2020 개념해결의법칙 기하 답지 정답

정답과

해설

I

이차곡선

1

| _이차곡선

002

2

| 이차곡선과 직선

016

II

평면벡터

3

| 벡터의 연산

025

4

| _{평면벡터의 성분과 내적}

031

III

공간도형과 공간좌표

5

| _공간도형

043

6

| 공간좌표

051

| 이차곡선

1

1

포물선

개념 확인 8쪽~10쪽 1 ⑴ 초점의 좌표: (-1, 0), 준선의 방정식: x=1 ⑵ 초점의 좌표: {0, ;2!;}, 준선의 방정식: y=-;2!; 2 ⑴ 초점의 좌표: (0, 2), 준선의 방정식: x=-2 ⑵ 초점의 좌표: (3, -2), 준선의 방정식: y=2

1

⑴ y€=-4x=4_(-1)_x이므로 초점의 좌표는 (-1, 0), 준선의 방정식은 x=1 ⑵ x€=2y=4_;2!;_y이므로 초점의 좌표는 {0, ;2!;}, 준선의 방정식은 y=-;2!;

2

⑴ 포물선 (y-2)€=4(x+1)은 포물선 y€=4x를 x축의 방향으 로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때, 포물선 y€=4x=4_1_x의 초점의 좌표는 (1, 0), 준선의 방정식은 x=-1이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표 는 (0, 2), 준선의 방정식은 x=-2이다. ⑵ 포물선 (x-3)€=-8y는 포물선 x€=-8y를 x축의 방향으 로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때, 포물선 x€=-8y=4_(-2)_y의 초점의 좌표는 (0, -2), 준선의 방정식은 y=2이므로 주어진 포물선의 초점 의 좌표는 (3, -2), 준선의 방정식은 y=2이다. 개념 check 1-1 ⑴ y€=-8x ⑵ x€=12y 2-1 ⑴ {;2!;, 0}, x=-;2!; ⑵ (0, -3), y=3 ⑶ (2, -2), y=-4

개념 드릴

| 11쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ y€=12x ⑵ y€=-20x ⑶ x€=-16y ⑷ x€=;3$;y

⑴ y€=4px에서 p=3이므로 구하는 포물선의 방정식은 y€=12x ⑵ y€=4px에서 p=-5이므로 구하는 포물선의 방정식은 y€=-20x ⑶ x€=4py에서 p=-4이므로 구하는 포물선의 방정식은 x€=-16y ⑷ x€=4py에서 p=;3!;이므로 구하는 포물선의 방정식은 x€=;3$;y

2

-2

 ⑴ 초점의 좌표: (4, 0), 준선의 방정식: x=-4 ⑵ 초점의 좌표: {0, -;4#;}, 준선의 방정식: y=;4#; ⑶ 초점의 좌표: (2, -1), 준선의 방정식: x=4 ⑷ 초점의 좌표: (-4, 0), 준선의 방정식: y=-4 ⑴ y€=16x=4_4_x이므로 초점의 좌표는 (4, 0), 준선의 방정식은 x=-4 ⑵ x€=-3y=4_{-;4#;}_y이므로 초점의 좌표는 {0, -;4#;}, 준선의 방정식은 y=;4#; ⑶ 포물선 (y+1)€=-4(x-3)은 포물선 y€=-4x를 x축의 방향 으로 3만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 이때, 포물선 y€=-4x=4_(-1)_x의 초점의 좌표는 (-1, 0), 준선의 방정식은 x=1이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (2, -1), 준선의 방정식은 x=4이다. ⑷ 포물선 (x+4)€=8(y+2)는 포물선 x€=8y를 x축의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 이때, 포물선 x€=8y=4_2_y의 초점의 좌표는 (0, 2), 준선의 방정식은 y=-2이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (-4, 0), 준선의 방정식은 y=-4이다.

필수 유형

| 12쪽~16쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 -2 |해결 전략| 초점이 F(p, 0), 준선이 x=-p인 포물선의 방정식은 y€=4px (p+0)이다. 초점이 F(-2, 0)이고 준선이 x=2인 포물선의 방정식은 y€=4px 에서 p=-2이므로 y€=4_(-2)_x, 즉 y€=-8x 이 포물선이 점 (a, 4)를 지나므로 4€=-8a 4 a=-2

01

-2

 x€=-12y |해결 전략| 초점이 F(0, p), 준선이 y=-p인 포물선의 방정식은 x€=4py (p+0)이다. 원 x€+(y+3)€=1의 중심의 좌표는 (0, -3)이다. 따라서 점 (0, -3)을 초점으로 하고 준선이 y=3인 포물선의 방정 식은 x€=4py에서 p=-3이므로 x€=4_(-3)_y, 즉 x€=-12y

02

-1

 10 |해결 전략| 포물선의 꼭짓점에서 초점과 준선에 이르는 거리는 같음을 이용한다. 포물선 y€=4x=4_1_x의 초점은 F(1, 0), 준선 l의 방정식은 x=-1이다. 오른쪽 그림과 같이 준선 l과 x축이 만 나는 점을 A라 하면 OA’=OF’=1 점 P에서 준선 l까지의 거리가 PQ’=5 이므로 점 P의 x좌표는 4이다. x=4를 y€=4x에 대입하면 y=4 (5 y>0) 4 P(4, 4) 이때, 점 P(4, 4)의 y좌표가 4이므로 점 P에서 x축에 이르는 거리는 4이다. 따라서 삼각형 PQF의 넓이는 ;2!;_5_4=10

02

-2

 x€=8y |해결 전략| 곡선 위의 임의의 점에서 한 점과 그 점을 지나지 않는 한 직선에 이 르는 거리가 같은 도형은 포물선임을 이용한다.

주어진 곡선 위의 임의의 점 P(x, y)에서 점 A(0, 2)와 직선 y=-2 에 이르는 거리가 같으므로 이 곡선은 점 A(0, 2)를 초점, 직선 y=-2를 준선으로 하는 포물선이다. 준선이 x축에 평행하고 초점이 A(0, 2)이므로 x€=4py에서 p=2 따라서 구하는 곡선의 방정식은 x€=8y

03

-1

 4 |해결 전략| 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 세 점 B, P, H가 일직 선 위에 있을 때 PH’+PB’의 값이 최소이다. 포물선 y€=4x=4_1_x의 초점은 A(1, 0), 준선의 방정식은 x=-1이다. Q _{P(4, 4)} F(1, 0) 4 4 l y€=4x y A -1 O x 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 H라 하면 PA’=PH’이므로 PA’+PB’=PH’+PB’ 이때, 점 B에서 준선에 내린 수선의 발 을 H'이라 하면 점 P가 BH'’ 위에 있 을 때 PH’+PB’는 최솟값을 가지므로 PA’+PB’ =PH’+PB’ >BH'’=3-(-1)=4 따라서 PA’+PB’의 최솟값은 4이다.

03

-2

 11 |해결 전략| 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 세 점 B, P, H가 일직 선 위에 있을 때 PH’+PB’의 값이 최소이다. 포물선 x€=-4y=4_(-1)_y의 초점은 A(0, -1), 준선의 방 정식은 y=1이다. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 y=1에 내린 수선의 발을 H라 하면 PA’=PH’이므로 PA’+PB’=PH’+PB’ 이때, 점 B에서 준선에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 점 P가 BH'’ 위에 있을 때 PH’+PB’는 최솟값을 가지므로 PA’+PB’=PH’+PB’>BH'’=1-(-5)=6 한편, AB’="ƒ(3-0)€+{-5-(-1)}€=5 이므로 삼각형 PAB의 둘레의 길이는 PA’+PB’+AB’ =PH’+PB’+AB’ >BH'’+AB’=6+5=11 따라서 삼각형 PAB의 둘레의 길이의 최솟값은 11이다.

