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Ⅰ . 지수함수와 로그함수

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Academic year: 2022

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(1)

정답과 풀이

Ⅰ . 지수함수와 로그함수

05

Ⅱ . 삼각함수

22

Ⅲ . 수열

36

수학 Ⅰ

(2)

지수함수와 로그함수

빠른 정답 체크

유형 01 01-1 01-2 01-3 11 01-4 10

유형 02 02-1 02-2

유형 03 03-1 27 03-2

유형 04 04-1 61

유형 05 05-1

01 02 03 04 25 05 06 07 08 09 12 10 11 12 13 25 14 15

01 지수

본문 09~11쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |

본문 12~13쪽

02 로그

유형 01 35 01-1

유형 02 ⑴ 2 ⑵ ;4!; 02-1 10 02-2 20

유형 03 03-1

유형 04 04-1 91 04-2

유형 05 103 05-1 05-2

유형 06 06-1

본문 15~17쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 |

01 02 03 04 192 05 2 06 07 08 64 09 10 12 11 12 15 13 14

본문 18~19쪽

| 빈출 유형 마무리 |

04 로그함수

유형 01 01-1 01-2 01-3 01-4

유형 02 02-1 72 02-2 02-3 25

유형 03 03-1

유형 04 04-1 04-2

유형 05 05-1 05-2 6

본문 26~28쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 |

01 02 03 04 05 06 07 08 09 9 10 49 11 30 12 2 13 25 14 15 16

본문 29~30쪽

| 빈출 유형 마무리 |

03 지수함수

유형 01 01-1

유형 02 42 02-1 02-2 02-3

유형 03 03-1 03-2

유형 04 04-1 19 04-2

본문 21~22쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 |

01 5 02 03 04 05 06 07 25 08 09 17 10 11 12 13 50 14 15 15 16

본문 23~24쪽

| 빈출 유형 마무리 |

Speed Check

(3)

03 삼각함수의 활용

유형 01 01-1 01-2 9

유형 02 02-1

유형 03 03-1 03-2

유형 04 16 04-1

유형 05 05-1 05-2 17 05-3 05-4

유형 06 25 06-1

유형 07 07-1 07-2 36'2

본문 43~46쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 |

01 02 03 04 05 3 06 07 08 160 09 10 11 336 12 9 13 14 15 80

본문 47~48쪽

| 빈출 유형 마무리 |

유형 01 01-1 6

유형 02 02-1 02-2

유형 03 03-1 03-2 03-3 03-4

01 02 900 03 04 05 06 5 07 15 08 14

본문 33~34쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |

본문 35쪽

02 삼각함수의 그래프

유형 01 01-1

유형 02 02-1 1 02-2 ㄴ, ㄹ

유형 03 03-1 03-2

유형 04 04-1

유형 05 05-1 05-2 8

유형 06 06-1

본문 37~39쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 |

01 02 03 04 13 05 06 07 2 08 09 10 5 11 12 13 14 7 15 16

본문 40~41쪽

| 빈출 유형 마무리 |

(4)

빠른 정답 체크

Speed Check

03 수학적 귀납법

유형 01 01-1 18 01-2 93

유형 02 02-1 32

유형 03 03-1 03-2 03-3 03-4

유형 04 04-1

유형 05 05-1

본문 63~66쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 |

01 02 341 03 04 05 06 384 07 08 256 09 10 55 11 12 13 14

본문 67~69쪽

| 빈출 유형 마무리 |

수열

유형 01 01-1 01-2

유형 02 100 02-1 298

유형 03 03-1 03-2 12

유형 04 04-1 189

유형 05 80 05-1 05-2 9

유형 06 1150 06-1 510

유형 07 210 07-1 341 07-2

유형 08 20 08-1 180

01 02 03 04 05 120 06 600 07 89 08 09 10 11 12 90 13 14 222 15 16

01 등차수열과 등비수열

본문 51~54쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |

본문 55~56쪽

02 수열의 합

유형 01 01-1 25 01-2300

유형 02 02-1 9

유형 03 03-1 03-228

유형 04 04-1

본문 58~59쪽

| 내신 & 수능 빈출 유형 |

01 10 02 03 04 05 177 06 07 08 09 10 58 11 12 13 18 14 15 16 103

본문 60~61쪽

| 빈출 유형 마무리 |

(5)

Ú ~ Ü에서 구하는 집합 S의 원소의 개수는 

4+2+4=10    10

유형 02

x=3;2!;+3-;2!;이므로

xÛ`=(3;2!;+3-;2!;)Û`

=3+2_3;2!;_3-;2!;+3ÑÚ`

=3+2+;3!;=:Á3¤:

∴ 3xÛ`=3_;;Á3¤;;=16   ②

02-1

(12;4!;-3;4!;)(12;4!;+3;4!;)(12;2!;+3;2!;)

=(12;2!;-3;2!;)(12;2!;+3;2!;)

=12-3=9   ③

02-2

x=2;3!;+2-;3!;이므로

xÜ`=(2;3!;+2-;3!;)Ü`

=(2;3!;)Ü`+3_2;3!;_2-;3!;(2;3!;+2-;3!;)+(2-;3!;)Ü`

=2+3_1_x+;2!;

=;2%;+3x

∴ xÜ`-3x=;2%;   ③

유형 03

3Å`=30에서 3=30;[!;  yy ㉠

4´`=30에서 2Û`´`=30이므로 2=30;2Á];  yy ㉡

5½`=30에서 5=30;z!;  yy ㉢

㉠_㉡_㉢을 하면

3_2_5=30;[!;_30;2Á];_30;z!;

30=30;[!;+;2Á];+;z!;

따라서 ;[!;+;2Á];+;z!;=1이므로

;[@;+;]!;+;z@;=2{;[!;+;2Á];+;z!;}

=2_1=2   ②

03-1

30Å`=2에서 30=2;[!;  yy ㉠

{;5!;}y=4에서 {;5!;}y=2Û`이므로 ;5!;=2;]@;  yy ㉡ a½`=8에서 a½`=2Ü`이므로 a;3!;=2;z!;  yy ㉢

㉠_㉡Ö㉢을 하면 30_;5!;Öa;3!;=2;[!;_2;]@;Ö2;z!;

유형 01

-64의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-64이므로 xÜ`+64=0, (x+4)(xÛ`-4x+16)=0

∴ x=-4 또는 x=2Ñ2'3i

따라서 -64의 세제곱근 중 실수인 것은 -4이므로  a=-4

81의 네제곱근을 y라 하면 yÝ`=81이므로 yÝ`-81=0, (y+3)(y-3)(yÛ`+9)=0

∴ y=Ñ3 또는 y=Ñ3i

따라서 81의 네제곱근 중 양수인 것은 3이므로  b=3

∴ a+b=-4+3=-1   ②

01-1

¿¹Ü '6Œ4+Ü ¿¹Ü 'Ä-512 =ß "Å2ß`+Ü ÚÞÜ "Ã(-8)Ü` =2+Ü '¶-8 

=2+Ü "Ã(-2)Ü`=2+(-2)=0   ③

01-2

47 8 Ü 'Œx

16_'Œx_7 89_Ý 'Œx

ß 'Œx = Ý "ÅÜ 'Œx

Ý "Å2Ý`_Ý "Å'Œx_ "Å3Û`_"ÅÝ 'Œx

"Åß 'Œx

= Ú`Û 'Œx

2_¡ 'Œx_3_¡ 'Œx

Ú`Û 'Œx =;2#;   ②

01-3

'a_"a'aÖ¿¹a"a'a ='a_('a_Ý 'a)Ö('a_Ý 'a_¡ 'a)     = 'a_'a_Ý 'a

'a_Ý 'a_¡ 'a     = 'a¡ 'a= ¡"ÅaÝ`

¡ 'a"ÅaÜ`

따라서 m=8, n=3이므로 

m+n=11   11

01-4

Ú   a=3인 경우 

모든 실수 b에 대하여 Œ 'b 는 실수이므로 집합 S의 원소의 개수 는 (3, -3), (3, -1), (3, 0), (3, 1)의 4이다.

