Ⓡ
[ 수학 기본서 ]
Oxford University
秘
서브노트
SUB NOTE
고등 수학(상)
001
⑴ A-2(A-B) =-A+2B =-(2x‹ -3x+2)+2(-x‹ +3) =-2x‹ +3x-2-2x‹ +6 =-4x‹ +3x+4 ⑵ 5B-{A+3(B-A)} =5B-(A+3B-3A) =2A+2B =2(A+B) =2(2x‹ -3x+2-x‹ +3) =2(x‹ -3x+5) =2x‹ -6x+10 ⑴ -4x‹ +3x+4 ⑵ 2x‹ -6x+10002
⑴ 3x¤ yfi _(-2x› y‹ ) =3_(-2)_x2+4 _y5+3 =-6xfl y° ⑵ (-xy¤ z› )° =(-1)° _x° _y2_8_z4_8=x° y⁄ fl z‹ ¤ ⑶ 12(a¤ b‹ )› ÷(-ab)‹ _b‡ a =12a° b⁄ ¤ ÷(-a‹ b‹ )_b‡ a =-12_a° —‹ ±⁄ _b⁄ ¤ —‹ ±‡ =-12afl b⁄ fl 12(a¤ b‹ )› ÷(-ab)‹ _b‡ a =12a° b⁄ ¤ _ _b‡ a = =-12afl b⁄ fl⑷ (a¤ b)¤ ÷(ab¤ )¤ ÷(a‹ b¤ )_a‡ bfl
=a› b¤ _a‡ bfl ÷(a¤ b› )÷(a‹ b¤ ) =a› ±‡ —¤ —‹ _b¤ ±fl —› —¤
=afl b¤
(a¤ b)¤ ÷(ab¤ )¤ ÷(a‹ b¤ )_a‡ bfl =a› b¤ _ _ _a‡ bfl = =afl b¤
⑴ -6xfl y° ⑵ x° y⁄ fl z‹ ¤ ⑶ -12afl b⁄ fl ⑷ afl b¤
003
㉠+㉡을 하면2A=(x+2y){(3x¤ +xy-5y¤ )+(x¤ +xy-3y¤ )} =(x+2y)(4x¤ +2xy-8y¤ )
∴ A=;2!;(x+2y)(4x¤ +2xy-8y¤ )
∴ A=(x+2y)(2x¤ +xy-4y¤ )
=2x‹ +x¤ y-4xy¤ +4x¤ y+2xy¤ -8y‹
=2x‹ +5x¤ y-2xy¤ -8y‹
㉠-㉡을 하면
2B=(x+2y){(3x¤ +xy-5y¤ )-(x¤ +xy-3y¤ )} =(x+2y)(2x¤ -2y¤ ) ∴ B=;2!;(x+2y)(2x¤ -2y¤ ) A+B=(x+2y)(3x¤ +xy-5y¤ ) y ㉠ gA-B=(x+2y)(x¤ +xy-3y¤ ) y ㉡ a⁄ ⁄ b° 113afi bfl 1 11a‹ b¤ 1 11a¤ b› 12a· b⁄ · 1113-a‹ b‹ 1 111-a‹ b‹ 001 ⑴ -4x‹ +3x+4 ⑵ 2x‹ -6x+10 002 ⑴ -6xfl y° ⑵ x° y⁄ fl z‹ ¤ ⑶ -12afl b⁄ fl ⑷ afl b¤ 003 A=2x‹ +5x¤ y-2xy¤ -8y‹ ,
B=x‹ +2x¤ y-xy¤ -2y‹
004 ⑴ a› -b› ⑵ x¤ +y¤ -2xy+6x-6y+9 ⑶ x‹ -6x¤ y+12xy¤ -8y‹ ⑷ xfl -1 005 ⑴ 6 ⑵ 14 ⑶ 34 ⑷ 82 006 :¡6¡: 007 ⑴ 몫：2x¤ -x+1, 나머지：-3 ⑵ 몫：2x+3, 나머지：6x+8 008 x‹ +2x¤ +2x+2 009 ⑴ 몫：3x¤ +9x+25, 나머지：82 ⑵ 몫：2x‹ -2x¤ +5x-9, 나머지：10 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E
1. 다항식의 연산
I
다항식
003
APPLICATION -`Ⅰ. 다항식∴ B=(x+2y)(x¤ -y¤ ) =x‹ -xy¤ +2yx¤ -2y‹
=x‹ +2x¤ y-xy¤ -2y‹
A=2x‹ +5x¤ y-2xy¤ -8y‹ , B=x‹ +2x¤ y-xy¤ -2y‹
004
⑴ (a-b)(a+b)(a¤ +b¤ )=(a¤ -b¤ )(a¤ +b¤ )=a› -b›
⑵ (x-y+3)¤
=x¤ +(-y)¤ +3¤ +2x(-y)+2(-y)¥3+2x¥3 =x¤ +y¤ +9-2xy-6y+6x
=x¤ +y¤ -2xy+6x-6y+9
⑶ (x-2y)‹ =x‹ -3¥x¤ ¥2y+3x¥(2y)¤ -(2y)‹
=x‹ -6x¤ y+12xy¤ -8y‹ ⑷ (x¤ -1)(x¤ +x+1)(x¤ -x+1) =(x+1)(x-1)(x¤ +x+1)(x¤ -x+1) ={(x+1)(x¤ -x+1)}{(x-1)(x¤ +x+1)} =(x‹ +1)(x‹ -1)=xfl -1 ⑴ a› -b› ⑵ x¤ +y¤ -2xy+6x-6y+9 ⑶ x‹ -6x¤ y+12xy¤ -8y‹ ⑷ xfl -1
005
⑴ x¤ +y¤ =(x-y)¤ +2xy=4+2=6
⑵ x‹ -y‹ =(x-y)‹ +3xy(x-y)
=8+3¥1¥2=14
⑶ x› +y› =(x¤ +y¤ )¤ -2x¤ y¤
=36-2=34
⑷ (x¤ +y¤ )(x‹ -y‹ )=xfi -yfi -x¤ y‹ +x‹ y¤
=xfi -yfi +x¤ y¤ (x-y)
∴ xfi -yfi =(x¤ +y¤ )(x‹ -y‹ )-x¤ y¤ (x-y)
=6¥14-1¥2=82
⑴ 6 ⑵ 14 ⑶ 34 ⑷ 82
006
(a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에서 ab+bc+ca= ab+bc+ca= =11 ∴ + + = =
007
⑴ ∴ 몫：2x¤ -x+1, 나머지：-3 ⑵ ∴ 몫：2x+3, 나머지：6x+8 ⑴ 몫：2x¤ -x+1, 나머지：-3 ⑵ 몫：2x+3, 나머지：6x+8 2 3 1 0 -1<‘2 ‘3 ‘4 ”5 ≥ 2 ≥ 0 ≥-2 ≤ ˘ 3 6 5 ≥ 3 ≥ 0 ≤-˘3 6 8 2x +3 x¤ +0x-1<“2x‹ ‘+3x‘¤ +4‘x+’5 ≥2x‹ ≥+0x≥¤ -2≥x˘ ¯ 3x¤ +6x+5 ≥3x¤ ≥+0x≤-¯3 6x+8 2 -1 1 2 1<‘4 ‘0 ‘1 -”2 ≥ 4 ≥ 2 ≥ ≥ ˘ ¯ -2 1 ¯ ≥-2 ≥-1 ≤ ¯ 2 -2 ≥ 2 ˘ ¯1 -3 2x¤ - x + 1 2x+1<4‘x‹ +“0x¤ “+ “x“-’2 ≥ 4x‹ ≥+2x¤≥ ≤ ≤ -2x¤ + x ≥ -2≥x¤ -≥ x ˘ 2x-2 ≥ 2x≤+˘1 -3 11 136 11 1 1336 ab+bc+ca 112111abc 1 1c 1 1b 1 1a 6¤ -14 11222 (a+b+c)¤ -(a¤ +b¤ +c¤ ) 112111111122232008
다항식의 나눗셈 관계식에서 f(x)=(x¤ -1)(x+2)+3x+4 =x‹ +2x¤ +2x+2 x‹ +2x¤ +2x+2009
⑴ ∴ 몫 : 3x¤ +9x+25, 나머지 : 82 ⑵ ∴ 몫 : 2x‹ -2x¤ +5x-9, 나머지 : 10 ⑴ 몫 : 3x¤ +9x+25, 나머지 : 82 ⑵ 몫：2x‹ -2x¤ +5x-9, 나머지：10 -1 2 0 3 -4 1 -2 2 -5 9 2 -2 5 -9 10 3 3 0 -2 7 9 27 75 3 9 25 82010
ax+by+c=dx+ey+f에서 우변의 항을 좌변으로 이항하면 ax+by+c-dx-ey-f=0 ∴ (a-d)x+(b-e)y+(c-f)=0 여기서 항등식의 성질 ⑤를 적용하면 a-d=b-e=c-f=0 ∴ a=d, b=e, c=f 010 풀이 참조 011 a=-3, b=2 012 ⑴ 0 ⑵ 512 013 -1 014 2x-1 015 1 016 ⑴ (x-y)(x+y)(x¤ +y¤ +z¤ ) ⑵ (x+y+z)(x-y-z) 017 ⑴ (2x-3)(3x+2) ⑵ (3x-2y)(5x+6y) ⑶ (x-y)(x+y)(4x¤ -3y¤ ) 018 ⑴ (x+2y+1)(x+2y-1) ⑵ (x-a-1)(x-a-2) 019 ⑴ (2x+y)‹ ⑵ (a+b-1)¤ ⑶ (2x-3y)(4x¤ +6xy+9y¤ )⑷ 2(2x+y-3z)(4x¤ +y¤ +9z¤ -2xy+6xz+3yz) 020 ⑴ (x+2)(x-2)(x¤ +4) ⑵ (x¤ +3x-5)(x¤ +3x+7) ⑶ (x+5)(x-5)(x+2)(x-2) ⑷ (x¤ +xy-3y¤ )(x¤ -xy-3y¤ ) 021 ⑴ (x+1)(x-1)(3y+x) ⑵ (x+y+1)(x+y-2) ⑶ (b¤ +c¤ )(a-b)(a-c) 022 (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) 023 ⑴ (x+1)(x-2)¤ (x-3) ⑵ (x-1)(x+2)(3x¤ -2x+2) ⑶ (x-1)(x+3)(x¤ +x+1) ⑷ (2x+1)(x¤ -5x-5) 024 ⑴ (x¤ +2)(x¤ -5) ⑵ (x¤ +2)(x-'5 )(x+'5) APPLICATION S U M M A C U M L A U D E
2. 나머지정리와 인수분해
005
APPLICATION -`Ⅰ. 다항식 ax+by+c=dx+ey+f가 항등식이면 x, y에 어떠한 값을 대입해도 성립해야 하므로 x=0, y=0을 대입하면 c=f x=1, y=0을 대입하면 a+c=d+f ∴ a=d (∵ c=f) x=0, y=1을 대입하면 b+c=e+f ∴ b=e (∵ c=f) 따라서 등식 ax+by+c=dx+ey+f가 x에 대한 항등 식이면 a=d, b=e, c=f이다. 풀이 참조011
