Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수
이문배
건국대학교 수학과
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수
Contents
6.1 역함수
6.2* 자연로그함수
6.3* 자연지수함수
6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.1 역함수
Definition
함수 f 가 같은 값을 두 번 갖지 않으면, 즉 x1̸= x2 일 때 f (x1) ̸= f (x2)이면 함수 f 를일대일 함수라고 한다.
Definition
f 가 정의역이 A이고 치역이 B인 일대일 함수라고 하자. 그러면 f 의 역함수 f−1는 정의역이 B이고 치역이 A이며, B에 있는 임의의 y에 대하여,
f−1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y 와 같이 정의된다.
Remark
▶ 정의에 따르면, 만약 f 에 의해 x가 y로 대응되면, f−1는 거꾸로 y가 x로 대응된다.
▶ f−1의 정의역 = f 의 치역, f−1의 치역 = f 의 정의역
▶ f−1(x)은 f (x)1 이 아니다. 그러나, f (x)1 은 [f (x)]−1로 쓸 수있다.
▶ f−1(f (x)) = x, f (f−1(x)) = x
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.1 역함수
일대일 함수 f 의 역함수를 찾는 방법 1. y = f (x)로 놓는다.
2. 이 방정식을 풀어서 x를 y의 식으로 나타낸다. (가능하다면) 3. x와 y를 서로 바꾼다. 이결과가 y = f−1(x)이다.
Example
f (x) = x3+ 2의 역함수를 구하여라.
풀이. 함수 f (x)를 y = x3+ 2로 다시 쓰고 x에 대하여 이방정식을 풀면 x3= y − 2, 즉 x =p3
y − 2 마지막으로 x와 y를 서로 바꾸어 쓰면, y =√3
x − 2이므로 역함수는 f−1(x) =√3
x − 2
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(b, a)는 (a, b)를 직선 y = x에 대하여 대칭이동시킴으로써 얻을 수 있다.
따라서, f−1의 그래프는 y = x에 대하여 f 의 그래프를 대칭이동시켜 얻는다.
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Example 함수 f (x) =√
−1 − x의 그래프를 y = x에 대하여 대칭이동시켜서 f−1의 그래프를 그릴 수있다.
역함수의 정확한 식은 f−1(x) = −x2− 1, (x ≥ 0)이다.
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함수 f 가 일대일 함수이고 연속함수라고 가정하자. 연속함수는 그래프가 끊어지지 않은 것으로 생각할 수 있다. f−1의 그래프는 f 의 그래프를 직선 y = x에 대하여 대칭이동시켜서 얻어지므로, f−1의 그래프도 끊어지지 않는다. 이와 같이 f−1도 연속함수라는 것을 기대할 수 있다.
Theorem
만약 f 가 어떤 구간에서 정의된 일대일 연속함수이면, 그 역함수 f−1도 연속이다.
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Theorem
함수 f 가 역함수 g = f−1를 가지며 일대일 미분가능한 함수이고, f′(g(a)) ̸= 0이면, 역함수도 a에서 미분가능하고
g′(a) = 1 f′(g (a)) 또는
f−1′
(a) = 1 f′(f−1(a))
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증명. 도함수의 정의에 의하여 f−1′
(a) = lim
x→a
f−1(x) − f−1(a) x − a 이다.
f−1(x) = y ⇐⇒ f (y) = x f−1(a) = b ⇐⇒ f (b) = a
이며, f 가 미분가능하므로 연속이다. 따라서 f−1도 연속이다. 그러므로 x → a이면 f−1(x) → f−1(a), 즉, y → b이다. 따라서
f−1′
(a) = lim
x→a
f−1(x) − f−1(a) x − a = lim
y→b
y − b f (y) − f (b)
= lim
y→b
1
f (y)−f (b) y−b
= 1
lim
y→b
f (y)−f (b) y−b
= 1
f′(b)= 1 f′(f−1(a))
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.1 역함수
Remark
만약 y = f−1(x)이면 f (y) = x이다. 따라서 위의 정리는 다음과 같이 표현할 수 있다.
dy dx= 1
dx dy
Example
f (x) = 2x + cos x일 때 (f−1)′(1) 을 구하여라.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
Definition
자연 로그함수는 다음과 같이 정의된다:
ln x = Z x
1
1
t dt x > 0
만약 x > 1이면, 기하적으로 ln x는 t = 1부터 t = x까지 x축과 y = 1/t 사이의 면적이다.
예를 들면 x = 1에 대하여
ln 1 = Z 1
1
1 t dt = 0
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
그리고 구간 0 < x < 1에서는, ln x =
Z x 1
1 tdt = −
Z1 x
1 tdt < 0 이므로 ln x는 그림에서 음영부분의 넓이의 음의 값이다.
