정답과 풀이
Ⅰ . 지수함수와 로그함수
05Ⅱ . 삼각함수
22Ⅲ . 수열
36수학 Ⅰ
지수함수와 로그함수
빠른 정답 체크
유형 01 ② 01-1 ③ 01-2 ② 01-3 11 01-4 10
유형 02 ② 02-1 ③ 02-2 ③
유형 03 ② 03-1 27 03-2 ②
유형 04 ④ 04-1 61
유형 05 ③ 05-1 ④
01 ⑤ 02 ① 03 ① 04 25 05 ⑤ 06 ④ 07 ② 08 ③ 09 12 10 ② 11 ④ 12 ⑤ 13 25 14 ④ 15 ②
01 지수
본문 09~11쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |
본문 12~13쪽02 로그
유형 01 35 01-1 ①
유형 02 ⑴ 2 ⑵ ;4!; 02-1 10 02-2 20
유형 03 ① 03-1 ③
유형 04 ③ 04-1 91 04-2 ②
유형 05 103 05-1 ③ 05-2 ④
유형 06 ⑤ 06-1 ③
본문 15~17쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 |
01 ③ 02 ③ 03 ② 04 192 05 2 06 ⑤ 07 ⑤ 08 64 09 ⑤ 10 12 11 ③ 12 15 13 ① 14 ①
본문 18~19쪽
| 빈출 유형 마무리 |
04 로그함수
유형 01 ④ 01-1 ② 01-2 ⑤ 01-3 ④ 01-4 ③
유형 02 ② 02-1 72 02-2 ① 02-3 25
유형 03 ② 03-1 ②
유형 04 ③ 04-1 ③ 04-2 ④
유형 05 ① 05-1 ① 05-2 6
본문 26~28쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 |
01 ② 02 ② 03 ③ 04 ② 05 ③ 06 ② 07 ② 08 ⑤ 09 9 10 49 11 30 12 2 13 25 14 ④ 15 ② 16 ②
본문 29~30쪽
| 빈출 유형 마무리 |
03 지수함수
유형 01 ④ 01-1 ③
유형 02 42 02-1 ③ 02-2 ④ 02-3 ②
유형 03 ③ 03-1 ② 03-2 ⑤
유형 04 ② 04-1 19 04-2 ①
본문 21~22쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 |
01 5 02 ④ 03 ① 04 ③ 05 ③ 06 ④ 07 25 08 ⑤ 09 17 10 ③ 11 ② 12 ④ 13 50 14 ⑤ 15 15 16 ②
본문 23~24쪽
| 빈출 유형 마무리 |
Speed Check
03 삼각함수의 활용
유형 01 ④ 01-1 ① 01-2 9
유형 02 ⑤ 02-1 ⑤
유형 03 ③ 03-1 ④ 03-2 ②
유형 04 16 04-1 ③
유형 05 ② 05-1 ⑤ 05-2 17 05-3 ④ 05-4 ②
유형 06 25 06-1 ③
유형 07 ⑤ 07-1 ⑤ 07-2 36'2
본문 43~46쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 |
01 ② 02 ② 03 ⑤ 04 ③ 05 3 06 ⑤ 07 ④ 08 160 09 ② 10 ⑤ 11 336 12 9 13 ⑤ 14 ⑤ 15 80
본문 47~48쪽
| 빈출 유형 마무리 |
유형 01 ③ 01-1 6
유형 02 ② 02-1 ④ 02-2 ⑤
유형 03 ② 03-1 ④ 03-2 ③ 03-3 ⑤ 03-4 ⑤
01 ③ 02 900 03 ⑤ 04 ② 05 ④ 06 5 07 15 08 14
본문 33~34쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |
본문 35쪽02 삼각함수의 그래프
유형 01 ① 01-1 ②
유형 02 ② 02-1 1 02-2 ㄴ, ㄹ
유형 03 ③ 03-1 ① 03-2 ⑤
유형 04 ⑤ 04-1 ①
유형 05 ③ 05-1 ③ 05-2 8
유형 06 ⑤ 06-1 ①
본문 37~39쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 |
01 ③ 02 ③ 03 ④ 04 13 05 ⑤ 06 ⑤ 07 2 08 ③ 09 ③ 10 5 11 ④ 12 ⑤ 13 ④ 14 7 15 ① 16 ④
본문 40~41쪽
| 빈출 유형 마무리 |
빠른 정답 체크
Speed Check
03 수학적 귀납법
유형 01 ① 01-1 18 01-2 93
유형 02 ③ 02-1 32
유형 03 ① 03-1 ④ 03-2 ④ 03-3 ③ 03-4 ②
유형 04 ② 04-1 ⑤
유형 05 ④ 05-1 ③
본문 63~66쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 |
01 ⑤ 02 341 03 ④ 04 ③ 05 ④ 06 384 07 ⑤ 08 256 09 ③ 10 55 11 ③ 12 ⑤ 13 ⑤ 14 ③
본문 67~69쪽
| 빈출 유형 마무리 |
수열
유형 01 ③ 01-1 ④ 01-2 ③
유형 02 100 02-1 298
유형 03 ② 03-1 ⑤ 03-2 12
유형 04 ③ 04-1 189
유형 05 80 05-1 ① 05-2 9
유형 06 1150 06-1 510
유형 07 210 07-1 341 07-2 ①
유형 08 20 08-1 180
01 ⑤ 02 ② 03 ⑤ 04 ① 05 120 06 600 07 89 08 ③ 09 ② 10 ⑤ 11 ③ 12 90 13 ② 14 222 15 ① 16 ②
01 등차수열과 등비수열
본문 51~54쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 | | 빈출 유형 마무리 |
본문 55~56쪽02 수열의 합
유형 01 ② 01-1 25 01-2300
유형 02 ② 02-1 9
유형 03 ② 03-1 ③ 03-228
유형 04 ③ 04-1 ③
본문 58~59쪽
| 내신 & 수능 빈출 유형 |
01 10 02 ⑤ 03 ① 04 ④ 05 177 06 ① 07 ③ 08 ① 09 ③ 10 58 11 ④ 12 ② 13 18 14 ③ 15 ④ 16 103
본문 60~61쪽
| 빈출 유형 마무리 |
Ú ~ Ü에서 구하는 집합 S의 원소의 개수는
4+2+4=10 10
유형 02
x=3;2!;+3-;2!;이므로
xÛ`=(3;2!;+3-;2!;)Û`
=3+2_3;2!;_3-;2!;+3ÑÚ`
=3+2+;3!;=:Á3¤:
∴ 3xÛ`=3_;;Á3¤;;=16 ②
02-1
(12;4!;-3;4!;)(12;4!;+3;4!;)(12;2!;+3;2!;)
=(12;2!;-3;2!;)(12;2!;+3;2!;)
=12-3=9 ③
02-2
x=2;3!;+2-;3!;이므로
xÜ`=(2;3!;+2-;3!;)Ü`
=(2;3!;)Ü`+3_2;3!;_2-;3!;(2;3!;+2-;3!;)+(2-;3!;)Ü`
=2+3_1_x+;2!;
=;2%;+3x
∴ xÜ`-3x=;2%; ③
유형 03
3Å`=30에서 3=30;[!; yy ㉠
4´`=30에서 2Û`´`=30이므로 2=30;2Á]; yy ㉡
5½`=30에서 5=30;z!; yy ㉢
㉠_㉡_㉢을 하면
3_2_5=30;[!;_30;2Á];_30;z!;
30=30;[!;+;2Á];+;z!;
따라서 ;[!;+;2Á];+;z!;=1이므로
;[@;+;]!;+;z@;=2{;[!;+;2Á];+;z!;}
=2_1=2 ②
03-1
30Å`=2에서 30=2;[!; yy ㉠
{;5!;}y=4에서 {;5!;}y=2Û`이므로 ;5!;=2;]@; yy ㉡ a½`=8에서 a½`=2Ü`이므로 a;3!;=2;z!; yy ㉢
㉠_㉡Ö㉢을 하면 30_;5!;Öa;3!;=2;[!;_2;]@;Ö2;z!;
유형 01
-64의 세제곱근을 x라 하면 xÜ`=-64이므로 xÜ`+64=0, (x+4)(xÛ`-4x+16)=0
∴ x=-4 또는 x=2Ñ2'3i
따라서 -64의 세제곱근 중 실수인 것은 -4이므로 a=-4
81의 네제곱근을 y라 하면 yÝ`=81이므로 yÝ`-81=0, (y+3)(y-3)(yÛ`+9)=0
∴ y=Ñ3 또는 y=Ñ3i
따라서 81의 네제곱근 중 양수인 것은 3이므로 b=3
∴ a+b=-4+3=-1 ②
01-1
¿¹Ü '64+Ü ¿¹Ü 'Ä-512 =ß "Å2ß`+Ü ÚÞÜ "Ã(-8)Ü` =2+Ü '¶-8
=2+Ü "Ã(-2)Ü`=2+(-2)=0 ③
01-2
47 8 Ü 'x
16_'x_7 89_Ý 'x
ß 'x = Ý "ÅÜ 'x
Ý "Å2Ý`_Ý "Å'x_ "Å3Û`_"ÅÝ 'x
"Åß 'x
= Ú`Û 'x
2_¡ 'x_3_¡ 'x
Ú`Û 'x =;2#; ②
01-3
'a_"a'aÖ¿¹a"a'a ='a_('a_Ý 'a)Ö('a_Ý 'a_¡ 'a) = 'a_'a_Ý 'a
'a_Ý 'a_¡ 'a = 'a¡ 'a= ¡ "ÅaÝ`
¡ 'a=¡ "ÅaÜ`
따라서 m=8, n=3이므로
m+n=11 11
01-4
Ú a=3인 경우
모든 실수 b에 대하여 'b 는 실수이므로 집합 S의 원소의 개수 는 (3, -3), (3, -1), (3, 0), (3, 1)의 4이다.
