기하

밥

기하

정 답 과 풀 이

I. 이차곡선

001 ⑴ yÛ`=12x ⑵ yÛ`=-8x   ⑶ xÛ`=12y ⑷ xÛ`=-2y 002 풀이 참조

003 ⑴ yÛ`=20x ⑵ yÛ`=- ;3$;x ⑶ xÛ`=-16y ⑷ xÛ`=6y 004 ⑴ (y-2)Û`=8(x-1) ⑵ (x-1)Û`=-2(y-2) 005 ⑴ m=2, n=1 ⑵ m=-3, n=-3 006 풀이 참조 007 풀이 참조 008 ① 009 ②

010 xÛ`=6y 또는 xÛ`=-6y   011 ③ 012 20 013 ④ 014 ① 015 ③ 016 12 017 14   018 15 019 _;2%;   020 3   021 ② 022 ③ 023 ③ 024 ④ 025 ③ 026 ② 027 ④ 028 ② 029 12 030 15 031 3 032 ⑤ 033 ① 034 ② 035 6 036 8

포물선

01

037 ⑴ xÛ`

36 + yÛ`

20 =1 ⑵ xÛ`

7 + yÛ`

16 =1 038 풀이 참조

039 ⑴ xÛ` 16 + yÛ` 12 =1 ⑵ xÛ` 3 + yÛ` 4 =1   ⑶ xÛ` 36 + yÛ` 27 =1 ⑷ xÛ` 25 + yÛ` 32 =1 040 ⑴ 10 ⑵ 20

041 풀이 참조 042 풀이 참조 043 ⑴ (2, -1) ⑵ m=2, n=-1 ⑶ (-4, 0), (4, 0) 044 ③ 045 ④ 046 25 047 ④ 048 ④ 049 13 050 ⑤ 051 ④ 052 10   053 ① 054 ② 055 _{18 +} ^{xÛ` yÛ`} _{2 =1}  056 ④ 057 ② 058 ⑤ 059 ③ 060 ④ 061 ③ 062 ③ 063 ③ 064 ① 065 10 066 6 067 ① 068 25 069 ② 070 60 071 8

타원

02

본문 p. 21~25

072 풀이 참조 073 풀이 참조 074 ⑴ xÛ` 4 - yÛ` 21 =1 ⑵ xÛ` 8 -yÛ`=-1 075 ⑴ xÛ` 4 - yÛ` 5 =1 ⑵ xÛ`- yÛ` 3 =-1 076 4 077 풀이 참조

078 ⑴ (-2, -1) ⑵ (-2, 2), (-2, -4) ⑶ (-2, 4), (-2, -6) ⑷ y= ;4#;x+;2!;, y=-;4#;x-;2%;

079 ⑴ (2, 2) ⑵ m=2, n=2 ⑶ (-3, 0), (3, 0) 080 ② 081 ⑤ 082 xÛ`-yÛ`=1 083 ② 084 ③ 085 <sup>(x-1)Û`</sup> <sub>9</sub> - (y-2)Û` 27 =-1 086 ④ 087 ③   088 9p 089 ④ 090 ②   091 15  

092 ^{xÛ`</sup> <sub>4 - 12 =1</sub> <sup>yÛ`} 093 ③ 094 ② 095 ④ 096 ¹ ₂ 097 ⑤ 098 ⑤ 099 ④

100 9 101 121 102 32 103 2 104 32 105 xÛ`- yÛ` 3 =1 (x¾1) 106 5 107 236

03 ^쌍곡선

108 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 만나지 않는다. ⑶ 한 점에서 만난다. (접한다.)

109 ⑴ -3<k<3 ⑵ Ñ3 ⑶ k<-3 또는 k>3 110 Ñ1 111 ⑴ y=x+ 12 ⑵ y=-3x+18

112 ⑴ y=- ;2!;x- 12 ⑵ y=x+1 113 y=-xÑ4 114 x-y+4=0 115 ⑴ y=-xÑ2 '2 ⑵ y=xÑ3 116 ⑴ y=-x-1 ⑵ y=-2x-2

117 ⑴ yÁy=4(x+xÁ) ⑵ y=-x-2 또는 y=x+2  118 ③ 119 3 120 ③ 121 ③ 122 ④ 

123 ③ 124 ⑤ 125 ④ 126 -64 127 ②  128 ⑤ 129 ③  130 ④ 

131 ②  132 16 133 ②  134 ③ 135 2 '5  136 ②  137 ①  138 5

139 ②  140 ④  141 -2  142 3 143 ④ 144 ② 145 ③ 146 ④

147 9 148 ② 149 ④ 150 2 151 ③ 152 ① 153 ⑤ 154 4

155 2 156 4+4 '2 157 2

이차곡선과 직선의 위치 관계

04

본문 p. 37~45 II. 평면벡터

158 ⑴ 시점：B, 종점：C ⑵ 시점：O, 종점：D 159 |BD³|=5, |CD³|=3 160 ⑴ aø와 cø, dø와 eø ⑵ bø와 gø 161 ⑴ FC³, DE³ ⑵ DB³, AD³, FE³ ⑶ 1 162 ⑴ OE³, AF³, CD³ ⑵ ED³, OC³, FO³, AB³ ⑶ 6 163 풀이 참조 164 풀이 참조 165 ⑴ AC³ ⑵ 0ø ⑶ BE³ 166 ⑴ -aø+bø ⑵ -aø-bø

167 풀이 참조 168 ⑴ 8aø-bø ⑵ ;3$;aø+;2!;bø 169 ⑴ 6aø-5bø ⑵ ;2#;aø-;4!;bø 170 e ø 171 2 172 ⑴ -aø-2bø ⑵ -2aø-4bø ⑶ 풀이 참조 173 ⑴ aø+bø ⑵ -2aø 174 ⑴ a ø+2bø 

3 ⑵ 3a ø-bø 

2 ⑶ a ø+bø 2

175 ③ 176 ④ 177 평행사변형 178 ② 179 ① 180 ③ 181 ① 182 ⑤

183 ③ 184 ② 185 ③ 186 6 187 ① 188 ③ 189 5 190 ①

191 ⑤ 192 2 193 ⑤ 194 0 195 _;2!; 196 ① 197 ⑤ 198 4

199 ③ 200 ① 201 ③ 202 ① 203 ③ 204 60 205 ② 206 ①

207 ④ 208 ④ 209 ⑤ 210 ① 211 ⑤ 212 ③ 213 ① 214 ③

215 ② 216 ① 217 ① 218 ② 219 5 220 36

05 ^평면벡터

본문 p. 47~55

221 ⑴ aø=(2, 3) ⑵ bø=(-1, 3) ⑶ cø=(5, -3) 222 OA³=3eÁ²-2eª² 223 ⑴ m=0, n=4 ⑵ m=2, n=-3 224 ⑴ 2 ⑵ 5 225 - ;2!;

226 ⑴ aø+bø=(-1, -1), |aø+bø|= '2 ⑵ -aø-2bø=(4, -1), |-aø-2bø|='¶17 ⑶ 3aø+2bø=(0, -5), |3aø+2bø|=5

227 ⑴ (1, -6) ⑵ (8, 12) 228 ⑴ AB³=(12, -5), |AB³|=13 ⑵ AB³=(3, -4), |AB³|=5 229 ⑴ 3 ⑵ 0 ⑶ -3 '3 230 ⑴ 2 ⑵ -10 231 풀이 참조 232 ⑴ '6 ⑵ -1 233 ⑴ ;5$; ⑵ ;2@5$;

234 ⑴ 135ù ⑵ 90ù 235 ⑴ -2 ⑵ ;2#; 236 ⑴ 3 ⑵ -2 237 ④ 238 ④

239 ^'2 ₂ 240 ⑤ 241 ① 242 ① 243 ② 244 ⑤ 245 _'2 246 ①

247 6p 248 ② 249 ⑤ 250 9 251 9 252 ③ 253 ③

254 bø=(0, -1), bø= {- '3 2 , 1

2 } 255 ② 256 ② 257 3 258 ① 259 ④ 260 120ù

261 ⑤ 262 ③ 263 ¹³ ₅ 264 ④ 265 ② 266 ⑤ 267 ③ 268 ③

269 p 270 ② 271 ⑤ 272 ③ 273 ④ 274 ⑤ 275 ⑤ 276 ②

277 ⁴ ₅ 278 ③ 279 ④ 280 _'¶21 281 ¹ ₂ 282 26

06 평면벡터의 성분과 내적

본문 p. 57~63

283 ⑴ x -1 2 = y+1

3 ⑵ x+4 6 = y-5

-1 284 ⑴ x=1 ⑵ y=-2 285 ⑴ x +2 4 = y+1

-3 ⑵ y=2 ⑶ x=-4 286 ⑴ x-2y=0 ⑵ 2x-3y-4=0 ⑶ x=2 ⑷ y=-3 287 ⑴ ;1!3@; ⑵ ;5$; 288 ⑴ -3 ⑵ ;4#;

