여러 가지 방정식

057

유제 -`Ⅱ. 방정식과 부등식

x› +12x¤ +27=X¤ +12X+27

=(X+3)(X+9)

=(x¤ -4x)(x¤ -4x+3)-10=0 x¤ -4x=X로 치환하면

X(X+3)-10=X¤ +3X-10

=(X+5)(X-2)

=(x¤ -4x+5)(x¤ -4x-2)=0

∴ x=2—i 또는 x=2—'6

=(x¤ +6x+1)(x¤ -4x+1)=0

∴ x=-3—2'2 또는 x=2—'3

이때 x+ =X로 치환하면 (x+1)(X¤ +3X)

=(x+1)¥X(X+3)

=(x+1){x+ }{x+ +3}

=(x+1)(x¤ +1)(x¤ +3x+1)=0

∴ x=-1 또는 x=—i 또는

∴x=

⑴ x=-3—2'2 또는 x=2—'3

⑵ x=-2 또는 x=- 또는 x=

⑶ x=-1 또는 x=—i 또는 x=

051

^{-` x‹ =-1} HjK x‹ +1=0

HjK (x+1)(x¤ -x+1)=0 이때 x는 x‹ =-1의 한 허근이고 x¤ -x+1=0의 한 허 근이므로

x‹ =-1, x¤ -x+1=0

⑴ xfl -xfi +x› =(x‹ )¤ -x‹ ¥x¤ +x‹ ¥x

=(-1)¤ -(-1)¥x¤ +(-1)¥x

=1+x¤ -x=0

xfl -xfi +x› =x› (x¤ -x+1)

=x› ¥0=0

⑵ 이차방정식 x¤ -x+1=0의 계수가 모두 실수이고 한 허근이 x이므로 다른 한 근은 ßx이다. 이때 이차방정식 의 근과 계수의 관계에 의하여

x+ßx=1, xßx=1

∴ + =

∴ + =

∴ + = =-1

⑴ 0 ⑵ -1 1-2¥1

112121-1+1 (x+ßx)-2xßx 1112111231-(x+ßx)+xßx

x(1-ßx)+ßx(1-x) 1112111113(1-x)(1-ßx) 1121-ßxßx

1121-xx

-3—'5 111232

1—'3i 11122 112

-3—'5 1 1111212233

1x1 1x1

1x1

052

^-` 밑면의 각 변이 늘어난 길이를 x cm라 하

면 직육면체의 밑면의 가로, 세로의 길이와 높이는 각각 (4+x)cm, (4+x)cm, (12-x)cm이다.

처음 직육면체의 부피와 나중 직육면체의 부피가 같으므 로

4¥4¥12=(4+x)¤ (12-x)

x‹ -4x¤ -80x=0, x(x¤ -4x-80)=0

∴ x=0 또는 x=2—2'2å1 그런데 0<x<12이므로

x=2+2'2å1

따라서 밑면의 각 변이 늘어난 길이는 (2+2'2å1)cm이

다. (2+2'2å1)cm

053

^-` 근과 계수의 관계에 의해

a+b+c=0, ab+bc+ca=1, abc=-2

⑴ a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)

=0-2¥1=-2

⑵ a‹ =-a-2, b‹ =-b-2, c‹ =-c-2이므로 a‹ +b‹ +c‹ =-(a+b+c)-6

=-6

a‹ +b‹ +c‹

=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc

=0+3¥(-2)=-6

⑶ a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤

=(ab+bc+ca)¤ -2(ab¤ c+bc¤ a+ca¤ b)

=(ab+bc+ca)¤ -2abc(a+b+c)

=1-0=1

⑷ a+b+c=0에서 a+b=-c, b+c=-a, c+a=-b이므로

(a+b)(b+c)(c+a)=-abc

=-(-2)=2

⑴ -2 ⑵ -6 ⑶ 1 ⑷ 2

059

유제 -`Ⅱ. 방정식과 부등식

054

^-` ⑴ 모든 계수가 유리수이므로 삼차방정식 x‹ +ax¤ +bx-5=0의 세 근을

1+'2, 1-'2, a

로 놓을 수 있다. 이때 근과 계수의 관계에서 -a=(1+'2)+(1-'2)+a

=2+a yy ㉠

b=(1+'2)(1-'2)+(1-'2)a+a(1+'2)

=-1+2a yy ㉡ 5=(1+'2)(1-'2)a

=-a yy ㉢

㉢에서 a=-5이므로 삼차방정식의 나머지 두 근은 1-'2, -5이다.