Û   a=4인 경우 

b가 0 이상의 실수일 때만 Œ 'b 가 실수이므로 집합 S의 원소의  개수는 (4, 0), (4, 1)의 2이다.

Ü   a=5인 경우 

Ú과 같은 방법으로 집합 S의 원소의 개수는     (5, -3), (5, -1), (5, 0), (5, 1)의 4이다.

내신&수능

빈출 유형

본문 09~11쪽

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

01 | 지수

(6)

6Öa;3!;=2;[!;+;]@;-;z!;

이때, ;[!;+;]@;-;z!;=1이므로 6Öa;3!;=2, 6=2a;3!; ∴ a;3!;=3

∴ a=(a;3!;)Ü`=3Ü`=27  27

03-2

aÅ`=9에서 a=9;[!; yy ㉠

b´`=9에서 b=9;]!; yy ㉡

c½`=9에서 c=9;z!; yy ㉢

㉠_㉡_㉢을 하면 abc=9;[!_9;]!;_9;z!;

abc=9;[!;+;]!;+;z!;

이때, abc=27이므로 9;[!;+;]!;+;z!;=27, 32{;[!;+;]!;+;z!;}=3Ü`

2{;[!;+;]!;+;z!;}=3 ∴ ;[!;+;]!;+;z!;=;2#;

∴ xy+yz+zx

xyz =;[!;+;]!;+;z!;=;2#;  ②

유형 04

A="Ã2`Ü '3=ß "Ã2Ü`_3=ß '2Œ4 B=Ü "2'3=ß "Ã2Û`_3=ß '1Œ2 C="2`Ü '2=ß "Ã2Ü`_2=ß '1Œ6

이때, 12<16<24이므로 ß '1Œ2<ß '1Œ6<ß '2Œ4

∴ B<C<A  ④

04-1

Ü "2`Ý '2=Ú`Û "Ã2Ý`_2=Ú`Û '3Œ2 Ý "3`Ü '3=Ú`Û "Ã3Ü`_3=Ú`Û '8Œ1 ß "2'5=Ú`Û "Ã2Û`_5=Ú`Û '2Œ0

이때 20<32<81이므로 Ú`Û '2Œ0<Ú`Û '3Œ2<Ú`Û '8Œ1

∴ ß "2'5<Ü "2`Ý '2<Ý "3`Ü '3

따라서 가장 큰 수 M=Ý "3`Ü '3이고, 가장 작은 수 m=ß "2'5이므

MÚ`Û`-mÚ`Û` =(Ý "3`Ü '3)Ú`Û`-(ß "2'5 )Ú`Û`

=81-20=61  61

유형 05

붕괴되기 시작하여 20년 후의 질량이 ;2!;A이므로 Ap:ª2¼:=;2!;A ∴ pÚ`â`=;2!;

따라서 붕괴되기 시작하여 50년 후의 질량은 Ap:°2¼:=A(pÚ`â`);2%;

=A{;2!;};2%;= '2

8 A  ③

빈출 유형 마무리

본문 12~13쪽

01 02 03 04 25 05 ⑤` 06 07 08 09 12 10 11 12 13 25 14 15

01

10의 10제곱근 중 실수인 것의 개수는 Ú`â '1Œ0, -Ú`â '1Œ0의 2이므로

`f(10)=2

11의 11제곱근 중 실수인 것의 개수는 Ú`Ú '1Œ1의 1이므로

`f(11)=1

12의 12제곱근 중 실수인 것의 개수는 Ú`Û '1Œ2, -Ú`Û '1Œ2의 2이므로

`f(12)=2

f(10)+f(11)+f(12)=2+1+2=5  ⑤

02

Ç`"Å8¡`ÑÇ`=88-nn =(2Ü`)8-nn =224n -3 에서 자연수가 되려면 지수인 24

n -3이 0 또는 자연수이어야 한다.

이때, 2á`=512>500이므로 0É 24n -3<9

∴ 3É 24n <12 그런데 24

n 가 자연수이어야 하므로 24n =3, 4, 6, 8

따라서 n은 8, 6, 4, 3이므로 구하는 n의 값의 합은

3+4+6+8=21  ①

05-1

수도관 A의 단면인 원의 반지름의 길이는 4이고, 기울기는 0.01 이므로

v=c_{ p_4Û`2p_4 }

;3@;_(0.01);2!;

=c_2;3@;_0.1

수도관 B의 단면인 원의 반지름의 길이는 64이고, 기울기는 0.04 이므로

võ=c_{ p_64Û`2p_64 }

;3@;_(0.04);2!;

=c_2:Á3¼:_0.2

v =c_2:Á3¼:_0.2

c_2;3@;_0.1=2;3*;_2=2:Á3Á:  ④

(7)

03 Ü '4-2 Ü '2

'2+ß '3Œ2+'2= 2;3@;-2;3$;

2;2!;+2;6%;+'2      = 2;3@;(1-2;3@;)

2;2!;(1+2;3!;)+'2

    =2;3@;-;2!;_ (1-2;3!;)(1+2;3!;)

1+2;3!; +'2     =2;6!;(1-2;3!;)+'2

    =2;6!;-2;2!;+'2

    =ß '2-'2+'2=ß '2   ①

04

a+aÛ`+aÜ`

aÑÚ`+aÑÛ`+aÑÜ`의 분모, 분자에 aÜ`을 곱하면  (a+aÛ`+aÜ`)aÜ`

(aÑÚ`+aÑÛ`+aÑÜ`)aÜ`= (1+a+aÛ`)aÝ`aÛ`+a+1 =aÝ`

이때, a='5이므로

aÝ`=('5 )Ý`=5Û`=25   25

05

(x-xÑÚ`)Û`=xÛ`+xÑÛ`-2=5-2=3

이때, x>1이므로 x>xÑÚ`    ∴ x-xÑÚ`='3

∴ xÜ`-xÑÜ` =(x-xÑÚ`)Ü`+3_x_xÑÚ`(x-xÑÚ`) 

=('3)Ü`+3_1_'3=6'3   ⑤

06

2Å`+2ÑÅ`=3이므로 8Å`+8ÑÅ`+2

4Å`+4ÑÅ`-2=(2Å`+2ÑÅ`)Ü`-3(2Å`+2ÑÅ`)+2 (2Å`+2ÑÅ`)Û`-2-2

= 3Ü`-3_3+23Û`-4 =:ª5¼:=4   ④

07 aÜ`Å`+aÑÜ`Å`

aÅ`+aÑÅ` 의 분모, 분자에 aÅ` 을 곱하면   aÜ`Å`+aÑÜ`Å`

aÅ`+aÑÅ` = aÝ`Å`+aÑÛ`Å `aÛ`Å`+1 =(aÛ`Å`)Û`+ 1aÛ`Å ` aÛ`Å`+1     

=('2+1)Û`+ 1'2+1

'2 +1+1 =3+2'2+'2-1 2+'2     

=2+3'2

2+'2 =(2+3'2)(2-'2) (2+'2)(2-'2)

=;2!;(4-2'2+6'2-6)=2'2-1   ②

08

x=ß '2+ 1ß '2이므로 

xÜ`={ß '2+ 1ß '2 }3` 

=(ß '2)Ü`+{ 1ß '2 }3`+3_ß '2_ 1ß '2 {ß '2+ 1ß '2 } 

='2+ 1'2+3{ß '2+ 1ß '2 } 

='2+ '2

2 +3x=3'2 2 +3x

∴ xÜ`-3x=3'2 2

이 식의 양변을 제곱하면  (xÜ`-3x)Û`={3'2

2 }2`

xß`-6xÝ`+9xÛ`=;2(;

∴ 2xß`-12xÝ`+18xÛ` =2(xß`-6xÝ`+9xÛ`)   

=2_ 92=9   ③

09

ax=11에서 a=11;[!;이므로 aß`=11;[^;  yy ㉠ b2y=11에서 b=11;2Á];이므로 bß`=11;]#;  yy ㉡ c3z=11에서 c=11;3Áz;이므로 cß`=11;z@;  yy ㉢