04

-1

 (y-1)€=4(x-3) |해결 전략| 점 P에서 직선 x=2에 내린 수선의 발을 H라 하면 PF’=PH’임을 이용한다. 점 P의 좌표를 (x, y), 점 P에서 직선 x=2에 내린 수선의 발을 H 라 하면 PF’=PH’이므로 "ƒ(x-4)€+(y-1)€=|x-2| 양변을 제곱하면 (x-4)€+(y-1)€=(x-2)€ ∴ (y-1)€=4(x-3) 다른 풀이 1 주어진 도형은 초점이 F(4, 1), 준선이 x=2인 포물선이다. 이때, 준선이 y축에 평행하므로 주어진 도형은 포물선 y€=4px (p+0)를 평 행이동한 것이다. 주어진 도형의 방정식을 (y-n)€=4p(x-m)으로 놓으면 초점의 좌표는 (p+m, n), 준선의 방정식은 x=-p+m이다. A(0, -1) B(3, -5) P H H' y=1 O1 x y x€=-4y 점 P가 나타내는 도형은 포물선이다. x=-1 x A(1, 0) B(3, 2) y€=4x y O -1 H'H P

이때, 초점이 F(4, 1), 준선의 방정식이 x=2이므로 p+m=4, n=1, -p+m=2 ∴ p=1, m=3, n=1 따라서 구하는 도형의 방정식은 (y-1)€=4_1_(x-3) ∴ (y-1)€=4(x-3) 다른 풀이 2 점 F(4, 1)과 직선 x=2로부터 같은 거리에 있는 점 P가 나타내는 도형은 포 물선이다. 오른쪽 그림에서 포물선의 꼭짓점의 좌표는 포물선 의 정의에 의하여 (3, 1)이다. 이때, 포물선의 준선 x=2가 y축에 평행하므로 구 하는 포물선의 방정식을 (y-1)€=4p(x-3) yy㉠ 으로 놓을 수 있다. 포물선 ㉠은 포물선 y€=4px를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 포물선 ㉠의 초점의 좌표 는 (p+3, 1)이다. 즉, p+3=4에서 p=1 따라서 구하는 도형의 방정식은 (y-1)€=4_1_(x-3) 4 (y-1)€=4(x-3)

05

-1

 4 |해결 전략| 이차항을 포함한 항을 완전제곱식으로 변형하여 주어진 포물선의 방 정식을 (y-n)€=4p(x-m) 꼴로 고친다. y€-8x+4y+28=0에서 (y+2)€=8(x-3) 주어진 포물선은 포물선 y€=8x를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 이때, 포물선 y€=8x=4_2_x의 초점의 좌표는 (2, 0), 준선의 방 정식은 x=-2이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (5, -2), 준 선의 방정식은 x=1이다. 따라서 a=5, b=-2, c=1이므로 a+b+c=5-2+1=4

05

-2

 2x€-8x-3y=0 |해결 전략| 축이 y축에 평행한 포물선의 방정식의 일반형은 x€+ax+by+c=0 (b+0)임을 이용한다. 축이 y축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을 x€+ax+by+c=0 (b+0) 으로 놓을 수 있다. 이 포물선이 세 점 (0, 0), (4, 0), (3, -2)를 지나므로 c=0 yy㉠ 16+4a+c=0 yy㉡ 9+3a-2b+c=0 yy㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=-4, b=-;2#;, c=0 y O 2 x F(4, 1) x=2

2

타원

개념 확인 17쪽~19쪽 1 ⑴ 초점의 좌표: (3, 0), (-3, 0) 장축의 길이: 10, 단축의 길이: 8 ⑵ 초점의 좌표: (0, 4), (0, -4) 장축의 길이: 10, 단축의 길이: 6 2 ⑴ 초점의 좌표: (1, 2), (-3, 2) 장축의 길이: 6, 단축의 길이: 2'5 ⑵ 초점의 좌표: (3, 0), (3, -4) 장축의 길이: 6, 단축의 길이: 2'5

1

⑴ 타원 x€ 5€+ y€4€=1에서 "ƒ5€-4€='9=3이므로 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0) 장축의 길이는 2_5=10 단축의 길이는 2_4=8 ⑵ 타원 x€ 3€+ y€5€=1에서 "ƒ5€-3€='ß16=4이므로 초점의 좌표는 (0, 4), (0, -4) 장축의 길이는 2_5=10 단축의 길이는 2_3=6

2

⑴ 타원 (x+1)€₉ + (y-2)€₅ =1은 타원 x€_{9 +}y€_{5 =1을 x축의} 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때, 타원 x€_{9 +}y€_{5 =1의 초점의 좌표는} ('ß9-5 , 0), (-'ß9-5 , 0), 즉 (2, 0), (-2, 0) 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (1, 2), (-3, 2)이다. 평행이동하여도 장축, 단축의 길이는 변하지 않으므로 주어진 타원의 장축의 길이는 2_3=6, 단축의 길이는 2_'5=2'5 이다. ⑵ 타원 (x-3)€₅ + (y+2)€₉ =1은 타원 x€_{5 +}y€_{9 =1을 x축의} 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 이때, 타원 x€_{5 +}y€_{9 =1의 초점의 좌표는} (0, 'ß9-5 ), (0, -'ß9-5 ), 즉 (0, 2), (0, -2) 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (3, 0), (3, -4)이다. 평행이동하여도 장축, 단축의 길이는 변하지 않으므로 주어진 타원의 장축의 길이는 2_3=6, 단축의 길이는 2_'5=2'5 이다. 따라서 구하는 포물선의 방정식은 x€-4x-;2#;y=0 4 2x€-8x-3y=0

개념 check 1-1 ⑴ 9, 8 ⑵ 12, 16 2-1 (4, -3), (0, -3), 4'2 , 4

개념 드릴

| 20쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ x€_{25 +21 =1 ⑵} y€ _{33 +}x€ _{36 =1}y€ ⑶ x€_{11 +}y€_{2 =1 ⑷} x€_{5 +21 =1}y€ ⑴ 구하는 타원의 방정식을 x€

a€+ y€b€=1 (a>b>0)이라 하면 2a=10에서 a=5

a€-b€=2€에서 b€=5€-2€=21

4 _{25 +}x€ _{21 =1}y€

⑵ 구하는 타원의 방정식을 x€

a€+ y€b€=1 (b>a>0)이라 하면 2b=12에서 b=6

b€-a€=('3 )€에서 a€=6€-('3 )€=33 4 _{33 +}x€ _{36 =1}y€

⑶ 구하는 타원의 방정식을 x€

a€+ y€b€=1 (a>b>0)이라 하면

2a=2'ß11에서 a='ß11

a€-b€=3€에서 b€=('ß11 )€-3€=2

4 _{11 +}x€ y€_{2 =1}

⑷ 구하는 타원의 방정식을 x€

a€+ y€b€=1 (b>a>0)이라 하면

2a=2'5에서 a='5 b€-a€=4€에서 b€=4€+('5 )€=21 4 x€_{5 +21 =1}y€ 두 초점이 x축 위에 있는 경우 두 초점이 y축 위에 있는 경우 두 초점이 x축 위에 있는 경우 두 초점이 y축 위에 있는 경우

필수 유형

| 21쪽~25쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 4 |해결 전략| 초점이 x축 위에 있으므로 타원의 방정식을 x€

a€+ y€b€=1 (a>b>0)로 놓는다.