289 ⑴ (x-1)Û`+(y+2)Û`=4 ⑵ xÛ`+yÛ`=9 290 (x-4)Û`+(y+1)Û`=9 291 ④ 292 14 293 ⑤

294 ② 295 ④ 296 _{{ 1 2} , -4 } 297 ⑤ 298 ④ 299 ③ 300 ⑤ 301 ⑤

302 ^'2 ₁₀ 303 ② 304 ⑤ 305 ③ 306 -4 307 ② 308 9 309 ③

310 ③ 311 25 312 5 313 ④ 314 ③ 315 ① 316 ④ 317 ⑤

318 ④ 319 ⑤ 320 ③ 321 ① 322 14 323 ⑤ 324 ⑤ 325 ①

326 ④ 327 ⑤ 328 ② 329 10 330 143

07 ^{직선과 원의 방정식}

본문 p. 67~77 III. 공간도형과 공간좌표

331 20 332 ⑴ 모서리 AC, 모서리 AD, 모서리 BC, 모서리 BE   ⑵ 모서리 DE   ⑶ 모서리 CF, 모서리 DF, 모서리 EF 333

⑴ 면 AEFB, 면 BFGC   ⑵ 면 ABCD, 면 EFGH   ⑶ 면 AEHD, 면 DHGC   ⑷ 면 ABCD, 면 AEHD, 면 BFGC, 면 EFGH

⑸ 면 DHGC 

334 ⑴ 90ù   ⑵ 45ù   ⑶ 60ù 335 90ù 336 ㈎ DMÓ   ㈏ MCD 337 ㈎ POÓ   ㈏ PHO 338 _'¶22 339 ㈎ ∠AMH ㈏ ' 3

2 a ㈐ '3

6 a ㈑ ;3!; 340 ⑴ 점 B ⑵ 선분 FH   ⑶ 삼각형 AEH 341 ⑴ 2 ⑵ 30ù 342 2 '3 p 343 45ù  344 ③ 345 ③ 346 26  347 20 348 ㄱ, ㄴ 349 6 350 ①  351 ③ 352 ① 353 ⑤ 354 ㄱ, ㄴ, ㄹ 355 60ù  356 ④ 357 2 '3 

358 ①  359 ③  360 ②  361 ^'2 ₄ 362 ④  363 ③  364 ^'¶30 ₆   365 ④ 

366 ②  367 ¹ ₃ 368 30ù 369 ⑤  370 _'3 371 ③  372 ④  373 20p

374 ⑤  375 ④  376 ①  377 ②  378 ① 379 ^'5 ₅ 380 ③ 381 ④ 

382 6  383 ②  384 ③ 385 2 '1Œ7  386 17 387 ④ 388 ⑤ 389 _'7 390 ^'¶10 ₂ 391 ③ 392 8 393 ① 394 ⑤ 395 ② 396 ^'3 ₃ 397 _;9$;

398 ④ 399 ^p ₃ 400 36 401 27

08 ^공간도형

본문 p. 79~87

402 ⑴ B(1, 2, 3) ⑵ C(0, 2, 3) ⑶ E(1, 0, 0) 403 ⑴ (-2, 5, 0) ⑵ (0, 5, 3) ⑶ (-2, 0, 3) 404 ⑴ (-4, 5, 3) ⑵ (-4, 5, -3) ⑶ (-4, -5, -3) 405 ⑴ (1, -3, 2) ⑵ (-1, 3, 2) ⑶ (-1, -3, -2) 406 ⑴ (4, -5, -2) ⑵ (-4, -5, 2) ⑶ (4, 5, 2) 407 ⑴ '1Œ4 ⑵ 3 ⑶ 6

408 ⑴ B(-3, 0, -4) ⑵ 8 409 ⑴ B(-2, -4, -5) ⑵ 4 '5 410 ⑴ P(2, -1, -4) ⑵ M(1, -2, -2) 411 ⑴ Q Á(5, 7, 8) ⑵ Qª(-4, -2, -1) 412 G(-2, -3, 4)

413 ⑴ 중심의 좌표：(-2, 1, 0), 반지름의 길이：4   ⑵ 중심의 좌표：(1, 2, -3), 반지름의 길이：3 414 ⑴ xÛ`+yÛ`+zÛ`=4   ⑵ (x-3)Û`+(y+2)Û`+(z-1)Û`=25

415 ⑴ (x-2)Û`+(y+3)Û`+zÛ`=13 ⑵ (x-3)Û`+(y-4)Û`+(z+5)Û`=18

416 ⑴ 중심의 좌표：(0, 1, 2), 반지름의 길이： '3Œ0   ⑵ 중심의 좌표：(-2, 3, -1), 반지름의 길이：'1Œ4

417 (x-2)Û`+(y+4)Û`+(z-8)Û`=17  418 ① 419 ④ 420 5 421 ④ 422 ③ 423 ^'2 ₂ 424 ③ 425 C(0, -4, 0), C(0, -1, -3) 426 ② 427 2 '1Œ3  428 ⑤ 429 ④ 430 1  431 ② 432 3 '3Œ0  433 ④  434 (2, -1, 3)  435 ④ 436 ⑤

437 xÛ`+yÛ`+(z-3)Û`=2 438 ③  439 ① 440 ② 441 4  442 ③ 443 ④

444 {x-;2#;}2`+(y+2)Û`+(z-3)Û`=;;ª4»;; 445 ③ 446 ⑤ 447 ① 448 _'1Œ4 449 ② 450 _'5+1 451 ④  452 6-3 '3  453 ② 454 ④ 455 ④ 456 7 457 ④

458 ⑤ 459 ② 460 ③ 461 ① 462 ③ 463 ⑤ 464 ② 465 ⑤

466 ④ 467 3 '2 468 (x-1)Û`+(y+2)Û`+(z-3)Û`=2

09 ^공간좌표

I. 이차곡선

01 ^포물선

006

⑴ 포물선 (y-5)Û`=4(x-3)은 포물선 yÛ`=4x를 x축의 방향으로 3만 큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동한 것이다.

   포물선 yÛ`=4x=4_1_x의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 초점의 좌표는 (1, 0), 준선의 방정식은 x=-1이므로 주어진 포물선의

꼭짓점의 좌표：(3, 5) 

초점의 좌표：(1+3, 5), 즉 (4, 5)  준선의 방정식：x=-1+3, 즉 x=2

⑵ 포물선 (y+4)Û`=-(x-2)는 포물선 yÛ`=-x를 x축의 방향으로 2 만큼, y축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이다.

포물선 yÛ`=-x=4_{-;4!;}_x의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 초점의

좌표는 {-;4!;, 0}, 준선의 방정식은 x=;4!;이므로 주어진 포물선의 꼭짓점의 좌표：(2, -4)

초점의 좌표：{-;4!;+2, -4}, 즉 {;4&;, -4}

준선의 방정식：x=;4!;+2, 즉 x=;4(;

⑶ 포물선 (x-1)Û`=2(y+3)은 포물선 xÛ`=2y를 x축의 방향으로 1만 큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.

포물선 xÛ`=2y=4_;2!;_y의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 초점의 좌표는

{0, ;2!;}, 준선의 방정식은 y=-;2!;이므로 주어진 포물선의 꼭짓점의 좌표：(1, -3) 

초점의 좌표：{1, ;2!;-3}, 즉 {1, -;2%;}

준선의 방정식：y=-;2!;-3, 즉 y=-;2&;

⑷ 포물선 (x+2)Û`=-8(y-1)은 포물선 xÛ`=-8y를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

포물선 xÛ`=-8y=4_(-2)_y의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 초점의 좌표는 (0, -2), 준선의 방정식은 y=2이므로 주어진 포물선의 꼭짓점의 좌표：(-2, 1)

초점의 좌표：(-2, -2+1), 즉 (-2, -1)  준선의 방정식：y=2+1, 즉 y=3

답 풀이 참조

007

⑴ yÛ`-x+2y+5=0에서 (y+1)Û`=x-4이므로 주어진 포물선은 포물 선 yÛ`=x를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 한 것이다.

포물선 yÛ`=x=4_;4!;_x의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 초점의 좌표는 {;4!;, 0}, 준선의 방정식은 x=-;4!;이므로 주어진 포물선의

꼭짓점의 좌표：(4, -1) 

초점의 좌표：{;4!;+4, -1}, 즉 {;;Á4¦;;, -1} 

준선의 방정식：x=-;4!;+4, 즉 x=;;Á4°;;

⑵ xÛ`-8x-4y-4=0에서 (x-4)Û`=4(y+5)이므로 주어진 포물선은 포물선 xÛ`=4y를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -5만큼 평 행이동한 것이다.