㉠_㉡_㉢을 하면 aß`bß`cß`=11;[^;_11;]#;_11;z@;

(abc)ß`=11;[^;+;]#;+;z@;

이때, abc=121=11Û`이므로 11Ú`Û`=11;[^;+;]#;+;z@;

∴ ;[^;+;]#;+;z@;=12   12

10

4Å`="½3´`=M, 즉 2Û`Å`=3;2};=M (M>0)이라 하면

2Û`Å`=M에서 2=M ;2Á[;  yy ㉠

3;2};=M에서 3=M ;]@;이므로 9=M ;]$;  yy ㉡

㉠_㉡을 하면 18=M ;2Á[;+;]$;

이때, 2Á[;+;]$;=2이므로 18=MÛ`

∴ M='1Œ8=3'2 (∵ M>0)

∴ 2Ý`Å` ±Ú`+3´` =2_(2Û`Å`)Û`+(3;2};)Û`  

=2MÛ`+MÛ` 

=2_18+18=54   ②

11

A-B =('2+Ü '3)-Ü '2Œ4 

='2+Ü '3-2 Ü '3 

='2-Ü '3   

=ß "Å2Ü`-ß "Å3Û` <0

∴ A<B  yy ㉠

(8)

또한 

A-C =('2+Ü '3 )-('2+ß '6 )  ` 

=Ü '3-ß '6   

=ß "Å3Û`-ß '6 >0

∴ A>C  yy ㉡

㉠, ㉡에서 C<A<B`   ④

12

S=aH ;5@; _W ;2!;에서

H=90, W=20일 때의 표면적이 SÁ이므로  SÁ=a_90;5@;_20;2!;

H=180, W=80일 때의 표면적이 Sª이므로  Sª=a_180;5@;_80;2!;

∴ 

SÁ =a_180;5@;_80;2!;

a_90;5@;_20;2!; ={ 18090 }

;5@;_{ 8020 }

;2!;

=2;5@;_4;2!;=2;5@;_2=2;5&;   ⑤

13

3a+b=4이고, 2a-b=5이므로 

3aÛ`-bÛ` =(3a+b)a-b=4a-b=(2Û`)a-b   

=(2a-b)2=52=25   25

14

Ü "½nµ  =nm3이 자연수가 되는 경우를 n의 값에 따라 나누어 생각해  보자.

Ú   n=1일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는   (1, 1), (2, 1), (3, 1)의 3이다.

Û   2ÉnÉ7일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는   (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7)의 6이다.

Ü   n=8일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는   (1, 8), (2, 8), (3, 8)의 3이다.

Ú ~ Ü에서 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는

3+6+3=12   ④

15

QQõ =0.01t1.25_W0.25 0.05t0.75_W0.30

=;5!;_t1.25-0.75_W0.25-0.30

=;5!;_ tW0.50.05

이때, t=20이고, W=8이므로  QQõ =;5!;_200.5

80.05= (2Û`_5)5_20.150.5

= 2_520.15_50.5=20.85_5-0.5 따라서 a=0.85, b=-0.5이므로 

a+b=0.35   ②

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

유형 01

a=log£`(3+2'2)에서 로그의 정의에 의하여  3Œ`=3+2'2

이므로 

9Œ`+ 23Œ`ÑÚ`=(3Œ`)Û`+ 63Œ`

=(3+2'2)Û`+ 6 3+2'2

=9+12'2+8+ 6(3-2'2) (3+2'2)(3-2'2)

=17+12'2+18-12'2=35   35

01-1

밑의 조건에서 kÛ`>0이고 kÛ`+1 

∴ k+0이고 k+-1이고 k+1  yy ㉠

진수의 조건에서 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-2kx+9>0이 성립해 야 하므로 이차방정식 xÛ`-2kx+9=0의 판별식을 D라 하면 

D4 =kÛ`-9<0, (k+3)(k-3)<0

∴ -3<k<3  yy ㉡

㉠, ㉡에서 구하는 정수 k의 개수는 -2, 2의 2이다.   ①

유형 02

⑴   log° (6-'1Œ1)+log° (6+'1Œ1)   

=log° (6-'1Œ1)(6+'1Œ1)   

=log° (36-11)   

=log°`25 

=log°`5Û`=2

⑵ {log£`7+log»`;7!;}{log¦`3+log¢»`;3!;}

={log£`7-;2!;`log£`7}{log¦`3-;2!;`log¦`3}

=;2!;`log£`7_;2!;`log¦`3

=;4!;`log£`7_log¦`3

=;4!;   ⑴ 2 ⑵ ;4!;

02-1

logŒ c=2 logº c에서  1log a = 2 log b

∴ log b=2 log a 이때, logŒ b=log b

log a =2 log a

log a =2이므로  

02 |

내신&수능

빈출 유형

본문 15~17쪽

로그

(9)

logŒ bÜ`+logº a¡`=3`logŒ b+ 8logŒ b

    =3_2+;2*;=10    10

02-2

조건 ㈎에서 4Œ`=5º`=k`=t`(t>0, t+1)라 하면 로그의 정의에  의하여 

a=log¢ t, b=log° t, c=logû t 조건 ㈏에서 ab-bc=ca이므로

log¢ t_log° t-log° t_logû t=logû t_log¢ t log^ 4 _1 1

log^ 5 - 1

log^ 5 _ 1

log^ k = 1

log^ k _ 1 log^ 4   log^ k {1 1

log^ 4 + 1

log^ 5 }= 1

log^ 4 _ 1 log^ 5 log^ k _1 log^ 4+log^ 5

log^ 4_log^ 5 = 1 log^ 4_log^ 5 log^ 20

log^ k =1, log^ k=log^ 20

∴ k=20   20

유형 03

log¤`84=logª`84

logª`6 =logª`(2Û`_3_7) logª`(2_3)

=2+logª`3+logª`7 1+logª`3

=2+logª`3+ 1log¦`2 1+logª`3

=2+b+;a!;

1+b

= 1+2a+aba+ab     ①

03-1

로그의 정의에 의하여 3Œ`=2에서 a=log£`2 3º`=5에서 b=log£`5 3`=7에서 c=log£`7

∴ log£°`500=log£`500 log£`35

=log£`(2Û`_5Ü`) log£`(5_7)

=2`log£`2+3`log£`5 log£`5+log£`7

= 2a+3b b+c     ③

유형 04

logª`a=log¥`b=logÁ¤`c=t`(t>0, t+1)라 하면 a=2^`, b=8^`=2Ü`^`, c=16^`=2Ý`^``

∴ log'a`bc=2`logŒ`bc=2`log2^``(2Ü`^_2Ý`^`)

=2`log2^``2à`^`=2_7=14   ③

04-1

aÛ`=bÜ`=cÞ`=t`(t>0, t+1)라 하면 a=t;2!;, b=t;3!;, c=t;5!;

∴ logŒ`b+log;b!;`c+log'c`a  =logt;2!;`t;3!;+logt-;3!;`t;5!;+logt;1Á0;`t;2!;

 =;3@;-;5#;+5=;1&5^;

따라서 p=15, q=76이므로 

p+q=15+76=91   91

04-2

aÝ`=bÜ`=t`(t>0, t+1)라 하면 a=t;4!;, b=t;3!;

∴ aÛ`bÝ`=t;2!; t;3$;=t:Á6Á:

이때, aÛ`bÝ`=cÚ`Ú`이므로 t:Á6Á:=cÚ`Ú``    ∴ c=t;6!;

∴ log`a+logº`c=logt;6!;`t;4!;+logt;3!;`t;6!;

=;2#;+;2!;=2   ②

유형 05

log`100<log`300<log`1000에서 2<log`300<3이므로  log`300의 정수 부분은 2이다. 

∴ a=2

한편, 정수 부분이 2이므로 log`300의 소수 부분 b는  b=log`300-2=log`300-log`100=log`3 따라서 a=2, b=log`3이므로

10a+10b=10Û`+10log`3=100+3=103    103

05-1

log`5=log`:Á2¼:=1-log`2이므로 log`(2Ú`â`_5Û`â`)=log`2Ú`â`+log`5Û`â`

=10`log`2+20`log`5

=10`log`2+20(1-`log`2)

=20-10`log`2

=20-10_0.3010

=16.990=16+0.990

따라서 log`(2Ú`â`_5Û`â`)의 정수 부분이 16이므로 2Ú`â`_5Û`â`은 17자리 의 정수이다.