주어진 등식의 양변에 x=4를 대입하면 -b=-2 ∴ b=2 x=5를 대입하면 a=-3 주어진 등식의 좌변을 전개하여 정리하면 (a+b)x-4a-5b=-x+2 양변의 계수를 비교하면 a+b=-1, -4a-5b=2 두 식을 연립하여 풀면 a=-3, b=2 a=-3, b=2012
⑴ 주어진 항등식에 x=1을 대입하면 aº+a¡+a™+y+a¡ª+a™º=(1-1)⁄ ‚ =0 ⑵ 주어진 항등식에 x=-1을 대입하면 aº-a¡+a™-y-a¡ª+a™º=(1+1)⁄ ‚ =2⁄ ‚ =1024 ⑴의 결과와 변변 더하면 2(aº+a™+y+a¡•+a™º)=1024 ∴ aº+a™+y+a¡•+a™º=512 ⑴ 0 ⑵ 512013
(x-2y+z)‡ 의 전개식에서 각 항은 a˚ xπ yœ z®의 꼴이다. 여기서 z를 포함하지 않는 항들의 계수의 합을 구하려면 주어진 식에 x=1, y=1, z=0을 대입하면 된다. ∴ (1-2+0)‡ =(-1)‡ =-1 -1
014
f(x)=x‹ +x¤ -4x-1이라 하고 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b라 하면 f(x)=x(x-2)Q(x)+ax+b 이때 f(0)=-1, f(2)=3이므로 -1=b, 3=2a+b 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=-1이므로 나머지는 2x-1이다. 2x-1015
f(x)=x‹ +ax¤ +bx+3이라 하면 인수정리 에 의하여 f(1)=0, f(2)=0 (∵x¤ -3x+2=(x-1)(x-2)) f(1)=0이므로 1+a+b+3=0 ∴ a+b=-4 f(2)=0이므로 8+4a+2b+3=0 ∴ 4a+2b=-11 두 식을 연립하여 풀면 a=-;2#;, b=-;2%; ∴ a-b=1 1016
⑴ x› +x¤ z¤ -y› -y¤ z¤ =(x› -y› )+(x¤ -y¤ )z¤ =(x¤ +y¤ )(x¤ -y¤ )+(x¤ -y¤ )z¤ =(x¤ -y¤ )(x¤ +y¤ +z¤ ) =(x-y)(x+y)(x¤ +y¤ +z¤ ) ⑵ x¤ -2yz-y¤ -z¤ =x¤ -(y¤ +2yz+z¤ ) =x¤ -(y+z)¤ ={x+(y+z)}{x-(y+z)} =(x+y+z)(x-y-z) ⑴ (x-y)(x+y)(x¤ +y¤ +z¤ ) ⑵ (x+y+z)(x-y-z)017
⑴ 6x¤ -5x-6=(2x-3)(3x+2) ⑵ 15x¤ +8xy-12y¤ =(3x-2y)(5x+6y) ⑶ X=x¤ , Y=y¤ 으로 생각만 하자.4x› -7x¤ y¤ +3y› =(x¤ -y¤ )(4x¤ -3y¤ ) =(x-y)(x+y)(4x¤ -3y¤ ) ⑴ (2x-3)(3x+2) ⑵ (3x-2y)(5x+6y) ⑶ (x-y)(x+y)(4x¤ -3y¤ )
018
⑴ x¤ +4xy+(2y+1)(2y-1) ={x+(2y+1)}{x+(2y-1)} =(x+2y+1)(x+2y-1) ⑵ x¤ -(2a+3)x+(a+1)(a+2) ={x-(a+1)}{x-(a+2)} =(x-a-1)(x-a-2) ⑴ (x+2y+1)(x+2y-1) ⑵ (x-a-1)(x-a-2)019
⑴ 8x‹ +12x¤ y+6xy¤ +y‹ =(2x)‹ +3¥(2x)¤ ¥y+3¥2x¥y¤ +y‹ =(2x+y)‹ ⑵ a¤ +b¤ +1+2ab-2a-2b =a¤ +b¤ +(-1)¤ +2ab+2b¥(-1)+2¥(-1)¥a =(a+b-1)¤ ⑶ 8x‹ -27y‹ =(2x)‹ -(3y)‹ =(2x-3y){(2x)¤ +2x¥3y+(3y)¤ } =(2x-3y)(4x¤ +6xy+9y¤ ) ⑷ 16x‹ +2y‹ -54z‹ +36xyz =2{(2x)‹ +y‹ +(-3z)‹ -3¥2x¥y¥(-3z)} =2(2x+y-3z){(2x)¤ +y¤ +(-3z)¤ -2xy+6xz+3yz} ⑶=2(2x+y-3z)(4x¤ +y¤ +9z¤ -2xy+6xz+3yz) ⑴ (2x+y)‹ ⑵ (a+b-1)¤ ⑶ (2x-3y)(4x¤ +6xy+9y¤ )⑷ 2(2x+y-3z)(4x¤ +y¤ +9z¤ -2xy+6xz+3yz)
020
⑴ x¤ =X로 치환하면 x› -16=X¤ -4¤ =(X-4)(X+4) =(x¤ -4)(x¤ +4) =(x+2)(x-2)(x¤ +4) ⑵ x¤ +3x=X로 치환하면 (x¤ +3x-2)(x¤ +3x+4)-27 =(X-2)(X+4)-27 =X¤ +2X-35 =(X-5)(X+7) =(x¤ +3x-5)(x¤ +3x+7) ⑶ x¤ =X로 치환하면 x› -29x¤ +100=X¤ -29X+100 =(X-25)(X-4) =(x¤ -25)(x¤ -4) =(x+5)(x-5)(x+2)(x-2)⑷ x› -7x¤ y¤ +9y› =x› -6x¤ y¤ +9y› -x¤ y¤
=(x¤ -3y¤ )¤ -(xy)¤ =(x¤ +xy-3y¤ )(x¤ -xy-3y¤ ) ⑴ (x+2)(x-2)(x¤ +4) ⑵ (x¤ +3x-5)(x¤ +3x+7) ⑶ (x+5)(x-5)(x+2)(x-2) ⑷ (x¤ +xy-3y¤ )(x¤ -xy-3y¤ )
021
⑴ x에 대한 삼차식, y에 대한 일차식이므로 y에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식)=(3x¤ -3)y+(x‹ -x) =3(x+1)(x-1)y+x(x+1)(x-1) =(x+1)(x-1)(3y+x)007
APPLICATION -`Ⅰ. 다항식 [참고] 물론 처음부터 공통인수로 묶어서 x¤ (x+3y)-(x+3y)=(x+3y)(x+1)(x-1) 이라 할 수도 있지만 여러 문자를 포함한 다항식의 인 수분해는 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으 로 정리하는 것이 원칙이다. ⑵ x에 대한 이차식, y에 대한 이차식이므로 어떤 문자에 대하여 내림차순으로 정리해도 관계없다. x에 대하여 내림차순으로 정리하면 (주어진 식)=x¤ +(2y-1)x+y¤ -y-2 =x¤ +(2y-1)x+(y+1)(y-2) 이때 합이 2y-1이고 곱이 (y+1)(y-2)인 두 식이 y+1, y-2이므로 (주어진 식)={x+(y+1)}{x+(y-2)} =(x+y+1)(x+y-2) ⑶ a에 대한 이차식, b에 대한 삼차식, c에 대한 삼차식 이므로 a에 대하여 정리하면 (주어진 식)=(b¤ +c¤ )a¤ -(b‹ +b¤ c+bc¤ +c‹ )a +bc(b¤ +c¤ ) (주어진 식)=(b¤ +c¤ )a¤ -(b¤ +c¤ )(b+c)a +bc(b¤ +c¤ ) (주어진 식)=(b¤ +c¤ ){a¤ -(b+c)a+bc} =(b¤ +c¤ )(a-b)(a-c) ⑴ (x+1)(x-1)(3y+x) ⑵ (x+y+1)(x+y-2) ⑶ (b¤ +c¤ )(a-b)(a-c)022
f(x)=x› -5x¤ +4라 할 때, f(1)=0, f(-1)=0, f(2)=0, f(-2)=0 이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x-1, x+1, x-2, x+2를 인수로 갖는다. ∴ f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) 인수분해공식을이용하여인수분해하여도결과는같다. 즉, x¤ =X로 치환하면 x› -5x¤ +4=X¤ -5X+4=(X-1)(X-4) =(x¤ -1)(x¤ -4) =(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)023
⑴ f(x)=x› -6x‹ +9x¤ +4x-12라 하면 f(-1)=0, f(2)=0이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x+1, x-2를 인수로 가진다. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 ∴ f(x)=x› -6x‹ +9x¤ +4x-12 =(x+1)(x-2)(x¤ -5x+6) =(x+1)(x-2)(x-3)(x-2) =(x+1)(x-2)¤ (x-3) ⑵ f(x)=3x› +x‹ -6x¤ +6x-4라 하면 f(1)=0, f(-2)=0이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x-1, x+2를 인수로 가진다. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 ∴ f(x)=3x› +x‹ -6x¤ +6x-4 =(x-1)(x+2)(3x¤ -2x+2) ⑶ f(x)=x› +3x‹ -x-3이라 하면 f(1)=0, f(-3)=0이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x-1, x+3을 인수로 가진다. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 1 1 3 0 -1 -3 1 4 4 3 -3 1 4 4 3 0 -3 -3 -3 1 1 1 0 1 3 1 -6 6 -4 3 4 -2 4 -2 3 4 -2 4 0 -6 4 -4 3 -2 2 0 -1 1 -6 9 4 -12 -1 7 -16 12 2 1 -7 16 -12 10 2 -10 12 1 -5 6 10∴ f(x)=x› +3x‹ -x-3 =(x-1)(x+3)(x¤ +x+1) ⑷ f(x)=2x‹ -9x¤ -15x-5라 하면 f{- }=0이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 x+ 을 인수로 가진다. 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 ∴ f(x)=2x‹ -9x¤ -15x-5 ∴ f(x)={x+ }(2x¤ -10x-10) ∴ f(x)=(2x+1)(x¤ -5x-5) ⑴ (x+1)(x-2)¤ (x-3) ⑵ (x-1)(x+2)(3x¤ -2x+2) ⑶ (x-1)(x+3)(x¤ +x+1) ⑷ (2x+1)(x¤ -5x-5)