포물선 xÛ`=4y=4_1_y의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 초점의 좌표는 (0, 1), 준선의 방정식은 y=-1이므로 주어진 포물선의

001

⑴ yÛ`=4_3_x    ∴ yÛ`=12x 

⑵ yÛ`=4_(-2)_x    ∴ yÛ`=-8x 

⑶ xÛ`=4_3_y    ∴ xÛ`=12y

⑷ xÛ`=4_{-;2!;}_y    ∴ xÛ`=-2y 

답 ⑴ yÛ`=12x ⑵ yÛ`=-8x  ⑶ xÛ`=12y ⑷ xÛ`=-2y

002

⑴ yÛ`=8x=4_2_x에서 p=2이므로

초점의 좌표：(2, 0), 준선의 방정식：x=-2

⑵ yÛ`=-;2!;x=4_{-;8!;}_x에서 p=-;8!;이므로 초점의 좌표：{-;8!;, 0}, 준선의 방정식：x=;8!;

⑶ xÛ`=y=4_;4!;_y에서 p=;4!;이므로

초점의 좌표：{0, ;4!;}, 준선의 방정식：y=-;4!; 

⑷ xÛ`=-3y=4_{-;4#;}_y에서 p=-;4#;이므로 초점의 좌표：{0, -;4#;}, 준선의 방정식：y=;4#;

답 풀이 참조

003

⑴ 초점이 x축 위에 있고 p=5이므로   yÛ`=4_5_x    ∴ yÛ`=20x

⑵ 초점이 x축 위에 있고 p=-;3!;이므로

  yÛ`=4_{-;3!;}_x    ∴ yÛ`=-;3$;x

⑶ 초점이 y축 위에 있고 p=-4이므로   xÛ`=4_(-4)_y    ∴ xÛ`=-16y

⑷ 초점이 y축 위에 있고 p=;2#;이므로   xÛ`=4_;2#;_y    ∴ xÛ`=6y 

답 ⑴ yÛ`=20x ⑵ yÛ`=-;3$;x ⑶ xÛ`=-16y ⑷ xÛ`=6y

004

답 ⑴ (y-2)Û`=8(x-1) ⑵ (x-1)Û`=-2(y-2)

005

⑴ yÛ`-4x-2y+9=0에서 (y-1)Û`=4(x-2) ∴ m=2, n=1

⑵ yÛ`-4x+6y-3=0에서 (y+3)Û`=4(x+3) ∴ m=-3, n=-3

답 ⑴ m=2, n=1 ⑵ m=-3, n=-3 본문 p.9

콕콕

개념

꼭짓점의 좌표：(4, -5) 

초점의 좌표：(4, 1-5), 즉 (4, -4)  준선의 방정식：y=-1-5, 즉 y=-6

답 풀이 참조

본문 p. 10~11

콕콕

유형

008

009

010

011

012

013

014

015

016

017

018

019

020

008

준선이 y축과 평행하므로 포물선의 축은 x축과 평행하다.

이때,p=;2!;_(3-1)=1이므로 주어진 포물선은 초점의 좌표가 (1, 0) 이고 준선의 방정식이 x=-1인 포물선 yÛ`=4_1_x, 즉 yÛ`=4x를 x축 의 방향으로 3-1=2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

따라서 포물선의 방정식은 (y-1)Û`=4(x-2)

이므로 a=-1, b=4, c=-2

∴ a+b+c=-1+4+(-2)=1

다른풀이

포물선 위의 임의의 점을 P(x, y), 점 P에서 직선 x=1에 내린 수선의 발을 H라 하면 PFÓ=PHÓ이므로

¿¹(x-3)Û`+(y-1)Û`=|x-1|

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면 (x-3)Û`+(y-1)Û`=(x-1)Û`

∴ (y-1)Û`=4(x-2)

따라서 a=-1, b=4, c=-2이므로

a+b+c=-1+4+(-2)=1 ^답 ①

009

원의 중심인 점 (3, 0)을 초점으로 하고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선 의 방정식은

yÛ`=4_3_x ∴ yÛ`=12x 이 포물선이 점 (a, 6)을 지나므로

36=12a ∴ a=3 ^답 ②

010

조건 ㈎, ㈐ 에서 구하는 포물선의 방정식을 xÛ`=4py로 놓을 수 있다.

한편, 조건 ㈏에서 초점의 좌표는 {0, ;2#;} 또는 {0, -;2#;}이므로 p=;2#; 또는 p=-;2#;

따라서 구하는 포물선의 방정식은 xÛ`=4_;2#;_y 또는 xÛ`=4_{-;2#;}_y

∴ xÛ`=6y 또는 xÛ`=-6y ^답 xÛ`=6y 또는 xÛ`=-6y 

011

yÛ`+6x+6y-3=0에서 (y+3)Û`=-6(x-2)이므로 주어진 포물선은 포물선 yÛ`=-6x를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평 행이동한 것이다. 

yÛ`=-6x=4_{-;2#;}_x이므로 주어진 포물선의 꼭짓점의 좌표는 (2, -3)

초점의 좌표는 {-;2#;+2, -3}, 즉 {;2!;, -3}

준선의 방정식은 x=;2#;+2, 즉 x=;2&;

따라서 a=2, b=-3, c=;2!;, d=-3, e=;2&;이므로

a+b+c+d+e=2+(-3)+;2!;+(-3)+;2&;=0 ^답 ③

012

yÛ`+8x-4y+28=0에서 (y-2)Û`=-8(x+3)이므로 초점의 좌표는 (-2-3, 2), 즉 (-5, 2)

가

xÛ`+4x-4y+a=0에서 (x+2)Û`=4{y- a-4 4 }이므로 초점의 좌표는 {-2, 1+ a-4 4 }, 즉 {-2, ;4A;}

나

이때, 점 (-5, 2)와 점 {-2, ;4A;}가 직선 y=-x에 대하여 대칭이므로

;4A;=5 ∴ a=20

다

단계 채점 요소 비율

가 포물선 yÛ`+8x-4y+28=0의 초점의 좌표 구하기 40 % 나 포물선 xÛ`+4x-4y+a=0의 초점의 좌표 나타내기 40 % 다 직선 y=-x에 대칭임을 이용하여 상수 a의 값 구하기 20 %

답

20

013

포물선 xÛ`-8y+16=0을 직선 y=x에 대하여 대칭이동하면

yÛ`-8x+16=0, 즉 yÛ`=8(x-2)  yy ㉠

이므로 포물선 f(x, y)=0은 포물선 yÛ`=8x를 x축의 방향으로 2만큼 평 행이동한 것이다.

yÛ`=8x=4_2_x이므로 포물선 f(x, y)=0의 초점의 좌표는 (2+2, 0), 즉 (4, 0)

점 P(2, 4)에서 x축과 평행하게 그은 직선의 방정식은 y=4이므로 y=4를 ㉠에 대입하면

4Û`=8(x-2) ∴ x=4

따라서 Q(4, 4)이므로 초점 (4, 0)과 점 Q를 이은 선분의 길이는

4-0=4 ^답 ④

014

포물선 xÛ`=6y=4_;2#;_y의 준선의 방정식은 y=-;2#;

점 P(a, b)에서 준선 y=-;2#;에 내린 수선의 발을 H라 하면 PHÓ=5이 므로

yÛ`=-8x=4_(-2)_x를 평행이동

xÛ`=4y=4_1_y를 평행이동

|b-{-;2#;}|=5 ∴ b=;2&; (∵ b¾0)

점 P {a, ;2&;}은 포물선 xÛ`=6y 위의 점이므로 aÛ`=6_;2&;=21

∴ aÛ`-b=21-;2&;=;;£2°;;

다른풀이

점 P(a, b)는 포물선 xÛ`=6y 위의 점이므로

aÛ`=6b  yy ㉠

또한 포물선 xÛ`=6y=4_;2#;_y의 초점의 좌표는 {0, ;2#;}이므로

¾¨aÛ`+{b-;2#;}Û`=5, aÛ`+bÛ`-3b+;4(;=25

㉠을 위의 식에 대입하여 정리하면 4bÛ`+12b-91=0

(2b+13)(2b-7)=0 ∴ b=;2&;`(∵ b¾0) b=;2&;을 ㉠에 대입하면

aÛ`=6_;2&;=21

∴ aÛ`-b=21-;2&;=;;£2°;; ^답 ①

015

주어진 포물선의 꼭짓점이 원점이고 초점 F의 좌표가 (2, 0)이므로 준선 의 방정식은

x=-2

점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 PHÓ+PFÓ =PHÓ+PH'Ó   

=HH'Ó=4 ^답 ③

016

포물선 yÛ`=8x=4_2_x의 초점 F의 좌표는 (2, 0)이므로 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 xÁ, xª, x£이라 하면

xÁ+xª+x£

3 =2 ∴ xÁ+xª+x£=6

한편, 세 점 A, B, C에서 포물선 yÛ`=8x의 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 각각 A', B', C'이라 하면

AFÓ+BFÓ+CFÓ =AÕA'Ó+BÕB'Ó+CC'

Ó 

Ó=(xÁ+2)+(xª+2)+(x£+2) 

=xÁ+xª+x£+6 

=6+6=12 ^답 12

017

두 점 P, Q에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 각각 HÁ, Hª라 하면 PFÓ=PÕHÁÓ=a+2, QFÓ=QÕHªÓ=b+2

이므로

PQÓ =PFÓ+QFÓ   

=PÕHÁÓ+QÕHªÓ PQÓ=(a+2)+(b+2) PQÓ=a+b+4=18

∴ a+b=14 ^답 14 

018

포물선의 정의에 의하여 PHÓ=PFÓ, QÕH'Ó=QFÓ이므로 PHÓ+QÕH'Ó=PQÓ=6

∴ HH'QP =;2!;_(PHÓ+QÕH'Ó)_HÕH'Ó

=;2!;_6_5=15 ^답 15

019

포물선 yÛ`=8x=4_2_x에서 점 A(2, 0)은 주어진 포물선의 초점이고, 준선의 방정식은 x=-2이다.

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 H라 하면

PAÓ=PHÓ

점 B(5, 2)에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 K라 하면

PAÓ+PBÓ=PHÓ+PBÓ¾BKÓÓ

즉, 점 P가 선분 BK와 포물선의 교점일 때 PAÓ+PBÓ의 값이 최소이다.