Û a=4인 경우
b가 0 이상의 실수일 때만 'b 가 실수이므로 집합 S의 원소의 개수는 (4, 0), (4, 1)의 2이다.
Ü a=5인 경우
Ú과 같은 방법으로 집합 S의 원소의 개수는 (5, -3), (5, -1), (5, 0), (5, 1)의 4이다.
내신&수능
빈출 유형
본문 09~11쪽Ⅰ. 지수함수와 로그함수
01 | 지수
6Öa;3!;=2;[!;+;]@;-;z!;
이때, ;[!;+;]@;-;z!;=1이므로 6Öa;3!;=2, 6=2a;3!; ∴ a;3!;=3
∴ a=(a;3!;)Ü`=3Ü`=27 27
03-2
aÅ`=9에서 a=9;[!; yy ㉠
b´`=9에서 b=9;]!; yy ㉡
c½`=9에서 c=9;z!; yy ㉢
㉠_㉡_㉢을 하면 abc=9;[!_9;]!;_9;z!;
abc=9;[!;+;]!;+;z!;
이때, abc=27이므로 9;[!;+;]!;+;z!;=27, 32{;[!;+;]!;+;z!;}=3Ü`
2{;[!;+;]!;+;z!;}=3 ∴ ;[!;+;]!;+;z!;=;2#;
∴ xy+yz+zx
xyz =;[!;+;]!;+;z!;=;2#; ②
유형 04
A="Ã2`Ü '3=ß "Ã2Ü`_3=ß '24 B=Ü "2'3=ß "Ã2Û`_3=ß '12 C="2`Ü '2=ß "Ã2Ü`_2=ß '16
이때, 12<16<24이므로 ß '12<ß '16<ß '24
∴ B<C<A ④
04-1
Ü "2`Ý '2=Ú`Û "Ã2Ý`_2=Ú`Û '32 Ý "3`Ü '3=Ú`Û "Ã3Ü`_3=Ú`Û '81 ß "2'5=Ú`Û "Ã2Û`_5=Ú`Û '20
이때 20<32<81이므로 Ú`Û '20<Ú`Û '32<Ú`Û '81
∴ ß "2'5<Ü "2`Ý '2<Ý "3`Ü '3
따라서 가장 큰 수 M=Ý "3`Ü '3이고, 가장 작은 수 m=ß "2'5이므 로
MÚ`Û`-mÚ`Û` =(Ý "3`Ü '3)Ú`Û`-(ß "2'5 )Ú`Û`
=81-20=61 61
유형 05
붕괴되기 시작하여 20년 후의 질량이 ;2!;A이므로 Ap:ª2¼:=;2!;A ∴ pÚ`â`=;2!;
따라서 붕괴되기 시작하여 50년 후의 질량은 Ap:°2¼:=A(pÚ`â`);2%;
=A{;2!;};2%;= '2
8 A ③
빈출 유형 마무리
본문 12~13쪽01 ⑤ 02 ① 03 ① 04 25 05 ⑤` 06 ④ 07 ② 08 ③ 09 12 10 ② 11 ④ 12 ⑤ 13 25 14 ④ 15 ②
01
10의 10제곱근 중 실수인 것의 개수는 Ú`â '10, -Ú`â '10의 2이므로
`f(10)=2
11의 11제곱근 중 실수인 것의 개수는 Ú`Ú '11의 1이므로
`f(11)=1
12의 12제곱근 중 실수인 것의 개수는 Ú`Û '12, -Ú`Û '12의 2이므로
`f(12)=2
∴ f(10)+f(11)+f(12)=2+1+2=5 ⑤
02
Ç`"Å8¡`ÑÇ`=88-nn =(2Ü`)8-nn =224n -3 에서 자연수가 되려면 지수인 24
n -3이 0 또는 자연수이어야 한다.
이때, 2á`=512>500이므로 0É 24n -3<9
∴ 3É 24n <12 그런데 24
n 가 자연수이어야 하므로 24n =3, 4, 6, 8
따라서 n은 8, 6, 4, 3이므로 구하는 n의 값의 합은
3+4+6+8=21 ①
05-1
수도관 A의 단면인 원의 반지름의 길이는 4이고, 기울기는 0.01 이므로
v=c_{ p_4Û`2p_4 }
;3@;_(0.01);2!;
=c_2;3@;_0.1
수도관 B의 단면인 원의 반지름의 길이는 64이고, 기울기는 0.04 이므로
võ=c_{ p_64Û`2p_64 }
;3@;_(0.04);2!;
=c_2:Á3¼:_0.2
∴ võ
v =c_2:Á3¼:_0.2
c_2;3@;_0.1=2;3*;_2=2:Á3Á: ④
03 Ü '4-2 Ü '2
'2+ß '32+'2= 2;3@;-2;3$;
2;2!;+2;6%;+'2 = 2;3@;(1-2;3@;)
2;2!;(1+2;3!;)+'2
=2;3@;-;2!;_ (1-2;3!;)(1+2;3!;)
1+2;3!; +'2 =2;6!;(1-2;3!;)+'2
=2;6!;-2;2!;+'2
=ß '2-'2+'2=ß '2 ①
04
a+aÛ`+aÜ`
aÑÚ`+aÑÛ`+aÑÜ`의 분모, 분자에 aÜ`을 곱하면 (a+aÛ`+aÜ`)aÜ`
(aÑÚ`+aÑÛ`+aÑÜ`)aÜ`= (1+a+aÛ`)aÝ`aÛ`+a+1 =aÝ`
이때, a='5이므로
aÝ`=('5 )Ý`=5Û`=25 25
05
(x-xÑÚ`)Û`=xÛ`+xÑÛ`-2=5-2=3
이때, x>1이므로 x>xÑÚ` ∴ x-xÑÚ`='3
∴ xÜ`-xÑÜ` =(x-xÑÚ`)Ü`+3_x_xÑÚ`(x-xÑÚ`)
=('3)Ü`+3_1_'3=6'3 ⑤
06
2Å`+2ÑÅ`=3이므로 8Å`+8ÑÅ`+2
4Å`+4ÑÅ`-2=(2Å`+2ÑÅ`)Ü`-3(2Å`+2ÑÅ`)+2 (2Å`+2ÑÅ`)Û`-2-2
= 3Ü`-3_3+23Û`-4 =:ª5¼:=4 ④
07 aÜ`Å`+aÑÜ`Å`
aÅ`+aÑÅ` 의 분모, 분자에 aÅ` 을 곱하면 aÜ`Å`+aÑÜ`Å`
aÅ`+aÑÅ` = aÝ`Å`+aÑÛ`Å `aÛ`Å`+1 =(aÛ`Å`)Û`+ 1aÛ`Å ` aÛ`Å`+1
=('2+1)Û`+ 1'2+1
'2 +1+1 =3+2'2+'2-1 2+'2
=2+3'2
2+'2 =(2+3'2)(2-'2) (2+'2)(2-'2)
=;2!;(4-2'2+6'2-6)=2'2-1 ②
08
x=ß '2+ 1ß '2이므로
xÜ`={ß '2+ 1ß '2 }3`
=(ß '2)Ü`+{ 1ß '2 }3`+3_ß '2_ 1ß '2 {ß '2+ 1ß '2 }
='2+ 1'2+3{ß '2+ 1ß '2 }
='2+ '2
2 +3x=3'2 2 +3x
∴ xÜ`-3x=3'2 2
이 식의 양변을 제곱하면 (xÜ`-3x)Û`={3'2
2 }2`
xß`-6xÝ`+9xÛ`=;2(;
∴ 2xß`-12xÝ`+18xÛ` =2(xß`-6xÝ`+9xÛ`)
=2_ 92=9 ③
09
ax=11에서 a=11;[!;이므로 aß`=11;[^; yy ㉠ b2y=11에서 b=11;2Á];이므로 bß`=11;]#; yy ㉡ c3z=11에서 c=11;3Áz;이므로 cß`=11;z@; yy ㉢
㉠_㉡_㉢을 하면 aß`bß`cß`=11;[^;_11;]#;_11;z@;
(abc)ß`=11;[^;+;]#;+;z@;
이때, abc=121=11Û`이므로 11Ú`Û`=11;[^;+;]#;+;z@;
∴ ;[^;+;]#;+;z@;=12 12
10
4Å`="½3´`=M, 즉 2Û`Å`=3;2};=M (M>0)이라 하면
2Û`Å`=M에서 2=M ;2Á[; yy ㉠
3;2};=M에서 3=M ;]@;이므로 9=M ;]$; yy ㉡