타원의 방정식을 x€ a€+ y€b€=1 (a>b>0)이라 하면 타원의 두 초 점이 F(3, 0), F'(-3, 0)이므로 a€-b€=3€=9 점 A(5, 0)이 타원 위의 점이므로 5€ a€=1에서 a€=25 4 b€=16 y O B(0, k) F'(-3, 0) F(3, 0) A(5, 0) x

2

-2

 ⑴ 초점의 좌표: (4, 0), (-4, 0) 장축의 길이: 2'ß17, 단축의 길이: 2 ⑵ 초점의 좌표: ('ß10+1, 4), (-'ß10+1, 4) 장축의 길이: 10, 단축의 길이: 2'ß15 ⑶ 초점의 좌표: (-5, '6-1), (-5, -'6-1) 장축의 길이: 8, 단축의 길이: 2'ß10 ⑴ 타원 _{17 +y€=1, 즉} x€ _{17 +}x€ y€_{1 =1에서} 'ß17-1='ß16=4이므로 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0) 장축의 길이는 2_'ß17=2'ß17 단축의 길이는 2_1=2 ⑵ 타원 (x-1)€₂₅ + (y-4)€₁₅ =1은 타원 x€_{25 +15 =1을 x축의 방}y€ 향으로 1만큼, y축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것이다. 이때, 타원 _{25 +}x€ _{15 =1의 초점의 좌표는}y€ ('ß25-15, 0), (-'ß25-15, 0), 즉 ('ß10, 0), (-'ß10, 0) 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 ('ß10+1, 4), (-'ß10+1, 4) 이다. 평행이동하여도 장축, 단축의 길이는 변하지 않으므로 주어진 타 원의 장축의 길이는 2_5=10, 단축의 길이는 2_'ß15=2'ß15 이다. ⑶ 타원 (x+5)€₁₀ + (y+1)€₁₆ =1은 타원 x€_{10 +16 =1을 x축의 방}y€ 향으로 -5만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 이때, 타원 _{10 +}x€ _{16 =1의 초점의 좌표는}y€ (0, 'ß16-10 ), (0, -'ß16-10 ), 즉 (0, '6 ), (0, -'6 ) 이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (-5, '6-1), (-5, -'6-1) 이다. 평행이동하여도 장축, 단축의 길이는 변하지 않으므로 주어진 타 원의 장축의 길이는 2_4=8, 단축의 길이는 2_'ß10=2'ß10이다. 타원의 중심의 좌표를 이용하여 초점의 좌표를 구할 수도 있다. ⑴에서 타원 (x+1)€₉ + (y-2)€₅ =1의 중심의 좌표는 (-1, 2)이다. 타원의 장축이 x축에 평행하고 타원의 중심 (-1, 2)에서 초점까지의 거리는 'ß9-5='4=2이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (-1+2, 2), (-1-2, 2), 즉 (1, 2), (-3, 2) LECTURE

따라서 타원의 방정식은 x€ 25 +16 =1y€ 점 B(0, k)가 이 타원 위의 점이므로 k€_{16 =1에서 k€=16} 4 k=4 (5 k>0)

01

-2

 6'2 |해결 전략| 원의 성질을 이용하여 초점의 좌표를 구하고 타원의 성질을 이용하 여 장축의 길이를 구한다. 넓이가 9p인 원의 반지름의 길이는 3이고 원의 중심이 원점이므로 F(0, 3), F'(0, -3) 타원 x€

a€+ y€b€=1 (b>a>0)의 두 초점이 F(0, 3), F'(0, -3)이

므로 b€-a€=3€=9 원과 타원이 x축 위의 점에서 접하므로 a€=9 4 b€=18 이때, 타원의 장축의 길이는 2b이므로 2_'ß18 =6'2

02

-1

 8 |해결 전략|타원 위의 한 점에서 두 초점에 이르는 거리의 합이 장축의 길이와 같음을 이용한다. 타원 x€_{4 +}y€_{3 =1의 두 초점의 좌표를 (c, 0), (-c, 0)이라 하면} c€=4-3=1 c=\1이므로 두 점 P(1, 0), C(-1, 0)은 모두 타원의 초점이다. 이때, 타원의 정의에 의하여 AC’+AP’=BC’+BP’=(장축의 길이)=2'4=4 따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 AC’+BC’+AB’ =AC’+BC’+AP’+BP’ =(AC’+AP’)+(BC’+BP’) =4+4=8

02

-2

 9 |해결 전략| 타원 위의 한 점에서 두 초점에 이르는 거리의 합이 장축의 길이와 같음을 이용한다. 타원 x€_{9 +25 =1의 두 초점을 (0, c), (0, -c)라 하면}y€ c€=25-9=16 c=\4이므로 두 점 A(0, 4), B(0, -4)는 모두 타원의 초점이다. 점 C는 타원 위의 점이므로 타원의 정 의에 의하여 CA’+CB’ =(장축의 길이) =2_5=10 yy㉠ y O x A(0, 4) B(0, -4) C ;::+;;::;=1 x€₉ y€₂₅ 삼각형 ABC는 3ACB=90^인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리 에 의하여

CA’ €+CB’ €=AB’ €=8€=64 yy㉡

㉠, ㉡에서 CA’_CB’=;2!;{(CA’+CB’)€-(CA’ €+CB’ €)} =;2!;(10€-64)=18 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 ;2!;_CA’_CB’=;2!;_18=9

03

-1

 9 |해결 전략| 타원의 정의와 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다. 타원 9x€+7y€=63에서 x€ 7 +y€9 =1 두 점 F, F'은 타원 x€_{7 +}y€_{9 =1의 두 초점이므로 PF’=a, PF'’=b} 라 하면 타원의 정의에 의하여 a+b=(장축의 길이)=2_3=6 yy㉠ 이때, a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

a+b>2'ßab (단, 등호는 a=b일 때 성립) ㉠에 의하여 6>2'ßab 4 ab<9 따라서 PF’_PF'’의 최댓값은 9이다. 다른 풀이 ㉠의 a+b=6에서 b=6-a 4 ab=a(6-a)=-(a-3)€+9 따라서 a=3, 즉 PF’=3일 때, PF’_PF'’의 최댓값은 9이다.

03

-2

 4 |해결 전략| 합 또는 곱이 일정할 때의 최대•최소는 산술평균과 기하평균의 관 계를 이용한다. 오른쪽 그림과 같이 타원 x€_{4 +y€=1} 위의 점 중에서 제1사분면 위의 점을 P(a, b)로 놓으면 a€ 4 +b€=1 이때, a€_{4 >0, b€>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여} a€

4 +b€>2Ƙa€4 _b€=ab {단, 등호는 a€4 =b€일 때 성립}

4 ab<1 따라서 직사각형의 넓이는 2a_2b=4ab<4_1=4 이므로 구하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 4이다. y O 2 -2 1 -1 x P(a, b) ;::+y€=1 x€₄

04

-1

 _{20 +}x€ (y-4)€₃₆ =1

|해결 전략| 초점의 x좌표가 같으므로 타원의 방정식을

(x-m)€

a€ + (y-n)€b€ =1 (b>a>0)로 놓는다.

