푸리에 급수는 상미분 방정식과 편미분 방정식을 수반하는 문제를

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals,

and

and TransformsTransforms

11.1 Fourier Series

11.2 Functions of Any Period p=2Ly p

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions 11 4 Complex Fourier Series

11.4 Complex Fourier Series 11.5 Forced Oscillations

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials 11.7 Fourier Integral

11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms 11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms

2

Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals,

and

and TransformsTransforms

11.1 Fourier Series

11.2 Functions of Any Period p=2Ly p

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions 11 4 Complex Fourier Series

11.4 Complex Fourier Series 11.5 Forced Oscillations

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials 11.7 Fourier Integral

11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms 11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms

3

Ch. 11 Fourier Series, Integrals, Ch. 11 Fourier Series, Integrals, ,, gg ,,

and

andTransformsTransforms

z

주기현상의 예 : 모터, 회전 기계, 음파, 지구의 운동, 정상 조건하의 심장

푸리에 급수는 상미분 방정식과 편미분 방정식을 수반하는 문제를

z

푸리에 급수는 상미분 방정식과 편미분 방정식을 수반하는 문제를 해결하는 데 매우 중요한 도구이다.

z

푸리에 급수의 실용적 관심대상 : 불연속적(Discontinuous)인 주기함수

내용 : 푸리에 급수의 개념과 기법, 푸리에 적분(Fourier Integrals),

푸리에 변환(Fourier Transform)

z

우리 주변에서 푸리에 급수는 매우 다양하게 이용됨:

파동의 간섭현상을 이용하여 소음도 없앨 수 있음. 예를 들어 여객기 밖은 엔

진소음으로 매우 시끄럽지만 안은 조용할 수 있는 것은 엔진의 소음과 같은 주

진소음으로 매우 시끄럽지만 안은 조용할 수 있는 것은 엔진의 소음과 같은 주

파수를 가지고 위상만 반대인 소음을 발생시켜 소음을 상쇄시키는 푸리에 급

수 원리 덕분에 가능

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

z 주기함수(Periodic Function)

( ) ( )

대하여 에

모든 존재해서

가 양수 어떤

정의 대하여

에 실수 모든

f f

x

∗

∗

( ) ( )

( ) (PeriodicFunction) , ( ) (Period) .

,

라한다 주기

의 를

하고 라

주기함수 를

대하여 에

모든 존재해서

가 양수 어떤

x f p x

f

x f p x f x

p

⇔

= +

∗

•

•

x x cos, sin

: 주기함수인 예

x x e

x x

x, , , ^x, cosh , ln

:

아닌예 ^{2 3} 주기함수가

z 성질

•

•

( )^{x p x f}(^{x np}) ^f ( ) (^{x n , , ,} _L)

f , 1 2 3

의 주기가 이면 모든 에대하여 + = =

함수

( )x ^와 g( )x ^{의 주기가} p^이면, af ( )x bg( )(x a^, b^{는 임의 상수})^{의 주기도} p^이다.

f +

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

z 삼각급수(Trigonometric Series)

• 삼각함수계(Trigonometric System)

L L, cos , sin , ,

2 sin , 2 cos ,

sin , cos ,

1 x x x x nx nx

• 삼각급수(Trigonometric Series)

( ^{cos sin} )

2 sin 2

cos sin

cos _{1 2 2 0}

1

0 a x b x a x b x L a a nx b nx

a ^{+ + + + + = +} ∑^∞ ( _n ⁺ _n )

. )

nts (Coefficie

_{0 1 1 2 2}

1 0

2 2

1 1

0

한다 라

계수 을

상수 a , a , b , a , b , L

n n n

∑=

• 삼각급수가 수렴한다면그 합은 주기가 2π인주기함수이다.

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

z ^{푸리에 급수(}Fourier Series)

일러 식( )

( )

∑^∞

=

+ +

=

1

0 cos sin

) (

n

n

n nx b nx

a a

x f

• 오일러 공식(Euler Formulas)

2 ( )

1

0 = ∫ ^{f x dx}

a ^π

π

( )^{cos , 1, 2,}_L

1 2

=

= ∫

−

n nxdx x

f a_n ^π

π π

π π

( )sin , 1, 2,_L

1 =

= ∫

−

−

n nxdx

x f b_n

π π

π

π π

• 푸리에 계수(Fourier Coefficients) : 오일러 공식에 의해 주어진 값 푸리에 급수(F i S i ) 푸리에 계수를 갖는 삼각급수

π

• 푸리에 급수(Fourier Series) : 푸리에 계수를 갖는 삼각급수

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

Ex.1 주기적인 직사각형파(Rectangular Wave) 푸리에 계수를 구하라.