㉠_㉡을 하면 18=M ;2Á[;+;]$;
이때, 2Á[;+;]$;=2이므로 18=MÛ`
∴ M='18=3'2 (∵ M>0)
∴ 2Ý`Å` ±Ú`+3´` =2_(2Û`Å`)Û`+(3;2};)Û`
=2MÛ`+MÛ`
=2_18+18=54 ②
11
A-B =('2+Ü '3)-Ü '24
='2+Ü '3-2 Ü '3
='2-Ü '3
=ß "Å2Ü`-ß "Å3Û` <0
∴ A<B yy ㉠
또한
A-C =('2+Ü '3 )-('2+ß '6 ) `
=Ü '3-ß '6
=ß "Å3Û`-ß '6 >0
∴ A>C yy ㉡
㉠, ㉡에서 C<A<B` ④
12
S=aH ;5@; _W ;2!;에서
H=90, W=20일 때의 표면적이 SÁ이므로 SÁ=a_90;5@;_20;2!;
H=180, W=80일 때의 표면적이 Sª이므로 Sª=a_180;5@;_80;2!;
∴ Sª
SÁ =a_180;5@;_80;2!;
a_90;5@;_20;2!; ={ 18090 }
;5@;_{ 8020 }
;2!;
=2;5@;_4;2!;=2;5@;_2=2;5&; ⑤
13
3a+b=4이고, 2a-b=5이므로
3aÛ`-bÛ` =(3a+b)a-b=4a-b=(2Û`)a-b
=(2a-b)2=52=25 25
14
Ü "½nµ =nm3이 자연수가 되는 경우를 n의 값에 따라 나누어 생각해 보자.
Ú n=1일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는 (1, 1), (2, 1), (3, 1)의 3이다.
Û 2ÉnÉ7일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는 (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7)의 6이다.
Ü n=8일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는 (1, 8), (2, 8), (3, 8)의 3이다.
Ú ~ Ü에서 조건을 만족시키는 순서쌍 (m, n)의 개수는
3+6+3=12 ④
15
QQõ =0.01t1.25_W0.25 0.05t0.75_W0.30
=;5!;_t1.25-0.75_W0.25-0.30
=;5!;_ tW0.50.05
이때, t=20이고, W=8이므로 QQõ =;5!;_200.5
80.05= (2Û`_5)5_20.150.5
= 2_520.15_50.5=20.85_5-0.5 따라서 a=0.85, b=-0.5이므로
a+b=0.35 ②
Ⅰ. 지수함수와 로그함수
유형 01
a=log£`(3+2'2)에서 로그의 정의에 의하여 3`=3+2'2
이므로
9`+ 23`ÑÚ`=(3`)Û`+ 63`
=(3+2'2)Û`+ 6 3+2'2
=9+12'2+8+ 6(3-2'2) (3+2'2)(3-2'2)
=17+12'2+18-12'2=35 35
01-1
밑의 조건에서 kÛ`>0이고 kÛ`+1
∴ k+0이고 k+-1이고 k+1 yy ㉠
진수의 조건에서 모든 실수 x에 대하여 xÛ`-2kx+9>0이 성립해 야 하므로 이차방정식 xÛ`-2kx+9=0의 판별식을 D라 하면
D4 =kÛ`-9<0, (k+3)(k-3)<0
∴ -3<k<3 yy ㉡
㉠, ㉡에서 구하는 정수 k의 개수는 -2, 2의 2이다. ①
유형 02
⑴ log° (6-'11)+log° (6+'11)
=log° (6-'11)(6+'11)
=log° (36-11)
=log°`25
=log°`5Û`=2
⑵ {log£`7+log»`;7!;}{log¦`3+log¢»`;3!;}
={log£`7-;2!;`log£`7}{log¦`3-;2!;`log¦`3}
=;2!;`log£`7_;2!;`log¦`3
=;4!;`log£`7_log¦`3
=;4!; ⑴ 2 ⑵ ;4!;
02-1
log c=2 logº c에서 1log a = 2 log b
∴ log b=2 log a 이때, log b=log b
log a =2 log a
log a =2이므로
02 |
내신&수능
빈출 유형
본문 15~17쪽로그
log bÜ`+logº a¡`=3`log b+ 8log b
=3_2+;2*;=10 10
02-2
조건 ㈎에서 4`=5º`=k`=t`(t>0, t+1)라 하면 로그의 정의에 의하여
a=log¢ t, b=log° t, c=logû t 조건 ㈏에서 ab-bc=ca이므로
log¢ t_log° t-log° t_logû t=logû t_log¢ t log^ 4 _1 1
log^ 5 - 1
log^ 5 _ 1
log^ k = 1
log^ k _ 1 log^ 4 log^ k {1 1
log^ 4 + 1
log^ 5 }= 1
log^ 4 _ 1 log^ 5 log^ k _1 log^ 4+log^ 5
log^ 4_log^ 5 = 1 log^ 4_log^ 5 log^ 20
log^ k =1, log^ k=log^ 20
∴ k=20 20
유형 03
log¤`84=logª`84
logª`6 =logª`(2Û`_3_7) logª`(2_3)
=2+logª`3+logª`7 1+logª`3
=2+logª`3+ 1log¦`2 1+logª`3
=2+b+;a!;
1+b
= 1+2a+aba+ab ①
03-1
로그의 정의에 의하여 3`=2에서 a=log£`2 3º`=5에서 b=log£`5 3`=7에서 c=log£`7
∴ log£°`500=log£`500 log£`35
=log£`(2Û`_5Ü`) log£`(5_7)
=2`log£`2+3`log£`5 log£`5+log£`7
= 2a+3b b+c ③
유형 04
logª`a=log¥`b=logÁ¤`c=t`(t>0, t+1)라 하면 a=2^`, b=8^`=2Ü`^`, c=16^`=2Ý`^``
∴ log'a`bc=2`log`bc=2`log2^``(2Ü`^_2Ý`^`)
=2`log2^``2à`^`=2_7=14 ③
04-1
aÛ`=bÜ`=cÞ`=t`(t>0, t+1)라 하면 a=t;2!;, b=t;3!;, c=t;5!;
∴ log`b+log;b!;`c+log'c`a =logt;2!;`t;3!;+logt-;3!;`t;5!;+logt;1Á0;`t;2!;
=;3@;-;5#;+5=;1&5^;
따라서 p=15, q=76이므로
p+q=15+76=91 91
04-2
aÝ`=bÜ`=t`(t>0, t+1)라 하면 a=t;4!;, b=t;3!;
∴ aÛ`bÝ`=t;2!; t;3$;=t:Á6Á:
이때, aÛ`bÝ`=cÚ`Ú`이므로 t:Á6Á:=cÚ`Ú`` ∴ c=t;6!;
∴ log`a+logº`c=logt;6!;`t;4!;+logt;3!;`t;6!;
=;2#;+;2!;=2 ②
유형 05
log`100<log`300<log`1000에서 2<log`300<3이므로 log`300의 정수 부분은 2이다.