024
⑴ x¤ =X로 치환하면 x› -3x¤ -10=X¤ -3X-10 =(X+2)(X-5) =(x¤ +2)(x¤ -5) ⑵ (주어진 식)=(x¤ +2)(x-'5 )(x+'5 ) ⑴ (x¤ +2)(x¤ -5) ⑵ (x¤ +2)(x-'5 )(x+'5 ) 1 12 -;2!; 2 -9 -15 -5 -1 5 5 2 -10 -10 0 1 12 1 12025
실수 : 1, 1+'3허수 : 1+2i, i-2, 2i, '3i 순허수 : 2i, '3i
026
⑴ 실수부분 : 5, 허수부분 : 1 ⑵ 실수부분 : 2, 허수부분 : -'2 ⑶ 실수부분 : 0, 허수부분 : 0 ⑷ 실수부분 : 0, 허수부분 : -1027
⑴ x, y는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조 건에 의하여 2x+3y=5, x-y=-5 두 식을 연립하여 풀면 x=-2, y=3 ⑵ x, y는 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x-3y=0, 2x-5y=1 025 실수 : 1, 1+'3 허수 : 1+2i, i-2, 2i, '3i 순허수 : 2i, '3i 026 ⑴ 실수부분 : 5, 허수부분 : 1 ⑵ 실수부분 : 2, 허수부분 : -'2 ⑶ 실수부분 : 0, 허수부분 : 0 ⑷ 실수부분 : 0, 허수부분 : -1 027 ⑴ x=-2, y=3 ⑵ x=3, y=1 028 ⑴ 1+2i ⑵ -3-5i ⑶ -1+'5 ⑷ 4i ⑸ 2+'3i ⑹ 4-i 029 ⑴ -3+4i ⑵ - - i ⑶ 2-i 030 풀이 참조 031 i032 ⑴ ('3-6)i ⑵ 10i ⑶ -81 ⑷ -3i 033 ③ 4 1225 3 1225 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E
1. 복소수
II
방정식과 부등식
009
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식 두 식을 연립하여 풀면 x=3, y=1 ⑴ x=-2, y=3 ⑵ x=3, y=1028
⑴ 1-”2i”=1+2i ⑵ -3”+”5i”=-3-5i ⑶ -1”+”'5”=(-”1+”'5 ”)+”0i”=(-1+'5 )-0i =-1+'5 ⑷ -4”i”=0-”4i”=0+4i=4i ⑸ (2”+””'3””i ”)”=2-”'3”i ”=2+'3i ⑹ (4’”-”i”)”=4+”i”=4-i ⑴ 1+2i ⑵ -3-5i ⑶ -1+'5 ⑷ 4i ⑸ 2+'3i ⑹ 4-i029
⑴ (1+2i)¤ =(1+2i)(1+2i) =1+2i+2i+4i¤ =1+2i+2i-4 =-3+4i ⑵ { }¤ = = (∵ ⑴`) = = =- - i ⑶ 분모가 순허수이면 분자와 분모에 i를 곱한다. 즉, ⑶ = = ⑶ = =2-i ⑴ -3+4i ⑵ - - i ⑶ 2-i030
두 복소수를 다음과 같이 두자. z=a+bi, w=c+di (단, a, b, c, d는 실수) 4 1325 3 1325 i-2 113-1 i+2i¤ 11253i¤ (1+2i)i 112133i¥i 1+2i 1125i 4 1 12225 3 1 12225 -3-4i 111259+16 -3-4i 1111111115(-3+4i)(-3-4i) 1 11125-3+4i 1 11115(1+2i)¤ 1 11251+2i ⑴ z=zÆ HjK a+bi=a+”biÚ=a-bi HjK a=a, -b=b HjK b=0 HjK z는 실수 ⑵ z+zÆ=0 HjK a+bi+a+”bi”=0 HjK a+bi+(a-bi)=2a=0 HjK z는 순허수 ⑶ z+zÆ=(a+bi)+(a-bi) =2a=2_(실수부분) ⑷ z-zÆ=(a+bi)-(a-bi) =2bi=2_(허수부분)i ⑸ zzÆ=(a+bi)(a-bi)=a¤ -abi+abi-b¤ i¤ =a¤ +b¤ =(실수) ⑹, ⑺ zÆ—ÚwÚ=(aÚ+”bi)”—(”c+”di)” =(aÚ—”c)”+(”b—”d)i” =(a—c)-(b—d)i =(a-bi)—(c-di) =zÆ—w’ (복부호 동순) ⑻ zÆw’=(aÚ+b”i)(”c+”di)” =(ac”-b”d)”+(”ad”+b”c)i” =(ac-bd)-(ad+bc)i =(a-bi)(c-di) =(a+”biÚ)¥(c+”diÚ)=zÆ¥w’ ⑼ ≠{ }=≠{ – ± =≠[} ≠ ≠ ≠ – ] =≠{ ≠ ≠ ≠ – ± + i} = - i …… ㉠ = = = = + i = - i …… ㉡ ㉠, ㉡에서 bc-ad 11134c¤ +d¤ ac+bd 11134c¤ +d¤ ad-bc 11134c¤ +d¤ ac+bd 11134c¤ +d¤ (a-bi)(c+di) 11111113(c-di)(c+di) a-bi 1123c-di a+”biÚ 1123c+”diÚ zÆ 15w’ bc-ad 1112c¤ +d¤ ac+bd 1112c¤ +d¤ bc-ad 1112c¤ +d¤ ac+bd 1112c¤ +d¤ (a+bi)(c-di) 11111113(c+di)(c-di) a+bi 1123c+di z 15w
≠{ }=
(단, c+di+0, 즉 c+0 또는 d+0이다.) 풀이 참조
031
ifi +ifl +i‡ +i° +y+i¤ ⁄=i› (i+i¤ +i‹ +i› )+i° (i+i¤ +i‹ +i› ) +i⁄ ¤ (i+i¤ +i‹ +i› )+i⁄ fl (i+i¤ +i‹ +i› ) +i¤ ⁄
=i¤ ⁄ =(i› )fi ¥i=i i
032
⑴ -'ƒ-27+'ƒ-ß4å8-'ƒ-ß3å6 =-'2ß7i+'4ß8i-'3å6i =-3'3i+4'3i-6i =('3-6)i ⑵ '∂-å1+'∂-å4+'∂-å9+'∂-ß1å6=i+2i+3i+4i =10i ⑶ '∂-ß2å7'∂-∂24å3='2å7i¥'∂2å4å3i="3Ω‹ "3Ωfi i¤ =-3› =-81 ⑷ = = = =-3i⑴ ('3-6)i ⑵ 10i ⑶ -81 ⑷ -3i
033
a…0, b…0이면 'a'b=-'aåb a…0, b…0인 경우를 제외한 나머지 경우에는 'a'b='aåb 따라서 "(√-1)√(-1Ω)='∂-å1'∂-å1이 아니라 "(√-1)√(-1Ω)=-'∂-å1'∂-å1 이라고 해야 옳다. 그러므로 처음으로 잘못 사용한 등호는 ③이다. ③ 3i 13i¤ 3 1i 3'3 114 '3i '2å7 121 '∂-å3 zÆ 15w’ z 15w2. 이차방정식
034
a¤ x+6x+2=a(5x+1) HjK (a¤ -5a+6)x=a-2 HjK (a-2)(a-3)x=a-2 yy ㉠ ⁄(a-2)(a-3)+0, 즉 a+2이고 a+3일 때, ㉠의양변을 (a-2)(a-3)으로 나누면
x= =
¤(a-2)(a-3)=0이고 a-2=0, 즉 a=2일 때,
㉠은 0¥x=0이므로 해는 무수히 많다. (부정) ¤(a-2)(a-3)=0이고 a-2+0, 즉 a=3일 때,
㉠은 0¥x=1이므로 해가 없다. (불능) 따라서 주어진 방정식의 해는 a+2이고 a+3일 때 x= 이고, a=2일 때 해가 무수히 많고, a=3일 때 해가 없다. 풀이 참조
035
⑴ 이차항의 계수가 음수이므로 양변에 -1 을 곱하고, 다시 2로 나누어 정리한 후 풀면 x¤ +2x-3=0, (x+3)(x-1)=0 1 1 11a-3122 1 112a-3 a-2 1111112(a-2)(a-3) 034 풀이참조 035 ⑴ x=-3 또는 x=1 ⑵ x=-1—'5i ⑶ x=-'2—'7 036 ⑴ 서로 다른 두 허근 ⑵037 ⑴ a>1 ⑵ a=1 ⑶ a<1 ⑷ aæ1 038 ⑴ (x-2-'5)(x-2+'5) ⑵ (x-1-2i)(x-1+2i) 039 풀이 참조 040 ⑴ ⑵ 28 ⑶ 7 ⑷ '2 ⑸ 2'5 ⑹ 64'5 041 ⑴ x¤ -2x-17=0 ⑵ 5x¤ -10x+25=0 042 풀이 참조 043 ⑴ a=6, b=7 ⑵ a=4, b=5 3 12 b=0이고 c=0：중근 g b+0 또는 c+0：서로 다른 두 실근 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E