( )

역학시스템의 외부에서 가해지는 힘이나, 전기회로에서의 기전력 등이 이런 종류의 함수이다.

( ) ( )

( ) ^f(^x ) ^f( )^x

x k

x x k

f + =

⎩⎨

⎧

<

<

<

<

−

= − π

π

π 2 0

0 이고

역학시스템의 외부에서 가해지는 힘이나, 전기회로에서의 기전력 등이 이런 종류의 함수이다.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{0 0}

₀

0

0 0

0

=

∴

= +

=

⋅

−

=

⋅

=

∗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

−

−

−

a dx

x f dx

x f dx x f k

dx x f k

dx x f

π π

π π π

π π^이고 π^이므로

( ) ^cos ( )^{cos .} π ( )^{cos 0 0}

⇒ = ∴ =

∗ ∫

−

an

dx x x

f x

x f x

x f

π

기함수이다 는

우함수이므로 가

기함수이고 가

( ) ( )

∗ f x가 기함수이고 sinx가 기함수이므로 f x sinx는 우함수이다 .

( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

= ⎧

−

− =

=

=

=

= ∫ ∫ ∫

− 이짝수

홀수 이

0

4 cos

2 1 cos

sin 2 sin 2

sin 2 1

0 0

0 n

n n k n n

k n

k nx nxdx

k nxdx

x f nxdx

x f

b_n π π

π π

π π

π

π π π

π π

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

∴ k x x x L

5 5sin 3 1

3sin sin 1

4 :

^{푸리에 급수} π

1 1 1

1 1 1

4 π

π ⎟⎞ ⎜⎛ ⎟⎞

⎜⎛ k

k

f 1 3 5 4

5 1 3

2

π π

π _{⇒ − + −+ =}

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ k L L

k f

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

Ex.1 주기적인 직사각형파(Rectangular Wave) 푸리에 계수를 구하라.

( )

역학시스템의 외부에서 가해지는 힘이나, 전기회로에서의 기전력 등이 이런 종류의 함수이다.

( ) ( )

( ) ^f(^x ) ^f( )^x

x k

x x k

f + =

⎩⎨

⎧

<

<

<

<

−

= − π

π

π 2 0

0 이고

역학시스템의 외부에서 가해지는 힘이나, 전기회로에서의 기전력 등이 이런 종류의 함수이다.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{0 0}

₀

0

0 0

0

=

∴

= +

=

⋅

−

=

⋅

=

∗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

−

−

−

a dx

x f dx

x f dx x f k

dx x f k

dx x f

π π

π π π

π π^이고 π^이므로

( )cos 0 0

* ∫ = ∴ =

−

an

dx x x

f

π

π

( ) ( ) ( ) ⎧ 4k

⎪⎩

⎪⎨

=⎧

−

− =

=

=

=

=

∗ ∫ ∫ ∫

− 이짝수

홀수 이

0

4 cos

2 1 cos

sin 2 sin 2

sin 2 1

0 0

0 n

n n k n n

k n

k nx nxdx

k nxdx

x f nxdx

x f

b_n π π

π π

π π

π

π π π

π π

⎞

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

∴ k x x x L

5 5sin 3 1

3sin sin 1

4 :

^{푸리에 급수} π

1 1 1

1 1 1

4 π

π ⎟⎞ ⎜⎛ ⎟⎞

⎜⎛ k

k

f 1 3 5 4

5 1 3

2

π π

π _{⇒ − + −+ =}

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ k L L

k f

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

• 함수 f(x)가 x=0과 x=π에서 불연속

이므로, 모든 부분합은 이 점에서

값이 0이 되며 이 값은 극한값인

값이 0이 되며, 이 값은 극한값인

–k와 k의 산술평균임.

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

z

( )

π∫

. 삼각함수 계는 구간 −π ≤ x ≤π에서 직교한다 직교성

계의 삼각함수

( )

(^{n m})

dx mx nx

m n dx

mx nx

≠

=

≠

=

∫

−∫

0 sin

sin

0 cos

cos

π π

Prove!

( )

(n m n m)

dx mx

nx = ≠ =

∫

∫

−

−

0 cos

sin 또는

π π

π Prove!

z 푸리에 급수에 의한 표현

π

주기함수 인

주기가 2

∗ π

( )^{와 우도함수}( )^{를 갖는다}

좌도함수 점에서

각

구분연속 에서

구간

.

