040 -` 이차방정식
3. 이차방정식과 이차함수
-1+a=0 ∴ a=1
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-3x+1이다.
y=-3x+1
042
-` f(x)=0의 근이 x=3 또는 x=4이므로 f(2x+1)=0의 근은 2x+1=3 또는 2x+1=4를 만 족하는 값이다.∴ x=1 또는 x=;2#;
따라서 두 실근의 합은 ;2%;이다.
이차함수의 그래프가 x축과 두 점 (3, 0), (4, 0)에서 만나므로 f(x)=a(x-3)(x-4)로 놓을 수 있다.
∴ f(2x+1)=a(2x+1-3)(2x+1-4)
=a(2x-2)(2x-3)
=2a(x-1)(2x-3)
f(2x+1)=0 HjK 2a(x-1)(2x-3)=0에서 x=1 또는 x=;2#;
따라서 두 실근의 합은 ;2%;이다. ;2%;
043
-` ⑴ 그래프가 점 (0, -2)를 지나므로 b=-2 ∴ y=x¤ +ax-2또 이 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0=1+a-2 ∴ a=1
따라서 y=x¤ +x-2={x+ }2 - 이므로 주어진
이차함수는 x=- 에서 최솟값 - 를 갖는다.
⑵ 그래프의 축의 방정식이 x=2이고 최댓값이 18이므 로 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (2, 18)이다.
이차항의 계수가 -3이므로 주어진 이차함수의 식은 y=-3(x-2)¤ +18=-3x¤ +12x+6 따라서 a=12, b=6이므로
a-b=12-6=6
19 14 112
194 112
그래프의 축의 방정식이 x=2이므로 - =2 ∴ a=12
따라서 y=-3x¤ +12x+b=-3(x-2)¤ +12+b 이고 그래프가 위로 볼록하므로 주어진 이차함수는 x=2에서 최댓값 12+b를 갖는다.
따라서 12+b=18에서 b=6이므로
a-b=12-6=6 ⑴ - ⑵ 6
044
-` ⑴ 점 D는 이차함수 y=-x¤ +8의 그래프 위의 점이므로 D(t, -t¤ +8) (0<t<2'2)이라 하면BC”=2t, CD”=-t¤ +8
직사각형 ABCD의 둘레의 길이를 f(t)라 하면 f(t)=2(2t-t¤ +8)=-2t¤ +4t+16
=-2(t-1)¤ +18 (0<t<2'2) 즉, 함수 f(t)는 t=1에서 최댓값 18을 갖는다.
따라서 직사각형 ABCD의 둘레의 길이의 최댓값은 18이다.
⑵ 둘로 나눈 철사의 길이를 각각 x, 10-x (0<x<10) 라 하자.
두 정사각형의 한 변의 길이는 각각 , 이므 로 두 정사각형의 넓이의 합을 f(x)라 하면
f(x)={ }2 +{ }2 = (x¤ -10x+50)
f(x)= (x-5)¤ + (0<x<10)
즉, 함수 f(x)는 x=5에서 최솟값 를 갖는다.
따라서 넓이의 합의 최솟값은 이므로 p=8, q=25 ∴ p+q=33
⑴ 18 ⑵ 33
045
-` ⑴ f(x)=2x¤ -4x+k=2(x-1)¤ +k-2 12258
12258 12258
118
118 112210-x4 1x4
112210-x4 1x4
194 111252¥(-3)a
055
유제 -`Ⅱ. 방정식과 부등식
이차함수 y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 x좌표 1이 0…x…3에 포함되므로 x=3일 때 최댓값은 f(3)이 고, x=1일 때 최솟값은 k-2이다.
f(3)=18-12+k=5이므로 k+6=5 ∴ k=-1
따라서 이차함수 f(x)의 최솟값은 -1-2=-3이 다.
⑵ f(x)=x¤ -4mx+m¤ =(x-2m)¤ -3m¤ 이라 할 때, y=f(x)의 그래프의 꼭짓점의 좌표는
(2m, -3m¤ )
이때 mæ1 HjK 2mæ2이므로 꼭짓점은 직선 x=2 위에 있거나 그 오른쪽에 있다.
따라서 1…x…2에서 f(x)는 x=1일 때 최댓값 -2 를 가지므로
f(1)=1-4m+m¤ =-2
m¤ -4m+3=0, (m-1)(m-3)=0
∴ m=1 또는 m=3
⑴ -3 ⑵ 1 또는 3
046
-` ⑴ y=2x+1을 6x¤ -3y¤ 에 대입하면 6x¤ -3y¤ =6x¤ -3(2x+1)¤=-6x¤ -12x-3
=-6(x+1)¤ +3
따라서 주어진 식은 x=-1, y=-1일 때 최댓값 3을 갖는다.