011
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식 ∴ x=-3 또는 x=1 또는 근의 공식으로 풀면 x= =-1—2 ∴ x=-3 또는 x=1 ⑵ 이차방정식의 양변에 분모의 최소공배수 6을 곱하여 정리하면 x¤ +2x+6=0 근의 공식으로 풀면 x= =-1—'5i ⑶ 근의 공식으로 풀면 x= =-'2—'7 ⑴ x=-3 또는 x=1 ⑵ x=-1—'5i ⑶ x=-'2—'7036
⑴ 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 =(2+'2)¤ -(4'2+8) =4+4'2+2-4'2-8=-2<0 따라서 서로 다른 두 허근을 갖는다. ⑵ 주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=b¤ +4c¤ 따라서 b=0이고 c=0이면 D=0이므로 중근을 갖 고, 이외의 경우에는 항상 D>0이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. ∴ ⑴ 서로 다른 두 허근 ⑵037
주어진 이차방정식의 판별식을 D라 하면=a¤ -(a¤ -3a+3)=3a-3 D 154 b=0이고 c=0：중근 gb+0 또는 c+0：서로 다른 두 실근 b=0이고 c=0：중근 gg b+0또는 c+0：서로 다른 두 실근 D 154 -'2—"√('2)¤ç √-1¥√(-5) 1111111111241 -1—"1¤ç √-1¥≈6 111111251 -1—"1¤ç √-1¥√(-3) 11111111251 ⑴ 서로 다른 두 실근을 가지려면 =3a-3>0 ∴ a>1 ⑵ 중근을 가지려면 =3a-3=0 ∴ a=1 ⑶ 서로 다른 두 허근을 가지려면 =3a-3<0 ∴ a<1 ⑷ 실근을 가지려면 =3a-3æ0 ∴ aæ1
⑴ a>1 ⑵ a=1 ⑶ a<1 ⑷ aæ1
038
⑴ 이차방정식 x¤ -4x-1=0을 근의 공식으 로 풀면 x=2—"2¤ç ç+Ω1=2—'5 ∴ x¤ -4x-1={x-(2+'5)}{x-(2-'5)} =(x-2-'5)(x-2+'5) ⑵ 이차방정식 x¤ -2x+5=0을 근의 공식으로 풀면 x=1—"1¤ç ç-Ω5=1—2i ∴ x¤ -2x+5={x-(1+2i)}{x-(1-2i)} =(x-1-2i )(x-1+2i ) ⑴ (x-2-'5)(x-2+'5) ⑵ (x-1-2i)(x-1+2i)039
ax¤ +bx+c=0을 근의 공식으로 풀어 a= b= 로 두자. 이때 a, b는 실근이므로 b¤ -4acæ0이다. ∴ |a-b|=| - | =|111112"b√¤ -4≈aΩc2a |=|11113"bç√¤ -4≈aΩca | -b-"b√¤ -4≈aΩc 11111112a -b+"b√¤ -4≈aΩc 11111112a -b-"b√¤ -4≈aΩc 11111112a -b+"b√¤ -4≈aΩc 11111112a D 154 D 154 D 154 D 154= =
‘a, b는 실근HjK b¤ -4acæ0’이고, 근과
계수의 관계에 의하여 a+b=- , ab= 이므로
|a-b|¤ =(a+b)¤ -4ab ={- }¤ -4{ } = ∴ |a-b|=æ≠ = 풀이 참조
040
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a+b=6, ab=4 ⑴ (주어진 식)= = = ⑵ (주어진 식)=(a+b)¤ -2ab =6¤ -2_4=28 ⑶ (주어진 식)= = =7 ⑷ X='a -'b 라 하면 X¤ =('a -'b )¤ =a+b-2'aßb =6-2_2=2 ∴ 'a -'b ='2 (∵ a>b>0이므로 X>0) ⑸ Y=a-b라 하면Y¤ =(a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab =6¤ -4_4=20
∴ a-b='2å0=2'5 (∵ a>b이므로 Y>0) ⑹ (주어진 식)=(a-b)‹ +3ab(a-b) =(2'5)‹ +3¥4¥2'5=64'5 ⑴ ⑵ 28 ⑶ 7 ⑷ '2 ⑸ 2'5 ⑹ 64'5 3 12 28 134 a¤ +b¤ 111ab 3 1 12 6 14 a+b 112ab "bç√¤ -4≈aΩc 11113|a| b¤ -4ac 11125a¤ b¤ -4ac 11125a¤ c 1a b 1a c 1a b 1a "bç√¤ -4≈aΩc 11113|a| |"b√¤ -4≈aΩc| 11111|a|
041
⑴ (두 근의 합)=(1-3'2)+(1+3'2)=2 (두 근의 곱)=(1-3'2)(1+3'2) =1-18=-17 이차항의 계수가 1이므로 구하는 이차방정식은 x¤ -2x-17=0이다. ⑵ (두 근의 합)=(1+2i)+(1-2i)=2 (두 근의 곱)=(1+2i)(1-2i)=1+4=5 이차항의 계수가 1인 이차방정식은 x¤ -2x+5=0이므로 이차항의 계수가 5인 이차방정 식은 5(x¤ -2x+5)=0 ∴ 5x¤ -10x+25=0 ⑴ x¤ -2x-17=0 ⑵ 5x¤ -10x+25=0042
b=0일 때 정리 ⑵는 명백히 참이므로 b+0 이라 가정한다. 이제 모든 계수가 실수인 이차방정식을 x¤ +px+q=0 (단, p, q는 실수) yy ㉠ 으로 두자. 이때 이 이차방정식의 한 근이 x=a+bi (단, a, b는 실수, i='∂-å1) 이므로 ㉠에 대입하면 (a+bi)¤ +p(a+bi)+q=0 A+Bi=0 (단, A, B는 실수) 꼴로 정리하면 (a¤ -b¤ +pa+q)+b(p+2a)i=0 그러면 복소수가 서로 같을 조건에 의해a¤ -b¤ +pa+q=0, p+2a=0 (∵ b+0)
HjK p=-2a, q=a¤ +b¤ 을 얻을 수 있다. 구한 p, q를 ㉠에 대입하고, 근의 공식 으로 풀면 x¤ -2ax+a¤ +b¤ =0 ∴ x=a—"a√¤ -(√a¤ +≈bΩ¤ ) =a—|b|i 따라서 모든 계수가 실수인 이차방정식의 한 근이 a+bi이면 a-bi도 근이다. 풀이 참조
013
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식043
⑴ 3+'2도 이차방정식의 근이므로 이차방 정식의 근과 계수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=a=(3-'2)+(3+'2)=6 (두 근의 곱)=b=(3-'2)(3+'2)=9-2=7 ⑵ 2-i도 이차방정식의 근이므로 이차방정식의 근과 계 수의 관계에 의하여 (두 근의 합)=a=(2+i)+(2-i)=4 (두 근의 곱)=b=(2+i)(2-i)=4+1=5 ⑴ a=6, b=7 ⑵ a=4, b=5044
⑴ 꼭짓점의 좌표가 (4, -2)이므로 구하는 이 차함수의 식은 y=a(x-4)¤ -2 이 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로 6=a(0-4)¤ -2, 16a=8 ∴ a= 따라서 구하는 이차함수의 식은 y= (x-4)¤ -2 HjK y= x¤ -4x+6 ⑵ x절편이 -2, 3이므로 구하는 이차함수의 식은 y=a(x+2)(x-3) 이 그래프가 점 (1, 6)을 지나므로6=a(1+2)(1-3), -6a=6 ∴ a=-1
따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-(x+2)(x-3) HjK y=-x¤ +x+6 ⑶ 구하는 이차함수의 식을 y=ax¤ +bx+c로 놓으면 이 함수의 그래프가 점 (0, 5)를 지나므로 c=5 따라서 이차함수 y=ax¤ +bx+5의 그래프가 두 점 (-2, -3), (2, 5)를 지나므로 -3=4a-2b+5, 5=4a+2b+5 HjK 2a-b=-4, 2a+b=0 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 따라서 구하는 이차함수의 식은 y=-x¤ +2x+5 1 1 12 1 12 1 12 044 ⑴ y=;2!;x¤ -4x+6 ⑵ y=-x¤ +x+6 ⑶ y=-x¤ +2x+5 045 풀이 참조 046 ⑴ 2, 4 ⑵ -1, 3 047 ⑴ 0 ⑵ 1 048 ⑴ -3, -1 ⑵ 2, 4 049 ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다. 050 -6 051 (최댓값)：없다, (최솟값)：;4#; 052 ⑴ M=4, m=-5 ⑵ M=-5, m=-8 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E
3. 이차방정식과 이차함수
⑴ y= x¤ -4x+6 ⑵ y=-x¤ +x+6 ⑶ y=-x¤ +2x+5
045