따라서 b=2이므로 P(a, 2)이고, 점 P는 포물선 yÛ`=8x 위의 점이므로 2Û`=8a ∴ a=;2!;

∴ a+b=;2!;+2=;2%; ^답;2%;

020

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 포물선 yÛ`=3x의 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 PFÓ=PHÓ 

점 A(5, 3)에서 준선에 내린 수선의 발을 H' 이라 하면

APÓ+PFÓ=APÓ+PHÓ ¾AÕH'Ó

이므로 APÓ+PFÓ의 값이 최소일 때의 점 P의 y좌표는 3이다.

점 P의 좌표를 (a, 3)으로 놓으면 점 P는 포물선 yÛ`=3x 위의 점이므로 3Û`=3a ∴ a=3

따라서 삼각형 APF의 둘레의 길이가 최소일 때의 점 P의 좌표는 (3, 3)이므로 이때의 삼각형 APF의 넓이는

;2!;_APÓ_3=;2!;_2_3=3 ^답 3

y²=8x y

x

x=-2 -2 O

B(5, 2) H

K P

A(2, 0)

F

y²=3x y

O x H'H

P A(5, 3)

본문 p. 12~13

콕콕

실력

021

022

023

024

025

026

027

028

029

030

031

032

033

034

035

036

026

포물선 yÛ`=kx=4_;4K;_x의 준선의 방정식은 x=-;4K;이므로

PÕHÁÓ=2+;4K;, QÕHªÓ=3+;4K;

이때, PÕHÁÓ+QÕHªÓ=7이므로 {2+;4K;}+{3+;4K;}=7

;2K;=2 ∴ k=4 ^답 ②

027

점 PÇ에서 포물선 yÛ`=4x=4_1_x의 준선 x=-1에 내린 수선의 발 을 PÇ'이라 하면

FÕPÇÓ=PÕÇÕPÇ'Ó

yÛ`=4x에서 y=n일 때 x= nÛ`4 이므로 PÇ {nÛ`

4 , n}

∴ PÕÇÕPÇ'Ó= nÛ`4 +1 

∴ Á⁴

n=1 FÕPÇÓ =Á⁴

n=1 PÕÇÕPÇ'Ó=Á⁴

n=1 { nÛ`4 +1}   

=;4!;_ 4_5_9 6 +4_1= 152 +4=23 2

보충설명

수학Ⅰ Ⅲ. 수열에서 다음을 학습하였다.

① 수열 {aÇ}에 대하여 Án

k=1aû=aÁ+aª+a£+y+aÇ

② Áⁿ

k=1k= n(n+1)2 , Áⁿ

k=1kÛ`= n(n+1)(2n+1) 6

③ 상수 c에 대하여 Áⁿ

k=1c=cn ^답 ④

028

포물선 xÛ`=2y=4_;2!;_y의 초점 F의 좌표는 {0, ;2!;}이고 준선의 방정 식은 y=-;2!;이다.

점 P의 좌표를 {a, aÛ`2 } (a>0)이라 하면 H{a, -;2!;}이고,

△FHP가 정삼각형이므로 FHÓ=PHÓ에서

¾¨aÛ`+{-;2!;-;2!;}Û`= aÛ`2 +;2!;

이 식의 양변을 제곱하면 aÛ`+1= aÝ`4 +aÛ`

2 +;4!;

aÝ`-2aÛ`-3=0, (aÛ`+1)(aÛ`-3)=0 (aÛ`+1)(a+'3 )(a-'3 )=0

∴ a='3 (∵ a>0)

따라서 점 P의 x좌표는 '3이다. ^답 ②

029

포물선 yÛ`=8x=4_2_x의 초점 F의 좌표는 (2, 0)이고 준선의 방정식 은 x=-2이다.

이때, 점 A의 x좌표는 2이므로 yÛ`=8_2=16 ∴ y=4`(∵ y>0)

∴ A(2, 4)

021

준선의 방정식이 x=2이고 꼭짓점이 원점인 포물선의 방정식은 yÛ`=4_(-2)_x, 즉 yÛ`=-8x

이 포물선이 점 (a, 4)를 지나므로

4Û`=-8a ∴ a=-2 ^답 ②

022

포물선 xÛ`=-8y=4_(-2)_y의 초점의 좌표는 (0, -2) 포물선 yÛ`=2kx=4_;2K;_x의 초점의 좌표는 {;2K;, 0} 

두 초점 사이의 거리가 2'2이므로

¾¨{;2K;}Û`+2Û`=2'2  이 식의 양변을 제곱하면

kÛ`4 +4=8, kÛ`=16

∴ k=4 (∵ k>0) ^답 ③

023

xÛ`+yÛ`-4x-6y+5=0에서 (x-2)Û`+(y-3)Û`=8

따라서 원의 중심 (2, 3)을 초점으로 하고 준선의 방정식이 y=-1인 포 물선은 p= 12 _{3-(-1)}=2이므로 초점의 좌표가 (0, 2)이고 준선 의 방정식이 y=-2인 포물선 xÛ`=4_2_y, 즉 xÛ`=8y를 x축의 방향으 로 2만큼, y축의 방향으로 3-2=1만큼 평행이동한 것이다.

따라서 구하는 포물선의 방정식은

(x-2)Û`=8(y-1) ^답 ③

024

축이 y축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을 xÛ`+Ax+By+C=0 (A, B, C는 상수, B+0)

으로 놓으면 이 포물선은 세 점 (0, 0), (-2, 3), (2, -1)을 지나므로 C=0

4-2A+3B=0  yy ㉠

4+2A-B=0  yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 A=-4, B=-4

∴ xÛ`-4x-4y=0

xÛ`-4x-4y=0에서 (x-2)Û`=4(y+1)이므로 초점의 좌표는 (2, 1-1), 즉 (2, 0)

따라서 a=2, b=0이므로

a+b=2+0=2 ^답 ④

025

점 P(x, y)에서 점 A(0, 3)까지의 거리와 x축까지의 거리는 서로 같으 므로

¿¹xÛ`+(y-3)Û`=|y|

이 식의 양변을 제곱하면 xÛ`+yÛ`-6y+9=yÛ`

∴ xÛ`=6y-9

따라서 a=6, b=-9이므로

a-b=6-(-9)=15 답 ③

xÛ`=4y=4_1_y를 평행이동

오른쪽 그림과 같이 점 B에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 B', 초점 F를 지나고 y축에 평행한 직선이 선분 BB'과 만나는 점을 A'이 라 하자.

이때, BÕB'Ó=BFÓ=10에서 점 B의 x좌표는 8 이므로 구하는 삼각형 AFB의 넓이는

;2!;_AFÓ_BÕA'Ó=;2!;_4_6=12  ^답 12

030

오른쪽 그림과 같이 점 D에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라 하고,

DFÓ=k, CFÓ=2k`(k>0) 로 놓으면

ADÓ=DFÓ=k, BCÓ=CFÓ=2k 이므로 ADÓ=BHÓ=CHÓ=k 따라서 직각삼각형 DHC에서 DÕHÓ=¿¹(3k¹)Û`¹-kÛ`=2'2 k

이때, 사다리꼴 ABCD의 넓이가 75'2이므로

;2!;(k+2k)_2'2 k=75'2 kÛ`=25 ∴ k=5`(∵ k>0)

∴ CDÓ=3k=3_5=15 답 15

031

오른쪽 그림과 같이 점 B에서 선분 AH에 내 린 수선의 발을 I라 하면 직각삼각형 AIB에 서

AÕIÕ=ABÓ  cos 60ù=12_;2!;=6 포물선의 정의에 의하여 AHÓ=AFÓ, BKÓ=BFÓ 이므로

AHÓ+BKÓ=AFÓ+BFÓ=ABÓ=12 (AÕIÕ+IHÓ)+BKÓ=12

6+BKÓ+BKÓ=12 2BÕKÓ=6

∴ BKÓ=3 ^답 3

032

ㄱ.  포물선의 정의에 의하여 PRÓ=PFÓ이므로

∠PRF=∠PFR 또한 RPÓ OFÓ이므로

∠PRF=∠OFR

∴ ∠PFR=∠OFR (참)

ㄴ.  포물선의 정의에 의하여 QSÓ=QFÓ이므로

∠QSF=∠QFS 또한 OFÓ SQÓ이므로

∠QSF=∠OFS

∴ ∠QFS=∠OFS

따라서 ∠PFR=∠OFR, ∠QFS=∠OFS이므로

∠RFS=∠OFR+∠OFS=90ù 즉, △RSF는 직각삼각형이므로

F A

A' B B'

10

y²=8x y

O x

x=-2

y²=ax y

O x A

B D

C F

H l

l 12

H K I

y

O x F A

60ù B

y²=4px y

O x R

S H

P

Q F l

  RSÓ Û`=RFÓ Û`+SFÓ Û` (참)

ㄷ.  점 P에서 선분 SQ의 연장선에 내린 수선의 발을 H라 하면 PHÓ=RSÓ이고 △PQH는 직각삼각형이므로

PÕQÓ Û`=QÕHÓ Û`+PÕHÓ Û`

  (PFÓ+QFÓ)Û`=(RPÓ-SQÓ)Û`+RSÓ Û`

∴ (RPÓ+SQÓ)Û`=(RPÓ-SQÓ)Û`+RSÓ Û`

∴ RSÓ Û`=4 RPÓ_SQÓ (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ⑤

033

포물선 y=;2!;xÛ`, 즉 xÛ`=2y=4_;2!;_y의 초점을 F라 하면

F{0, ;2!;}

이때, PHÓ=PÕFÕ이므로

APÓ+PHÓ=APÓ+PÕFÕ¾AFÓ=¾¨(-'2 )Û`+{;2!;}Û`=;2#;

따라서 APÓ+PHÓ의 최솟값은 ;2#;이다. ^답 ①

034

포물선 y=;1Á2;xÛ`, 즉 xÛ`=12y=4_3_y에서 점 A(0, 3)은 주어진 포 물선의 초점이고 준선의 방정식은 y=-3이다.  