미적분학의 기본정리 1에 의하여 d dx
Z x 1
1 tdt = 1
x 이다. 따라서
d
dx(ln x) = 1 x
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
Theorem (로그법칙)
만약 x, y가 양수 이고, r이 유리수 이면,
▶ ln (xy) = ln x + ln y
▶ ln
x y
= ln x − ln y
▶ ln (xr) = r ln x 증명.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
Theorem (극한정리)
▶ lim
x→∞ln x = ∞
▶ lim
x→0+
ln x = −∞
증명.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
만약 y = ln x, x > 0이면 dy dx = 1
x > 0,d2y dx2 = − 1
x2 < 0
이로부터 ln x는 증가함수이고 아래로 오목하다는 것을 알 수 있다.
Definition
e는 ln e = 1인 수이다.
수치적인 방법을 사용하여, 소수 20자리까지 계산하면 e ≈ 2.71828182845904523536 위 소수는 순환하지 않는다.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
Example
함수 y = ln(x3+ 1)의 도함수를 구하시오.
풀이.
Example d
dxln (sin x)를 구하여라.
풀이.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
Example
f (x) = ln |x|의 도함수를 구하시오.
풀이.
Remark
d
dx(ln |x|) =1 x Z 1
x dx = ln |x| + C
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
Example Z x
x2+ 1 dx를 구하여라.
풀이.
Example Ze
1
ln x
x dx를 구하여라.
풀이.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.2* 자연로그함수
Example Z
tan x dx를 구하여라.
풀이.
Example (로그미분법) y =x34√
x2+ 1
(3x + 2)5 를 미분하여라.
풀이.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.3* 자연지수함수
Definition
함수 ln은 증가 함수이므로 일대일 함수이다. 따라서 exp로 표기하는 역함수를 갖는다.
exp(x) = y ⇔ ln y = x 이 함수를 자연지수함수라 한다.
Remark
exp(ln x) = x 이고 ln(exp x) = x
▶ ln 1 = 0이므로 exp(0) = 1
▶ ln e = 1이므로 exp(1) = e
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.3* 자연지수함수
Remark
유리수 r에 대하여 로그의 법칙으로부터 ln(er) = r ln e = r 을 얻는다. 그러므로
▶ exp(r) = er
▶ exp(x) = ex(x는 유리수).
이것은 x가 무리수일 때도 ex를 정의할 수 있게 한다.
exp(x) = ex 다시 말하면, ex를 ln x의 역함수로서 정의하고
ex= y ⇔ ln y = x 가 성립한다.
eln x= x, x > 0
ln(ex) = x, x ∈ R
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.3* 자연지수함수
Theorem (지수의 법칙) 실수 x, y와 유리수 r에 대하여 1. ex+y = exey 2. ex−y= ex
ey 3. (ex)r= erx 증명.
Theorem (미분법) d
dx(ex) = ex 증명.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.3* 자연지수함수
Example
함수 y = e tan x를 미분하여라.
풀이.
Example
함수 f (x) = xe−x의 최대값을 구하여라.
풀이.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.3* 자연지수함수
Z
exdx = ex+ C
Example Z
x2ex3dx를 구하여라.
풀이.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Definition
a > 0이고 r이 임의의 유리수이면
ar= (eln a)r = er ln a
이므로 무리수 x에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있다.
ax= ex ln a
이 함수 f (x) = ax를밑수 a를 갖는 지수함수라고 한다.
Remark
이 정의는 로그법칙 가운데 하나의 성질을 확장할 수 있게 한다.
▶ 유리수 r에 대하여 ln(ar) = r ln a임을 알고 있다.
▶ r 을 임의의 실수라 하면 지수함수의 정의로 부터 ln ar= ln(er ln a) = r ln a 이다. 따라서
ln ar= r ln a, r ∈ R
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Theorem
x, y가 실수이고 a, b > 0이면 1. ax+y= axay 2. ax−y=ax
ay 3. (ax)y= axy 4. (ab)x= axbx 증명.
Theorem
d
dx(ax) = axln a 증명.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
만약 a > 1이면 ln a > 0이고 dxdax= axln a > 0이므로 y = ax는 증가함수이다.
0 < a < 1 이면 ln a < 0이므로 y = ax는 감소함수이다.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Z
axdx = ax
ln a+ C a ̸= 1 Example
다음 정적분을 계산하시오.
Z 5 0
2xdx
풀이.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Theorem
n이 임의의 실수이고 f (x) = xn이면
f′(x) = nxn−1 증명.
Example y = x
√x을 미분하여라.
풀이.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Definition
a > 0이고 a ̸= 1이면 지수함수 f (x) = ax는 일대일 함수이다. 따라서 f 는 역함수를 가지며 그 역함수를 밑수가 a인 로그함수라고 부르고 loga로 표기한다.
logax = y ⇐⇒ ay= x 특히, logex = ln x이다.
로그법칙은 자연로그법칙과 유사하며 지수 법칙으로부터 얻어질 수 있다.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Theorem
임의의 양수 a(a ̸= 1)에 대하여
logax = ln x ln a 증명.
Theorem
d
dx(logax) = 1 x ln a 증명.
Chapter 6 역함수: 지수함수, 로그함수, 역삼각 함수 6.4* 일반적인 로그함수와 지수함수
Example (극한값으로서의 수 e) e = lim
x→0(1 + x)1/x 풀이.