y=ax¤ +bx+c에서 ⑴ 위로 볼록한 포물선이므로 a<0 ⑵ 축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 이때 a<0이므로 b>0 ⑶ y절편이 0보다 크므로 c>0 ⑷ x=1일 때 y=0이므로 a+b+c=0 ⑸ x=2일 때 y<0이므로 4a+2b+c<0 ⑹ x축과의 두 교점의 중점은 축 x=- 위에 있으므 로 (1, 0)이 아닌 x축과의 교점을 (p, 0)이라 하면 =- >0 ∴ p>-1 따라서 x=-1일 때, y<0이므로 a-b+c<0 풀이 참조046
⑴ 이차방정식 x¤ -6x+8=0을 풀면 ⑵ (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4 ⑵따라서 교점의 x좌표는 2, 4이다. ⑵ 이차방정식 -x¤ +2x+3=0을 풀면 ⑵ (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 ⑵따라서 교점의 x좌표는 -1, 3이다. ⑴ 2, 4 ⑵ -1, 3047
⑴ 이차방정식 x¤ +4x+6=0의 판별식을 D ⑵라 하면 =2¤ -1¥6=-2<0 ⑵따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축은 만나지 않 으므로 교점의 개수는 0이다. ⑵ 이차방정식 -2x¤ +8x-8=0의 판별식을 D라 하면 ⑵ 15D=4¤ -(-2)¥(-8)=0 4 D 154 b 1442a p+1 14444442 b 1442a 1 12 ⑵따라서 주어진 이차함수의 그래프와 x축은 한 점에서 만나므로 교점의 개수는 1이다. ⑴ 0 ⑵ 1048
⑴ x¤ +2x+1=-2x-2 ⑵ x¤ +4x+3=0, (x+3)(x+1)=0 ⑵ ∴ x=-3 또는 x=-1 ⑵따라서 교점의 x좌표는 -3, -1이다. ⑵ x¤ -5x+3=x-5, x¤ -6x+8=0 ⑵ (x-2)(x-4)=0 ∴ x=2 또는 x=4 ⑵따라서 교점의 x좌표는 2, 4이다. ⑴ -3, -1 ⑵ 2, 4049
⑴ 이차방정식 x¤ -x-5=x-6, 즉 x¤ -2x+1=0의 판별식을 D라 하면 ⑵ =(-1)¤ -1¥1=0 ⑵따라서 주어진 이차함수의 그래프와 직선은 한 점에서 만난다. ⑵ 이차방정식 -x¤ +5x+2=3x+4, 즉 x¤ -2x+2=0의 판별식을 D라 하면 ⑵ =(-1)¤ -1¥2=-1<0 ⑵따라서 주어진 이차함수의 그래프와 직선은 만나지 않 는다. ⑴ 한 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다.050
이차방정식 x¤ +4x+3=-2x+b HjK x¤ +6x+3-b=0 의 판별식 D가 D=0이어야 하므로 =3¤ -1¥(3-b)=0, 6+b=0 ∴ b=-6 -6 D 144 D 154 D 154015
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식051
y=x¤ -x+1={x- }2 + 이므로 그래 프는 다음 그림과 같다. ∴ (최댓값)：최댓값은 없다. ∴(최솟값)：x= 일 때, (최솟값)= (최댓값)：없다, (최솟값)：052
⑴ y=-x¤ +4x=-(x-2)¤ +4이므로 그래프는 다음 그림과 같다. 이때 1…x…5이므로 (최댓값)：x=2일 때, M=4 (최솟값)：x=5일 때, m=-5 ⑵ y=(x-2)(x+4)=(x+1)¤ -9이므로 그래프는 다음 그림과 같다. O -9 -8 -5 -1 1 x y y={x-2}{x+4} O 1 2 4 4 3 5 -5 x y y=-x@+4x 3 14 3 1 14 1 12 2 1 4 3 1 O x y y=x@-x+1 3 14 1 12 이때 0…x…1이므로 (최댓값)：x=1일 때, M=-5 (최솟값)：x=0일 때, m=-8 ⑴ M=4, m=-5 ⑵ M=-5, m=-8∴x=0또는 x=-5 또는 x=6 ⑶f(x)=x‹ +x¤ -3x+1이라 하면 f(1)=0 이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 11 1 1-3 1-1 -1 11 1 1-2 -1 -1 11 2 -1 1-0 f(x)=(x-1)(x¤ +2x-1) 따라서 주어진 방정식은 (x-1)(x¤ +2x-1)=0 이므로 x=1또는 x=-1 —'2 ⑷f(x)=x› -5x‹ -7x¤ +5x+6이라 하면 f(1)=0, f(-1)=0 이므로 조립제법을 이용하여 인수분해하면 -1 11 -5 1-7 1-5 -6 -1 11 -1 1-4 -11 -6 -1 11 -4 -11 1-6 -0 -1 11 -1 -15 -16 -1 11 -5 1-6 -10 f(x)=(x-1)(x+1)(x¤ -5x-6) =(x-1)(x+1)¤ (x-6) 따라서 주어진 방정식은 (x+1)¤ (x-1)(x-6)=0 이므로 x=-1또는 x=1 또는 x=6 ⑴x=2또는x=-1—'3i ⑵ x=0 또는 x=-5 또는 x=6 ⑶ x=1 또는 x=-1—'2 ⑷ x=-1 또는 x=1 또는 x=6
054
⑴ x¤ =X로 치환하면 x› -7x¤ +6=X¤ -7X+6 =(X-1)(X-6) =(x¤ -1)(x¤ -6) =(x+1)(x-1)(x¤ -6)=0053
⑴x‹ -8=0의 좌변을 인수분해하면 (x-2)(x¤ +2x+4)=0 ∴ x=2또는 x=-1—'3i ⑵x‹ -x¤ -30x=0의 좌변을 인수분해하면 x(x+5)(x-6)=0 053 ⑴ x=2 또는 x=-1—'3i ⑵ x=0 또는 x=-5 또는 x=6 ⑶ x=1 또는 x=-1—'2 ⑷ x=-1 또는 x=1 또는 x=6 054 ⑴ x=—1 또는 x=—'6 ⑵ x= 또는 x= ⑶ x=-4 또는 x=-2 또는 x=-3—'7 ⑷ x= ⑸ x=-2 또는 x=-1 또는 x= 055 ⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ 0 ⑷ -5 056 풀이 참조 057 a=-5, a=21, b=-20 058 ⑴ x‹ +3x¤ -x-3=0 ⑵ x‹ -x¤ -3x-1=0 059 나머지 근 : 1-i, 1+2i a=-2, b=2, c=-2, d=5 060 ⑴ x=0 또는 x=3 또는 x=5 ⑵ x=-6 또는 x=3 또는 x=9 ⑶ x=- 또는 x=1 또는 x= ⑷ x=- 또는 x=1 또는 x=2 061 ⑴ x=2, y=2 ⑵ x=7, y=-7 062 ⑴ x=-6, y=-2, z=5 ⑵ x=6, y=1, z=-4 063 ⑴ 4 ⑵ 1 064 풀이 참조 065 x=1 066 풀이 참조 067 x=-1 또는 x=3 068 x=—6 또는 x=—4 또는 x=0 1 12 1 13 1 12 1—'3i 11122 -1—'3i 111122 1—'7i 11122 -1—'7i 111132 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E4. 여러 가지 방정식
017
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식 ∴x=—1또는 x=—'6 ⑵ x› +3x¤ +4=x› +4x¤ +4-x¤ =(x¤ +2)¤ -x¤ =(x¤ +x+2)(x¤ -x+2)=0 ∴x= 또는 x= ⑶ x¤ +6x=X로 치환하면 (X+4)(X+6)-8 =X¤ +10X+16=(X+8)(X+2) =(x¤ +6x+8)(x¤ +6x+2) =(x+4)(x+2)(x¤ +6x+2)=0 ∴ x=-4또는x=-2또는x=-3—'7 ⑷ x› +2x‹ +3x¤ +2x+1=0 HjK x¤ +2x+3+2¥ + =0 (∵ x+0) HjK {x¤ + }+2{x+ }+3=0 HjK [{x+ }¤ -2]+2{x+ }+3=0 x+ =X로 치환하여 인수분해하면 (X¤ -2)+2X+3 =X¤ +2X+1 =(X+1)¤ ={x+ +1}¤ =(x¤ +x+1)¤ =0 ∴ x= ⑸ xfi +3x› +2x‹ +x¤ +3x+2 =x‹ (x¤ +3x+2)+(x¤ +3x+2) =(x‹ +1)(x¤ +3x+2) =(x+1)(x¤ -x+1)(x+2)(x+1) =(x+2)(x+1)¤ (x¤ -x+1)=0 ∴ x=-2또는x=-1또는x= ⑴ x=—1 또는 x=—'6 ⑵x=11113-1—'7i2 또는 x=11121—'7i2 1—'3i 1 11112122 -1—'3i 1 1111211122 1 1x 1 1x 1 1x 1 1x 1 1x 1 15x¤ 1 15x¤ 1 1x 1—'7i 1 11112122 -1—'7i 1 1111211133 ⑶ x=-4또는x=-2또는x=-3—'7 ⑷ x= ⑸ x=-2또는x=-1또는x=055
x‹ =1, x¤ +x+1=0, x+ =-1이므로 ⑴ x¤ ‚ ⁄ · =(x‹ )fl ‡ ‹ =1 ⑵ x‡ + =(x‹ )¤ ¥x+ =x+ =-1 ⑶ xfi +x⁄ ‚ +x⁄ fi +x¤ ‚ +x¤ fi +x‹ ‚ =x‹ ¥x¤ +(x‹ )‹ ¥x+(x‹ )fi +(x‹ )fl ¥x¤ +(x‹ )° ¥x+(x‹ )⁄ ‚ =x¤ +x+1+x¤ +x+1=0 ⑷ x¤ +x+1=0에서 x¤ +x=-1이므로 x¤ +x-4=-1-4=-5 ⑴ 1 ⑵ -1 ⑶ 0 ⑷ -5056