∴ a=2
한편, 정수 부분이 2이므로 log`300의 소수 부분 b는 b=log`300-2=log`300-log`100=log`3 따라서 a=2, b=log`3이므로
10a+10b=10Û`+10log`3=100+3=103 103
05-1
log`5=log`:Á2¼:=1-log`2이므로 log`(2Ú`â`_5Û`â`)=log`2Ú`â`+log`5Û`â`
=10`log`2+20`log`5
=10`log`2+20(1-`log`2)
=20-10`log`2
=20-10_0.3010
=16.990=16+0.990
따라서 log`(2Ú`â`_5Û`â`)의 정수 부분이 16이므로 2Ú`â`_5Û`â`은 17자리 의 정수이다.
∴ m=17 ③
05-2
100<x<1000에서 2<log`x<3이므로 log`x의 정수 부분은 2이다.
log`x의 소수 부분을 a (0<a<1)라 하면 log`x=2+a
log`'§x= 12 `log`x=1
2 _(2+a)=1+a 2 0<a<1에서 0< a2<1
2 이므로 log`'§x 의 소수 부분은 a 2 이다.
a+ a2 =3 2 a, 3
2 a=1 ∴ a=2 3
따라서 log`x의 소수 부분은 23 이다. ④
유형 06
노출 시간이 ;10!0;일 때, 은의 밀도는 DÁ이므로
DÁ=log`C-log`;10!0; yy ㉠
노출 시간이 ;50!0;일 때, 은의 밀도는 Dª이므로
Dª=log`C-log`;50!0; yy ㉡
㉠-㉡을 하면
DÁ-Dª=log`;50!0;-log`;10!0;
=log`;5!0)0);
=log`;5!;=-log`5 ⑤
06-1
A, B 토네이도의 최대 지름의 길이를 각각 D`km, Dõ`km, 수 명을 각각 T시간, Tõ시간이라 하면
3`log`D=log`kTÛ` yy ㉠
3`log`Dõ=log`kTõÛ` yy ㉡
㉠-㉡을 하면
3(log`D-log`Dõ)=log`kTÛ`-log`kTõÛ``
3 log`D
Dõ =log`{T
Tõ }2``
이때, D=10Dõ, 즉 D
Dõ =10이므로 3 log`10=log`{T
Tõ }Û`, 3=log`{TTõ }Û`
{T
Tõ }2``=10Ü` ∴ T
Tõ =10;2#;
따라서 A 토네이도의 수명은 B 토네이도의 수명의 10;2#;배이다.
③
빈출 유형 마무리
본문 18~19쪽01 ③ 02 ③ 03 ② 04 192 05 2` 06 ⑤ 07 ⑤ 08 64 09 ⑤ 10 12 11 ③ 12 15 13 ① 14 ①
01 log£`5
a =;2!;에서 a=2 log£`5 2 log°`2 =;2!;에서 b=log°`2b logª`81
6c =;2!;에서 3c=logª`81이므로 c=;3$;`logª`3
∴ abc=2 log£`5_log°`2_;3$;`logª`3
=;3*;_log£`5_log£`2 log£`5 _ 1
log£`2 =;3*; ③
02
k=log'5`18+ 1
log¦`'5- logª`6 logª`'5
=log'5`18+log'5`7-log'5`6
=log'5`{ 18_76 }
=log'5`21=2`log°`21=log°`21Û`
∴ 5û`=5 log°`21Û`=21Û` ③
03
`f(n)=Ç` ±Ú "Ç '2=2n(n+1)1 =2{ 1n -n+1 }1 이므로 logª` f(1)+logª` f(2)+logª` f(3)+y+logª` f(9)
=logª` f(1)f(2)f(3)yf(9)
=logª`
{
21-;2!;_2;2!;-;3!;_2;3!;-;4!;_y_2;9!;-;1Á0;}
=logª`2{1-;2!;}+{;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+y+{;9!;-;1Á0;}
=1-;1Á0;=;1»0; ②
04
조건 ㈎의 36a=b에서 log£`36a=log£`b log£`(4_3Û`)+log£`a=log£`b
log£`a-log£`b=-2-log£`4 yy ㉠
조건 ㈏에서 log£`a+log£`b=log£`4 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
log£`a=-1, log£`b=1+log£`4
∴ 32`log£`a+3`log£`b =3-2+3(1+log£`4)
=31+3`log£`4
=3log£ (3_4Ü`)
=3_4Ü`=192 192
05
조건 ㈎에서 a=bm, b=c2n이므로
a=bm=(c2n)m=c2mn yy ㉠ 이때, 조건 ㈏에서 log`b-log`c=log`b
log`a 이므로 log`b-log`c=log`b_log`c
logbµ `b-logcÛ`µ``Ç``c=logbµ `b_logcÛ`µ``Ç``c (∵ ㉠) m -1 1
2mn = 1 m _ 1
2mn 2n-12mn = 1
2mÛ`n
∴ m(2n-1)=1
이때, m, n은 자연수이므로 m=1, 2n-1=1 ∴ n=1
∴ m+n=1+1=2 2
06
log`2=a, log`3=b이므로
log°`'72=log`'72 log`5 =
;2!;`log`(2Ü`_3Û`) log`:Á2¼:
=;2!;(3`log`2+2`log`3) 1-log`2
=3`log`2+2`log`3
2(1-log`2) = 3a+2b
2(1-a) ⑤
07
2a=b`log`4+ c log'5`10
=log`4º`+c`log`'5`
=log`2Û`º`+log`5;2C;
=log(2Û`º`_5;2C;) 로그의 정의에 의하여
2Û`º`_5;2C;=10Û``이므로 2Û`º`_5;2C;=(2_5)Û``
즉, 2Û`º`_5;2C;=2Û``_5Û``에서 a, b, c가 자연수이므로 2b=2a, ;2C;=2a ∴ b=a, c=4a
∴ 10a+c
b = 10a+4aa =14 ⑤
08
a=logÁ¤`xÜ`에서 16`=xÜ`, 2Ý``=xÜ`
∴ x=2:¢3:
b=log'2`yÛ`에서 ('2)º`=yÛ`, 2;2B;=yÛ`
∴ y=2;4B;
∴ ('x);b#;y;a*;=x;2£b;y;a*;=(2:¢3:);2£b;(2;4B;);a*;=2:ªb:+:ªaõ:=4;aB;+;bA;=4aÛ`+bÛ`ab 한편, a-b='ab 의 양변을 제곱하면
aÛ`-2ab+bÛ`=ab에서 aÛ`+bÛ`=3ab
∴ ('x);b#;y;a*;=4aÛ`+bÛ`ab =4:£abõ:=4Ü`=64 64
09
log`xÝ`-log`x=4`log`x-log`x=3`log`x에서 3`log`x의 값이 정수이다.
이때, 10<x<100에서 1<log`x<2에서 3<3`log`x<6
즉, 3`log`x=4 또는 3`log`x=5이므로 log`x=;3$; 또는 log`x=;3%;
∴ x=10;3$; 또는 x=10;3%;
따라서 구하는 모든 x의 값의 곱은
k=10;3$;_10;3%;=10Ü` ⑤
10
조건 ㈐에 의하여
log`'x+log`Ü 'x=;2!;`log`x+;3!;`log`x=;6%;`log`x에서
;6%;`log`x의 값은 정수이다.
이때, 조건 ㈎에 의하여
4_;6%;É;6%;`log`xÉ8_;6%;, :Á3¼:É;6%;`log`xÉ:ª3¼:
즉, ;6%;`log`x=4 또는 ;6%;`log`x=5 또는 ;6%;`log`x=6이므로 log`x=:ª5¢: 또는 log`x=6 또는 log`x=:£5¤: yy ㉠ 한편, 조건 ㈏에서 log`'x와 log`Ü 'x, 즉 ;2!;`log`x와 ;3!;`log`x가 모두 정수가 아니므로 log`x는 6이 아니다.