한편 a=-5를 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 a=3, b=-11

⑵ 주어진 방정식을 인수분해하면 (x-2)(x¤ +6x+c)=0

이고, 근이 모두 실근이므로 이차방정식 x¤ +6x+c=0은 실근을 가져야 한다.

따라서 판별식을 D라 하면

=9-cæ0 ∴ c…9

⑴ a=3, b=-11, 나머지 근：1-'2, -5

⑵ c…9

055

^{-` ⑴ 의 해가 무수히 많}

아야 하므로 = 가 성립해야 한다. 즉, (5-k)(2-k)=4, k¤ -7k+6=0

(k-1)(k-6)=0 ∴ k=1 또는 k=6

⑵

( ax+by+cz=8 yy ㉠

“ bx+ay+2z=11 yy ㉡ 9 cx-y+bz=6 yy ㉢

1212-k4 1215-k1

(5-k)x+4y=0 gx+(2-k)y=0 15D4

x=1, y=1, z=3을 ㉠, ㉡, ㉢에 각각 대입하여 정 리하면

a+b+3c=8, a+b=5, c+3b=7 세 식을 연립하여 풀면

a=3, b=2, c=1

⑴ 1 또는 6 ⑵ a=3, b=2, c=1

056

^-` x+y=u, xy=v로 놓고

x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy를 이용하면 주어진 방정식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

㉠에서 v=-u-5 yy ㉢

㉢을 ㉡에 대입하면 u¤ -(-u-5)=7

u¤ +u-2=0, (u+2)(u-1)=0

∴ u=-2 또는 u=1 이것을 ㉢에 대입하면

또는

⁄u=-2, v=-3, 즉 x+y=-2, xy=-3일 때 x, y는 이차방정식 t¤ +2t-3=0의 두 근이므로

(t+3)(t-1)=0 ∴ t=-3 또는 t=1

∴ 또는

¤u=1, v=-6, 즉 x+y=1, xy=-6일 때 x, y 는 이차방정식 t¤ -t-6=0의 두 근이므로

(t+2)(t-3)=0 ∴ t=-2 또는 t=3

∴ 또는

⁄, ¤에서 구하는 해는

또는 또는

또는 x=3 풀이 참조

gy=-2 gx=-2

y=3

gx=1 y=-3 gx=-3

y=1

gx=3y=-2 gx=-2y=3

gx=1 y=-3 gx=-3

y=1

gu=1 v=-6 gu=-2

v=-3

u+v=-5 yy ㉠

gu¤ -v=7 yy ㉡

057

^{-` ⑴}

⑴㉠에서 y=-2x+k를 ㉡에 대입하면

⑴ x¤ +(-2x+k)¤ =5, 5x¤ -4kx+k¤ -5=0

⑴이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라 하면

⑴ =(-2k)¤ -5(k¤ -5)=0, k¤ =25

⑴ ∴ k=—5

⑴따라서 모든 실수 k의 값의 합은 5+(-5)=0

⑵ 합이 2a-3, 곱이 a¤ -4인 두 수 x, y는 이차방정식

⑴ t¤ -(2a-3)t+(a¤ -4)=0

⑴의 두 근이다.