a+b+c=-ab+bc+ca= =-abc=- =3 풀이 참조057
근과 계수의 관계에 의해 0=a+1+4 ∴ a=-5 -a=(-5)¥1+1¥4+4¥(-5) ∴ a=21 b=(-5)¥1¥4 ∴ b=-20 a=-5, a=21, b=-20058
⑴ (-3)+(-1)+1=-3 (-3)¥(-1)+(-1)¥1+1¥(-3)=-1 (-3)¥(-1)¥1=3 -6 112 5 1 12 -5 112 3 1 12 1 1x 1 1111(x‹ )¤ ¥x 1 14x‡ 1 1x 1—'3i 11122 -1—'3i 111122이므로 구하는 삼차방정식은 x‹ +3x¤ -x-3=0 ⑵ (-1)+a+b=1 (-1)¥a+a¥b+b¥(-1)=-(a+b)+ab=-3 (-1)¥a¥b=-ab=1 이므로 구하는 삼차방정식은 x‹ -x¤ -3x-1=0 ⑴ x‹ +3x¤ -x-3=0 ⑵ x‹ -x¤ -3x-1=0
059
사차방정식은 복소수 범위에서 최대 4개의 근 을 가질 수 있다. 이때 모든 계수가 실수이므로 주어진 사 차방정식은 1+i, 1-2i의 켤레수도 근으로 갖는다. 따라서 나머지 두 근은 1-i, 1+2i이다. 한편 인수정리에 의하여 주어진 사차방정식의 좌변은 다 음과 같이 인수분해되므로 (x¤ +ax+b)(x¤ +cx+d) =(x-1-i)(x-1+i)(x-1+2i)(x-1-2i) ={(x-1)¤ +1}{(x-1)¤ +4} =(x¤ -2x+2)(x¤ -2x+5) ∴ a=-2, b=2, c=-2, d=5 (∵ b<d) 나머지 근：1-i, 1+2i a=-2, b=2, c=-2, d=5060
f(x)=0의 근, 즉 x‹ -2x¤ -5x+6=(x+2)(x-1)(x-3)=0 의 세 근은 x=-2 또는 x=1 또는 x=3임을 이용하 여 변형된 방정식의 근을 구해 보자. ⑴ x-2=-2 또는 x-2=1 또는 x-2=3이므로 구하는 근은 x=0또는 x=3 또는 x=5 ⑵ =-2 또는 =1 또는 =3이므로 구하는 근 은 x=-6또는 x=3 또는 x=9 ⑶ =-2 또는 =1 또는11=3이므로 구하는 근 x 1 1x 1 1x x 13 x 13 x 13 은 x=- 또는 x=1 또는 x= ⑷ 2x-1=-2 또는 2x-1=1 또는 2x-1=3이므로 구하는 근은 x=- 또는 x=1 또는 x=2 ⑴ x=0 또는 x=3 또는 x=5 ⑵ x=-6 또는 x=3 또는 x=9 ⑶x=- 또는x=1 또는x= ⑷x=- 또는x=1 또는x=2061
⑴ ㉠을 ㉡에 대입하면 3x-2(4-x)=2, 5x=10 ∴ x=2 x=2를 ㉠에 대입하면 y=4-2=2 ∴ x=2, y=2 ⑵ ㉠_2-㉡_3을 하면 -5y=35 ∴ y=-7 y=-7을 ㉠에 대입하면 3x-14=7 ∴ x=7 ∴ x=7, y=-7 ⑴ x=2, y=2 ⑵ x=7, y=-7062
⑴ ㉠-㉡, ㉡-㉢을 각각 하면 y+2z=8 yy ㉣ 2y-z=-9 yy ㉤ ( x+2y+3z=5 yy ㉠ “ x+y+z=-3 yy ㉡ 9 x-y+2z=6 yy ㉢ 3x+2y=7 yy ㉠ g2x+3y=-7 yy ㉡ y=4-x yy ㉠ g 3x-2y=2 yy ㉡ 1 12 1 13 1 12 1 1 12 1 1 13 1 1 12019
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식 ㉣_2-㉤을 하면 5z=25 ∴ z=5 z=5를 ㉣에 대입하면 y+10=8 ∴ y=-2 y=-2, z=5를 ㉡에 대입하면 x-2+5=-3 ∴ x=-6 ∴ x=-6, y=-2, z=5 ⑵ ㉠+㉡+㉢을 하면 2(x+y+z)=6 ∴ x+y+z=3 yy ㉣ ㉣에서 ㉡, ㉢, ㉠을 각각 변변 빼면 x=6, y=1, z=-4 ⑴ x=-6, y=-2, z=5 ⑵ x=6, y=1, z=-4063
두 경우 모두 먼저 = 이 성립해 야 하므로(a-2)(a-3)=2, a¤ -5a+4=0 (a-1)(a-4)=0 ∴ a=1 또는 a=4
⑴ 해가 무수히 많기 위해서는 = = ∴ a=4 ⑵ 해가 없기 위해서는 = + ∴ a=1 ⑴ 4 ⑵ 1
064
⑴ x-y-1=0 HjK y=x-1을 x¤ +y¤ -1=0에 대입하여 정리하면 ⑵ x(x-1)=0 ∴ x=0 또는 x=1 ⑵이것을 y=x-1에 각각 대입하면 1 11 a-3 1211 2 121a-2 1 11 a-3 1211 2 121a-2 a-3 1211 2 121a-2 ( x+y=7 yy ㉠ “ y+z=-3 yy ㉡ 9 z+x=2 yy ㉢ ⑵ 또는 ⑵ 2x+y=-8 HjK y=-2x-8을 x¤ +xy+y¤ =28에 대입하면 ⑵ x¤ +x(-2x-8)+(-2x-8)¤ =28 ⑵ x¤ +8x+12=0, (x+6)(x+2)=0 ⑵ ∴ x=-6 또는 x=-2 ⑵이것을 y=-2x-8에 각각 대입하면 ⑵ 또는 ⑶ x-4y=-1 HjK x=4y-1을 3xy+2y¤ =11에 대입하면3y(4y-1)+2y¤ =11, 14y¤ -3y-11=0 (14y+11)(y-1)=0 ∴ y=- 또는 y=1 이것을 x=4y-1에 각각 대입하면 또는 ⑷ x¤ -xy-2y¤ =0을 인수분해하면 (x+y)(x-2y)=0 ∴ x=-y 또는 x=2y ⁄x=-y일 때, x¤ +xy-y¤ =25에 대입하면 -y¤ =25, y¤ =-25 ∴ y=—5i, x=–5i (복부호 동순) ¤x=2y일 때, x¤ +xy-y¤ =25에 대입하면 5y¤ =25, y¤ =5 ∴ y=—'5, x=—2'5 (복부호 동순) ∴ 또는 또는 ∴ 또는 ⑸ x¤ -2xy-3y¤ =0을 인수분해하면 (x+y)(x-3y)=0 ∴ x=-y 또는 x=3y x=-2'5 g y=-'5 x=2'5 g y='5 x=-5i g y=5i x=5i g y=-5i x=3 g y=1 29 x=-113344 7 11 y=-113344 14 ( { 9 11 13414 x=-2 g y=-4 x=-6 g y=4 x=1 g y=0 x=0 g y=-1
⁄x=-y일 때, 2x¤ +3y¤ =105에 대입하여 풀면 5y¤ =105, y¤ =21 ∴ y=—'2å1, x=–'2å1 (복부호 동순) ¤x=3y일 때, 2x¤ +3y¤ =105에 대입하여 풀면 21y¤ =105, y¤ =5 ∴ y=—'5, x=—3'5 (복부호 동순) ∴ 또는 또는 ∴ 또는 ⑹ 두 식을 연립하여 x¤ 항을 없애면 -5x+5y=0 ∴ y=x y=x를 2x¤ -3x+y=4에 대입하여 정리하면 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 이것을 y=x에 각각 대입하면 또는 ⑺ 두 식을 연립하여 상수항을 없애면 x¤ +5xy+6y¤ =0, (x+2y)(x+3y)=0 ∴ x=-2y 또는 x=-3y ⁄x=-2y일 때, x¤ -2xy-y¤ =7에 대입하면 7y¤ =7, y¤ =1 ∴ y=—1, x=–2 (복부호 동순) ¤x=-3y일 때, x¤ -2xy-y¤ =7에 대입하면 14y¤ =7, y¤ = ∴ y=— , x=– (복부호 동순) ∴ 또는 또는 ∴ 또는
⑻ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy에서
5=(x+y)¤ -4 (∵ xy=2) ∴ x+y=—3 ⁄x+y=3일 때, x, y는 t에 대한 이차방정식 t¤ -3t+2=0 HjK (t-1)(t-2)=0 3'2 x=-1111 2 '2 y=1122 2 ( { 9 3'2 x=1111 2 '2 y=-1122 2 ( { 9 x=-2 g y=1 x=2 g y=-1 3'2 1322 '2 132 1 12 x=2 g y=2 x=-1 g y=-1 x=-3'5 g y=-'5 x=3'5 g y='5 x=-'2å1 g y='2å1 x='2å1 g y=-'2å1 의 근이고, t=1 또는 t=2이다. ¤x+y=-3일 때, x, y는 s에 대한 이차방정식 s¤ +3s+2=0 HjK (s+1)(s+2)=0 의 근이고, s=-1 또는 s=-2이다. ∴ 또는 또는 ∴ 또는 ⑼ 을 모두 변변 곱하면 (xyz)¤ =2° ¥3› ¥5› ∴ xyz=—2› ¥3¤ ¥5¤ yy ㉣ ㉣을 ㉡, ㉢, ㉠으로 각각 변변 나누면 x=—2¥3¥5, y=—2¤ ¥3, z=—2¥5 (복부호동순) ∴ 또는 풀이 참조
065
삼차항을 없애는 동치변형을 하면 (x‹ +6x¤ -x-6)-x(x¤ +x-2)=0 5x¤ +x-6=0, (5x+6)(x-1)=0 ∴ x=- 또는 x=1 x=- , x=1을 두 방정식에 각각 대입해 보면 공통 근은 x=1 뿐이다. x=1066