타원의 중심은 두 초점의 중점이므로 (0, 4)이다.

이때, 두 초점의 x좌표가 같으므로 구하는 타원의 방정식을

x€

a€+ (y-4)€b€ =1 (b>a>0)로 놓을 수 있다.

장축의 길이가 12이므로 2b=12 4 b=6 타원의 중심 (0, 4)에서 초점 (0, 0)까지의 거리를 c라 하면 c=4이 므로 b€-a€=c€에서 a€=b€-c€=36-16=20 따라서 구하는 타원의 방정식은 x€ 20 +(y-4)€36 =1 다른 풀이 타원 위의 임의의 점 P의 좌표를 (x, y)라 하면 PA’+PB’=12이므로 "ƒx€+y€+"ƒx€+(y-8)€=12 "ƒx€+(y-8)€=12-"ƒx€+y€ 양변을 제곱하면 x€+(y-8)€=144-24"ƒx€+y€+x€+y€ 2y+10=3"ƒx€+y€ 다시 양변을 제곱하면 4y€+40y+100=9(x€+y€) 9x€+5(y-4)€=180 ∴ x€_{20 +}(y-4)€₃₆ =1

05

-1

 4 |해결 전략| 타원 (x-m)€

a€ + (y-n)€b€ =1 (a>b>0)의 두 초점 사이의 거

리를 2c라 할 때, c€=a€-b€이다. x€+5y€-2x-20y+16=0에서 (x-1)€+5(y-2)€=5 4 (x-1)€₅ +(y-2)€=1 주어진 타원의 두 초점 사이의 거리를 2c라 하면 c€=5-1=4 4 c=2 따라서 구하는 거리는 4이다.

05

-2

 6 |해결 전략| 타원의 중심은 A, B의 중점임을 이용한다. 2x€+y€-8x+6y+9=0에서 2(x-2)€+(y+3)€=8 4 (x-2)€₄ + (y+3)€₈ =1 주어진 타원의 중심을 G라 하면 G(2, -3) 단축의 길이 AB’는 AB’=2'4=4 이때, GA’=GB’= AB’_{2 =2이므로 단축} 의 양 끝점의 좌표는 (2-2, -3), (2+2, -3) 따라서 A(0, -3), B(4, -3)이라 하면 삼각형 OAB의 넓이는 ;2!;_4_3=6

3

쌍곡선

개념 확인 26쪽~30쪽 1 ⑴ 초점의 좌표: (5, 0), (-5, 0) 주축의 길이: 6 ⑵ 초점의 좌표: (0, 5), (0, -5) 주축의 길이: 8 2 ⑴ y=\;3$;x ⑵ y=\;3$;x 3 ⑴ 초점의 좌표: (5, 2), (-3, 2) 꼭짓점의 좌표: ('ß10+1, 2), (-'ß10+1, 2) ⑵ 초점의 좌표: (-2, 6), (-2, 0) 꼭짓점의 좌표: (-2, 5), (-2, 1) 4 ⑴ 타원 ⑵ 원 ⑶ 쌍곡선 ⑷ 포물선

1

⑴ 쌍곡선 x€ 3€- y€4€=1에서 "ƒ3€+4€='ß25=5이므로 초점의 좌표는 (5, 0), (-5, 0) 주축의 길이는 2_3=6 ⑵ 쌍곡선 x€ 3€- y€4€=-1에서 "ƒ3€+4€='ß25=5이므로 초점의 좌표는 (0, 5), (0, -5) 주축의 길이는 2_4=8

2

⑴ 쌍곡선 x€_{9 -16 =1의 점근선의 방정식은}y€ a=3, b=4이므로 y=\;3$;x y O A B x G(2, -3)

⑵ 쌍곡선 x€_{9 -16 =-1의 점근선의 방정식은}y€ a=3, b=4이므로 y=\;3$;x

3

⑴ 쌍곡선 (x-1)€₁₀ - (y-2)€₆ =1은 쌍곡선 x€_{10 -}y€_{6 =1을} x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때, 쌍곡선 _{10 -}x€ y€_{6 =1의 초점의 좌표는} ('ß10+6, 0), (-'ß10+6, 0), 즉 (4, 0), (-4, 0) 이고 꼭짓점의 좌표는 ('ß10, 0), (-'ß10, 0)이므로 주어진 쌍 곡선의 초점의 좌표는 (5, 2), (-3, 2), 꼭짓점의 좌표는 ('ß10+1, 2), (-'ß10+1, 2)이다. ⑵ 쌍곡선 (x+2)€₅ - (y-3)€₄ =-1은 쌍곡선 x€_{5 -}y€_{4 =-1} 을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 한 것이다. 이때, 쌍곡선 x€_{5 -}y€_{4 =-1의 초점의 좌표는} (0, 'ß5+4 ), (0, -'ß5+4 ), 즉 (0, 3), (0, -3) 이고 꼭짓점의 좌표는 (0, 2), (0, -2)이므로 주어진 쌍곡선 의 초점의 좌표는 (-2, 6), (-2, 0), 꼭짓점의 좌표는 (-2, 5), (-2, 1)이다. 쌍곡선의 중심의 좌표를 이용하여 초점의 좌표와 꼭짓점의 좌표를 구할 수도 있다. ⑴에서 쌍곡선 (x-1)€₁₀ - (y-2)€₆ =1의 중심의 좌표는 (1, 2)이다. 쌍곡선의 주축이 x축에 평행하고 쌍곡선의 중심 (1, 2)에서 초점까지의 거리는 'ß10+6='ß16=4이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 (1+4, 2), (1-4, 2), 즉 (5, 2), (-3, 2) 또, 쌍곡선의 중심 (1, 2)에서 꼭짓점까지의 거리는 'ß10이므로 주어진 쌍곡선의 꼭짓점의 좌표는 (1+'ß10, 2), (1-'ß10, 2) LECTURE

4

⑴ 4x€+y€-8=0에서 4x€+y€=8 4 x€_{2 +}y€_{8 =1} 따라서 주어진 방정식은 타원을 나타낸다. ⑵ x€+y€+4x-3=0에서 (x+2)€+y€=7 따라서 주어진 방정식은 원을 나타낸다. ⑶ x€-2y€+6x+3=0에서 (x+3)€-2y€=6 4 (x+3)€₆ - y€_{3 =1} 따라서 주어진 방정식은 쌍곡선을 나타낸다. ⑷ y€-2x+8y+4=0에서 (y+4)€=2x+12 4 (y+4)€=2(x+6) 따라서 주어진 방정식은 포물선을 나타낸다. 개념 check 1-1 ⑴ 9, 7 ⑵ 6, 3 ⑶ 144, 25 2-1 (2, 4), (-4, 4), y=\'2_{2 (x+1)+4}

개념 드릴

| 31쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ x€_{9 -16 =-1 ⑵} y€ x€_{2 -}y€_{7 =1}