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 y=-3에 내린 수선의 발을 H라 하면

BPÓ+APÓ=BPÓ+PHÓ

세 점 B, P, H가 한 직선 위에 있을 때 BPÓ+APÓ의 값이 최소가 되므로 BPÓ+APÓ¾6+3=9

∴ ABÓ+BÕPÕ+APÓ ¾¿¹(4-¹0)Û`¹+(6¹-3)Û`+9

=5+9=14

따라서 삼각형 ABP의 둘레의 길이의 최솟값은 14이다. 답 ②

035

두 점 P, Q의 좌표를 각각 (xÁ, yÁ), (xª, yª)로 놓으면 두 점 P, Q는 포 물선 yÛ`=2x 위의 점이므로

yÁÛ`=2xÁ, yªÛ`=2xª

가 또한 두 정사각형의 넓이의 합이 10이므로

PRÓ Û`+QSÓ Û`=yÁÛ`+yªÛ`=2xÁ+2xª=2(xÁ+xª)=10 

∴ xÁ+xª=5

나 한편, 포물선 yÛ`=2x=4_;2!;_x의 초점 F의 좌표는 {;2!;, 0}이고 준선 의 방정식은 x=-;2!;이므로

PFÓ=xÁ+;2!;, FQÓ=xª+;2!; 

∴ PFÓ+FQÓ ={xÁ+;2!;}+{xª+;2!;}

=xÁ+xª+1   

=5+1=6

다 H y

-3 y=-3

y= x²

O x 3 A

4

6 B

-121

P

단계 채점 요소 비율 가 두 점 P, Q의 좌표를 각각 (xÁ, yÁ), (xª, yª)로 놓고 두 점이

포물선 위의 점임을 이용하여 식 세우기 20 %

나 두 정사각형의 넓이의 합이 10임을 이용하여 xÁ+xª의 값 구

하기 30 %

다 xÁ+xª의 값을 이용하여 PFÓ+FQÓ의 값 구하기 50 % 답

6

036

포물선 yÛ`=4x=4_1_x의 초점 F의 좌표는 (1, 0)이고 준선의 방정식 은 x=-1이다.

가 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, B에서 준선

x=-1에 내린 수선의 발을 각각 H, K라 하 고, 직선 x=3에 내린 수선의 발을 각각 C', D'이라 하면

CAÓ+ABÓ+BDÓ =CAÓ+AFÓ+FBÓ+BDÓ 

=CAÓ+AHÓ+BKÓ+BDÓ 

¾C'HÓ+D'KÓ

나       =(3+1)+(3+1)=8

따라서 구하는 최솟값은 8이다.

다

단계 채점 요소 비율

가 포물선 yÛ`=4x의 초점의 좌표와 준선의 방정식 구하기 10 % 나 포물선의 정의를 이용하여 CAÓ+ABÓ+BDÓ의 값이 최소가

되는 경우 구하기 60 %

다 CAÓ+ABÓ+BDÓ의 최솟값 구하기 30 %

답

8

F H A

K B

CC'

D D' 3

y²=4x y

x

x=3 x=-1

O

I. 이차곡선

02 ^타원

037

⑴ x축 위의 두 초점 F(4, 0), F'(-4, 0)으로부터의 거리의 합이 12인 타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1 (a>b>0)로 놓으면   2a=12 ∴ a=6

  aÛ`-bÛ`=4Û`이므로   bÛ`=aÛ`-4Û`=6Û`-4Û`=20 따라서 구하는 타원의 방정식은 xÛ`36 +yÛ`

20 =1

⑵ y축 위의 두 초점 F(0, 3), F'(0, -3)으로부터의 거리의 합이 8인 타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (b>a>0)로 놓으면   2b=8 ∴ b=4

  bÛ`-aÛ`=3Û`이므로   aÛ`=bÛ`-3Û`=4Û`-3Û`=7 따라서 구하는 타원의 방정식은 xÛ`7 +yÛ`

16 =1

답 ⑴ xÛ`36 +yÛ`

20 =1 ⑵ xÛ`

7 +yÛ`

16 =1

038

⑴ 타원 xÛ`25 +yÛ`

4 =1, 즉 xÛ`

5Û`+ yÛ`2Û`=1의 두 초점은 x축 위에 있고,

"Ã5Û`-2Û` ='¶21이므로 초점의 좌표는   ('¶21, 0), (-'¶21, 0)

장축의 길이는 2_5=10 단축의 길이는 2_2=4 또한 타원은 오른쪽 그림과 같다.

⑵ 타원 xÛ`+ yÛ`9 =1, 즉 xÛ`

1Û`+ yÛ`3Û`=1의 두 초점은 y축 위에 있고,

"Ã3Û`-1Û` =2'2이므로 초점의 좌표는   (0, 2'2 ), (0, -2'2 )

장축의 길이는 2_3=6 단축의 길이는 2_1=2 또한 타원은 오른쪽 그림과 같다.

⑶ 타원 5xÛ`+9yÛ`=45, 즉 xÛ`

3Û`+ yÛ`

('5 )Û`=1 의 두 초점은 x축 위에 있고,

¿¹3Û`-('5 )Û` =2이므로 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)

장축의 길이는 2_3=6 단축의 길이는 2_'5=2'5 또한 타원은 오른쪽 그림과 같다.

답 풀이 참조 O

2

x y

-1221 1221 -5

-2 5 xÛ+ =1 25

yÛ 4

212

-212 O

3

-3

-1 1 x

y

xÛ`+yÛ=1 9

O x

y

-15 15

3 -3 -2 2

5xÛ`+9yÛ`=45 본문 p.15

콕콕

개념

정답과 풀이

02

039

⑴ 두 초점 F(2, 0), F'(-2, 0)이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방 정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1 (a>b>0)로 놓으면 장축의 길이가 8이므로 2a=8 ∴ a=4

aÛ`-bÛ`=2Û`이므로 bÛ`=aÛ`-2Û`=4Û`-2Û`=12 따라서 구하는 타원의 방정식은

16 +xÛ` yÛ`

12 =1

⑵ 두 초점 F(0, 1), F'(0, -1)이 y축 위에 있으므로 구하는 타원의 방 정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (b>a>0)로 놓으면 장축의 길이가 4이므로 2b=4 ∴ b=2

bÛ`-aÛ`=1Û`이므로 aÛ`=bÛ`-1=2Û`-1=3

따라서 구하는 타원의 방정식은 xÛ`3 +yÛ`

4 =1

⑶ 두 초점 F(3, 0), F'(-3, 0)이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방 정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (a>b>0)로 놓으면 단축의 길이가 6'3이므로 2b=6'3 ∴ b=3'3

aÛ`-bÛ`=3Û`이므로

aÛ`=bÛ`+3Û`=(3'3 )Û`+3Û`=36 따라서 구하는 타원의 방정식은

36 +xÛ` yÛ`

27 =1

⑷ 두 초점 F(0, '7 ), F'(0, -'7 )이 y축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (b>a>0)로 놓으면 단축의 길이가 10이므로 2a=10 ∴ a=5

bÛ`-aÛ`=('7 )Û`이므로

bÛ`=aÛ`+('7 )Û`=5Û`+('7 )Û`=32 따라서 구하는 타원의 방정식은

25 +xÛ` yÛ`

32 =1

답⑴ xÛ`16 +yÛ`

12 =1 ⑵ xÛ`

3 +yÛ`

4 =1

⑶ xÛ`36 +yÛ`

27 =1 ⑷ xÛ`

25 +yÛ`

32 =1

040

⑴ 타원 xÛ`25 +yÛ`

9 =1, 즉 xÛ`

5Û`+ yÛ`

3Û`=1의 장축의 길이는

2_5=10

따라서 타원의 정의에 의하여    AFÓ+AÕF'Ó=10

⑵ ⑴`과 마찬가지로 타원의 정의에 의하여  BÕFÕ+BÕF'Ó=10이므로 삼각 형 ABF'의 둘레의 길이는

AÕF'Ó+BÕF'Ó+ABÓ =AÕF'Ó+BÕF'Ó+(AFÓ+BÕFÕ)

=(AFÓ+AÕF'Ó)+(BÕFÕ+BÕF'Ó)

=10+10=20

답 ⑴ 10 ⑵ 20 3

-3

-5 O F 5

F' A

B x y

xÛ+ =1 25 yÛ

9

041

⑴ 타원 (x-2)Û`25 + (y+3)Û`4 =1, 즉 (x-2)Û`

5Û` + (y+3)Û`

2Û` =1  yy ㉠

은 타원 xÛ`

5Û`+ yÛ`

2Û`=1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -3만 큼 평행이동한 것이다.