⑴ xy+2x-y-5=0을 (일차식)_(일차식)=(정수) 꼴로 변형하면 x(y+2)-(y+2)-3=0 ∴ (x-1)(y+2)=3 x, y가 정수이므로 x-1, y+2도 정수이고 그 값은 6 15 6 15 (( x=-30 ““ y=-12 99 z=-10 (( x=30 ““ y=12 99 z=10 ( xy=2‹ ¥3¤ ¥5 yy ㉠ “ yz=2‹ ¥3¥5 yy ㉡ 9 zx=2¤ ¥3¥5¤ yy ㉢ x=-2 g y=-1 x=-1 g y=-2 x=2 g y=1 x=1 g y=2021
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식 다음과 같다. ∴ 또는 또는 ∴또는 ⑵ mn-8m+7n=100을 (일차식)_(일차식)=(자연수) 꼴로 변형하면 (m+7)(n-8)=44=2¤ _11 m, n은 자연수이므로 m+7, n-8은 m+7æ8, n-8æ-7인 정수이고 그 값은 다음 표와 같다. ∴ 또는 또는 ⑶ 10x¤ -2x-6xy+y¤ +1=0을 A¤ +B¤ =0 꼴로 변형하면 (x¤ -2x+1)+(9x¤ -6xy+y¤ )=0 (x-1)¤ +(3x-y)¤ =0 x, y가 실수이므로 x-1, 3x-y도 실수이다. ∴ x-1=0, 3x-y=0 ∴ x=1, y=3 주어진 방정식을 y에 대하여 정리하면 y¤ -6xy+10x¤ -2x+1=0 yy ㉠ y가 실수이므로 y에 대한 방정식 ㉠은 실근을 갖는다. 따라서 ㉠의 판별식을 D라 하면 =(-3x)¤ -(10x¤ -2x+1) =-x¤ +2x-1æ0 ∴ (x-1)¤ …0 x도 실수이므로 x-1=0 ∴ x=1 D 144 m=37 g n=9 m=15 g n=10 m=4 g n=12 x=4 g y=-1 x=2 g y=1 x=0 g y=-5 x=-2 g y=-3 이것을 ㉠에 대입하여 정리하면 (y-3)¤ =0 ∴ y=3 풀이 참조067
절댓값 내부의 식의 값이 0이 되도록 하는 값은 x=0, x=1, x=2 이므로 이를 기준으로 해의 구간을 나누면 x<0, 0…x<1, 1…x<2, xæ2 ⁄x<0일 때, -x-(x-1)-(x-2)=6 ∴ x=-1 ¤0…x<1일 때, x-(x-1)-(x-2)=6 ∴ x=-3 그런데 0…x<1에 x=-3이 포함되지 않는다. ∴ 해가 없다. ‹1…x<2일 때, x+(x-1)-(x-2)=6 ∴ x=5 그런데 1…x<2에 x=5가 포함되지 않는다. ∴ 해가 없다. ›xæ2일 때, x+(x-1)+(x-2)=6 ∴ x=3 따라서 주어진 방정식의 해는 x=-1또는 x=3 x=-1 또는 x=3068
절댓값의 성질을 이용하면 |M|x|-2M-3|=1 HjK M|x|-2M-3=1 또는M|x|-2M-3=-1 HjK M|x|-2M=4 또는M|x|-2M=2 HjK (|x|-2=4 또는 |x|-2=-4) 또는 (|x|-2=2 또는 |x|-2=-2) HjK |x|=6 또는 |x|=-2 또는 |x|=4 또는 |x|=0 y+2 -1 -3 3 1 x-1 -3 -1 1 3 n-8 4 2 1 m+7 11 22 44이때 |x|=-2의 해는 존재하지 않으므로 x=—6또는 x=—4 또는 x=0 x=—6 또는 x=—4 또는 x=0
069
⑴ -1…x<3의 각 변에 2를 곱하면 -2…2x<6 ⑵ -1…x<3의 각 변에 -3을 곱하면 -9<-3x…3 위의 식의 각 변에 4를 더하면 -5<-3x+4…7 ⑴ -2…2x<6 ⑵ -5<-3x+4…7070
⑴ 1<b<5 HjK 2<2b<10이므로 -5…a2a+<13 +>≥-2≥<a≥2b≥+<¯1¯0 -3<a+2b<13 069 ⑴ -2…2x<6 ⑵ -5<-3x+4…7 070 ⑴ -3<a+2b<13 ⑵ -20<3a-b<8 ⑶ -50<2ab<30 ⑷ -10< <6 071 풀이 참조 072 ⑴ 2…x<3 ⑵ x<-2 ⑶ 해는 없다 ⑷ 해는 없다 073 ⑴ 1…x<4 ⑵ -4…x<1 074 ⑴ 0<x…1 또는 3…x<4 ⑵ x>1 ⑶ -;5&;<x<1 075 9 076 x<-3 또는 x>6 077 ⑴ x<-;2!; 또는 x>2 ⑵ -2…x…;4#; ⑶ x<3-'2 또는 x>3+'2 ⑷ x=5 ⑸ x+-3인 모든 실수 ⑹ 해는 없다 078 -;4!;…a…0 079 a=-3, b=-6 080 ⑴ 1<x…3 ⑵ 1<x<2 ⑶ 해는 없다 ⑷ -2…x…0 또는 8…x…10 081 -2…k…0 082 -4<k<0 083 -1…b…;3%; 084 k<-3 2a 13b APPLICATION S U M M A C U M L A U D E5. 여러 가지 부등식
023
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식 ⑵ -5…a<3 HjK -15…3a<9이므로 -15…a 3aa<-9 +>≥-15≥<a≤ -≤b≤a≥<-¯1 -20<3a-b<-8 ⑶ -5…a<3 HjK -10…2a<6과 1<b<5에서 경 곗값끼리 곱셈을 하면 -10, -50, 6, 30이므로 최 댓값은 30, 최솟값은 -50이다. ∴ -50<2ab<30 ⑷ -5…a<3 HjK -10…2a<6과 1<b<5에서 경 ⑷곗값끼리 나눗셈을 하면 -10, -2, 6, 이므로 ⑷최댓값은 6, 최솟값은 -10이다. ∴ -10< <6 ⑴ -3<a+2b<13 ⑵ -20<3a-b<8 ⑶ -50<2ab<30 ⑷ -10< <6071
⑴ ax-1>x+1 HjK (a-1)x>2이므로 ⁄ a-1>0, 즉 a>1일 때 x> ¤ a-1<0, 즉 a<1일 때 x< ‹ a-1=0, 즉 a=1일 때 0¥x>2이므로 해는 없다. ⑵ 2x-3<ax-a HjK (a-2)x>a-3이므로 ⁄ a-2>0, 즉 a>2일 때 x> ¤ a-2<0, 즉 a<2일 때 x< ‹ a-2=0, 즉 a=2일 때 0¥x>-1이므로 해는 모든 실수이다. ⑶ (a-3)x…b+1에서 ⁄ a-3>0, 즉 a>3일 때 x… ¤ a-3<0, 즉 a<3일 때 xæ111b+1122 a-3 b+1 1 11a-3122 a-3 1 11a-2122 a-3 1 11a-2122 2 1 11a-1133 2 1 11a-1133 2a 12b 2a 1 133b 6 15 ‹a-3=0, 즉 a=3일 때 0¥x…b+1이므로 b+1æ0, 즉 bæ-1일 때 해는 모든 실수이고 b+1<0, 즉 b<-1일 때 해는 없다. 풀이 참조072
⑴ 에서 ㉠을 풀면 xæ2 ㉡을 풀면 3x<9 ∴ x<3 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ 2…x<3 ⑵ 에서 ㉠을 풀면 5x<-10 ∴ x<-2 ㉡을 풀면 2x<14 ∴ x<7 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ x<-2 ⑶ 에서 ㉠을 풀면 2x…-6 ∴ x…-3 ㉡을 풀면 x>-3 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 해는 없다. ⑷ 에서 ㉠을 풀면 2x<-1 ∴ x<-;2!; ㉡을 풀면 3xæ9 ∴ xæ3 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 해는 없다. 3 -12 x ㉡ ㉠ 4x+5<2x+4 yy ㉠ 2x-7æ-x+2 yy ㉡ g -3 x ㉡ ㉠ 3x+2…x-4 yy ㉠ x+5>2 yy ㉡ g -2 7 x ㉡ ㉠ 5x-2<-12 yy ㉠ 2x-9<5 yy ㉡ g 2 3 x ㉡ ㉠ x-1æ1 yy ㉠ 3x-2<7 yy ㉡ g⑴ 2…x<3 ⑵ x<-2 ⑶ 해는 없다 ⑷ 해는 없다
073
⑴ 로 고친 후 ㉠을 풀면 x<4 ㉡을 풀면 -2x…-2 ∴ xæ1 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ 1…x<4 ⑵ 로 고친 후 ㉠을 풀면 3x-16…6x-4, -3x…12 ∴ xæ-4 ㉡을 풀면 6x-4<2x, 4x<4 ∴ x<1 ㉠, ㉡의 해를 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다. ∴ -4…x<1 ⑴ 1…x<4 ⑵ -4…x<1074
⑴ 1…|x-2|<2에서 -2<x-2…-1 또는 1…x-2<2 ∴ 0<x…1 또는 3…x<4 ⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x-2=0에서 x=2 ⁄x<2일 때, 주어진 부등식을 풀면 -x+2<3x-2 -4x<-4, x>1 ∴ 1<x<2 ¤xæ2일 때, 주어진 부등식을 풀면 x-2<3x-2 -2x<0, x>0 ∴ xæ2 ⁄, ¤에서 주어진 부등식의 해는 x>1 1 -4 ㉡ ㉠ x 3x-16…2(3x-2) yy ㉠ 2(3x-2)<2x yy ㉡ g 1 4 ㉡ ㉠ x 2x-2<x+2 yy ㉠ x+2…3x yy ㉡ g 3x-2æ0, 즉 xæ 일 때만 주어진 부 등식의 해가 존재하고, 이때 부등식은 -3x+2<x-2<3x-2 이다. 이 부등식을 연립부등식 로 고친 후 ㉠을 풀면 -4x<-4 ∴ x>1 ㉡을 풀면 -2x<0 ∴ x>0 ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 x>1이고 조건의 범위 xæ 를 만족하므로 주어진 부등식의 해는 x>1 ⑶ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x-1=0, x+1=0에서 x=1, x=-1 ⁄x<-1일 때, -2(x-1)-3(x+1)<6, x>-∴ - <x<-1 ¤-1…x<1일 때, -2(x-1)+3(x+1)<6, x<1 ∴ -1…x<1 ‹xæ1일 때, 2(x-1)+3(x+1)<6, x<1 ∴ 만족하는 해는 없다. ⁄, ¤, ‹에서 주어진 부등식의 해는 - <x<1 ⑴ 0<x…1 또는 3…x<4 ⑵ x>1 ⑶ - <x<1075