⑶ x€-_{15 =-1 ⑷} y€ x€_{36 -13 =1 ⑸} y€ _{11 -}x€ _{25 =-1}y€

⑴ 구하는 쌍곡선의 방정식을 x€

a€- y€b€=-1 (a>0, b>0)이라 하

면 2b=8에서 b=4 a€+b€=5€에서 a€=5€-4€=9 4 x€_{9 -16 =-1}y€ ⑵ 구하는 쌍곡선의 방정식을 x€ ('2 )€- y€b€=1이라 하면 ('2 )€+b€=3€에서 b€=3€-('2 )€=7 4 x€_{2 -}y€_{7 =1} ⑶ 구하는 쌍곡선의 방정식을 x€ a€- y€('ß15 )€=-1이라 하면 a€+('ß15 )€=4€에서 a€=4€-('ß15 )€=1 4 x€- y€_{15 =-1} ⑷ 구하는 쌍곡선의 방정식을 x€

a€- y€b€=1 (a>0, b>0)이라 하면 2a=12에서 a=6

a€+b€=7€에서 b€=7€-6€=13

4 _{36 -}x€ _{13 =1}y€

⑸ 구하는 쌍곡선의 방정식을 x€

a€- y€b€=-1 (a>0, b>0)이라 하

면 2b=10에서 b=5 a€+b€=6€에서 a€=6€-5€=11 4 _{11 -}x€ _{25 =-1}y€

2

-2

 ⑴ 초점의 좌표: (4, 0), (-4, 0) 점근선의 방정식: y=\'ß15x ⑵ 초점의 좌표: (2, 3'5 ), (2, -3'5 ) 점근선의 방정식: y=\2(x-2) ⑶ 초점의 좌표: (2'5-4, -1), (-2'5-4, -1) 점근선의 방정식: y=\2(x+4)-1 두 초점이 y축 위에 있는 경우 두 초점이 x축 위에 있는 경우 두 초점이 y축 위에 있는 경우 두 초점이 x축 위에 있는 경우 두 초점이 y축 위에 있는 경우

⑴ 쌍곡선 x€- y€_{15 =1, 즉} x€_{1 -15 =1에서} y€ 'ß1+15='ß16=4이므로 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0) 점근선의 방정식은 y=\ 'ß15_{1 x, 즉 y=\'ß15x} ⑵ 쌍곡선 (x-2)€₉ - y€_{36 =-1은 쌍곡선} x€_{9 -36 =-1을 x축}y€ 의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때, 쌍곡선 x€_{9 -36 =-1의 초점의 좌표는}y€ (0, 'ß9+36 ), (0, -'ß9+36 ), 즉 (0, 3'5 ), (0, -3'5 ) 이고 점근선의 방정식은 y=\;3^;x, 즉 y=\2x 이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 (2, 3'5 ), (2, -3'5 ), 점 근선의 방정식은 y=\2(x-2)이다. ⑶ 쌍곡선 (x+4)€₄ - (y+1)€₁₆ =1은 쌍곡선 x€_{4 -16 =1을 x축}y€ 의 방향으로 -4만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이다. 이때, 쌍곡선 x€_{4 -16 =1의 초점의 좌표는}y€ ('ß4+16, 0), (-'ß4+16, 0), 즉 (2'5, 0), (-2'5, 0) 이고 점근선의 방정식은 y=\;2$;x, 즉 y=\2x 이므로 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 (2'5-4, -1), (-2'5-4, -1), 점근선의 방정식은 y=\2(x+4)-1이다.

필수 유형

| 32쪽~38쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 x€_{9 -16 =1}y€ |해결 전략| 두 초점이 x축 위에 있고 중심이 원점이므로 쌍곡선의 방정식을 x€

a€- y€b€=1 (a>0, b>0)로 놓고, 주축의 길이가 2a임을 이용한다.

두 초점이 모두 x축 위에 있고 중심이 원점이므로 쌍곡선의 방정식을

x€

a€- y€b€=1 (a>0, b>0)이라 하자.

두 초점을 F(c, 0), F'(-c, 0) (c>0)이라 하면 두 초점 사이의 거 리는 2c이므로

2c=10 4 c=5

c€=a€+b€에서 a€+b€=5€=25 yy㉠

주축의 길이는 2a이므로 2a=6 4 a=3 yy㉡

㉠, ㉡에서 a€=9, b€=16 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 x€ 9 -16 =1y€

01

-2

 9x€-y€=-1 |해결 전략| 두 초점이 y축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식을 x€

a€- y€b€=-1 (a>0, b>0)로 놓고, 점근선은 y=\;aB;x임을 이용한다.

두 초점이 모두 y축 위에 있는 쌍곡선이 원 x€+y€=1에 접하므로 오른쪽 그림 에서 두 꼭짓점의 좌표는 (0, 1), (0, -1) 구하는 쌍곡선의 방정식을 x€

a€- y€b€=-1 (a>0, b>0)이라

하면 꼭짓점의 좌표는 (0, b), (0, -b)

이므로

b=1 yy㉠

점근선의 방정식은 y=\;aB;x이므로

;aB;=3 4 b€=9a€ yy㉡

㉠, ㉡에서 a€=;9!;, b€=1

따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은

x€

;9!;- y€1 =-1 4 9x€-y€=-1

02

-1

 5

|해결 전략| 쌍곡선 x€_a€- y€_b€=1 (a>0, b>0)의 점근선 y=;aB;x가 x축의 양

의 방향과 이루는 각의 크기를 구한다. 쌍곡선 x€_{9 -}y€_{3 =1의 두 점근선의 방정식은} y=\ '3_{3 x} 직선 y= '3_{3 x가 x축의 양의 방향과 이루} 는 각의 크기는 h2 이므로 (기울기)=tan h2 ='33 에서 h 2 =30^ 4 h=60^ 따라서 cos h=cos 60^=;2!;이므로 10 cos h=10_;2!;=5

02

-2

 14 |해결 전략| 쌍곡선 x€ a€- y€b€=-1의 두 점근선이 서로 수직으로 만나면 두 점 근선의 기울기의 곱이 -1임을 이용한다. 점 (3, 4)가 쌍곡선 x€ a€- y€b€=-1 위의 점이므로 9 a€- 16b€=-1 yy㉠ y y=-3x y=3x x€+y€=1 O x y O x y=;;::;x'3 ₃ y=-;;::;x'3 ₃ ;;;:h₂ ;;;:h₂

쌍곡선의 점근선의 방정식은 y=\;aB;x 그런데 두 점근선이 서로 수직으로 만나므로 ;aB;_{-;aB;}=-1, b€_a€=1 4 a€=b€ yy㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 - 7 b€=-1 4 a€=7, b€=7 4 a€+b€=14

03

-1

 13 |해결 전략| 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점에 이르는 거리의 차는 주축의 길이와 같음을 이용한다. 쌍곡선 x€_{9 -16 =1의 주축의 길이는 2_'9=6이므로 쌍곡선의 정}y€ 의에 의하여 PF'’-PF’=6 yy㉠ QF'’-QF’=6 yy㉡ PF'’=10, QF'’=15이므로 ㉠에서 PF’=PF'’-6=4 ㉡에서 QF’=QF'’-6=9 4 PF’+QF’=4+9=13

04

-1

 9 |해결 전략| 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점에 이르는 거리의 차는 일정하고, 원의 지름의 원주각의 크기는 90^임을 이용한다. 쌍곡선 _{16 -}x€ y€_{9 =1에서 'ß16+9=5이므로} F(5, 0), F'(-5, 0) 4 FF'’=5-(-5)=10 원의 지름의 원주각의 크기는 90^이므로 3FPF'=90^ 즉, 삼각형 PFF'은 3FPF'=90^인 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 PF’ €+PF'’ €=FF'’ €=10€=100 yy㉠ 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'’-PF’=2_'ß16=8 yy㉡ ㉠, ㉡에서 PF’_PF'’=-;2!; {(PF'’- PF’)€-(PF’ €+PF'’ €)} =-;2!;(8€-100)=18 따라서 삼각형 PFF'의 넓이는 ;2!;_PF’_PF'’=;2!;_18=9

05

-1

 (x-2)€-y€_{4 =-1} |해결 전략| 두 초점의 x좌표가 같으므로 쌍곡선의 방정식을 (x-m)€

a€ - (y-n)€b€ =-1 (a>0, b>0)로 놓는다.