Derivative hand

- Right

Derivative hand

- Left

) Continuous (Piecewise

-π x π

∗

≤

≤

∗

( )

( )

합 급수의 점에서

모든 제외한

점을 불연속인

합 급수의

수렴한다 급수는

푸리에 의

.

x f x

f

=

∗

⇒

( )

( )^{의좌극한과 우극한의평균}

합 급수의 점에서

불연속인

합 급수의 점에서

모든 제외한

점을 불연속인

x f

x f

=

∗

=

∗

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

11

11.1 .1 Fourier SeriesFourier Series

((푸리에 푸리에 급수 급수))

PROBLEM SET 11.1

HW 16 28 29 HW: 16, 28, 29

11

11.2 Functions.2 Functions of Any Period p=2L of Any Period p=2L yy pp

((임의의 임의의 주기 주기 p=2L p=2L을 을 가지는 가지는 함 함수 수))

z 2 ( ) : ( ) cos sin

1

0 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

=

= ∑^∞

=

L x b n

L x a n

a x f x

f L

p

n n n

π 급수 π

푸리에 의

주기함수 인

주기

( ) ( )

1 2 1

:

₀ = ∫

−

x n dx x L f

a x

f

L L

L

π 계수

푸리에 의

( )

( ) _L

L 2 1 1 sin

, 2 , 1 , 1 cos

=

=

=

=

∫

−∫

n xdx

x n f b

n L dx

x x n

L f a

L L n

π π

( )sin , 1,2,

∫

−

n L dx

x L f

b

L n

11

11.2 Functions.2 Functions of Any Period p=2L of Any Period p=2L yy pp

((임의의 임의의 주기 주기 p=2L p=2L을 을 가지는 가지는 함 함수 수))

Ex.1 주기적인 직사각형파

f(x) 푸리에 계수를 구하라.

( ) ( )

( 1 1) 2 4, 2 1

2 0

=

=

⎪ =

⎪⎨

⎧

<

<

−

−

<

<

−

= k x p L L

x x

f _{—2 —1 0 1 2 x}

k

(1 2)

⎪0

⎩ < x<

( ) 2 2

4 1 4

1 4

1

1

1 2

2

0 ⁼ ∫ ⁼ ∫ ^{= ⋅ =}

∗ k

k kdx

dx x f a

( ) 2 1, 5, 9,

0 sin 2

2 cos 2

2 1 cos 2

2 1

1 2

1 2

∫

∫

−

−

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

=

∗ _n k nn

n dx k

x k n

xdx x n

f

a π π π ^{이 짝수}

( ) L

( ) ^sin ( )^sin

, 1 1 , 7 , 3 2

, , 2 ,

2 2

2

2 ∫₂ ∫₁

−

−

∗

⎪⎪

⎪

⎩

⎨

=

−

n

x f n

x f n

n n n k f n

π π

π π π

기함수이다 는

기함수이므로 는

우함수이고 는

L

( ) ( )

( ) ^{0 0}

sin 2

2 . sin 2

sin

2

∫2

−

=

∴

=

⇒

∗

bn

xdx x n

f

x f x

f

π

기함수이다 는

기함수이므로 는

우함수이고 는

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

+

=

∴ k k x x x L

x

f 2

cos5 5 1 2

cos3 3 1 cos 2

2 2

:

π π π

급수 π 푸리에

11

11.2 Functions.2 Functions of Any Period p=2L of Any Period p=2L yy pp

((임의의 임의의 주기 주기 p=2L p=2L을 을 가지는 가지는 함 함수 수))

Ex.1 주기적인 직사각형파

f(x) 푸리에 계수를 구하라.

( ) ( )

( 1 1) 2 4, 2 1

2 0

=

=

⎪ =

⎪⎨

⎧

<

<

−

−

<

<

−

= k x p L L

x x

f _{—2 —1 0 1 2 x}

k

(^{1 2})

⎪0

⎩ < x<

( ) ^{1 1 2}

1 ^{2 1}

∫

∫ ^{f( )d kd k k}

0 2 2

4 4

4

1 2

0 ∫ ∫

−

−

⎪⎪

⎧

=

⋅

=

=

=

∗

n k

kdx dx

x f a

짝수 이

( )