따라서 ㉠에서 log`x=:ª5¢: 또는 log`x=:£5¤:이므로
x=10:ª5¢: 또는 x=10:£5¤:
∴ A=10:ª5¢:_10:£5¤:=10Ú`Û`
∴ log`A=log`10Ú`Û`=12 12
11
pH=-log`[H±]에서
log`[H±]=-pH ∴ [H±]=10-pH
A 용액 2`L에 들어 있는 수소 이온의 양은 2_10ÑÝ``
B 용액 8`L에 들어 있는 수소 이온의 양은 8_10Ñß``
A 용액 2`L와 B 용액 8`L를 섞으면 전체 용액의 양은 10`L이고, 수소 이온의 양은 2_10ÑÝ`+8_10Ñß`이므로 섞은 용액 1`L에 들어 있는 수소 이온의 양은
2_10ÑÝ``+8_10Ñß`
10
따라서 섞은 용액의 pH의 값을 x라 하면 x=-log` 2_10ÑÝ``+8_10Ñß`10
=-log`10ÑÞ``{2+;10*0;}
=5-log`2.08
=5-0.32=4.68
따라서 섞은 용액의 pH의 값은 4.68이다. ③
12
a=logª`(2+'3)이므로 4`+ 42` =4logª`(2+'3)+ 4
2logª`(2+'3)
=22`logª`(2+'3)+ 4
2+'3 =(2+'3)Û`+ 4(2-'3)
(2+'3)(2-'3)
=7+4'3+8-4'3=15 15
13
m이 홀수이므로 f(m)=log£`m n이 짝수이므로 f(n)=logª`n mn이 짝수이므로
`f(mn)=logª`mn=logª`m+logª`n 이때, `f(mn)=f(m)+f(n)에서 logª`m+logª`n=log£`m+logª`n
∴ logª`m=log£`m
즉, m=1이고, n은 20 이하의 짝수이므로 조건을 만족시키는 순 서쌍 (m, n)의 개수는 (1, 2), (1, 4), (1, 6), y, (1, 20)의
10이다. ①
14
T¼=20이고, t=;8(;일 때 T=365이므로 365=20+k`log`{8_;8(;+1}
365=20+k`log`10 ∴ k=345
∴ T=T¼+345`log`(8t+1) 따라서 t=a일 때 T=710이므로 20+345`log`(8a+1)=710 345`log`(8a+1)=690 log`(8a+1)=2, 8a+1=100
∴ a=;;»8»;; ①
유형 01
곡선 y=4Å` 이 y축과 만나는 점 A의 좌표는 (0, 1)이고, 곡선 y=2x+2-k가 y축과 만나는 점 B의 좌표는 (0, 4-k)이다.
ABÓ=4에서
|4-k-1|=4, |3-k|=4 3-k=-4 또는 3-k=4
∴ k=7 (∵ k>0) ④
01-1
함수 y=3Å` 의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시킨 그래프의 식은 y=-3Å`
이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동시킨 그래프 의 식은 y=-3Å`ÑÛ`
이때, 이 함수의 그래프가 점 (3, k)를 지나므로
k=-3Ü`ÑÛ`=-3 ③
유형 02
y=4Å`-2Å` ±Û`+5에서 y=(2Å` )Û`-4_2Å`+5 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면
0ÉxÉ3에서 1ÉtÉ8이고, 주어진 함수는 y=tÛ`-4t+5=(t-2)Û`+1
따라서 함수 y는 t=2, 즉 x=1일 때 최솟값 1을 갖고, t=8, 즉 x=3일 때 최댓값 37을 가지므로
a=1, b=1, c=3, d=37
∴ a+b+c+d=1+1+3+37=42 42
02-1
y=4Å`-2Å` ±Ú`+9에서 y=(2Å`)Û`-2_2Å`+9 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면
-2ÉxÉ2에서 ;4!;ÉtÉ4이고, 주어진 함수는 y=tÛ`-2t+9=(t-1)Û`+8
따라서 함수 y는 t=1, 즉 x=0일 때 최솟값 8을 가지므로 a=0, b=8
∴ a+b=0+8=8 ③
02-2
f(x)=-2xÛ`+4x라 하면 f(x)=-2(x-1)Û`+2이므로 -3ÉxÉ3에서 -30Éf(x)É2
함수 y={;2!;}-2xÛ`+4x에서 밑이 ;2!;이고, 0<;2!;<1이므로 y는 f(x)=-30일 때 최댓값 {;2!;}-30, f(x)=2일 때 최솟값
내신&수능
빈출 유형
본문 21~22쪽Ⅰ. 지수함수와 로그함수
03 | 지수함수
{;2!;}을 갖는다.
따라서 M={;2!;}-30=2Ü`â`, m={;2!;}2`=2ÑÛ`이므로 Mm =2Ü`â`
2ÑÛ`=232 ④
02-3
`f(x) =4Å`+4ÑÅ`-2(2Å`+2ÑÅ`)+9
=(2Å`+2ÑÅ`)Û`-2(2Å`+2ÑÅ`)+7
이때, 2Å`+2ÑÅ`=t로 놓으면 2Å`>0, 2ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하 평균의 관계에 의하여
t=2Å`+2ÑÅ`¾2"Ã2Å`_2ÑÅ`=2
(단, 등호는 2Å`=2ÑÅ`, 즉 x=0일 때 성립한다.) 함수 f(x)를 t에 대하여 나타낸 함수를 g(t)라 하면
g(t)=tÛ`-2t+7=(t-1)Û`+6 (단, t¾2)
따라서 함수 f(x)의 최솟값은 (2-1)Û`+6=7이다. ②
유형 03
{ 12 }xÛ`=2Û` ÑÜ`Å`에서 2-xÛ`=2Û` ÑÜ`Å`, -xÛ`=2-3x
xÛ`-3x+2=0, (x-1)(x-2)=0
∴ x=1 또는 x=2
∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+2Û`=5 ③
03-1
2_4Å`-9_2Å`+4=0에서 2_(2Å`)Û`-9_2Å`+4=0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면
2tÛ`-9t+4=0, (2t-1)(t-4)=0
∴ t=;2!; 또는 t=4
따라서 2Å`=;2!; 또는 2Å`=4이므로 x=-1 또는 x=2
∴ ab=(-1)_2=-2 ②
03-2
2Å` ÑÚ`+2ÑÅ` ±Ý`=9의 양변에 2Å` ±Ú`을 곱하면 2Û`Å`+2Þ`=9_2Å` ±Ú`에서 (2Å`)Û`-18_2Å`+32=0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면
tÛ`-18t+32=0 (t-2)(t-16)=0
∴ t=2 또는 t=16
따라서 2Å`=2 또는 2Å`=16이므로 x=1 또는 x=4
∴ a+b=1+4=5 ⑤
유형 04
8xÛ`+2x-4É4xÛ`+x에서 23(xÛ`+2x-4)É22(xÛ`+x) 밑이 2이고, 2>1이므로
3(xÛ`+2x-4)É2(xÛ`+x) 3xÛ`+6x-12É2xÛ`+2x
xÛ`+4x-12É0, (x+6)(x-2)É0
∴ -6ÉxÉ2
따라서 a=-6, b=2이므로
a+5b=-6+5_2=4 ②
04-1
{;5!;}xÉ{;2Á5;}xÛ`-5에서 {;5!;}xÉ{;5!;}2(xÛ`-5) 밑이 ;5!;이고, 0<;5!;<1이므로
x¾2(xÛ`-5), x¾2xÛ`-10
2xÛ`-x-10É0, (x+2)(2x-5)É0
∴ -2ÉxÉ;2%;
따라서 a=-2, b=;2%;이므로
3a+10b=3_(-2)+10_;2%;=19 19
04-2
9Å`-10_3Å`+9<0에서 (3Å`)Û`-10_3Å`+9<0 이때, 3Å`=t`(t>0)로 놓으면
tÛ`-10t+9<0, (t-1)(t-9)<0
∴ 1<t<9
즉, 1<3Å`<9에서 3â`<3Å`<3Û 밑이 3이고, 3>1이므로 0<x<2
따라서 구하는 정수 x의 개수는 1의 1이다. ①
01
y=4_{;2!;}3-x-2에서 y=2Û`_2Å` ÑÜ`-2
∴ y=2Å` ÑÚ`-2
이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으로 n만 큼 평행이동시킨 그래프의 식은
y=2(x-m)-1-2+n
∴ y=2x-m-1+n-2
이때, 이 함수의 그래프가 함수 y=2Å` 의 그래프와 일치하므로 -m-1=0, n-2=0
∴ m=-1, n=2
∴ mÛ`+nÛ`=(-1)Û`+2Û`=5 5
빈출 유형 마무리
본문 23~24쪽01 5 02 ④ 03 ① 04 ③ 05 ③ 06 ④ 07 25 08 ⑤ 09 17 10 ③ 11 ② 12 ④ 13 50 14 ⑤ 15 15 16 ②
02
f(2)=g(2)에서
aÛ`º` ÑÚ`={;a!;}2b-1, 즉 aÛ`º`ÑÚ`=aÑÛ`º`±Ú`
2b-1=-2b+1, 4b=2 ∴ b=;2!;
즉, f(x)=a;2!;x-1, g(x)={;a!;};2!;x-1이므로 f(4)+g(4)=;2%;에서 a+;a!;=;2%;, 2aÛ`-5a+2=0
(2a-1)(a-2)=0 ∴ a=2`(∵ a>1)
∴ a+b=2+;2!;=;2%; ④
03
점 A의 x좌표를 a라 하면 ACÓ=a, OBÓ=3a
이므로 점 B의 좌표는 (3a, 0)이다.