쌍곡선의 중심은 두 초점의 중점이므로 (2, 0)이다.

이때, 두 초점의 x좌표가 같으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을

(x-2)€

a€ - y€b€=-1 (a>0, b>0)로 놓을 수 있다.

주축의 길이가 4이므로 2b=4 4 b=2 쌍곡선의 중심 (2, 0)에서 초점 (2, '5 )까지의 거리를 c라 하면 c='5이므로 a€+b€=c€에서 a€=c€-b€=5-4=1 따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 (x-2)€- y€_{4 =-1}

06

-1

 6 |해결 전략| 주어진 쌍곡선의 방정식을 완전제곱식의 차로 변형하여 (x-m)€ a€ - (y-n)€b€ =\1 꼴로 고친다. x€-y€+6y-11=0에서 x€-(y-3)€=2 4 x€_{2 -}(y-3)€₂ =1 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x€_{2 -}y€_{2 =1을 y축의 방향으로 3만큼 평행} 이동한 것이다. 쌍곡선 x€_{2 -}y€_{2 =1에서} 'ß2+2=2이므로 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0) 따라서 주어진 쌍곡선의 초점 F, F'의 좌표는 (2, 3), (-2, 3)이 므로 삼각형 OFF'의 넓이는 ;2!;_FF'’_3=;2!;_4_3=6

06

-2

 4 |해결 전략| 주어진 쌍곡선의 방정식을 완전제곱식의 차로 변형하여 (x-m)€ a€ - (y-n)€b€ =\1 꼴로 고친다. 4x€-5y€+8x+20y+4=0에서 4(x+1)€-5(y-2)€=-20 4 (x+1)€₅ - (y-2)€₄ =-1 주어진 쌍곡선은 쌍곡선 x€_{5 -}y€_{4 =-1을 x축의 방향으로 -1만} 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. y O x F'(-2, 3) F(2, 3) ;::-;;::::::;=1 x€ 2 (y-3)€2

쌍곡선 x€_{5 -}y€_{4 =-1에서} 'ß5+4=3이므로 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3) 점근선의 방정식은 y=\ 2 '5x 따라서 주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는 (-1, 5), (-1, -1) 점근선의 방정식은 y=\ 2 '5(x+1)+2 따라서 p=-1, q=-1, m=2 (5 m>0), n=2이므로 pqmn=(-1)_(-1)_2_2=4

07

-1

 3

|해결 전략| Ax€+By€=C (A>0)가 타원이 되기 위한 조건은 B>0, A+B,

C>0임을 이용한다. 2x€+ky€-2ky+k€+k-16=0에서 2x€+k(y-1)€=-k€+16 이 방정식이 나타내는 도형이 타원이려면 k>0, k+2, -k€+16>0 4 0<k<2 또는 2<k<4 따라서 정수 k의 최댓값은 3이다.

07

-2

 6 |해결 전략| Ax€-By€=C (A>0)가 주축이 x축에 평행한 쌍곡선이 되기 위 한 조건은 B>0, C>0임을 이용한다. x€-ay€+2ay-4=0에서 x€-a(y-1)€=-a+4 이 방정식이 나타내는 도형이 x축에 평행한 주축을 갖는 쌍곡선이려 면 a>0, -a+4>0 4 0<a<4 이 식을 만족시키는 정수는 a=1, 2, 3 따라서 모든 정수 a의 값의 합은 1+2+3=6

유형 드릴

| 39쪽~41쪽 |

3

S

T

EP

1

-1

 3 |해결 전략 | 초점이 F(0, p), 준선이 y=-p인 포물선의 방정식은 x€=4py (p+0)이다. 초점이 F(0, 3)이고 준선이 y=-3인 포물선의 방정식은 x€=4py 에서 p=3이므로 x€=4_3_y, 즉 x€=12y 이 포물선이 점 (6, k)를 지나므로 6€=12k 4 k=3

1

-2

 y€=-8x |해결 전략 | 초점이 F(p, 0), 준선이 x=-p인 포물선의 방정식은 y€=4px (p+0)이다. 원 (x+2)€+y€=1의 중심의 좌표는 (-2, 0)이다. 따라서 점 (-2, 0)을 초점으로 하고 준선이 x=2인 포물선의 방정 식은 y€=4px에서 p=-2이므로 y€=4_(-2)_x, 즉 y€=-8x

2

-1

 6 |해결 전략 | 포물선 위의 임의의 점에서 초점과 준선에 이르는 거리는 같음을 이 용한다. 포물선 x€=4y=4_1_y의 준선의 방정식은 y=-1이다. 오른쪽 그림과 같이 점 A(4, 5)를 지나고 y축에 평행한 직선과 준선 이 만나는 점을 H라 하면 AH’=5-(-1)=6 포물선의 정의에 의하여 PF’=PH’이므로 AP’+PF’=AP’+PH’=AH’=6

2

-2

 11 |해결 전략 | 포물선 위의 임의의 점에서 초점과 준선에 이르는 거리는 같음을 이 용한다. 포물선 y€=12x=4_3_x의 준선의 방정식은 x=-3이다. 오른쪽 그림과 같이 점 A(8, 7)을 지 나고 x축에 평행한 직선과 준선이 만 나는 점을 H라 하면 AH’=8-(-3)=11 포물선의 정의에 의하여 PF’=PH’이므로 AP’+PF’=AP’+PH’=AH’=11

3

-1

 4 |해결 전략 | 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 세 점 B, P, H가 일직 선 위에 있을 때 PH’+PB’의 값이 최소이다. 포물선 y€=-4x=4_(-1)_x의 초점은 A(-1, 0), 준선의 방 정식은 x=1이다. H -1 P A(4, 5) y=-1 x€=4y y O F x A(8, 7) x=-3 y€=12x y O -3 P F H x

오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 x=1 에 내린 수선의 발을 H라 하면 PA’=PH’ 이므로 PA’+PB’=PH’+PB’ 이때, 점 B에서 준선에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 점 P가 BH'’ 위에 있을 때 PH’+PB’는 최솟값을 가지므로 PA’+PB’ =PH’+PB’ >BH'’=1-(-3)=4 따라서 PA’+PB’의 최솟값은 4이다.

3

-2

  6 |해결 전략 | 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하면 세 점 B, P, H가 일직 선 위에 있을 때 PH’+PB’의 값이 최소이다. 포물선 x€=4y=4_1_y의 초점은 A(0, 1), 준선의 방정식은 y=-1이다. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 y=-1에 내린 수선의 발을 H라 하 면 PA’=PH’이므로 PA’+PB’=PH’+PB’ 이때, 점 B에서 준선에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 점 P가 BH'’ 위에 있을 때 PH’+PB’는 최솟값을 가지므로 PA’+PB’ =PH’+PB’ >BH'’=5-(-1)=6 따라서 PA’+PB’의 최솟값은 6이다.