, 1 1 , 7 , 3 2

, 9 , 5 , 1 2

sin 2 2 cos 2

2 1 cos 2

2 1

1

1 2

2 ∫

∫ −

−

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎨

=

−

=

=

=

=

=

∗ _n

k n n n

k n

n dx k x k n

xdx x n

f

a π

π π

π π

L L 짝수 이

( ) ^{0 0}

sin 2

2

2

−∫

=

∴

=

∗

⎪⎩

bn

xdx x n

f

n π

π

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

+

=

∴ k k x x x L

x

f 2

cos5 5 1 2

cos3 3 1 cos 2

2 2

:

π π π

급수 π 푸리에

11

11.2 Functions.2 Functions of Any Period p=2L of Any Period p=2L yy pp

((임의의 임의의 주기 주기 p=2L p=2L을 을 가지는 가지는 함 함수 수))

Example 2 Example 3

11

11.2 Functions.2 Functions of Any Period p=2L of Any Period p=2L yy pp

((임의의 임의의 주기 주기 p=2L p=2L을 을 가지는 가지는 함 함수 수))

PROBLEM SET 11.2

HW 13 16 HW: 13, 16

11

11.3 .3 Even and Odd Even and Odd Functions. Half Functions. Half--Range Range Expansions

Expansions ((우함수와 우함수와 기함수 기함수. . 반구간 반구간 전개 전개))

z

푸리에 코사인 급수, 푸리에 사인 급수 푸리에 사인 급수, 푸리에 사인 급수

•

( )

2

:

∑^{∞ n}

f

L π

급수 푸리에

우함수의 인

Series) 주기가 Cosine

(Fourier 급수

코사인 푸리에

( )

( ) ^{, 2} ( )^{cos , 1, 2,} _L

1

cos

0 1 0

=

=

= +

=

∫

∫

∑=

n L xdx

x n L f

a dx x L f

a

L x a

a x f

L n

L

n n

계수 π 푸리에

•

( ) ( )

0 0

0 _L ∫ ^{f n} _L ∫ ^f _L

( )

2

:

∞ n

L π

급수 푸리에

기함수의 인

Series) 주기가 Sine

(Fourier 급수

사인 푸리에

( )

( )^{sin 1 2} _L

2 sin

1

=

=

=

∫

∑=

n n xdx

x f b

L x b n

x f

L

n n

π π

계수

푸리에 ( )^{sin , 1, 2,}

0

∫ ^{f x} _L ^{xdx n}

b_n L 계수 푸리에

z

합과 스칼라곱

•

함수의 합의 푸리에 계수는 각각에 해당하는 푸리에 계수의 합과 같다 함수의 합의 푸리에 계수는 각각에 해당하는 푸리에 계수의 합과 같다.

•

함수

의 푸리에 계수는

에 해당하는 푸리에 계수에

를 곱한 것과 같다 _.

11

11.3 .3 Even and Odd Even and Odd Functions. Half Functions. Half--Range Range Expansions

Expansions ((우함수와 우함수와 기함수 기함수. . 반구간 반구간 전개 전개))

Ex. 3 톱니파(Sawtooth Wave) 푸리에 급수를 구하라.

( )x x ( x ) f (x ) f ( )x

f = +π −π < <π 이고 +2π =

∗

+

=

=

= f

f f f f

x f

.

1

2 1 2

1 π

급수 푸리에

의

이다 하면

라 와

( )

( ) =

=

=

=

∫

∫

L nxdx x

nxdx x

f b

, , , n a

f

π π

n

n

2 sin 2 sin

2 1 0 0

1

1은기함수이므로

( )

−

⎥ =

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡− +

= ∫

∫

∫

n n dx

n nx n

nx x

f

π n

2cos 1 cos

cos 2

0 0

0 0

1

π π

π π

π

⎟⎞

⎜⎛

=

∗

⎥⎦

⎢⎣

f f

n n

n

3 1 i 2 1 i i

2 ₂

0 0

π π

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

+

=

∴ f x x sin3x L

2 3 2sin sin

π 2

11

11.3 .3 Even and Odd Even and Odd Functions. Half Functions. Half--Range Range Expansions

Expansions ((우함수와 우함수와 기함수 기함수. . 반구간 반구간 전개 전개))

Ex. 3 톱니파(Sawtooth Wave) 푸리에 급수를 구하라.

( )x x ( x ) f (x ) f ( )x

f = +π −π < <π 이고 +2π =

∗

+

=

=

= f

f f f f

x f

.