따라서 타원 ㉠의 중심의 좌표는 (2, -3)이다.

또한 타원 xÛ`

5Û`+ yÛ`

2Û`=1의 초점의 좌표는 "Ã5Û`-2Û` ='¶21에서 ('¶21, 0), (-'¶21, 0)이므로 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (2+'¶21, -3), (2-'¶21, -3)

이고, 평행이동해도 장축과 단축의 길이는 변하지 않으므로 장축의 길 이는 2_5=10, 단축의 길이는 2_2=4이다.

⑵ 타원 (x+2)Û`36 + (y-3)Û`49 =1, 즉 (x+2)Û`

6Û` + (y-3)Û`7Û` =1  yy ㉠

은 타원 xÛ`

6Û`+ yÛ`7Û`=1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만 큼 평행이동한 것이다.

따라서 타원 ㉠의 중심의 좌표는 (-2, 3)이다.

또한 타원 xÛ`

6Û`+ yÛ`7Û`=1의 초점의 좌표는 "Ã7Û`-6Û` ='¶13 에서 (0, '¶13 ), (0, -'¶13 )이므로 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (-2, 3+'¶13 ), (-2, 3-'¶13 )

이고, 평행이동해도 장축과 단축의 길이는 변하지 않으므로 장축의 길 이는 2_7=14, 단축의 길이는 2_6=12이다.

답 풀이 참조

042

⑴ xÛ`+4yÛ`-2x-16y+13=0에서

(xÛ`-2x+1-1)+4(yÛ`-4y+4-4)+13=0 (x-1)Û`+4(y-2)Û`=4

∴ (x-1)Û`

2Û` +(y-2)Û`=1 yy ㉠

㉠은 타원 xÛ`

2Û`+yÛ`=1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만 큼 평행이동한 것이다.

따라서 타원 ㉠의 중심의 좌표는 (1, 2)이다.

또한 타원 xÛ`

2Û`+yÛ`=1의 초점의 좌표는 "Ã2Û`-1='3에서 ('3, 0), (-'3, 0)이므로 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (1+'3, 2), (1-'3, 2)

이고, 평행이동해도 장축과 단축의 길이는 변하지 않으므로 장축의 길 이는 2_2=4, 단축의 길이는 2_1=2이다.

⑵ 9xÛ`+4yÛ`+36x-8y+4=0에서

9(xÛ`+4x+4-4)+4(yÛ`-2y+1-1)+4=0 9(x+2)Û`+4(y-1)Û`=36

∴ (x+2)Û`

2Û` + (y-1)Û`3Û` =1 yy ㉠

㉠은 타원 xÛ`

2Û`+ yÛ`

3Û`=1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 타원 ㉠의 중심의 좌표는 (-2, 1)이다.

타원 xÛ`

2Û`+ yÛ`3Û`=1의 초점의 좌표는 "Ã3Û`-2Û` ='5에서 (0, '5 ), (0, -'5 )이므로 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (-2, 1+'5 ), (-2, 1-'5 )

이고, 평행이동해도 장축과 단축의 길이는 변하지 않으므로 장축의 길 이는 2_3=6, 단축의 길이는 2_2=4이다.

답 풀이 참조

043

⑴ 타원 S'의 중심은 두 초점을 잇는 선분 FF'의 중점이므로 { -2+62 , -1+(-1)

2 }, 즉 (2, -1)

⑵ 타원 S'은 타원 S를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로

m=2, n=-1

⑶ 타원 S'의 두 초점이 F(-2, -1), F'(6, -1)이므로 타원 S의 초점 의 좌표는

(-2-2, -1+1), (6-2, -1+1), 즉 (-4, 0), (4, 0)

답 ⑴ (2, -1) ⑵ m=2, n=-1 ⑶ (-4, 0), (4, 0)

본문 p. 16~17

콕콕

유형

044

045

046

047

048

049

050

051

052

053

054

055

044

두 초점 F(5, 0), F'(-5, 0)이 x축 위에 있고, 장축의 길이가 12이므로 2a=12 ∴ a=6

aÛ`-bÛ`=5Û`이므로 bÛ`=aÛ`-5Û`=6Û`-5Û`=11

∴ aÛ`+bÛ`=36+11=47 ^답 ③

045

타원의 한 초점이 F(0, 3)이고, 중심이 원점이므로 다른 초점은 F'(0, -3)이다.

두 초점이 y축 위에 있으므로 이 타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`bÛ`=1 (b>a>0)로 놓으면

bÛ`-aÛ`=3Û`=9 yy ㉠

장축의 길이 2b가 단축의 길이 2a의 2배이므로

2b=2_2a ∴ b=2a yy ㉡

㉠, ㉡에서

bÛ`-aÛ`=(2a)Û`-aÛ`=3aÛ`=9

aÛ`=3 ∴ a='3  (∵ a>0) 따라서 단축의 길이는

2a=2'3  ^답 ④

046

타원 9xÛ`+4yÛ`=36, 즉 xÛ`4 +yÛ`

9 =1의 초점의 좌표는 'Ä9-4='5에서 F(0, '5 ), F'(0, -'5 )

따라서 타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1의 초점이 F(0, '5 ), F'(0, -'5 )이므로 bÛ`-aÛ`=('5 )Û`=5

∴ bÛ`=aÛ`+5 yy ㉠

또한 타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1이 점 (2, 3)을 지나므로 4

aÛ`+ 9

bÛ`=1    ∴ 4bÛ`+9aÛ`=aÛ`bÛ` yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 4(aÛ`+5)+9aÛ`=aÛ`(aÛ`+5)

aÝ`-8aÛ`-20=0, (aÛ`-10)(aÛ`+2)=0

∴ aÛ`=10

∴ aÛ`+bÛ`=aÛ`+(aÛ`+5)=10+10+5=25 ^답 25

047

xÛ`+2yÛ`-8x+8y+8=0에서

(xÛ`-8x+16-16)+2(yÛ`+4y+4-4)+8=0`

(x-4)Û`+2(y+2)Û`=16`

∴ (x-4)Û`16 + (y+2)Û`8 =1 yy ㉠

㉠ 은 타원 xÛ`16 +yÛ`

8 =1을 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 -2만 큼 평행이동한 것이므로

m=4, n=-2

∴ m+n=4+(-2)=2 ^답 ④

048

5xÛ`+3yÛ`+30x-12y+42=0에서

5(xÛ`+6x+9-9)+3(yÛ`-4y+4-4)+42=0

∴ 5(x+3)Û`+3(y-2)Û`=15

이 타원을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 타원의 방정식은

5xÛ`+3yÛ`=15

따라서 l=3, m=-2, n=15이므로 l+m+n=3+(-2)+15=16

보충설명

타원 5xÛ`+3yÛ`=15를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 타원의 방정식은

5(x+3)Û`+3(y-2)Û`=15 답 ④

049

타원 4xÛ`+9yÛ`=36, 즉 xÛ`

3Û`+ yÛ`

2Û`=1의 네 꼭짓점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0), (0, 2), (0, -2)

이 타원이 x축, y축에 동시에 접하도록 평행이동한 타원은 다음 그림과 같이 4개이다.

mÛ`+nÛ` =(m+n)Û`-2mn   

=(2'¶30 )Û`-2mn (∵ ㉠)   

=120-2mn=80

∴ mn=20

따라서 직각삼각형 FPF'의 넓이는

;2!; mn=;2!;_20=10

다

단계 채점 요소 비율

가 타원의 정의를 이용하여 식 세우기 30 %

나 직각삼각형 FPF'에서 피타고라스 정리를 이용하여 식 세우기 30 % 다 두 식을 이용하여 직각삼각형 FPF'의 넓이 구하기 40 %

답 10

053

타원의 두 초점 F(3, 1), F'(-1, 1)에 대하여 선분 FF'이 x축과 평행 하므로 타원의 장축은 x축과 평행하다.

또한 타원의 중심은 선분 FF'의 중점, 즉 (1, 1)이므로 구하는 타원의 방 정식을 (x-1)Û`

aÛ` + (y-1)Û`

bÛ` =1 (a>b>0)로 놓으면 장축의 길이가 12이므로

2a=12 ∴ a=6

타원의 한 초점과 중심 사이의 거리를 c라 하면 c=|3-1|=2

aÛ`-bÛ`=cÛ`이므로 bÛ`=aÛ`-cÛ`=6Û`-2Û`=32 즉, 구하는 타원의 방정식은

(x-1)Û`

36 + (y-1)Û`32 =1

따라서 m=1, n=1, p=36, q=32이므로 m+n+p+q=1+1+36+32=70

다른 풀이

타원 위의 임의의 한 점을 P(x, y)로 놓으면 PFÓ+PF'Ó=12이므로

"Ã(x-3)Û`+(y-1)Û` +"Ã(x+1)Û`+(y-1)Û` =12

"Ã(x-3)Û`+(y-1)Û` =12-"Ã(x+1)Û`+(y-1)Û` 

양변을 제곱한 후 정리하면 3"Ã(x+1)Û`+(y-1)Û` =x+17 다시 등식의 양변을 제곱하여 정리하면 8(x-1)Û`+9(y-1)Û`=288

∴ (x-1)Û`36 + (y-1)Û`32 =1

따라서 m=1, n=1, p=36, q=32이므로

m+n+p+q=1+1+36+32=70 ^답 ①

054

타원의 두 초점 F(-3, 4), F'(-3, 0)에 대하여 선분 FF'이 y축과 평 행하므로 타원의 장축은 y축과 평행하다.