4

-1

  y€=8 {x+;2!;} |해결 전략 | 점 P(x, y)에서 직선 x=-;2%;에 내린 수선의 발을 H라 하면  PA’=PH’임을 이용한다. 점 P(x, y)에서 직선 x=-;2%;에 내린 수선의 발을 H라 하면 PA’=PH’이므로 Ƙ {x-;2#;}€+y€=|x+;2%;| 양변을 제곱하면 {x-;2#;}€+y€={x+;2%;}€ ∴ y€=8 {x+;2!;} 다른 풀이 1   주어진 곡선 위의 임의의 점 P(x, y)에서 점 A{;2#;, 0}과 직선 x=-;2%;에 이 르는 거리가 같으므로 이 곡선은 점 A{;2#;, 0}을 초점, 직선 x=-;2%;를 준선 으로 하는 포물선이다. 준선이 y축에 평행하므로 주어진 곡선은 포물선 y€=4px (p+0)를 평행이 동한 것이다. B(2, 5) A(0, 1) x€=4y y=-1 y O H P H' -1 x 점 P가 나타내는 곡선은 포물선이다. 주어진 곡선의 방정식을 (y-n)€=4p(x-m)으로 놓으면 초점의 좌표는  (p+m, n), 준선의 방정식은 x=-p+m이다. 이때, 초점이 A{;2#;, 0}, 준선의 방정식이 x=-;2%;이므로 p+m=;2#;, n=0, -p+m=-;2%; ∴ p=2, m=-;2!;, n=0 따라서 구하는 곡선의 방정식은 y€=4_2_{x+;2!;} ∴ y€=8 {x+;2!;} 다른 풀이 2   주어진 곡선은 점 A{;2#;, 0}을 초점, 직선 x=-;2%;를 준선으로 하는 포물선이다. 오른쪽 그림에서 포물선의 꼭짓점의 좌표는 포 물선의 정의에 의하여 {-;2!;, 0}이다.  이때, 포물선의 준선 x=-;2%;가 y축에 평행하 므로 구하는 포물선의 방정식을  y€=4p{x+;2!;}  yy㉠ 로 놓을 수 있다.  포물선 ㉠은 포물선 y€=4px를 x축의 방향으로 -;2!;만큼 평행이동한 것이 므로 포물선 ㉠의 초점의 좌표는 {p-;2!;, 0}이다. 즉, p-;2!;=;2#;에서 p=2 따라서 구하는 곡선의 방정식은 y€=4_2 _{x+;2!;} 4 y€=8 {x+;2!;}

4

-2

  x€=-16(y-1) |해결 전략 | 점 P에서 직선 y=5에 내린 수선의 발을 H라 하면 PA’=PH’임을  이용한다.

점 P(x, y)에서 직선 y=5에 내린 수선의 발을 H라 하면 PA’=PH’ 이므로 "ƒx€+(y+3)€=|y-5| 양변을 제곱하면 x€+(y+3)€=(y-5)€ ∴ x€=-16(y-1) 다른 풀이 1   주어진 곡선 위의 임의의 점 P(x, y)에서 점 A(0, -3)과 직선 y=5에 이르 는 거리가 같으므로 이 곡선은 점 A(0, -3)을 초점, 직선 y=5를 준선으로  하는 포물선이다. 준선이 x축에 평행하므로 주어진 곡선은 포물선 x€=4py (p+0)를 평행이 동한 것이다. y P(x, y) A{;2#;, 0} x=-;2%; -;2%; O x B(-3, -2) x=1 y€=-4x y A(-1, 0) 1 O x P H H'

주어진 곡선의 방정식을 (x-m)€=4p(y-n)으로 놓으면 초점의 좌표는 (m, p+n), 준선의 방정식은 y=-p+n이다. 이때, 초점이 A(0, -3), 준선의 방정식이 y=5이므로 m=0, p+n=-3, -p+n=5 ∴ p=-4, m=0, n=1 따라서 구하는 곡선의 방정식은 x€=4_(-4)_(y-1) ∴ x€=-16(y-1) 다른 풀이 2 주어진 곡선은 점 A(0, -3)을 초점, 직선 y=5를 준선으로 하는 포물선이다. 오른쪽 그림에서 포물선의 꼭짓점의 좌 표는 포물선의 정의에 의하여 (0, 1)이다. 이때, 포물선의 준선 y=5가 x축에 평행 하므로 구하는 포물선의 방정식을 x€=4p(y-1) yy㉠ 로 놓을 수 있다. 포물선 ㉠은 포물선 x€=4py를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 포물선 ㉠의 초점의 좌표는 (0, p+1)이다. 즉, p+1=-3에서 p=-4 따라서 구하는 곡선의 방정식은 x€=4_(-4)_(y-1) 4 x€=-16(y-1)

5

-1

 x€_{13 +}y€_{4 =1} |해결 전략 | 초점이 x축 위에 있으므로 타원의 방정식을 x€

a€+ y€b€=1 (a>b>0)로 놓는다.

y=;3@;x-2에서 F(3, 0), A(0, -2)이므로 구하는 타원의 방정식을

x€

a€+ y€b€=1 (a>b>0)이라 하면 b=2, a€-b€=3€ 4 a€=3€+b€=3€+2€=13 따라서 구하는 타원의 방정식은 x€ 13 +y€4 =1

5

-2

 27 |해결 전략 | 주어진 타원 x€_a€+ y€_b€=1에서 정사각형의 성질을 이용하여 초점 의 좌표를 구한다. 사각형 AFBF'은 정사각형이고 대각선의 길이가 FF'’=6이므로 OA’=;2!; FF'’=;2!;_6=3 4 a=OA’=3 y O 5 x P(x, y) A(0, -3) y=5 OF’=OF'’=;2!; FF'’=;2!;_6=3이므로 F(0, 3), F'(0, -3) b€-a€=3€에서 b€=3€+a€=3€+3€=18 4 a€+b€=3€+18=27

6

-1

 40 |해결 전략 | 합 또는 곱이 일정할 때의 최대•최소는 산술평균과 기하평균의 관 계를 이용한다. 주어진 타원의 중심을 원점, 장축과 단축 을 각각 y축, x축으로 하는 좌표평면 위에 타원을 나타내면 오른쪽 그림과 같다. 이때, 타원의 네 꼭짓점의 좌표는 (0, 5), (0, -5), (4, 0), (-4, 0) 이므로 이 타원의 방정식은 x€ 4€+ y€5€=1 yy㉠ 제1사분면에 있는 직사각형의 꼭짓점의 좌표를 P(a, b) (a>0, b>0)라 하면 점 P는 타원 ㉠ 위에 있으므로 a€ 4€+ b€5€=1 a€ 4€>0, b€5€>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 a€ 4€+ b€5€ >2Ƙ a€4€_ b€5€ {단, 등호는 a€4€= b€5€일 때 성립} 1> ab₁₀ 4 ab<10 따라서 직사각형의 넓이는 2a_2b=4ab<4_10=40 이므로 구하는 직사각형의 넓이의 최댓값은 40이다.

6

-2

 25 |해결 전략 | 타원의 정의와 산술평균과 기하평균의 관계를 이용한다. 타원 x€_{25 +}y€_{9 =1에서 'ß25-9=4이므로 초점의 좌표는} (4, 0), (-4, 0) 즉, 두 점 A(4, 0), B(-4, 0)은 이 타원의 초점이다. 이때, 타원 _{25 +}x€ y€_{9 =1을 좌표평} 면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다. PA’=a, PB’=b라 하면 타원의 정 의에 의하여 a+b=(장축의 길이)=2_5=10 yy㉠ a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 a+b>2'ßab (단, 등호는 a=b일 때 성립)

㉠에 의하여 'ßab<5 4 ab<25 따라서 PA’_PB’의 최댓값은 25이다. P(a, b) y O x -4 4 5 -5 -5 5 y O 3 -3 P x B(-4, 0) A(4, 0) ;;::;+;::=1 x€₂₅ y€₉

다른 풀이 ㉠의 a+b=10에서 b=10-a 4 ab=a(10-a)=-(a-5)€+25 따라서 a=5, 즉 PA’=5일 때, PA’_PB’의 최댓값은 25이다.

