û`

⑴ =logª 3-logª 6

⑴ =logª ;6#;=logª ;2!;

⑴ =logª 2^-1

⑴ =-1

⑵ logÁ¼ '5+;2!;logÁ¼ 2

⑴ =;2!;logÁ¼ 5+;2!;logÁ¼ 2

⑴ =;2!;(logÁ¼ 5+logÁ¼ 2)

⑴ =;2!;logÁ¼ (5_2)

⑴ =;2!;logÁ¼ 10=;2!;

 ⑴ -1 ⑵ ;2!;

의사소통 생각을넓히는 수학

모둠별로 다음 4장의 카드에 적힌 로그의 계산에서 각각 잘못된 부분을 찾고, 로그의 성질을 이용할 때 주의해야 할 점을 서로 이야기하여 보자.

모둠활 동

로그의 성질이 뭐였더라?

a>0, a+1, b>0일 때, logŒ b를 1이 아닌 양수 c를 밑으로 하는 로그로 바꾸어 나타내는 방법을 알아보자.

logŒ b=x, log a=y로 놓으면 로그의 정의에 따라 aÅ`=b, c´`=a

이므로 지수의 성질에 따라 b=aÅ`=(c´`)Å`=c^xy

이다. 즉 로그의 정의에 따라 xy=log b이므로 logŒ b_log a=log b yy ㉠

이다. 그런데 a+1일 때, log a+0이므로 ㉠의 양변을 log a로 나누면 다음이 성립한다.

logŒ b=log b log a 이상을 정리하면 다음과 같다.

로그의 밑의 변환

다음 값을 구하시오.

⑴ log» 27 ⑵ log¥ ;1Á6;

5

문제

로그의 밑의 변환

a>0, a+1, b>0, c>0, c+1일 때 logŒ b=log b

log a

a, b가 1이 아닌 양수일 때, 다음이 성립함을 보이시오.

⑴ logŒ b= 1 logº a

⑵ logaµ`` bÇ`= n

m log_a b (단, m, n은 실수, m+0)

6

문제

로그의 밑을 변환하여 계산하기

로그는 경우에 따라 밑을 다른 수로 바꾸어

나타낼 수 있어!

logÁ¼ 2=a, logÁ¼ 3=b일 때, 다음을 a, b로 나타내시오.

⑴ logÁ¼ 12 ⑵ logª 72

⑶ log¥ '3 ⑷ log° 36

7

문제

예제 logÁ¼ 2=a, logÁ¼ 3=b일 때, log° 24를 a, b로 나타내시오.

| 로그의 밑의 변환 이해하기

3

풀이 ▶ log° 24를 10을 밑으로 하는 로그로 바꾸어 나타내면

log° 24=logÁ¼ 24 logÁ¼ 5

logÁ¼ 24를 a, b로 나타내면 logÁ¼ 24=logÁ¼(2Ü`_3)=logÁ¼ 2Ü`+logÁ¼ 3 logÁ¼ 24=3logÁ¼ 2+logÁ¼ 3=3a+b logÁ¼ 5를 a, b로 나타내면 logÁ¼ 5=logÁ¼ :Á2¼:=logÁ¼ 10-logÁ¼ 2

logÁ¼ 5=1-logÁ¼ 2=1-a 따라서 log° 24를 a, b로 나타내면 log° 24=3a+b

1-a

 3a+b 1-a

추론 생각을넓히는 수학

다음은 a, b, c가 1이 아닌 양수일 때, a ^{logº c}=c ^{logº a}

가 성립함을 보이는 과정이다. ㈎, ㈏, ㈐에 알맞은 것을 구하여 보자.

a^{logº c}=x라 하면 로그의 정의에 따라

logº c= ^㈎ yy ㉠

이때 ㉠의 양변을 각각 c를 밑으로 하는 로그로 바꾸면 logº c= 1_㈏ , ㈎ = log x

㈐ 이므로 1

㈏ = log x

㈐ 즉 log x= ^㈐_㈏ =logº a이므로 로그의 정의에 따라 x=c^{logº a} 따라서 a^{logº c}=c^{logº a}가 성립한다.

증명

스스로 확인하기

탐구 학습