∴ m=17   ③

05-2

100<x<1000에서 2<log`x<3이므로  log`x의 정수 부분은 2이다.

log`x의 소수 부분을 a (0<a<1)라 하면  log`x=2+a

log`'§x= 12 `log`x=1

2 _(2+a)=1+a 2 0<a<1에서 0< a2<1

2 이므로 log`'§x 의 소수 부분은 a 2 이다.

(10)

a+ a2 =3 2 a, 3

2 a=1    ∴ a=2 3

따라서 log`x의 소수 부분은  23 이다.   ④

유형 06

노출 시간이 ;10!0;일 때, 은의 밀도는 DÁ이므로 

DÁ=log`C-log`;10!0;  yy ㉠

노출 시간이 ;50!0;일 때, 은의 밀도는 Dª이므로 

Dª=log`C-log`;50!0;  yy ㉡

㉠-㉡을 하면 

DÁ-Dª=log`;50!0;-log`;10!0;

    =log`;5!0)0); 

    =log`;5!;=-log`5   ⑤

06-1

A, B 토네이도의 최대 지름의 길이를 각각 D`km, Dõ`km, 수 명을 각각 T시간, Tõ시간이라 하면

3`log`D=log`kTÛ`  yy ㉠

3`log`Dõ=log`kTõÛ`  yy ㉡

㉠-㉡을 하면

3(log`D-log`Dõ)=log`kTÛ`-log`kTõÛ``

3 log`

Dõ =log`{T

Tõ }2``

이때, D=10Dõ, 즉 

Dõ =10이므로 3 log`10=log`{

Tõ }Û`, 3=log`{TTõ }Û`

{

Tõ }2``=10Ü`    ∴ T

Tõ =10;2#;

따라서 A 토네이도의 수명은 B 토네이도의 수명의 10;2#;배이다.

   ③

빈출 유형 마무리

본문 18~19쪽

01 02 03 04 192 05 2` 06 07 08 64 09 10 12 11 12 15 13 14

01 log£`5

a =;2!;에서 a=2 log£`5 2 log°`2 =;2!;에서 b=log°`2b logª`81

6c =;2!;에서 3c=logª`81이므로 c=;3$;`logª`3

∴ abc=2 log£`5_log°`2_;3$;`logª`3

=;3*;_log£`5_log£`2 log£`5 _ 1

log£`2 =;3*;    ③

02

k=log'5`18+ 1

log¦`'5- logª`6 logª`'5

=log'5`18+log'5`7-log'5`6

=log'5`{ 18_76 }

=log'5`21=2`log°`21=log°`21Û`

∴ 5û`=5 log°`21Û`=21Û`   ③

03

`f(n)=Ç`  ±Ú "Ç '2=2n(n+1)1 =2{ 1n -n+1 }1 이므로 logª` f(1)+logª` f(2)+logª` f(3)+y+logª` f(9)

=logª` f(1)f(2)f(3)yf(9)

=logª`

{

21-;2!;_2;2!;-;3!;_2;3!;-;4!;_y_2;9!;-;1Á0;

}

=logª`2{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;9!;-;1Á0;}

=1-;1Á0;=;1»0;   ②

04

조건 ㈎의 36a=b에서 log£`36a=log£`b log£`(4_3Û`)+log£`a=log£`b

log£`a-log£`b=-2-log£`4  yy ㉠

조건 ㈏에서 log£`a+log£`b=log£`4  yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

log£`a=-1, log£`b=1+log£`4

∴ 32`log£`a+3`log£`b =3-2+3(1+log£`4)   

=31+3`log£`4   

=3log£ (3_4Ü`)

   

=3_4Ü`=192   192

05

조건 ㈎에서 a=bm, b=c2n이므로 

a=bm=(c2n)m=c2mn  yy ㉠ 이때, 조건 ㈏에서 logŒ`b-logŒ`c=logŒ`b

log`a 이므로 logŒ`b-logŒ`c=logŒ`b_logŒ`c

logbµ  `b-logcÛ`µ``Ç``c=logbµ  `b_logcÛ`µ``Ç``c (∵ ㉠) m -1 1

2mn = 1 m _ 1

2mn 2n-12mn = 1

2mÛ`n

∴ m(2n-1)=1

이때, m, n은 자연수이므로 m=1, 2n-1=1    ∴ n=1

∴ m+n=1+1=2   2

(11)

06

log`2=a, log`3=b이므로 

log°`'7Œ2=log`'7Œ2 log`5 =

;2!;`log`(2Ü`_3Û`) log`:Á2¼:

=;2!;(3`log`2+2`log`3) 1-log`2

=3`log`2+2`log`3

2(1-log`2) = 3a+2b

2(1-a)   ⑤

07

2a=b`log`4+ c log'5`10

=log`4º`+c`log`'5`

=log`2Û`º`+log`5;2C;

=log(2Û`º`_5;2C;) 로그의 정의에 의하여 

2Û`º`_5;2C;=10Û`Œ`이므로 2Û`º`_5;2C;=(2_5)Û`Œ`

즉, 2Û`º`_5;2C;=2Û`Œ`_5Û`Œ`에서 a, b, c가 자연수이므로  2b=2a, ;2C;=2a    ∴ b=a, c=4a

∴ 10a+c

b = 10a+4aa =14   ⑤

08

a=logÁ¤`xÜ`에서 16Œ`=xÜ`, 2Ý`Œ`=xÜ`

∴ x=2:¢3:

b=log'2`yÛ`에서 ('2)º`=yÛ`, 2;2B;=yÛ`

∴ y=2;4B;

∴ ('x);b#;y;a*;=x;2£b;y;a*;=(2:¢3:);2£b;(2;4B;);a*;=2:ªb:+:ªaõ:=4;aB;+;bA;=4aÛ`+bÛ`ab 한편, a-b='aŒb 의 양변을 제곱하면 

aÛ`-2ab+bÛ`=ab에서 aÛ`+bÛ`=3ab

∴ ('x);b#;y;a*;=4aÛ`+bÛ`ab =4:£abõ:=4Ü`=64   64

09

log`xÝ`-log`x=4`log`x-log`x=3`log`x에서  3`log`x의 값이 정수이다. 

이때, 10<x<100에서 1<log`x<2에서  3<3`log`x<6

즉, 3`log`x=4 또는 3`log`x=5이므로 log`x=;3$; 또는 log`x=;3%;

∴ x=10;3$; 또는 x=10;3%;

따라서 구하는 모든 x의 값의 곱은 

k=10;3$;_10;3%;=10Ü`   ⑤

10

조건 ㈐에 의하여

log`'x+log`Ü 'x=;2!;`log`x+;3!;`log`x=;6%;`log`x에서

;6%;`log`x의 값은 정수이다.

이때, 조건 ㈎에 의하여 

4_;6%;É;6%;`log`xÉ8_;6%;, :Á3¼:É;6%;`log`xÉ:ª3¼:

즉, ;6%;`log`x=4 또는 ;6%;`log`x=5 또는 ;6%;`log`x=6이므로 log`x=:ª5¢: 또는 log`x=6 또는 log`x=:£5¤:  yy ㉠ 한편, 조건 ㈏에서 log`'x와 log`Ü 'x, 즉 ;2!;`log`x와 ;3!;`log`x가  모두 정수가 아니므로 log`x는 6이 아니다. 