a, b가 양수이므로 |ax+1|…b HjK -b…ax+1…b |ax+1|{b HjK …x…121b-1 a -b-1 1112a 7 15 7 1 15 7 15 7 15 2 13 -3x+2<x-2 yy ㉠ x-2<3x-2 yy ㉡ g 2 13025
APPLICATION -`Ⅱ. 방정식과 부등식 이것이 -4…x…3과 같아야 하므로 =-4, =3 HjK -b-1=-4a, b-1=3a 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=7 ∴ a+b=9 9076
부등식 ax¤ +bx+c>mx+n의 해는 이차 함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프가 직선 y=mx+n보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위이므로 x<-3또는 x>6 x<-3 또는 x>6077
⑴ 2x¤ -3x-2>0에서 (2x+1)(x-2)>0 ∴ x<- 또는 x>2 ⑵ 4x¤ +5x-6…0에서 (x+2)(4x-3)…0 ∴ -2…x… ⑶ 양변에 -1을 곱하여 정리하면 x¤ -6x+7>0 근의 공식에 의하여 x¤ -6x+7=0의 두 근은 x=3—'2 따라서 주어진 부등식의 해는 x<3-'2 또는 x>3+'2 ⑷ x¤ -10x+25…0에서 (x-5)¤ …0 따라서 x¤ -10x+25…0의 해는 x=5이다. ⑸ x¤ +6x+9>0에서 (x+3)¤ >0 따라서 x¤ +6x+9>0의 해는 x+-3인 모든 실수 이다. ⑹ x¤ -6x+10…0에서 (x-3)¤ +1…0 따라서 x¤ -6x+10…0의 해는 없다. 3 1 14 1 1 12 b-1 121a -b-1 1112a ⑴ x<- 또는 x>2 ⑵ -2…x… ⑶ x<3-'2 또는 x>3+'2 ⑷ x=5 ⑸ x+-3인 모든 실수 ⑹ 해는 없다078
주어진 이차부등식의 양변에 -1을 곱하면 x¤ -4ax-aæ0 이때 이차함수 y=x¤ -4ax-a의 그래프가 x축에 접 하거나 x축보다 위쪽에 있어야 하므로 이차방정식 x¤ -4ax-a=0의 판별식 D…0이어야 한다. 즉, =(-2a)¤ -1¥(-a)…04a¤ +a…0, a(4a+1)…0 ∴ - …a…0
- …a…0
079
이차항의 계수가 1이면서 1-'3<x<1+'3 을 해로 갖는 이차부등식은 {x-(1-'3)}{x-(1+'3)}<0 HjK {(x-1)+'3 }{(x-1)-'3 }<0 HjK (x-1)¤ -3<0 HjK x¤ -2x-2<0 yy`㉠ ㉠과 주어진 이차부등식의 부등호의 방향이 다르므로 a<0㉠`의 양변에 a를 곱하면 ax¤ -2ax-2a>0
이 부등식이 ax¤ -bx+a¤ -3>0과 일치하므로
-b=-2a, a¤ -3=-2a
이때 a¤ -3=-2a HjK a¤ +2a-3=0에서
(a+3)(a-1)=0 ∴ a=-3, b=-6 (∵ a<0) a=-3, b=-6 1 14 1 1 14 D 144 3 14 1 12
080
⑴ x¤ -9…0에서 (x+3)(x-3)…0 ∴ -3…x…3 yy ㉠ x¤ +5x-6>0에서 (x+6)(x-1)>0 ∴ x<-6 또는 x>1 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<x…3 ⑵ 2x¤ +x…5x에서 2x¤ -4x…0, x¤ -2x…0 x(x-2)…0 ∴ 0…x…2 yy ㉠ x¤ -x<2(x-1)에서 x¤ -x<2x-2, x¤ -3x+2<0 (x-1)(x-2)<0 ∴ 1<x<2 yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 1<x<2 ⑶ x-1<x¤ 에서 x¤ -x+1>0 {x- }¤ + >0 ∴ x는 모든 실수 yy ㉠ x¤ <5x-8에서 x¤ -5x+8<0 {x- }¤ + <0 ∴ 해는 없다. yy ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 해는 없다. ⑷ |x¤ -8x-10|…10에서 -10…x¤ -8x-10…10 -10…x¤ -8x-10에서 x¤ -8xæ0, x(x-8)æ0 ∴ x…0 또는 xæ8 yy ㉠ x¤ -8x-10…10에서 x¤ -8x-20…0, (x+2)(x-10)…0 ∴ -2…x…10 yy ㉡ 7 14 5 12 3 14 1 12 0 1 2 x ㉠ ㉡ -6 -3 1 3 x ㉠ ㉡ ㉡ ㉠, ㉡의 공통부분을 구하면 -2…x…0또는 8…x…10 ⑴ 1<x…3 ⑵ 1<x<2 ⑶ 해는 없다 ⑷ -2…x…0 또는 8…x…10081
주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하고 판별식 을 D라 하면 두 근이 모두 음수일 조건 Dæ0, a+b<0, ab>0에서 ⁄ =(k-1)¤ -(2k¤ +1)æ0, k¤ +2k…0 k(k+2)…0 ∴ -2…k…0 ¤ a+b=2(k-1)<0 ∴ k<1 ‹ ab=2k¤ +1>0 ⁄, ¤, ‹의 공통부분을 구하면 -2…k…0 -2…k…0082
주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 두 근이 서로 다른 부호일 조건 ab<0에서 ab=k¤ +4k<0, k(k+4)<0 ∴ -4<k<0 -4<k<0083
f(x)=x¤ +(b+1)x+b¤ -1이라 하면 f(x)=0의 두 근이 모두 1보다 작으므로 y=f(x)의 그 래프는 다음 그림과 같아야 한다. x y=f{x} 2 1 b+1 x=-D 144 -2 0 8 10 x ㉡ ㉠ ㉠027
APPLICATION - Ⅲ. 도형의 방정식 ⁄ 이차방정식 x¤ +(b+1)x+b¤ -1=0에서 판별식 Dæ0이어야 하므로 D=(b+1)¤ -4(b¤ -1)æ0 3b¤ -2b-5…0, (b+1)(3b-5)…0 ∴ -1…b… ¤ 대칭축 x=- 에 대하여 - <1 >-1, b+1>-2 ∴ b>-3 ‹f(1)=1+b+1+b¤ -1 ⁄f(1)=b¤ +b+1={b+;2!;}¤ +;4#;>0 ∴ b는 모든 실수 ⁄, ¤, ‹의 공통부분을 구하면 -1…b… -1…b…084
f(x)=x¤ +(k-2)x-k+3이라 하면 f(x)=0의 두 근 사이에 3이 있으므로 y=f(x)의 그래 프는 다음 그림과 같아야 한다. f(3)=9+3k-6-k+3<0, 2k<-6 ∴ k<-3 k<-3 x 3 5 13 5 1 13 b+1 11342 b+1 11342 b+1 11342 5 13085
⑴ AB”="√(-3)¤ +(-4)¤ =5 ⑵ AB”="(√-9√-3)√¤ +{4√-√(-1≈)≈}¤ ='1ƒ44+ß2å5='1ß6å9=13 ⑴ 5 ⑵ 13086
삼각형 ABC에서 세 변 AB, BC, CA의 길 이를 각각 구하면 AB”="{√1-(√-1)√}¤ +(√-2√-2)Ω¤ ='2å0=2'5 BC”="(√6-1√)¤ +{√√3-(√-2)≈}¤ ='5å0=5'2 CA”="(√-1√-6)¤√ +(√2-3≈)¤Ω ='5å0=5'2 따라서 삼각형 ABC는 BC”=CA”인 이등변삼각형이다. BC”=CA”인 이등변삼각형087
⁄A Δ C Δ B(1 : 1)：점 C는 AB”를 1：1로 내분한다. ¤B Δ C Δ A(1 : 1)：점 C는 BA”를 1 : 1로 내 분한다. ‹B Δ A Δ C(2 : 1)：점 A는 BC”를 2 : 1로 외 분한다. 085 ⑴ 5 ⑵ 13 086 BC”=CA”인 이등변삼각형 087 풀이 참조 088 ⑴ P(3) ⑵ M{ } ⑶ Q{ } 089 ⑴ P(6, 3) ⑵ M{5, } ⑶ Q(-4, -12) 090 ⑴ B(7, -11) ⑵ C(1, -11) 3 12 13 132 7 12 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E1. 평면좌표
III
도형의 방정식
›C Δ A Δ B(1 : 2)：점 A는 CB”를 1 : 2로 외 분한다. fiA Δ B Δ C(2 : 1)：점 B는 AC”를 2 : 1로 외 분한다. flC Δ B Δ A(1 : 2)：점 B는 CA”를 1 : 2로 외 분한다. 풀이 참조