O
-2 1
2
{2m,`-3m@}
x y x=2 y=f{x}
⑵ 4y-x¤ -2y¤ +6x-20
=-(x¤ -6x+9)-2(y¤ -2y+1)-20+9+2
=-(x-3)¤ -2(y-1)¤ -9 이때 x, y는 실수이므로
(x-3)¤ æ0, (y-1)¤ æ0
∴ 4y-x¤ -2y¤ +6x-20
=-(x-3)¤ -2(y-1)¤ -9…-9
따라서 주어진 식은 x=3, y=1일 때 최댓값 -9
를 갖는다. ⑴ 3 ⑵ -9
047
-` x¤ -2x+3=t로 놓으면 t=x¤ -2x+3=(x-1)¤ +2 -1…x…2이므로 t의 값의 범위는2…t…6
이때 주어진 함수를 t에 대한 함수로 나타내면 y=t¤ -2(t-1)-6
=(t-1)¤ -5 (2…t…6)
따라서 주어진 함수는 t=6일 때 최댓값 20, t=2일 때 최솟값 -4를 갖는다. 최댓값 : 20, 최솟값 : -4
-4-5 6 20
1 2
t y y={t-1}@-5
O O
2 3 6
-1 1 2 x
t t=x@-2x+3
따라서 주어진 방정식은 (x+4)(x+2)(x+1)=0 이므로
x=-4또는 x=-2 또는 x=-1
⑵ f(x)=x› -2x‹ -7x¤ +8x+12라 하면
f(-1)=0, f(2)=0이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x+1)(x-2)(x¤ -x-6)
=(x+1)(x-2)(x+2)(x-3) 따라서 주어진 방정식은
(x+2)(x+1)(x-2)(x-3)=0 이므로
x=-2또는 x=-1 또는 x=2 또는 x=3
⑶ f(x)=x› +2x‹ -8x-16이라 하면
f(-2)=0, f(2)=0이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면
f(x)=(x+2)(x-2)(x¤ +2x+4) 따라서 주어진 방정식은
(x+2)(x-2)(x¤ +2x+4)=0 이므로
x=-2또는 x=2 또는 x=-1—'3i
⑴ x=-4 또는 x=-2 또는 x=-1
⑵ x=-2 또는 x=-1 또는 x=2 또는 x=3
⑶ x=-2 또는 x=2 또는 x=-1—'3i
049
-` ⑴ x¤ =X로 치환하면-2 1 2 0 -8 -16 -2 0 0 16 2 1 0 0 -8 0
2 4 8 1 2 4 0
-1 1 -2 -7 8 12 -1 3 4 -12 2 1 -3 -4 12 0
2 -2 -12 1 -1 -6 0 048-` ⑴ x=-4 또는 x=-2 또는 x=-1
⑵ x=-2 또는 x=-1 또는 x=2 또는 x=3
⑶ x=-2 또는 x=2 또는 x=-1—'3i 049-` ⑴ x=—'3i 또는 x=—3i
⑵ x= 또는 x=
⑶ x=2—i 또는 x=2—'6
050-` ⑴ x=-3—2'2 또는 x=2—'3
⑵ x=-2 또는 x=- 또는 x=
⑶ x=-1 또는 x=—i 또는 x=
051-` ⑴ 0 ⑵ -1 052-` (2+2'2å1)cm 053-` ⑴ -2 ⑵ -6 ⑶ 1 ⑷ 2
054-` ⑴ a=3, b=-11, 나머지 근：1-'2, -5
⑵ c…9
055-` ⑴ 1 또는 6 ⑵ a=3, b=2, c=1 056-` 풀이 참조 057-` ⑴ 0 ⑵ 3 058-` 30
059-` ⑴ k=-1, 공통근 : -1 ⑵ a=-4, b=1
⑶ 0 또는 -4 또는 21 060-` 5
061-` ⑴ x=-1 또는 x=0 또는 x= 또는
x= ⑵ x=-2 또는 x=1 ⑶ x=-1, y=1 062-` ③
143
113 -3—'5 11112 1—'3i 11122 112
1—'3i 11122 -1—'3i
111132
유제 S U M M A C U M L A U D E
048
-` ⑴ f(x)=x‹ +7x¤ +14x+8이라 하면⑴f(-1)=0이므로 조립제법을 이용하여 f(x)를 인 수분해하면
f(x)=(x+1)(x¤ +6x+8)
=(x+1)(x+4)(x+2) -1 1 7 14 -8
-1 -6 -8 1 6 8 0