이때, 점 B는 곡선 y=-2Å`+k 위의 점이므로
0=-2Ü``+k ∴ k=2Ü`` yy ㉠
또한 점 A는 두 곡선 y=2Å`, y=-2Å`+k의 교점이므로
2`=-2`+k ∴ k=2`+2`=2`±Ú` yy ㉡
㉠, ㉡에서 2Ü``=2`±Ú`이므로 3a=a+1 ∴ a=;2!;
∴ k=2;2#;=2'2 ①
04
함수 f(x)=4Å` ÑÚ`에서 밑이 4이고, 4>1이므로 함수 f(x)는 x=2 일 때, 최댓값 M=4Û`ÑÚ`=4를 갖는다.
함수 g(x)={;2!;}Å`에서 밑이 ;2!;이고, 0<;2!;<1이므로 함수 g(x) 는 x=2일 때, 최솟값 m={;2!;}2=;4!; 을 갖는다.
∴ Mm=4_;4!;=1 ③
05
y={;2!;}x-{;4!;}x-2에서 y={;2!;}x-16[{;2!;}x]2 이때, {;2!;}x=t`(t>0)로 놓으면
0ÉxÉ6에서 ;6Á4;ÉtÉ1이고, 주어진 함수는 y=-16tÛ`+t=-16{t-;3Á2;}2+;6Á4;
따라서 함수 y는 t=;3Á2;, 즉 x=5일 때 최댓값 ;6Á4;을 가지므로 a=5, M=;6Á4;
∴ {;2!;}a+M={;2!;}5+;6Á4;
=;3Á2;+;6Á4;=;6£4; ③
06
f(x)=-xÛ`+2x+1이라 하면 f(x)=-(x-1)Û`+2이므로 -2ÉxÉ2에서 -7Éf(x)É2
함수 y=10-xÛ`+2x+1에서 밑이 10이고, 10>1이므로
y는 f(x)=2일 때 최댓값 10Û`, f(x)=-7일 때 최솟값 10Ñà`을 갖 는다.
따라서 M=10Û`, `m=10Ñà`이므로 log` Mm =log` 10Û`
10Ñà`=log`10á`=9 ④
07
y =(2Å` ±Û`+3ÑÅ`)(3Å`+2ÑÅ` ±Û`)
=4_6Å`+16+1+4_6ÑÅ`
=4(6Å`+6ÑÅ`)+17 yy ㉠
이때, 6Å`>0, 6ÑÅ`>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 6Å`+6ÑÅ`¾2"Ã6Å`_6ÑÅ`=2`
(단, 등호는 6Å`=6ÑÅ`, 즉 x=0일 때 성립한다.)
㉠에서 y¾4_2+17=25
따라서 y의 최솟값은 25이다. 25
08
8Þ`ÑÅ`={;2!;}3-xÛ`에서 23(5-x)=2xÛ`-3이므로 3(5-x)=xÛ`-3, 15-3x=xÛ`-3 xÛ`+3x-18=0, (x+6)(x-3)=0
∴ x=-6 또는 x=3
∴ |a|+|b|=|-6|+|3|=6+3=9 ⑤
09
4Å`-9_2Å` ±Ú`+32=0에서 (2Å`)Û`-18_2Å`+32=0 이때, 2Å`=t (t>0)로 놓으면
tÛ`-18t+32=0, (t-2)(t-16)=0
∴ t=2 또는 t=16
따라서 2Å`=2 또는 2Å`=16=2Ý`이므로 x=1 또는 x=4
∴ aÛ`+bÛ`=1Û`+4Û`=17 17
10
aÛ`Å`-7aÅ`+8=0에서 (aÅ`)Û`-7aÅ`+8=0 이때, aÅ`=t`(t>0)로 놓으면
tÛ`-7t+8=0
한편, 방정식 aÛ`Å`-7aÅ`+8=0의 두 근을 a, b라 하면 이차방정식 tÛ`-7t+8=0의 두 근은 aa, ab이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
aa_ab=8, aa+b=8 이때, a+b=3이므로 aÜ`=8, aÜ`=2Ü`
∴ a=2 ③
이때, 2`=t`(t>0)로 놓으면 2tÛ`-5t+2=0
(2t-1)(t-2)=0 ∴ t=;2!; 또는 t=2 즉, 2`=;2!; 또는 2`=2이므로
a=-1 또는 a=1
이를 ㉠에 대입하면 b=1 또는 b=-1 이때, a>b이므로 a=1, b=-1
따라서 두 점 A, B의 좌표는 각각 A(1, 2), B{-1, ;2!;}이다.
한편, 점 A가 함수 y=-{;2!;}x+k의 그래프 위의 점이므로 2=-;2!;+k
∴ k=;2%;
다른 풀이
두 함수 y=2Å`, y=-{ 12}x+k의 그래프의 서로 다른 두 교점의 x좌표를 a, b라 하면 A(a, 2a), B(b, 2b)이고 선분 AB의 중점 의 y좌표가 54 이므로
2a+2b
2 = 54 ∴ 2a+2b= 52 yy ㉠ 한편, 두 함수 y=2Å`, y=-{ 12}x+k의 그래프의 서로 다른 두 교 점의 x좌표를 구하면
2Å`=-{ 12}x+k에서 (2Å`)Û`-k_2Å`+1=0
이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면 이차방정식 tÛ`-kt+1=0의 두 근 이 2a, 2b이므로 근과 계수의 관계에 의하여
2a+2b=k 따라서 ㉠에 의하여
k= 52 ⑤
15
일차함수 y=f(x)의 그래프가 점 (-5, 0)을 지나고, 기울기가 양수이므로
f(x)=a(x+5)`(a>0) 라 할 수 있다.
부등식 2 f(x)É8, 즉 2a(x+5)É2Ü`에서 밑이 2이고, 2>1이므로 a(x+5)É3, x+5É 3a (∵ a>0)
∴ xÉ 3a-5
이때, 부등식 2 f(x)É8의 해가 xÉ-4이므로 a -5=-4, 3 3
a =1
∴ a=3
따라서 f(x)=3(x+5)이므로
`f(0)=3_5=15 15
11
{;2!;}2x<32<{;4!;}x-2에서 2ÑÛ`Å`<2Þ`<2ÑÛ`Å` ±Ý`
이때, 밑은 2이고, 2>1이므로 -2x<5<-2x+4
-2x<5에서 x>-;2%; yy ㉠
5<-2x+4에서 2x<-1 ∴ x<-;2!; yy ㉡
㉠, ㉡에서 -;2%;<x<-;2!;
따라서 주어진 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수는 -2, -1의
2이다. ②
12
4Å`-2Å` ±Ü`+k¾0에서 (2Å`)Û`-8_2Å`+k¾0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면
tÛ`-8t+k¾0, (t-4)Û`+k-16¾0 yy ㉠ t>0일 때 이차부등식 ㉠이 항상 성립하기 위해서는 k-16¾0이 어야 한다.