또한 타원의 중심은 선분 FF'의 중점, 즉 (-3, 2)이므로 구하는 타원의 방정식을 (x+3)Û`

aÛ` + (y-2)Û`

bÛ` =1 (b>a>0)로 놓으면 장축의 길이가 8이므로

2b=8 ∴ b=4 4x²+9y²=36

O x

y

2

3 -2 -3 (-3, -2)

(-3, 2) (3, 2)

(3, -2)

따라서 |m|=3, |n|=2이므로

mÛ`+nÛ`=3Û`+2Û`=13 ^답 13

050

선분 QQ'은 타원의 장축이므로 QÕQ'Ó=k라 하면 타원의 정의에 의하여 PÕF'Ó+PÕFÕ=k, P'F'Ó+P'ÕFÕ=k

사각형 PF'P'F의 둘레의 길이가 36이므로 (PÕF'Ó+PÕFÕ)+(P'F'Ó+P'ÕFÕ)=2k=36

∴ k=18

∴ QÕQ'Ó=k=18 ^답 ⑤

051

타원 xÛ`16 +yÛ`

4 =1, 즉 xÛ`

4Û`+ yÛ`2Û`=1의 장축의 길이는 2_4=8이므로 타원 위의 점 PÁ,`Pª,`P£,`P¢,`P°에 대하여 PÕÁFÓ+PÕÁF'Ó=8, PÕªFÓ+PÕªF'Ó=8, PÕ£FÓ+PÕ£F'Ó=8, PÕ¢FÓ+PÕ¢F'Ó=8, PÕ°FÓ+PÕ°F'Ó=8

∴ _k=1

Á

그런데 _k=1

Á

Á

k=1(PÕûFÓ+PÕûF'Ó) =_k=1

Á

Á

=16+_k=1

Á

=40

∴ _k=1

Á

052

타원 xÛ`30 +yÛ`

10 =1, 즉 ('¶30 )Û`xÛ` + yÛ`

('¶10 )Û`=1에서

PÕF'Ó=m, PÕFÕ=n이라 하면 타원의 정의 에 의하여

m+n=2'¶30 yy ㉠

가

'¶Ä30-10=2'5이므로 타원의 초점의 좌표는 (2'5, 0), (-2'5, 0)

∴ F'FÓ=4'5

따라서 직각삼각형 FPF'에서

mÛ`+nÛ`=(4'5 )Û`=80 yy ㉡

나

㉡에서

F

F' O 4 x

y

-4 -2

2 P2 P1

P3

P4

P5

xÛ+ =1 16

yÛ 4

O P

F

F' x

m n

y

-1320 1320

1120

-1120 xÛ+ =1 30 yÛ

10

타원의 한 초점과 중심 사이의 거리를 c라 하면 c=|4-2|=2

bÛ`-aÛ`=cÛ`이므로 aÛ`=bÛ`-cÛ`=4Û`-2Û`=12 즉, 구하는 타원의 방정식은

(x+3)Û`

12 + (y-2)Û`16 =1

따라서 m=-3, n=2, p=12, q=16이므로

m+n+p+q=(-3)+2+12+16=27 ^답 ②

055

원 xÛ`+yÛ`=18 위의 점 P의 좌표를 (a, b)라 하면

aÛ`+bÛ`=18 yy ㉠ 점 P에서 x축에 내린 수선의 발 H(a, 0)에 대하여 선분 PH를 2：1로 내분하는 점 Q의 좌표를 (x, y)라 하 면 x=a, y=;3!; b

∴ a=x, b=3y yy ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

xÛ`+(3y)Û`=18 ∴ xÛ`18 +yÛ`

2 =1  따라서 점 Q가 나타내는 도형의 방정식은

18 +xÛ` yÛ`

2 =1 ^답 xÛ`18 +yÛ`

2 =1 -312

-312

312 312

O -13

Q(x, y) P(a, b)

H x

b b

a y xÛ`+yÛ`=18

본문 p. 18~19

콕콕

실력

056

057

058

059

060

061

062

063

064

065

066

067

068

069

070

071

056

x축 위의 두 초점 F(2,`0), F'(-2,`0)으로부터의 거리의 합이 6인 타원 의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (a>b>0)로 놓으면 2a=6 ∴ a=3

aÛ`-bÛ`=2Û`이므로 bÛ`=aÛ`-2Û`=3Û`-2Û`=5 따라서 주어진 타원의 방정식은

xÛ`9 +yÛ`

5 =1 yy ㉠

㉠에 x=2를 대입하면

;9$;+ yÛ`5=1 ∴ y=Ñ;3%;

따라서 타원 ㉠과 직선 x=2의 교점 중 제 1사분면의 점 P의 좌표는 {2, ;3%;}

-15 15 -3

-2 O F P F'

2 3x

x=2 y

xÛ+ =1 9 yÛ

5

따라서 직선 PF'의 기울기는

;3%;-0 2-(-2)=;3%;

4 =;1°2; ^답 ④

057

세 꼭짓점의 좌표가 (-1, 0), (1, 1), (3, 0)이고, 두 초점이 x축 위에 있는 타원은 오른쪽 그림과 같다.

이때, 타원의 장축의 길이는 4, 단축의 길이 는 2이므로 (x-m)Û`

aÛ` + (y-n)Û`

bÛ` =1에서 2a=4 ∴ a=2

2b=2 ∴ b=1

또한 타원의 중심의 좌표는 (1,`0)이므로 m=1, n=0

∴ a+b+m+n=2+1+1+0=4 답 ②

058

25xÛ`+16yÛ`-100x-96y-156=0에서

25(xÛ`-4x+4-4)+16(yÛ`-6y+9-9)-156=0 25(x-2)Û`+16(y-3)Û`=400

∴ (x-2)Û`16 + (y-3)Û`25 =1   yy ㉠

㉠은 타원 xÛ`16 +yÛ`

25 =1을 x축의 방향으로 2 만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것 이고, 타원 xÛ`16 +yÛ`

25 =1의 초점의 좌표는 'Ä25-16=3에서 (0, 3), (0, -3)이므로 타원 ㉠의 두 초점 F, F'은

F(2, 6), F'(2, 0)

따라서 삼각형 OFF'의 넓이는

;2!;_2_6=6 ^답 ⑤

059

삼각형 ABC가 정삼각형이므로 ∠FAO=30ù이고 OÕAÓ=FÕAÓ cos 30ù

∴ FÕAÓ= OÕAÓcos 30ù =2'3 12'32

=4

마찬가지 방법으로 FÕ'AÓ=4

타원의 장축의 길이는 2 ODÓ=2'k이므로 타원의 정의에 의하여 AFÓ+AÕF'Ó=2'k

4+4=2'k, 'k=4

∴ k=16 ^답 ③

060

타원 xÛ`36 +yÛ`

16 =1, 즉 xÛ`

6Û`+ yÛ`4Û`=1의 초점의 좌표는 "Ã6Û`-4Û`=2'5에서

(2'5, 0), (-2'5, 0)

즉, 두 점 A(-2'5, 0), B(2'5, 0)은 타 원의 초점이다.

-1 -1

1 1

O 3x

y

O 2 6 F

F' x

y

+ =1

(x-2)Û 16 (y-3)Û

25

-6

A B

P

-4 4

O 6 x

y

-215 215 xÛ+ =1 36

yÛ 16

또한 타원의 장축의 길이는 2_6=12이므로 타원 위의 임의의 한 점 P 에 대하여

PÕAÓ+PBÓ=12  yy ㉠

(단, 6-2'5ÉPÕAÓÉ6+2'5, 6-2'5ÉPBÓÉ6+2'5) 따라서 PÕAÓ=x, PBÓ=y라 하면

PÕAÓÓ_ PBÓ =xy=x(12-x) (∵ ㉠)   

=-(x-6)Û`+36 (6-2'5ÉxÉ6+2'5 ) 이므로 PÕAÓ_PBÓ의 최댓값은 x=PÕAÓ=6일 때 36이다.

다른풀이

PÕAÓ>0, PBÓ>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 PÕAÓ+PBÓ¾2¿¹PÕAÓ_PBÓ (단, 등호는 PÕAÓ=PBÓ일 때 성립한다.) 12¾2¿¹PAÓ_PBÓ (∵ PÕAÓ+PBÓ=12)

6¾¿¹PÕAÓ_PBÓ

∴ PÕAÓ_PBÓÉ36 (단, 등호는 PÕAÓ=PBÓ=6일 때 성립한다.)