⑴위의 방정식이 실근을 가지려면 판별식을 D라 할 때

⑴ D=(2a-3)¤ -4(a¤ -4)=-12a+25æ0

⑴ ∴ a…

⑴따라서 자연수 a의 값은 1, 2이므로 그 합은

⑴ 1+2=3 ⑴ 0 ⑵ 3

058

^-` 카드 한 장의 가로, 세로의 길이를 각각 a, b 라 하면 AD”=3a, BC”=2b이고, AD”=BC”이므로

3a=2b ∴ b= a yy ㉠

한편 카드 한 장의 넓이는 ab이고, 직사각형 ABCD의 넓이가 270이므로

5ab=270 ∴ ab=54 yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 풀면 a¥ a=54, a¤ =36

∴ a=6 (∵ a>0) 이를 ㉠에 대입하면 b=9 따라서 카드 한 장의 둘레의 길이는

2a+2b=12+18=30 30

132

132 122512 15D4

2x+y=k yy ㉠ gx¤ +y¤ =5 yy ㉡

059

^-` ⑴ 두 이차방정식의 공통근을 a라 하면 a¤ +ka+2k=0 yy ㉠

a¤ +a+k+1=0 yy ㉡

㉠-㉡을 하면 (k-1)a+k-1=0 (k-1)(a+1)=0 ∴ k=1 또는 a=-1

⁄k=1일 때, 두 이차방정식은 x¤ +x+2=0으로 일 치하므로 공통근은 2개이다.

¤ a=-1일 때, 이것을 ㉡에 대입하면 k=-1

⁄, ¤에서 k=-1일 때 공통근은 -1이다.

⑵ x¤ -2x-3=0 HjK (x+1)(x-3)=0 의 두 근 x=-1, x=3이 모두 삼차방정식 x‹ +ax¤ +bx+6=0의 근이어야 하므로 대입하면

-1+a-b+6=0 ∴ a-b=-5 27+9a+3b+6=0 ∴ 3a+b=-11 두 식을 연립하여 풀면

a=-4, b=1

x‹ +ax¤ +bx+6이 x¤ -2x-3으로 나누어떨어져야 하므로, 항등식

x‹ +ax¤ +bx+6=(x+1)(x-3)(x-p) 가 성립해야 한다. 계수비교법에 의해

6=3p ∴ p=2 따라서 우변을 전개하면

x‹ +ax¤ +bx+6=x‹ -4x¤ +x+6

∴ a=-4, b=1

⑶ x‹ -2x+m=0, x¤ -4x-m=0에서 m을 소거하면 x‹ +x¤ -6x=0, x(x-2)(x+3)=0

∴ x=0 또는 x=2 또는 x=-3

⁄ 공통근이 x=0인 경우：

x¤ -4x-m=0에 대입하면 m=0

¤ 공통근이 x=2인 경우：

x¤ -4x-m=0에 대입하면 m=-4

‹ 공통근이 x=-3인 경우：

x¤ -4x-m=0에 대입하면 m=21

∴ m=0 또는 m=-4 또는 m=21

⑴ k=-1, 공통근 : -1 ⑵ a=-4, b=1

061

유제 -`Ⅱ. 방정식과 부등식

⑶ 0 또는 -4 또는 21

060

^-` 이차방정식 x¤ +(m+1)x+2m-1=0 의 두 정수근을 a, b라 하면

a+b=-m-1 yy ㉠ ab=2m-1 yy ㉡

㉡+㉠_2를 하면 ab+2a+2b+3=0 a(b+2)+2(b+2)-1=0

∴ (a+2)(b+2)=1

a, b는 정수이므로 a+2, b+2도 정수이고 곱이 1이므 로

a+2=1, b+2=1 또는 a+2=-1, b+2=-1

∴ a=b=-1 또는 a=b=-3

⁄ a=b=-1을 ㉠에 대입하면 m=1

¤ a=b=-3을 ㉠에 대입하면 m=5

⁄, ¤에서 모든 실수 m의 값의 곱은 5이다.