따라서 ㉠에서 log`x=:ª5¢: 또는 log`x=:£5¤:이므로

x=10:ª5¢: 또는 x=10:£5¤:

∴ A=10:ª5¢:_10:£5¤:=10Ú`Û`

∴ log`A=log`10Ú`Û`=12   12

11

pH=-log`[H±]에서

log`[H±]=-pH    ∴ [H±]=10-pH

A 용액 2`L에 들어 있는 수소 이온의 양은 2_10ÑÝ``

B 용액 8`L에 들어 있는 수소 이온의 양은 8_10Ñß``

A 용액 2`L와 B 용액 8`L를 섞으면 전체 용액의 양은 10`L이고,  수소 이온의 양은 2_10ÑÝ`+8_10Ñß`이므로 섞은 용액 1`L에 들어  있는 수소 이온의 양은

2_10ÑÝ``+8_10Ñß`

10

따라서 섞은 용액의 pH의 값을 x라 하면 x=-log` 2_10ÑÝ``+8_10Ñß`10

=-log`10ÑÞ``{2+;10*0;}

=5-log`2.08

=5-0.32=4.68

따라서 섞은 용액의 pH의 값은 4.68이다.   ③

12

a=logª`(2+'3)이므로 4Œ`+ 42Œ` =4logª`(2+'3)+ 4

2logª`(2+'3)

    =22`logª`(2+'3)+ 4

2+'3     =(2+'3)Û`+ 4(2-'3)

(2+'3)(2-'3)

    =7+4'3+8-4'3=15   15

(12)

13

m이 홀수이므로 f(m)=log£`m n이 짝수이므로 f(n)=logª`n mn이 짝수이므로 

`f(mn)=logª`mn=logª`m+logª`n 이때, `f(mn)=f(m)+f(n)에서 logª`m+logª`n=log£`m+logª`n

∴ logª`m=log£`m

즉, m=1이고, n은 20 이하의 짝수이므로 조건을 만족시키는 순 서쌍 (m, n)의 개수는 (1, 2), (1, 4), (1, 6), y, (1, 20)의  

10이다.   ①

14

T¼=20이고, t=;8(;일 때 T=365이므로 365=20+k`log`{8_;8(;+1}

365=20+k`log`10    ∴ k=345

∴ T=T¼+345`log`(8t+1) 따라서 t=a일 때 T=710이므로 20+345`log`(8a+1)=710 345`log`(8a+1)=690 log`(8a+1)=2, 8a+1=100

∴ a=;;»8»;;   ①

유형 01

곡선 y=4Å` 이 y축과 만나는 점 A의 좌표는 (0, 1)이고, 곡선   y=2x+2-k가 y축과 만나는 점 B의 좌표는 (0, 4-k)이다.

ABÓ=4에서

|4-k-1|=4, |3-k|=4 3-k=-4 또는 3-k=4

∴ k=7 (∵ k>0)   ④

01-1

함수 y=3Å` 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시킨 그래프의 식은 y=-3Å`

이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동시킨 그래프 의 식은 y=-3Å`ÑÛ`

이때, 이 함수의 그래프가 점 (3, k)를 지나므로

k=-3Ü`ÑÛ`=-3   ③

유형 02

y=4Å`-2Å` ±Û`+5에서 y=(2Å` )Û`-4_2Å`+5 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면

0ÉxÉ3에서 1ÉtÉ8이고, 주어진 함수는  y=tÛ`-4t+5=(t-2)Û`+1

따라서 함수 y는 t=2, 즉 x=1일 때 최솟값 1을 갖고, t=8, 즉  x=3일 때 최댓값 37을 가지므로

a=1, b=1, c=3, d=37

∴ a+b+c+d=1+1+3+37=42   42

02-1

y=4Å`-2Å` ±Ú`+9에서 y=(2Å`)Û`-2_2Å`+9 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면

-2ÉxÉ2에서 ;4!;ÉtÉ4이고, 주어진 함수는 y=tÛ`-2t+9=(t-1)Û`+8

따라서 함수 y는 t=1, 즉 x=0일 때 최솟값 8을 가지므로 a=0, b=8

∴ a+b=0+8=8   ③

02-2

f(x)=-2xÛ`+4x라 하면f(x)=-2(x-1)Û`+2이므로 -3ÉxÉ3에서 -30Éf(x)É2

함수 y={;2!;}-2xÛ`+4x에서 밑이 ;2!;이고, 0<;2!;<1이므로  y는  f(x)=-30일 때 최댓값 {;2!;}-30,  f(x)=2일 때 최솟값 

내신&수능

빈출 유형

본문 21~22쪽

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

03 | 지수함수

(13)

{;2!;}을 갖는다.

따라서 M={;2!;}-30=2Ü`â`, m={;2!;}2`=2ÑÛ`이므로 Mm =2Ü`â`

2ÑÛ`=232  ④

02-3

`f(x) =4Å`+4ÑÅ`-2(2Å`+2ÑÅ`)+9

=(2Å`+2ÑÅ`)Û`-2(2Å`+2ÑÅ`)+7

이때, 2Å`+2ÑÅ`=t로 놓으면 2Å`>0, 2ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하 평균의 관계에 의하여

t=2Å`+2ÑÅ`¾2"Ã2Å`_2ÑÅ`=2

(단, 등호는 2Å`=2ÑÅ`, 즉 x=0일 때 성립한다.) 함수 f(x)를 t에 대하여 나타낸 함수를 g(t)라 하면

g(t)=tÛ`-2t+7=(t-1)Û`+6 (단, t¾2)

따라서 함수 f(x)의 최솟값은 (2-1)Û`+6=7이다.  ②

유형 03

{ 12 }xÛ`=2Û` ÑÜ`Å`에서 2-xÛ`=2Û` ÑÜ`Å`, -xÛ`=2-3x

xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0

∴ x=1 또는 x=2

∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+2Û`=5  ③

03-1

2_4Å`-9_2Å`+4=0에서 2_(2Å`)Û`-9_2Å`+4=0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면

2tÛ`-9t+4=0, (2t-1)(t-4)=0

∴ t=;2!; 또는 t=4

따라서 2Å`=;2!; 또는 2Å`=4이므로 x=-1 또는 x=2

∴ ab=(-1)_2=-2  ②

03-2

2Å` ÑÚ`+2ÑÅ` ±Ý`=9의 양변에 2Å` ±Ú`을 곱하면 2Û`Å`+2Þ`=9_2Å` ±Ú`에서 (2Å`)Û`-18_2Å`+32=0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면

tÛ`-18t+32=0 (t-2)(t-16)=0

∴ t=2 또는 t=16

따라서 2Å`=2 또는 2Å`=16이므로 x=1 또는 x=4

∴ a+b=1+4=5  ⑤

유형 04

8xÛ`+2x-4É4xÛ`+x에서 23(xÛ`+2x-4)É22(xÛ`+x) 밑이 2이고, 2>1이므로

3(xÛ`+2x-4)É2(xÛ`+x) 3xÛ`+6x-12É2xÛ`+2x

xÛ`+4x-12É0, (x+6)(x-2)É0

∴ -6ÉxÉ2

따라서 a=-6, b=2이므로

a+5b=-6+5_2=4  ②

04-1

{;5!;}xÉ{;2Á5;}xÛ`-5에서 {;5!;}xÉ{;5!;}2(xÛ`-5) 밑이 ;5!;이고, 0<;5!;<1이므로

x¾2(xÛ`-5), x¾2xÛ`-10

2xÛ`-x-10É0, (x+2)(2x-5)É0

∴ -2ÉxÉ;2%;

따라서 a=-2, b=;2%;이므로

3a+10b=3_(-2)+10_;2%;=19  19

04-2

9Å`-10_3Å`+9<0에서 (3Å`)Û`-10_3Å`+9<0 이때, 3Å`=t`(t>0)로 놓으면

tÛ`-10t+9<0, (t-1)(t-9)<0

∴ 1<t<9

즉, 1<3Å`<9에서 3â`<3Å`<3Û 밑이 3이고, 3>1이므로 0<x<2

따라서 구하는 정수 x의 개수는 1의 1이다.  ①

01

y=4_{;2!;}3-x-2에서 y=2Û`_2Å` ÑÜ`-2

∴ y=2Å` ÑÚ`-2

이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만 큼 평행이동시킨 그래프의 식은

y=2(x-m)-1-2+n

∴ y=2x-m-1+n-2

이때, 이 함수의 그래프가 함수 y=2Å` 의 그래프와 일치하므로 -m-1=0, n-2=0

∴ m=-1, n=2

∴ mÛ`+nÛ`=(-1)Û`+2Û`=5  5

빈출 유형 마무리

본문 23~24쪽

01 5 02 03 04 05 06 07 25 08 09 17 10 11 12 13 50 14 15 15 16

(14)

02

f(2)=g(2)에서

aÛ`º` ÑÚ`={;a!;}2b-1, 즉 aÛ`º`ÑÚ`=aÑÛ`º`±Ú` 

2b-1=-2b+1, 4b=2    ∴ b=;2!;

즉,  f(x)=a;2!;x-1, g(x)={;a!;};2!;x-1이므로 f(4)+g(4)=;2%;에서  a+;a!;=;2%;, 2aÛ`-5a+2=0

(2a-1)(a-2)=0    ∴ a=2`(∵ a>1)

∴ a+b=2+;2!;=;2%;   ④

03

점 A의 x좌표를 a라 하면  ACÓ=a, OBÓ=3a

이므로 점 B의 좌표는 (3a, 0)이다. 