따라서 PÕAÓ_PBÓ의 최댓값은 36이다. 답 ④

061

타원의 중심을 원점으로, 직선 BD를 x축 으로 생각하여 타원의 방정식을

xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (a>b>0)

로 놓으면 ADÓ=20이므로 직각삼각형 AOD에서

aÛ`+bÛ`=20Û`=400 yy ㉠

타원의 두 초점 사이의 거리가 20'2이므로

aÛ`-bÛ`=(10'2 )Û`=200 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=10'3, b=10 (∵ a>b>0) 따라서 마름모 ABCD의 넓이는

ABCD =4△AOD

=4_{;2!;_ODÓ_OAÓ}

=4_{;2!;_10'3_10}=200'3 ^답 ③

062

원 (x-8)Û`+yÛ`=16의 중심을 B라 하 면 B(8,`0)

타원 xÛ`100 +yÛ`

36 =1의 초점의 좌표는

"Ã100-36=8에서 B(8,`0), A(-8,`0)

점 P는 원 (x-8)Û`+yÛ`=4Û` 위의 점이므로 PBÓ=4

점 P는 타원 xÛ`10Û`+ yÛ`6Û`=1 위의 점이므로 타원의 정의에 의하여 PÕAÓ+PBÓ=2_10=20

∴ PÕAÓ=20-PBÓ=20-4=16 ^답 ③

063

원기둥의 밑면인 원의 지름의 길이는 2_3=6이므로 타원의 장축의 길 이는 6_ 1

cos 60ù =12이고, 타원의 단축의 길이는 밑면인 원의 지름의 길이와 같으므로 6이다.

F

F' O ax

-a

-b b y

2012 A

B

C D

A B

P

O x

y

-10 -8 -6

6

8 10 xÛ + =1

100 yÛ 36

(x-8)Û`+yÛ`=16

따라서 구하는 두 초점 사이의 거리는

2"Ã6Û`-3Û`=6'3 ^답 ③

064

타원의 두 초점 F(5, 3), F'(1, 3)에 대하여 선분 FF'이 x축과 평행하 므로 타원의 장축은 x축과 평행하다.

또한 타원의 중심은 선분 FF'의 중점, 즉 (3,`3)이므로 구하는 타원의 방 정식을 (x-3)Û`

aÛ` + (y-3)Û`bÛ` =1 (a>b>0)로 놓으면 장축의 길이가 6이므로

2a=6 ∴ a=3

타원의 한 초점과 중심 사이의 거리를 c라 하면 c=|5-3|=2

aÛ`-bÛ`=cÛ`이므로

bÛ`=aÛ`-cÛ`=3Û`-2Û`=5 ∴ b='5 (∵ b>0) 따라서 구하는 타원의 방정식은

(x-3)Û`

9 + (y-3)Û`5 =1 이고, 이 타원의 단축의 길이는 2b=2'5 ∴ k=2'5

∴ kÛ`=(2'5 )Û`=20 ^답 ①

065

타원 xÛ`25 +yÛ`

9 =1의 초점의 좌표는 'Ä25-9=4에서

(4, 0), (-4, 0)

이때, F(4, 0)이라 하면 두 점 F(4, 0), Q(-4, 0)은 타원의 두 초점 이므로 타원 위의 점 P에 대하여 PFÓ+PQÓ=2_5=10

그런데 점 F(4, 0)은 포물선 yÛ`=16x의 초점이고, 직선 x=-4는 포물 선 yÛ`=16x의 준선이므로 포물선의 정의에 의하여

PHÓ=PFÓ

∴ PHÓ+PQÓ =PFÓ+PQÓ=10 ^답 10

066

오른쪽 그림과 같이 타원 36 +xÛ` yÛ`

16 =1,즉 xÛ`

6Û`+ yÛ`4Û`=1의 다른 한 초점을 F'이라 하면

PÕFÕ+PÕF'Ó=2_6=12 점 Q는 선분 PF의 중점이므로 QFÓ=;2!;PFÓ

원점 O는 선분 F'F의 중점이므로 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분 의 성질에 의하여

OQÓ=;2!; FÕ'PÓ 

∴ OQÓ+QFÓ =;2!; FÕ'PÓ+;2!;PFÓ   

=;2!;(FÕ'PÓ+PFÓ)

=;2!;_12=6 ^답 6

x=-4 O

P

F 3

-3

-5 -4 4 5

H

Q x

y

y²=16x xÛ+ =1 25 yÛ

9

F F'

P Q

O 4

-4

-6 6 x

y

xÛ+ =1 36

yÛ 16

aÛ`-bÛ`=2Û`이므로 bÛ`=aÛ`-2Û`=3Û`-2Û`=5

따라서 점 P가 나타내는 도형의 방정식은 xÛ`9 +yÛ`

5 =1 ^답 ②

070

타원 xÛ`144 +yÛ`

44 =1, 즉 xÛ`

12Û`+ yÛ`

(2'¶11)Û`=1의 장축의 길이는 2_12=24

이므로 타원의 두 초점을 F, F'이라 하면 PÔFÓ+PÕÔF'Ó=24 (단, i=1, 2, 3, 4, 5)

가 또한 PÔFÓ=P¤ÐÔF'Ó `(i=1, 2, 3, 4, 5)이므로

Á

k=1PûFÓ=PÁFÓ+PªFÓ+P£FÓ+(P¢FÓ+P°FÓ)

=PÁFÓ+PªFÓ+P£FÓ+(PÕªF'Ó+PÕÁF'Ó)

나   =(PÁFÓ+PÕÁF'Ó)+(PªFÓ+PÕªF'Ó)+P£FÓ

  =24+24+12 (∵ P£FÓ=12)

=60

다

단계 채점 요소 비율

가 타원의 정의를 이용하여 PÔFÓ, PÕÔF'Ó 사이의 관계식 구하기 30 % 나 PÔFÓ=P¤ÐÔF'Ó임을 알아내고, 이를 이용하여 식 변형하기 40 % 다 PÕ£FÓ의 값과 가의 관계식을 이용하여 답 구하기 30 %

답

60

071

A(a, 0), B(0, b)라 하면 ABÓ=6이므로

"ÃaÛ`+bÛ`=6 ∴ aÛ`+bÛ`=36 yy ㉠

가 선분 AB를 2`:`1로 내분하는 점을 P(x,`y)라 하면

x= 2_0+1_a2+1 = a3 , y=2_b+1_0 2+1 =;3@;b

∴ a=3x, b=;2#;y yy ㉡

나

㉡을 ㉠에 대입하면 (3x)Û`+{;2#;y}Û`=36 9xÛ`+;4(;yÛ`=36 ∴ xÛ`

2Û`+ yÛ`4Û`=1

따라서 점 P가 나타내는 타원의 장축의 길이는 2_4=8

다

단계 채점 요소 비율

가 점 A의 x좌표와 점 B의 y좌표 사이의 관계식 구하기 30 % 나 P(x, y)로 놓고, 점 A의 x좌표와 점 B의 y좌표를 각각 x, y

에 대한 식으로 나타내기 30 %

다 점 P가 나타내는 타원의 장축의 길이 구하기 40 %

답

8

067

타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`25 =1 (a>5)의 두 초점을 F(c, 0), F'(-c, 0) (c>0)이라 하면 aÛ`-25=cÛ`   yy ㉠ 타원 xÛ`

aÛ`+ yÛ`25 =1과 직선 x=c의 교점의 y좌표는

cÛ`

aÛ`+ yÛ`25 =1, yÛ`

25 =1-cÛ`

aÛ`

yÛ` =25 {1- cÛ`aÛ` }

=25 {1- aÛ`-25aÛ` } (∵ ㉠)

= 25Û`aÛ`

∴ y=Ñ 25a

따라서 점 A의 y좌표는 25a 이므로

ADBC =2△ADC

=2_{;2!;_CDÓ_AFÓ}

=2_{;2!;_2a_ 25a }=50 ^답 ①

068

타원 xÛ`36 +yÛ`

20 =1의 초점의 좌표는 'Ä36-20=4에서 (4, 0), (-4, 0)

두 초점 (4, 0), (-4, 0)이 x축 위에 있으므로 구하는 타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (a>b>0)로 놓으면 장축의 길이가 10이므로 2a=10 ∴ a=5

aÛ`-bÛ`=4Û`이므로

bÛ`=aÛ`-4Û`=5Û`-4Û`=9 ∴ b=3 따라서 구하는 타원의 방정식은

xÛ`

5Û`+ yÛ`

3Û`=1 yy ㉠

점 P(m, n)이 타원 ㉠ 위의 점이므로 3É"ÃmÛ`+nÛ`=OPÓÉ5

∴ 9ÉmÛ`+nÛ`É25

따라서 mÛ`+nÛ`의 최댓값은 25이다. ^답 25

069

선분 AB의 수직이등분선 위의 점 P에 대하여 PÕAÓ=PBÓ

또한 원 (x+2)Û`+yÛ`=36의 반지름의 길이는 6이므로

PCÓ+PAÓ=PCÓ+PBÓ=BCÓ=6 따라서 점 P에서 두 점 A(2,`0), C(-2,`0)에 이르는 거리의 합이 6으로 일정하므로 점 P가 나타내는 도형은 타원이다.

이 타원의 방정식을 xÛ`

aÛ`+ yÛ`

bÛ`=1 (a>b>0)로 놓으면 2a=6 ∴ a=3

5 A

-5 F

B C

D O x

x=c

-a a

c y

xÛ+ =1 aÛ

yÛ 25

1m²+n² P(m, n) 3

-3

-5 O 5x

y

xÛ+ =1 5Û

yÛ 3Û

2 4

-8 -2 A

B

O P C

x y

(x+2)Û`+yÛ`=36