5

061

-` ⑴ |3x¤ -x-2|=2 HjK 3x¤ -x-2=—2

⁄3x¤ -x-2=-2를 풀면 3x¤ -x=0, x(3x-1)=0

∴ x=0 또는 x=

¤3x¤ -x-2=2를 풀면

3x¤ -x-4=0, (x+1)(3x-4)=0

∴ x=-1 또는 x=

따라서 주어진 방정식의 해는

x=-1또는 x=0 또는 x= 또는 x=4 1 13 11

13 143 113

⑵ ⁄ x-1<0, 즉 x<1일 때 주어진 방정식을 풀면 x¤ +x-2=0, (x+2)(x-1)=0

∴ x=-2 (∵ x<1)

¤x-1æ0, 즉 xæ1일 때 주어진 방정식을 풀면 x¤ -x=0, x(x-1)=0

∴ x=1 (∵ xæ1)

따라서주어진방정식의해는 x=-2 또는 x=1이다.

⑶ ⁄ xæ1, yæ2일 때, 이므로, 풀면 x=0, y=4

그런데 구한 해가 조건을 만족하지 않으므로 해가 아니다.

¤xæ1, y<2일 때, 이 되어 해는 없다.

‹x<1, yæ2일때, 가되어해는없다.

›x<1, y<2일 때, 이므로, 풀면 x=-1, y=1

따라서 주어진 연립방정식의 해는 x=-1, y=1

⑴ x=-1 또는 x=0 또는 x= 또는 x=

⑵ x=-2 또는 x=1 ⑶ x=-1, y=1

062

^-` |x¤ -4|+k-2=0, 즉

|x¤ -4|=-k+2

의 실근의 개수는 함수 y=|x¤ -4|의 그래프와 직선 y=-k+2의 교점의 개수와 같다.

오른쪽 그림에서 교점이 4개 일 때의 k의 값의 범위는

0<-k+2<4

∴ -2<k<2

③ O x

4

-2 2

y

y=-k+2 y=|x@-4|

143 113

-x+y=2 gx+y=0

-x+y=2 gx-y=-4 x+y=4 gx+y=0 x+y=4 gx-y=-4

[참고]

함수 y=|x¤ -4|의 그래프는 다음 그림과 같이 함 수 y=x¤ -4의 그래프를 그린 다음, x축 아래에 그려지 는 부분을 x축에 대하여 대칭이동시켜 주면 된다.

O x 4

-2

-4 2 y y=|x@-4|

063

^-` ㄱ. a>b의 양변에 -1을 곱하면 -a<-b yy ㉠

㉠의 양변에 c를 더하면

-a+c<-b+c yy ㉡

∴ c-a<c-b (참)

ㄴ. (반례) a=-1, b=-2이면 a>b이지만

|a|<|b|이다. (거짓)

ㄷ. c>0, d>0이므로 d<c의 양변에 역수를 취하면

>

a>b, d>0이므로 > yy ㉠

> , b>0이므로 > yy ㉡

㉠, ㉡에서 > >

∴ > (거짓)

ㄹ. c<0, d<0이므로 d<c의 양변에 역수를 취하면 1bc

1ad

1bc 1db 1da

1bc 1db 11c

1d1

1db 1da 11c

1d1

063-` ㄱ, ㄹ 064-` -;2#; 064-` 4

065-` 6 065-` a=;5^;, b=;2!;

066-` -2<a…-1 066-` k…-5 067-` a=8, b=5 067- a>2 068-` 200g 이상 300g 이하 068-` 10g 이상 20g 이하

069-` 풀이 참조 070-` ⑴ a…-1 ⑵ aæ;4&;

071-` x<-3 또는 x>;3$;

072-` 6cm 이상 12cm 이하 072-` 50 073-` -4…k<3 073-` 10

074-` -1<k…0 074-` -7<a<2 075-` 4 076-` 5 077-` -1<a<0

유제 S U M M A C U M L A U D E

5. 여러 가지 부등식

063

0.5x-0.4…0.4+0.1x의 양변에 10을 곱하면

5x-4…4+x

11122-1<1-1 yy ㉠

15 5 3 x+7<bx+11 yy ㉡

4x-12<x yy ㉠ x<2x+a yy ㉡

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