이때, 점 B는 곡선 y=-2Å`+k 위의 점이므로

0=-2Ü`Œ`+k    ∴ k=2Ü`Œ`  yy ㉠

또한 점 A는 두 곡선 y=2Å`, y=-2Å`+k의 교점이므로 

2Œ`=-2Œ`+k    ∴ k=2Œ`+2Œ`=2Œ`±Ú`  yy ㉡

㉠, ㉡에서 2Ü`Œ`=2Œ`±Ú`이므로  3a=a+1    ∴ a=;2!;

∴ k=2;2#;=2'2   ①

04

함수 f(x)=4Å` ÑÚ`에서 밑이 4이고, 4>1이므로 함수 f(x)는 x=2 일 때, 최댓값 M=4Û`ÑÚ`=4를 갖는다.

함수 g(x)={;2!;}Å`에서 밑이 ;2!;이고, 0<;2!;<1이므로 함수 g(x) 는 x=2일 때, 최솟값 m={;2!;}2=;4!; 을 갖는다.

∴ Mm=4_;4!;=1   ③

05

y={;2!;}x-{;4!;}x-2에서 y={;2!;}x-16[{;2!;}x]2 이때, {;2!;}x=t`(t>0)로 놓으면

0ÉxÉ6에서 ;6Á4;ÉtÉ1이고, 주어진 함수는 y=-16tÛ`+t=-16{t-;3Á2;}2+;6Á4;

따라서 함수 y는 t=;3Á2;, 즉 x=5일 때 최댓값 ;6Á4;을 가지므로 a=5, M=;6Á4;

∴ {;2!;}a+M={;2!;}5+;6Á4;

=;3Á2;+;6Á4;=;6£4;   ③

06

f(x)=-xÛ`+2x+1이라 하면 f(x)=-(x-1)Û`+2이므로 -2ÉxÉ2에서 -7Éf(x)É2

함수 y=10-xÛ`+2x+1에서 밑이 10이고, 10>1이므로

y는 f(x)=2일 때 최댓값 10Û`, f(x)=-7일 때 최솟값 10Ñà`을 갖 는다. 

따라서 M=10Û`, `m=10Ñà`이므로 log` Mm =log` 10Û`

10Ñà`=log`10á`=9   ④

07

y  =(2Å` ±Û`+3ÑÅ`)(3Å`+2ÑÅ` ±Û`) 

=4_6Å`+16+1+4_6ÑÅ`

=4(6Å`+6ÑÅ`)+17  yy ㉠

이때, 6Å`>0, 6ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 6Å`+6ÑÅ`¾2"Ã6Å`_6ÑÅ`=2`

(단, 등호는 6Å`=6ÑÅ`, 즉 x=0일 때 성립한다.)

㉠에서 y¾4_2+17=25

따라서 y의 최솟값은 25이다.   25

08

8Þ`ÑÅ`={;2!;}3-xÛ`에서 23(5-x)=2xÛ`-3이므로 3(5-x)=xÛ`-3, 15-3x=xÛ`-3 xÛ`+3x-18=0, (x+6)(x-3)=0

∴ x=-6 또는 x=3

∴ |a|+|b|=|-6|+|3|=6+3=9   ⑤

09

4Å`-9_2Å` ±Ú`+32=0에서 (2Å`)Û`-18_2Å`+32=0 이때, 2Å`=t (t>0)로 놓으면

tÛ`-18t+32=0, (t-2)(t-16)=0

∴ t=2 또는 t=16

따라서 2Å`=2 또는 2Å`=16=2Ý`이므로  x=1 또는 x=4

∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+4Û`=17   17

10

aÛ`Å`-7aÅ`+8=0에서 (aÅ`)Û`-7aÅ`+8=0 이때, aÅ`=t`(t>0)로 놓으면

tÛ`-7t+8=0

한편, 방정식 aÛ`Å`-7aÅ`+8=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식 tÛ`-7t+8=0의 두 근은 aa, ab이므로 이차방정식의 근과 계수의  관계에 의하여

aa_ab=8, aa+b=8 이때, a+b=3이므로 aÜ`=8, aÜ`=2Ü`

∴ a=2   ③

(15)

이때, 2Œ`=t`(t>0)로 놓으면 2tÛ`-5t+2=0

(2t-1)(t-2)=0 ∴ t=;2!; 또는 t=2 즉, 2Œ`=;2!; 또는 2Œ`=2이므로

a=-1 또는 a=1

이를 ㉠에 대입하면 b=1 또는 b=-1 이때, a>b이므로 a=1, b=-1

따라서 두 점 A, B의 좌표는 각각 A(1, 2), B{-1, ;2!;}이다.

한편, 점 A가 함수 y=-{;2!;}x+k의 그래프 위의 점이므로 2=-;2!;+k

∴ k=;2%;

다른 풀이

두 함수 y=2Å`, y=-{ 12}x+k의 그래프의 서로 다른 두 교점의 x좌표를 a, b라 하면 A(a, 2a), B(b, 2b)이고 선분 AB의 중점 의 y좌표가 54 이므로

2a+2b

2 = 54 ∴ 2a+2b= 52 yy ㉠ 한편, 두 함수 y=2Å`, y=-{ 12}x+k의 그래프의 서로 다른 두 교 점의 x좌표를 구하면

2Å`=-{ 12}x+k에서 (2Å`)Û`-k_2Å`+1=0

이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 이차방정식 tÛ`-kt+1=0의 두 근 이 2a, 2b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

2a+2b=k 따라서 ㉠에 의하여

k= 52  ⑤

15

일차함수 y=f(x)의 그래프가 점 (-5, 0)을 지나고, 기울기가 양수이므로

f(x)=a(x+5)`(a>0) 라 할 수 있다.

부등식 2 f(x)É8, 즉 2a(x+5)É2Ü`에서 밑이 2이고, 2>1이므로 a(x+5)É3, x+5É 3a (∵ a>0)

xÉ 3a-5

이때, 부등식 2 f(x)É8의 해가 xÉ-4이므로 a -5=-4, 3 3

a =1

∴ a=3

따라서 f(x)=3(x+5)이므로

`f(0)=3_5=15  15

11

{;2!;}2x<32<{;4!;}x-2에서 2ÑÛ`Å`<2Þ`<2ÑÛ`Å` ±Ý`

이때, 밑은 2이고, 2>1이므로 -2x<5<-2x+4

-2x<5에서 x>-;2%; yy ㉠

5<-2x+4에서 2x<-1 ∴ x<-;2!; yy ㉡

㉠, ㉡에서 -;2%;<x<-;2!;

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수는 -2, -1의

2이다.  ②

12

4Å`-2Å` ±Ü`+k¾0에서 (2Å`)Û`-8_2Å`+k¾0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면

tÛ`-8t+k¾0, (t-4)Û`+k-16¾0 yy ㉠ t>0일 때 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 k-16¾0이 어야 한다.

