수학 영역
A형 정답
1 ① 2 ② 3 ③ 4 ② 5 ①
6 ④ 7 ③ 8 ② 9 ① 10 ②
11 ① 12 ② 13 ④ 14 ④ 15 ③ 16 ⑤ 17 ④ 18 ⑤ 19 ④ 20 ③ 21 ⑤ 22
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1. [출제의도] 지수법칙 이해하기
×
×
2. [출제의도] 행렬이 서로 같을 조건 이해하기
이므로 , 따라서 , 그러므로
3. [출제의도] 로그의 성질 이해하기
log log log
log
4. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기
에서
그러므로 에서
5. [출제의도] 역행렬 계산하기
이므로
그러므로 6. [출제의도] 로그부등식의 해 구하기 진수 조건에 의하여 이므로
⋯⋯ ㉠
주어진 로그부등식에서 ≤ 이므로
≤ ≤ ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에서 ≤
그러므로 주어진 로그부등식의 정수해 의 개수는 4 7. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기 주어진 행렬이 나타내는 그래프는 그림과 같다.
A
B
C
D E
따라서 해당하는 경로는 AC D , AE D 그러므로 경로의 수는
8. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기
log
밑이 보다 작은 양수이므로 일 때 최댓값 log
9. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
나머지정리에 의하여
log
log
log
log log 라고 하면 이므로
log
그러므로
(다른풀이)
이라 하자. 나머지 정리에 의하여
log
log
이고, 의 그래프의 대칭축이 직선 이므로
log log
따라서 log
그러므로
10. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실수의 대소 관계 추론하기
,
,
이므로
,
이므로
그러므로
11. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기
이므로 주어진 방정식은
×
이므로
그러므로
12. [출제의도] 행렬의 정의를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
행렬
의 모든 성분의 곱이 이므로 그러므로
13. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 역행렬을 구하는 과정 추론하기
㉠ 에서
×
⋯⋯ ㉢ 또한
이므로 ㉢에서
따라서 ㉡ 에서
×
이고,㉠ 에서
이므로
×
그러므로
×
이다.따라서 ,
,
그러므로 ·
·
14. [출제의도] 로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
log
log
log log
log
그러므로
15. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기
∈
를
라 하자.ㄱ.
(참)ㄴ. (반례)
,
(거짓) ㄷ. ㄱ으로부터 어떤 두 실수 에 대하여
(좌변)
(우변)
(참)16. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
행렬
의 역행렬이 존재하므로 × ≠
이므로 라 하면 이고
라 할 때,
≠ 이므로 ≤ 또는 그러므로 ≤ 또는
17. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
연립방정식
에서
≠ ≠ 이므로 이 연립방정식이 해를 갖기 위해서는 행렬
의 역행렬이 존재하지
않아야 한다. 따라서 이때
이므로 정수 의 순서쌍
는 , 그러므로 의 최댓값은 18. [출제의도] 지수함수 이해하기 점 C 의 좌표를 라 하면 C
C D B D 이므로 (∆BD C 의 넓이)
따라서 , 점 C 의 좌표는 ,
그러므로 (∆O A C 의 넓이)
19. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
행렬
의 역행렬이 존재하지 않으므로
따라서 점 P 가 나타내는 도형은 그림과 같이 선분 Q R 이다.
Q
R
O
원의 중심과 직선 사이의 거리가
이고 원의 반지름의 길이가 이므로
Q R
20. [출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
두 점 A , B 의 좌표가 이므로 A , B
점 C 의 좌표가 점 A 의 좌표와 같으므로 C
점 D 의 좌표는 점 C 의 좌표와 같으므로 D
C D
AB
에서
이므로 그러므로
21. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계 추론하기
그림과 같이 두 점 A , B 를 직선 에 대하여 대칭이동시킨 점을 각각 A ′ , B′
이라 하면
, ,
,
O
A
B C
A ′
B ′D
log
ㄱ. 이고 이므로 (참) ㄴ. 이고
이므로 (참) ㄷ. 두 점 C , D 를 지나는 직선의 기울기가
이고 두 점 A ′, B ′을 지나는
직선의 기울기는
이므로
(참)
22. [출제의도] 로그 계산하기 log × log log × log log
log × log log
log
그러므로 log
23. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기 그래프의 각 꼭짓점의 연결 관계를 나타내는 행렬 의 성질에 의하여
그래프
는 그림과 같다.따라서 그러므로
24. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기 점근선의 방정식이 이므로 함수의 그래프가 점 를 지나므로 그러므로
25. [출제의도] 행렬의 곱셈의 성질 이해하기
이므로
따라서 , 그러므로
26. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기
월의 두 제품
의 생산량을 각각 라 하면
따라서 ,
그러므로
27. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식으로 이루어진 연립부등식의 해 구하기
부등식 ≤
에서 ≤ 이므로
≤ ≤ ⋯⋯ ㉠
부등식 log log 에서
이고 log log 이므로
⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡에 의하여 ≤
그러므로 만족하는 모든 자연수 의 값의 곱은 12
28. [출제의도] 지수함수의 성질 이해하기
는 방정식 · 의 근이므로
( )이라 하면 의 두 근
, 은
라 하면
, 따라서
그러므로 만족하는 모든 자연수 의 값의 합은
29. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
점 A 의 좌표를 라고 하면 AB
AB B C 이므로 B C 따라서 □A B C D 의 넓이는 점 P 의 좌표가
이므로 점 E 의 좌표는 즉, E H E H H G 이므로 H G 따라서 □E FG H 의 넓이는
두 직사각형의 넓이의 합은 절대부등식의 성질에 의하여
≥
․
단, 등호는 일 때만 성립
그러므로 최솟값은
30. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기
(가)에서 이므로
≤ ≤ ≤ ≤
따라서 만족하는 자연수의 순서쌍 의 개수는
또한 ≤ ≤ 이므로 (나)에서 i) ≤ ≤ 일 때
log 이므로 log log log
따라서 , , , , 를 제외하고 모두 성립
ii) ≤ ≤ 일 때, log 이므로 log log log 에서 이므로 항상 성립 그러므로 i)과 ii)에서