∴ k¾16
따라서 구하는 실수 k의 최솟값은 16이다. ④
13
{;2!;}f(x)¾{;2!;}g(x)에서 밑이 ;2!;이고, 0<;2!;<1이므로
`f(x)Ég(x)
주어진 그림에서 f(x)Ég(x)인 x의 값의 범위는 1ÉxÉ4
한편, 4Å`-a_2Å`+bÉ0에서 (2Å`)Û`-a_2Å`+bÉ0 이때, 2Å`=t`(t>0)로 놓으면
tÛ`-at+bÉ0 yy ㉠
1ÉxÉ4에서 2ÉtÉ16이므로 ㉠은 (t-2)(t-16)É0이다.
따라서 tÛ`-18t+32É0이므로 a=18, b=32
∴ a+b=18+32=50 50
14
두 점 A, B가 함수 y=2Å`의 그래프 위에 있으므로 A(a, 2`), B(b, 2º`)`(a>b)라 할 수 있다.
이때, 선분 AB의 중점의 좌표가 {0, ;4%;}이므로
a+b2 =0 ∴ b=-a yy ㉠
2`+2º`
2 =;4%; yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 2`+2Ñ`=;2%;
위의 식의 양변에 2_2`를 곱하면 2_(2`)Û`-5_2`+2=0
유형 01
함수 y=log£`x의 그래프가 직선 y=2와 만나는 점의 x좌표를 구 하면 2=log£`x ∴ x=9
함수 y=log°`x의 그래프가 직선 y=2와 만나는 점의 x좌표를 구 하면 2=log°`x ∴ x=25
따라서 두 점 A, B의 좌표는 각각 A(9, 2), B(25, 2)이므로 구 하는 선분 AB의 길이는
ABÓ=|25-9|=16 ④
01-1
세 점 P', Q', R'의 y좌표는 각각 logª`3, logª`a, logª`12이고, 점 Q'은 선분 P'R'의 중점이므로
logª`3+logª`12
2 =logª`a logª`(3_12)=logª`aÛ`
aÛ`=36
∴ a=6 (∵ a>0) ②
01-2 y=log°`25
x
=log5`25-log5`x
=log5`5Û`+log5ÑÚ``x
=log;5!;`x+2
따라서 함수 y=log°` 25
x 의 그래프는 함수 y=log;5!;`x의 그래프 를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동시킨 것이므로
m=2 ⑤
01-3
ㄱ. y=log;2!;`3x=-logª`3x=-logª`x-logª`3
즉, 함수 y=log;2!;`3x의 그래프는 함수 y=logª`x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시킨 후 y축의 방향으로 -logª`3만큼 평행이동시킨 것이다.
ㄴ. 두 함수 y=logª`xÝ`, y
y=log™ x$
y=log™ x O x
-1 1
y=logª`x의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 평행이동 또는 대칭이동시켜 일치시킬 수 없다.
ㄷ. y=2Å`은 y=logª`x의 역함수이 므로 함수 y=2Å`의 그래프는 함
수 y=logª`x의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동시킨 것이다.
내신&수능
빈출 유형
본문 26~28쪽Ⅰ. 지수함수와 로그함수
04 | 로그함수
16
두 곡선 y=|9Å`-3|, y=2Å` ±û`이 만나는 서로 다른 두 점의 x좌표 xÁ, xª에 대하여 xÁ<0, 0<xÁ<2를 만족시키려면 두 곡선 y=|9Å`-3|, y=2Å` ±û`의 그래프는 다음 그림과 같다.
O y
y=|9Ù-x|
y=2Ù±
x x¡ x™ 2
즉, f(x)=|9Å`-3|, g(x)=2x+k이라 하면
x=0일 때 f(0)<g(0)이어야 하고, x=2일 때 f(2)>g(2)이어 야 한다.
`f(0)<g(0)에서 2<2û` yy ㉠
`f(2)>g(2)에서 78>4_2û` ∴ 2û`< 392 yy ㉡
㉠, ㉡에서 2<2û`< 392
이 부등식을 만족시키는 자연수 k의 값은 2, 3, 4이므로 그 합은
2+3+4=9 ②
따라서 함수 y=logª`x의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동시켜
일치시킬 수 있는 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④
01-4
함수 `f(x)=logª`(x-5)의 점근선의 방정식은 x=5이므로 곡선 y=f ÑÚ`(x)의 점근선의 방정식은 y=5이다.
직선 y=5와 곡선 y=log£`x+3의 교점의 x좌표는 5=log£`x+3, log£`x=2
∴ x=3Û`=9
따라서 구하는 교점의 x좌표는 9이다.
보충 설명
y=logª`(x-5)에서 x-5=2´` ∴ x=2´`+5
이때, x와 y를 서로 바꾸면 y=2Å`+5
따라서 f ÑÚ`(x)=2Å`+5의 점근선은 y=5이다. ③
유형 02
y={logª`;2{;}2-logª`xÜ`+6
=(logª`x-logª`2)Û`-3`logª`x+6
=(logª`x-1)Û`-3`logª`x+6
=(logª`x)Û`-5`logª`x+7 이때, logª`x=t로 놓으면
1ÉxÉ16에서 logª`1Élogª`xÉlogª`16이므로 0Élogª`xÉ4 ∴ 0ÉtÉ4
또한 주어진 함수는
y=tÛ`-5t+7={t-;2%;}2+;4#;
따라서 함수 y는 t=;2%;일 때 최솟값 m=;4#;, t=0일 때 최댓값 M=7을 가지므로
Mm=7_;4#;=;;ª4Á;; ②
02-1
y=(logª`x)Û`+a`log;4!;`x+b
=(logª`x)Û`-;2A;`logª`x+b 이때, logª`x=t로 놓으면 y=tÛ`-;2A;t+b
이때, 이 함수는 x=4, 즉 t=2일 때 최솟값 5를 가지므로 y=(t-2)Û`+5=tÛ`-4t+9
따라서 ;2A;=4에서 a=8이고, b=9이므로
ab=8_9=72 72
02-2
진수의 조건에서 -xÛ`+10x-16>0 xÛ`-10x+16<0, (x-2)(x-8)<0
∴ 2<x<8
주어진 식에서 진수를 f(x)라 하면 f(x)=-xÛ`+10x-16=-(x-5)Û`+9
2<x<8에서 함수 f(x)는 x=5일 때, 최댓값 9를 갖는다.
즉, 함수 y=log£`(-xÛ`+10x-16)+4에서 y는 x=5일 때 최댓 값 log£`9+4=2+4=6을 갖는다.
따라서 p=5, q=6이므로
p+q=5+6=11 ①
02-3
y =(4`logª`x+logx`3)(log£`x+4`logx`2)
=4`logª`x_log£`x+16+1+4`logx`3_logx`2
=4(logª`x_log£`x+logx`2_logx`3)+17 yy ㉠ x>1에서 logª`x>0, log£`x>0, logx`2>0, logx`3>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
logª`x_log£`x+logx`2_logx`3
¾2"Ãlogª`x_log£`x_logx`2_logx`3
=2
(단, 등호는 logª`x_log£`x=logx`2_logx`3일 때 성립한다.)
㉠에 의하여
y =4(logª`x_log£`x+logx`2_logx`3)+17
¾4_2+17=25
따라서 함수 y의 최솟값은 25이다. 25
유형 03
log£`6x_log£`x+log£`;2#;_log£`x-6=0에서 (log£`6+log£`x) log£`x+log£`;2#;_log£`x-6=0 (log£`x)Û`+{log£`6+log£`;2#;}`log£`x-6=0 (log£`x)Û`+log£`9_log£`x-6=0
(log£`x)Û`+2`log£`x-6=0
이때, log£`x=t로 놓으면 주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 이차방정식 tÛ`+2t-6=0의 두 근은 log£`a, log£`b이다.