∴ k¾16

따라서 구하는 실수 k의 최솟값은 16이다.  ④

13

{;2!;}f(x)¾{;2!;}g(x)에서 밑이 ;2!;이고, 0<;2!;<1이므로

`f(x)Ég(x)

주어진 그림에서 f(x)Ég(x)인 x의 값의 범위는 1ÉxÉ4

한편, 4Å`-a_2Å`+bÉ0에서 (2Å`)Û`-a_2Å`+bÉ0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면

tÛ`-at+bÉ0 yy ㉠

1ÉxÉ4에서 2ÉtÉ16이므로 ㉠은 (t-2)(t-16)É0이다.

따라서 tÛ`-18t+32É0이므로 a=18, b=32

∴ a+b=18+32=50  50

14

두 점 A, B가 함수 y=2Å`의 그래프 위에 있으므로 A(a, 2Œ`), B(b, 2º`)`(a>b)라 할 수 있다.

이때, 선분 AB의 중점의 좌표가 {0, ;4%;}이므로

a+b2 =0 ∴ b=-a yy ㉠

2Œ`+2º`

2 =;4%; yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 2Œ`+2ь`=;2%;

위의 식의 양변에 2_2Œ`를 곱하면 2_(2Œ`)Û`-5_2Œ`+2=0

(16)

유형 01

함수 y=log£`x의 그래프가 직선 y=2와 만나는 점의 x좌표를 구 하면 2=log£`x ∴ x=9

함수 y=log°`x의 그래프가 직선 y=2와 만나는 점의 x좌표를 구 하면 2=log°`x ∴ x=25

따라서 두 점 A, B의 좌표는 각각 A(9, 2), B(25, 2)이므로 구 하는 선분 AB의 길이는

ABÓ=|25-9|=16  ④

01-1

세 점 P', Q', R'의 y좌표는 각각 logª`3, logª`a, logª`12이고, 점 Q'은 선분 P'R'의 중점이므로

logª`3+logª`12

2 =logª`a logª`(3_12)=logª`aÛ`

aÛ`=36

∴ a=6 (∵ a>0)  ②

01-2 y=log°`25

x

=log5`25-log5`x

=log5`5Û`+log5ÑÚ``x

=log;5!;`x+2

따라서 함수 y=log°` 25

x 의 그래프는 함수 y=log;5!;`x의 그래프 를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동시킨 것이므로

m=2  ⑤

01-3

ㄱ. y=log;2!;`3x=-logª`3x=-logª`x-logª`3

즉, 함수 y=log;2!;`3x의 그래프는 함수 y=logª`x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시킨 후 y축의 방향으로 -logª`3만큼 평행이동시킨 것이다.

ㄴ. 두 함수 y=logª`xÝ`, y

y=log™ x$

y=log™ x O x

-1 1

y=logª`x의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 평행이동 또는 대칭이동시켜 일치시킬 수 없다.

ㄷ. y=2Å`은 y=logª`x의 역함수이 므로 함수 y=2Å`의 그래프는 함

수 y=logª`x의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동시킨 것이다.

내신&수능

빈출 유형

본문 26~28쪽

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

04 | 로그함수

16

두 곡선 y=|9Å`-3|, y=2Å` ±û`이 만나는 서로 다른 두 점의 x좌표 xÁ, xª에 대하여 xÁ<0, 0<xÁ<2를 만족시키려면 두 곡선 y=|9Å`-3|, y=2Å` ±û`의 그래프는 다음 그림과 같다.

O y

y=|9Ù-x|

y=2Ù±

x x™ 2

즉, f(x)=|9Å`-3|, g(x)=2x+k이라 하면

x=0일 때 f(0)<g(0)이어야 하고, x=2일 때 f(2)>g(2)이어 야 한다.

`f(0)<g(0)에서 2<2û` yy ㉠

`f(2)>g(2)에서 78>4_2û` ∴ 2û`< 392 yy ㉡

㉠, ㉡에서 2<2û`< 392

이 부등식을 만족시키는 자연수 k의 값은 2, 3, 4이므로 그 합은

2+3+4=9  ②

(17)

따라서 함수 y=logª`x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동시켜 

일치시킬 수 있는 것은 ㄱ, ㄷ이다.   ④

01-4

함수 `f(x)=logª`(x-5)의 점근선의 방정식은 x=5이므로 곡선  y=f ÑÚ`(x)의 점근선의 방정식은 y=5이다.

직선 y=5와 곡선 y=log£`x+3의 교점의 x좌표는  5=log£`x+3, log£`x=2

∴ x=3Û`=9

따라서 구하는 교점의 x좌표는 9이다.

보충 설명

y=logª`(x-5)에서  x-5=2´`    ∴ x=2´`+5

이때, x와 y를 서로 바꾸면 y=2Å`+5

따라서 f ÑÚ`(x)=2Å`+5의 점근선은 y=5이다.   ③

유형 02

y={logª`;2{;}2-logª`xÜ`+6

=(logª`x-logª`2)Û`-3`logª`x+6

=(logª`x-1)Û`-3`logª`x+6

=(logª`x)Û`-5`logª`x+7 이때, logª`x=t로 놓으면 

1ÉxÉ16에서 logª`1Élogª`xÉlogª`16이므로 0Élogª`xÉ4    ∴ 0ÉtÉ4

또한 주어진 함수는 

y=tÛ`-5t+7={t-;2%;}2+;4#;

따라서 함수 y는 t=;2%;일 때 최솟값 m=;4#;, t=0일 때 최댓값 M=7을 가지므로 

Mm=7_;4#;=;;ª4Á;;   ②

02-1

y=(logª`x)Û`+a`log;4!;`x+b

=(logª`x)Û`-;2A;`logª`x+b 이때, logª`x=t로 놓으면  y=tÛ`-;2A;t+b

이때, 이 함수는 x=4, 즉 t=2일 때 최솟값 5를 가지므로  y=(t-2)Û`+5=tÛ`-4t+9

따라서 ;2A;=4에서 a=8이고, b=9이므로 

ab=8_9=72   72

02-2

진수의 조건에서 -xÛ`+10x-16>0 xÛ`-10x+16<0, (x-2)(x-8)<0

∴ 2<x<8

주어진 식에서 진수를  f(x)라 하면 f(x)=-xÛ`+10x-16=-(x-5)Û`+9

2<x<8에서 함수  f(x)는 x=5일 때, 최댓값 9를 갖는다.

즉, 함수 y=log£`(-xÛ`+10x-16)+4에서 y는 x=5일 때 최댓 값 log£`9+4=2+4=6을 갖는다.

따라서 p=5, q=6이므로

p+q=5+6=11   ①

02-3

y =(4`logª`x+logx`3)(log£`x+4`logx`2)  

=4`logª`x_log£`x+16+1+4`logx`3_logx`2 

=4(logª`x_log£`x+logx`2_logx`3)+17  yy ㉠ x>1에서 logª`x>0, log£`x>0, logx`2>0, logx`3>0이므로  산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 

logª`x_log£`x+logx`2_logx`3

¾2"Ãlogª`x_log£`x_logx`2_logx`3 

=2

  (단, 등호는 logª`x_log£`x=logx`2_logx`3일 때 성립한다.)

㉠에 의하여

y =4(logª`x_log£`x+logx`2_logx`3)+17   

¾4_2+17=25

따라서 함수 y의 최솟값은 25이다.   25

유형 03

log£`6x_log£`x+log£`;2#;_log£`x-6=0에서 (log£`6+log£`x) log£`x+log£`;2#;_log£`x-6=0 (log£`x)Û`+{log£`6+log£`;2#;}`log£`x-6=0 (log£`x)Û`+log£`9_log£`x-6=0

(log£`x)Û`+2`log£`x-6=0

이때, log£`x=t로 놓으면 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로  이차방정식 tÛ`+2t-6=0의 두 근은 log£`a, log£`b이다. 