1

2 1 2

1 π

급수 푸리에

의

이다 하면

라 와

( )

( ) =

=

=

=

∫

∫

L nxdx x

nxdx x

f b

, , , n a

f

π π

n

n

2 sin 2 sin

2 1 0 0

1

1은기함수이므로

( )

−

⎥ =

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡− +

= ∫

∫

∫

n n dx

n nx n

nx x

f

π n

2cos 1 cos

cos 2

0 0

0 0

1

π π

π π

π

⎟⎞

⎜⎛

=

∗

⎥⎦

⎢⎣

f f

n n

n

3 1 i 2 1 i i

2 ₂

0 0

π π

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − + −+

+

=

∴ f x x sin3x L

2 3 2sin sin

π 2

11

11.3 .3 Even and Odd Even and Odd Functions. Half Functions. Half--Range Range Expansions

Expansions ((우함수와 우함수와 기함수 기함수. . 반구간 반구간 전개 전개))

z

반구간 전개(Half Range Expansions)

반구간 전개(Half Range Expansions)

•

주기적인 우함수로 확장(Even Periodic Extention)

•

주기적인 기함수로 확장(Odd Periodic Extention)

•

주기적인 기함수로 확장(Odd Periodic Extention)

11

11.3 .3 Even and Odd Even and Odd Functions. Half Functions. Half--Range Range Expansions

Expansions ((우함수와 우함수와 기함수 기함수. . 반구간 반구간 전개 전개))

Ex.4 삼각형(Triangle)과 그의 반구간 전개

Ex.4 삼각형(Triangle)과 그의 반구간 전개

두 종류로 반구간 전개를 하라.

⎪⎪

⎧ ⎜⎛ < < L⎟⎞ x

k x

2 0 ^x

k

0 L/2 L

( ) _⎪^⎪ ( )

⎩

⎪⎪⎨

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ < <

−

⎟⎠

⎜⎝ < <

=

L L x

x L L

k

x L x

x f

2 2

0 2

⎤

⎡2k ^L 2k ^L k

1

.

. 1

2

확장 우함수로

주기적

( )

( ) ^{⎥⎤ ⎛ ⎞}

⎢⎡

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + −

=

∫

∫

∫

∫

n k

n k

n k

dx k x L L

dx k L x

k a L

L L

L

π π

π 2 4

2 2

2 2

2 1

2

2 0

0

( )

( )= − ⎜⎛ + + ⎟⎞

∴

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⎥ =

⎥

⎢ ⎦

⎢

⎣

− +

= ∫ ∫

x L k x

x k f

L n n n

dx k L x x n

L L xdx k L x n

L k a L

L n

π π

π π π

π π

cos6 1 cos2

1 16

1 cos

cos 4 2

2 cos 2 cos

2 _{2 2}

2 0

( ) ⎟

⎜ ⎠

⎝ + +

−

=

∴ x L

x L x L

f π cos 6 ^cos

2 2

_{2 2 2}

11

11.3 .3 Even and Odd Even and Odd Functions. Half Functions. Half--Range Range Expansions

Expansions ((우함수와 우함수와 기함수 기함수. . 반구간 반구간 전개 전개))

Ex.4 삼각형(Triangle)과 그의 반구간 전개

Ex.4 삼각형(Triangle)과 그의 반구간 전개

두 종류로 반구간 전개를 하라.

⎪⎪

⎧ ⎜⎛ < < L⎟⎞ x

k x

2 0 ^x

k

0 L/2 L

( ) _⎪^⎪ ( )

⎩

⎪⎪⎨

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ < <

−

⎟⎠

⎜⎝ < <

=

L L x

x L L

k

x L x

x f

2 2

0 2

⎤

⎡2k ^L 2k ^L k

1

.

. 1

2

확장 우함수로

주기적

( )

( ) ^{⎥⎤ ⎛ ⎞}

⎢⎡

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + −

=

∫

∫

∫

∫

n k

n k

n k

dx k x L L

dx k L x

k a L

L L

L

π π

π 2 4

2 2

2 2

2 1

2

2 0

0

( )

( )= − ⎜⎛ + + ⎟⎞

∴

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⎥ =

⎥

⎢ ⎦

⎢

⎣

− +

= ∫ ∫

x L k x

x k f

L n n n

dx k L x x n

L L xdx k L x n

L k a L

L n

π π

π π π

π π

cos6 1 cos2

1 16

1 cos

cos 4 2

2 cos 2 cos

2 _{2 2}

2 0

( ) ⎟

⎜ ⎠

⎝ + +

−

=

∴ x L

x L x L

f π cos 6 ^cos

2 2

_{2 2 2}