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 log£`a+log£`b=-2
log£`ab=-2
∴ ab=3ÑÛ`=;9!; ②
03-1
진수의 조건에서
5+x>0이고 5-x>0 ∴ -5<x<5 yy ㉠ logª`(5+x)+logª`(5-x)=4에서
logª`(5+x)(5-x)=4, logª`(25-xÛ`)=4 25-xÛ`=16, xÛ`-9=0, (x+3)(x-3)=0
∴ x=-3 또는 x=3 yy ㉡
㉠, ㉡에서 x=-3 또는 x=3 따라서 구하는 모든 실수 x의 값의 곱은
(-3)_3=-9 ②
유형 04
진수의 조건에서
x-1>0이고 x-3>0 ∴ x>3 yy ㉠ log;3!;`(x-1)+log;3!;`(x-3)<-1에서
log;3!;`(x-1)(x-3)<log;3!;`{;3!;}ÑÚ`
밑이 ;3!;이고, 0<;3!;<1이므로 (x-1)(x-3)>{;3!;}ÑÚ`
xÛ`-4x+3>3
xÛ`-4x>0, x(x-4)>0
∴ x<0 또는 x>4 yy ㉡
㉠, ㉡에서 x>4
∴ a=4 ③
04-1
진수의 조건에서 x-1>0이고 ;2!;x+k>0
∴ x>1`(∵ k는 자연수) yy ㉠
logª`(x-1)Élogª`{;2!;x+k}에서 밑이 2이고, 2>1이므로 x-1É;2!;x+k, ;2!;xÉk+1
∴ xÉ2k+2 yy ㉡
㉠, ㉡에서 1<xÉ2k+2
2k+2는 자연수이고, 이 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수가 15이므로
2k+2-1=15, 2k+1=15
∴ k=7 ③
04-2
진수의 조건에서
xÛ`>0이고, 27x>0 ∴ x>0 yy ㉠ log»`xÛ`_log£`27xÉ10에서
log£`x_(log£`27+log£`x)É10 log£`x_(3+log£`x)É10 (log£`x)Û`+3`log£`x-10É0 이때, log£`x=t로 놓으면
tÛ`+3t-10É0, (t+5)(t-2)É0
∴ -5ÉtÉ2
즉, -5Élog£`xÉ2이므로
3ÑÞ`ÉxÉ3Û` ∴ {;3!;}5ÉxÉ9 yy ㉡
㉠, ㉡에서 {;3!;}5ÉxÉ9
따라서 부등식을 만족시키는 정수 x의 개수는 1, 2, 3, y, 9의 9
이다. ④
유형 05
여과기를 1개 설치하면 불순물의 20`%, 즉 15이 여과기를 통과하 므로 여과기를 n개 설치하면 불순물의 { 15}n이 여과기를 통과한다.
이때, 처음 불순물의 양을 A라 하면 여과기를 통과한 불순물의 양 이 전체의 0.01`%, 즉 110000 미만이 되어야 하므로
A {;5!;}n< 110000 A {;5!;}n<;100!00;
양변에 상용로그를 취하면 log`{;5!;}n<log`;100!00;
-n`log`5<-4, n`log`5>4 n(1-log`2)>4, n(1-0.3)>4 0.7n>4
∴ n> 407 =5.7y
따라서 설치해야 하는 여과기의 최소 개수는 6이다. ①
05-1
올해 아파트의 전셋값을 A라 하고, n년 후의 전셋값이 올해의 2 배 이상이 된다고 하면
A(1+0.05)Ç` ¾2A 1.05Ç` ¾2
양변에 상용로그를 취하면 log`1.05Ç` ¾log`2 n`log`1.05¾log`2 0.021n¾0.301
∴ n¾ 0.3010.021 =14.3y
따라서 최소 15년 후에 전셋값이 올해의 2배 이상이 된다. ①
05-2
유리창을 한 장 설치하면 자외선의 81
100 이 유리창을 통과하므로 유리창을 n장 설치하면 자외선의 { 81100 }
n이 유리창을 통과한다.
이때, 처음 자외선의 양을 A라 하면 유리창을 통과한 자외선 양이 처음의 1
3 이하가 되어야 하므로 A { 81100 }
nÉ 13 A { 81100 }
nÉ 13
양변에 상용로그를 취하면 log { 81100 }
nÉlog`;3!;, n(4`log`3-2)É-log`3 n(4_0.48-2)É-0.48, -0.08nÉ-0.48
∴ n¾6
따라서 설치해야 하는 유리창의 최소 장수는 6이다. 6
05
x>0일 때, 두 함수 y=logª`5x, y=logª`(x+m)의 그래프의 교 점의 x좌표는
logª`5x=logª`(x+m), 5x=x+m, 4x=m
∴ x= m4
x<0일 때, 두 함수 y=logª`(-5x), y=logª`(x+m)의 그래프 의 교점의 x좌표는
logª`(-5x)=logª`(x+m), -5x=x+m, 6x=-m
∴ x=- m6
따라서 두 함수 y=logª |5x|, y=logª`(x+m)의 그래프의 교점 A, B의 좌표는
A{ m4 , logª`5m
4 }, B{-m
6 , logª`5m 6 } 이때 직선 AB의 기울기는 logª`3-1이므로
logª` 5m4 -logª`5m 6 m4 -{-m
6 }
=logª`3-1
logª`{ 5m4 _ 6 5m 5m }
12
=logª`3-1
5m `logª`12 3
2 =logª`3-1 5m (logª`3-1)=logª`3-112
∴ m= 125 ③
06
f(x)=log`(xÛ`-2x+3)=log`{(x-1)Û`+2}에서
밑 a가 0<a<1이므로 0ÉxÉ3에서 함수 f(x)는 x=1일 때, 최 댓값 f(1)을 갖는다.
이때, 최댓값이 -1이므로 f(1)=-1에서 log`2=-1, aÑÚ`=2
∴ a=;2!;
따라서 0ÉxÉ3에서 함수 f(x)=log;2!;`(xÛ`-2x+3)은 x=3일 때, 최솟값 log;2!;`(9-6+3)=log;2!;`6=-logª`6을 갖는다.
②
07
`f(x)=log`(xÛ`-2x+10)에서 진수를 g(x)라 하면 g(x)=xÛ`-2x+10=(x-1)Û`+9
이므로 0ÉxÉ1에서 9Ég(x)É10
이때, 밑 a의 범위에 따라 경우를 나누어 생각해 보자.
Ú a>1일 때
log`9Élog`g(x)Élog`10 ∴ log`9Éf(x)Élog`10
함수 f(x)의 최댓값은 log`10이므로 01
`f(2)=p, f(3)=q, 즉 log`2=p, log`3=q이므로
`f {;3%;}=log`;3%;=log`5-log`3
=log`;;Á2¼;;-log`3
=1-log`2-log`3
=1-p-q ②
02
곡선 y=a-x-2이 직선 y=1과 만나는 점의 x좌표를 구하면 a-x-2=1에서 a+0이므로
-x-2=0 ∴ x=-2
또한 곡선 y=log`(x-2)가 직선 y=1과 만나는 점의 x좌표를 구하면
log`(x-2)=1에서 x-2=a ∴ x=a+2
따라서 두 점 A, B의 좌표는 A(-2, 1), B(a+2, 1)이다.
이때, a는 1이 아닌 양수이고, ABÓ=8이므로
|a+2-(-2)|=8 a+4=8
∴ a=4 ②
03
오른쪽 그림에서 y
x y=x
1 b 1 b
c c
d d
e y=log2 x
O
logª`e=d, logª`c=b이므로 d-b=logª`e-logª`c=logª`;cE;
따라서 2d-b=;cE;이므로
{;2!;}b-d=2d-b=;cE; ③
04
함수 y=logª`x의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으 로 -1만큼 평행이동시킨 그래프의 식은
y=logª`(x-1)-1
이 함수의 그래프를 직선 y=x에 대하여 대칭이동시킨 그래프의 식은
x=logª`(y-1)-1, 즉 y-1=2Å` ±Ú`
∴ y=2Å` ±Ú`+1
따라서 g(x)=2Å` ±Ú`+1이므로
g(5)=2Þ`±Ú`+1=65 ②
빈출 유형 마무리
본문 29~30쪽01 ② 02 ② 03 ③ 04 ② 05 ③ 06 ② 07 ② 08 ⑤ 09 9 10 49 11 30 12 2 13 25 14 ④ 15 ② 16 ②