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 log£`a+log£`b=-2

log£`ab=-2

∴ ab=3ÑÛ`=;9!;   ②

03-1

진수의 조건에서 

5+x>0이고 5-x>0    ∴ -5<x<5  yy ㉠ logª`(5+x)+logª`(5-x)=4에서 

logª`(5+x)(5-x)=4, logª`(25-xÛ`)=4 25-xÛ`=16, xÛ`-9=0, (x+3)(x-3)=0

∴ x=-3 또는 x=3  yy ㉡

㉠, ㉡에서 x=-3 또는 x=3 따라서 구하는 모든 실수 x의 값의 곱은

(-3)_3=-9   ②

(18)

유형 04

진수의 조건에서

x-1>0이고 x-3>0 ∴ x>3 yy ㉠ log;3!;`(x-1)+log;3!;`(x-3)<-1에서

log;3!;`(x-1)(x-3)<log;3!;`{;3!;}ÑÚ`

밑이 ;3!;이고, 0<;3!;<1이므로 (x-1)(x-3)>{;3!;}ÑÚ`

xÛ`-4x+3>3

xÛ`-4x>0, x(x-4)>0

∴ x<0 또는 x>4 yy ㉡

㉠, ㉡에서 x>4

∴ a=4  ③

04-1

진수의 조건에서 x-1>0이고 ;2!;x+k>0

∴ x>1`(∵ k는 자연수) yy ㉠

logª`(x-1)Élogª`{;2!;x+k}에서 밑이 2이고, 2>1이므로 x-1É;2!;x+k, ;2!;xÉk+1

∴ xÉ2k+2 yy ㉡

㉠, ㉡에서 1<xÉ2k+2

2k+2는 자연수이고, 이 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수가 15이므로

2k+2-1=15, 2k+1=15

∴ k=7  ③

04-2

진수의 조건에서

xÛ`>0이고, 27x>0 ∴ x>0 yy ㉠ log»`xÛ`_log£`27xÉ10에서

log£`x_(log£`27+log£`x)É10 log£`x_(3+log£`x)É10 (log£`x)Û`+3`log£`x-10É0 이때, log£`x=t로 놓으면

tÛ`+3t-10É0, (t+5)(t-2)É0

∴ -5ÉtÉ2

즉, -5Élog£`xÉ2이므로

3ÑÞ`ÉxÉ3Û` ∴ {;3!;}5ÉxÉ9 yy ㉡

㉠, ㉡에서 {;3!;}5ÉxÉ9

따라서 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수는 1, 2, 3, y, 9의 9

이다.  ④

유형 05

여과기를 1개 설치하면 불순물의 20`%, 즉 15이 여과기를 통과하 므로 여과기를 n개 설치하면 불순물의 { 15}n이 여과기를 통과한다.

이때, 처음 불순물의 양을 A라 하면 여과기를 통과한 불순물의 양 이 전체의 0.01`%, 즉 110000 미만이 되어야 하므로

A {;5!;}n< 110000 A {;5!;}n<;100!00;

양변에 상용로그를 취하면 log`{;5!;}n<log`;100!00;

-n`log`5<-4, n`log`5>4 n(1-log`2)>4, n(1-0.3)>4 0.7n>4

∴ n> 407 =5.7y

따라서 설치해야 하는 여과기의 최소 개수는 6이다.  ①

05-1

올해 아파트의 전셋값을 A라 하고, n년 후의 전셋값이 올해의 2 배 이상이 된다고 하면

A(1+0.05)Ç` ¾2A 1.05Ç` ¾2

양변에 상용로그를 취하면 log`1.05Ç` ¾log`2 n`log`1.05¾log`2 0.021n¾0.301

∴ n¾ 0.3010.021 =14.3y

따라서 최소 15년 후에 전셋값이 올해의 2배 이상이 된다.  ①

05-2

유리창을 한 장 설치하면 자외선의 81

100 이 유리창을 통과하므로 유리창을 n장 설치하면 자외선의 { 81100 }

n이 유리창을 통과한다.

이때, 처음 자외선의 양을 A라 하면 유리창을 통과한 자외선 양이 처음의 1

3 이하가 되어야 하므로 A { 81100 }

nÉ 13 A { 81100 }

nÉ 13

양변에 상용로그를 취하면 log { 81100 }

nÉlog`;3!;, n(4`log`3-2)É-log`3 n(4_0.48-2)É-0.48, -0.08nÉ-0.48

∴ n¾6

따라서 설치해야 하는 유리창의 최소 장수는 6이다.  6

(19)

05

x>0일 때, 두 함수 y=logª`5x, y=logª`(x+m)의 그래프의 교 점의 x좌표는

logª`5x=logª`(x+m), 5x=x+m, 4x=m

∴ x= m4

x<0일 때, 두 함수 y=logª`(-5x), y=logª`(x+m)의 그래프 의 교점의 x좌표는

logª`(-5x)=logª`(x+m), -5x=x+m, 6x=-m

∴ x=- m6

따라서 두 함수 y=logª |5x|, y=logª`(x+m)의 그래프의 교점 A, B의 좌표는

A{ m4 , logª`5m

4 }, B{-m

6 , logª`5m 6 } 이때 직선 AB의 기울기는 logª`3-1이므로

logª` 5m4 -logª`5m 6 m4 -{-m

6 }

=logª`3-1

logª`{ 5m4 _ 6 5m 5m }

12

=logª`3-1

5m `logª`12 3

2 =logª`3-1 5m (logª`3-1)=logª`3-112

∴ m= 125  ③

06

f(x)=logŒ`(xÛ`-2x+3)=logŒ`{(x-1)Û`+2}에서

밑 a가 0<a<1이므로 0ÉxÉ3에서 함수 f(x)는 x=1일 때, 최 댓값 f(1)을 갖는다.

이때, 최댓값이 -1이므로 f(1)=-1에서 logŒ`2=-1, aÑÚ`=2

∴ a=;2!;

따라서 0ÉxÉ3에서 함수 f(x)=log;2!;`(xÛ`-2x+3)은 x=3일 때, 최솟값 log;2!;`(9-6+3)=log;2!;`6=-logª`6을 갖는다.

 ②

07

`f(x)=logŒ`(xÛ`-2x+10)에서 진수를 g(x)라 하면 g(x)=xÛ`-2x+10=(x-1)Û`+9

이므로 0ÉxÉ1에서 9Ég(x)É10

이때, 밑 a의 범위에 따라 경우를 나누어 생각해 보자.

Ú a>1일 때

logŒ`9ÉlogŒ`g(x)ÉlogŒ`10 ∴ logŒ`9Éf(x)ÉlogŒ`10

함수 f(x)의 최댓값은 logŒ`10이므로 01

`f(2)=p, f(3)=q, 즉 log`2=p, log`3=q이므로

`f {;3%;}=log`;3%;=log`5-log`3

=log`;;Á2¼;;-log`3

=1-log`2-log`3

=1-p-q  ②

02

곡선 y=a-x-2이 직선 y=1과 만나는 점의 x좌표를 구하면 a-x-2=1에서 a+0이므로

-x-2=0 ∴ x=-2

또한 곡선 y=logŒ`(x-2)가 직선 y=1과 만나는 점의 x좌표를 구하면

logŒ`(x-2)=1에서 x-2=a ∴ x=a+2

따라서 두 점 A, B의 좌표는 A(-2, 1), B(a+2, 1)이다.

이때, a는 1이 아닌 양수이고, ABÓ=8이므로

|a+2-(-2)|=8 a+4=8

∴ a=4  ②

03

오른쪽 그림에서 y

x y=x

1 b 1 b

c c

d d

e y=log2 x

O

logª`e=d, logª`c=b이므로 d-b=logª`e-logª`c=logª`;cE;

따라서 2d-b=;cE;이므로

{;2!;}b-d=2d-b=;cE;  ③

04

함수 y=logª`x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으 로 -1만큼 평행이동시킨 그래프의 식은

y=logª`(x-1)-1

이 함수의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동시킨 그래프의 식은

x=logª`(y-1)-1, 즉 y-1=2Å` ±Ú`

∴ y=2Å` ±Ú`+1

따라서 g(x)=2Å` ±Ú`+1이므로

g(5)=2Þ`±Ú`+1=65  ②

빈출 유형 마무리

본문 29~30쪽

01 02 03 04 05 06 07 08 09 9 10 49 11 30 12 2 13 25 14 15 16

참조

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