7

-1

 8 |해결 전략 | 타원의 방정식을 표준형으로 고친 후 타원의 정의를 이용한다. x€+4y€-4x-8y+4=0에서 (x-2)€+4(y-1)€=4 4 (x-2)€₄ +(y-1)€=1 두 점 A, B는 타원 위의 점이므로 타원의 정의에 의하여 AF’+AF'’=BF’+BF'’=(장축의 길이)=2_'4=4 따라서 사각형 AFBF'의 둘레의 길이는 AF’+BF’+BF'’+AF'’ =(AF’+AF'’)+(BF’+BF'’) =4+4=8

7

-2

 8 |해결 전략 | 타원의 방정식을 표준형으로 고친 후 타원의 정의를 이용한다. 4x€+3y€-8x-12y+4=0에서 4(x-1)€+3(y-2)€=12 4 (x-1)€₃ + (y-2)€₄ =1 두 점 A, B는 타원 위의 점이므로 타원의 정의에 의하여 AF’+AF'’=BF’+BF'’=(장축의 길이)=2_'4=4 따라서 두 삼각형 APF', BFP의 둘레의 길이의 합은 (AP’+PF'’+AF'’)+(BP’+PF’+BF’) =(AP’+PF’)+AF'’+BF’+(BP’+PF'’) =(AF’+AF'’)+(BF’+BF'’) =4+4=8

8

-1

 5

|해결 전략 | 쌍곡선 x€_a€- y€_b€=1의 초점의 좌표는 (\"ƒa€+b€, 0)이다.

쌍곡선 x€_{4 -}y€_{5 =1의 두 초점을 F, F'이라 하면 'ß4+5=3이므로} 두 초점 F, F'의 좌표는 (3, 0), (-3, 0) 초점 F(3, 0)을 지나고 x축에 수 직인 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점 P, Q의 x좌표는 3이므로 3€ 4 -y€5 =1에서 y€ 5 =;4(;-1=;4%; 4 y=\;2%; Q P F'(-3, 0) F(3, 0) y O x ;::-;::=1 x€ 4 y€5 따라서 P {3, ;2%;}, Q {3, -;2%;}라 하면 선분 PQ의 길이는 ;2%;-{-;2%;}=5 참고 쌍곡선 x€_{4 -}y€_{5 =1의 그래프가 y축에 대하여 대칭이므로 다른 초점} F'(-3, 0)에 대한 결과도 같다.

8

-2

 :¡3¢:

|해결 전략 | 쌍곡선 x€_a€- y€_b€=-1의 초점의 좌표는 (0, \"ƒa€+b€ )이다.

쌍곡선 x€_{7 -}y€_{9 =-1의 두 초점을 F, F'이라 하면 'ß7+9=4이므} 로 두 초점 F, F'의 좌표는 (0, 4), (0, -4) 초점 F(0, 4)를 지나고 y축에 수직 인 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점 P, Q의 y좌표는 4이므로 x€ 7 -4€9 =-1에서 x€ 7 =:¡9§:-1=;9&; 4 x=\;3&; 따라서 P {;3&;, 4}, Q {-;3&;, 4}라 하면 선분 PQ의 길이는 ;3&;-{-;3&;}=:¡3¢: 참고 쌍곡선 x€_{7 -}y€_{9 =-1의 그래프가 x축에 대하여 대칭이므로 다른 초점} F'(0, -4)에 대한 결과도 같다.

9

-1

 24 |해결 전략 | 두 꼭짓점과 두 점근선의 기울기를 구하고 둘러싸인 도형이 마름모 임을 확인한다. 9x€-16y€=-144에서 x€_{16 -}y€_{9 =-1이므로} 꼭짓점의 좌표는 (0, \3), 점근선의 기울기는 \;4#; 따라서 쌍곡선의 꼭짓점을 지나고 점 근선과 평행한 4개의 직선으로 둘러싸 인 도형은 오른쪽 그림과 같은 마름모 이므로 구하는 넓이는 ;2!;_8_6=24 y O P Q x F'(0, -4) F(0, 4) ;::-;::=-1 x€₇ y€₉ y O 4 3 -4 -3 x

9

-2

  20'2 |해결 전략 | 두 꼭짓점과 두 점근선의 기울기를 구하고 둘러싸인 도형이 마름모 임을 확인한다. 8x€-25y€-200=0에서 x€_{25 -}y€_{8 =1이므로} 꼭짓점의 좌표는 (\5, 0), 점근선의 기울기는 \ 2'2₅ 따라서 쌍곡선의 꼭짓점을 지나고 점 근선과 평행한 4개의 직선으로 둘러싸 인 도형은 오른쪽 그림과 같은 마름모 이므로 구하는 넓이는 ;2!;_10_4'2=20'2

10

-1

  13 |해결 전략 | 쌍곡선의 초점의 좌표를 구한 후 쌍곡선의 정의를 이용한다. 쌍곡선 x€_{16 -}y€_{9 =1에서 'ß16+9=5이므로 두 초점은} F(5, 0), F'(-5, 0) 따라서 원의 반지름의 길이는 5이므로 PF’=5 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'’-PF’=2_'ß16=8 4 PF'’=8+PF’=8+5=13

10

-2

  2 |해결 전략 | 쌍곡선의 초점의 좌표를 구한 후 쌍곡선의 정의를 이용한다. 쌍곡선 x€_{4 -}y€_{5 =1에서 'ß4+5=3이므로 두 초점은} F(3, 0), F'(-3, 0) 따라서 원의 반지름의 길이는 FF'’=6이므로 PF'’=6 쌍곡선의 정의에 의하여 PF'’-PF’=2_'4=4 4 PF’=PF'’-4=6-4=2

11

-1

  6 |해결 전략 | 주어진 쌍곡선의 방정식을 완전제곱식의 차로 변형하여  (x-m)€ a€ - (y-n)€b€ =\1 꼴로 고친다. x€-4y€-2x+24y-39=0에서 (x-1)€-4(y-3)€=4 4 (x-1)€₄ -(y-3)€=1 yy㉠ 주어진 쌍곡선 ㉠은 쌍곡선 x€_{4 -}y€_{1 =1을 x축의 방향으로 1만큼,} y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. y O 5 -5 -2'2 2'2 x 이때, 쌍곡선 x€_{4 -}y€_{1 =1의 꼭짓점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0)이므로} 주어진 쌍곡선 ㉠의 꼭짓점의 좌표는 (3, 3), (-1, 3)이다. 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 ;2!;_AB’_3=;2!;_4_3 =6 다른 풀이   쌍곡선 ㉠의 중심을 G라 하면 G(1, 3) 오른쪽 그림에서 주축의 길이 AB’는  AB’=2'4=4 이때, 쌍곡선의 중심은 두 꼭짓점의 중점이므로 GA’=GB’= AB’_{2 =2} 따라서 꼭짓점의 좌표는 (1\2, 3)이므로 A(3, 3), B(-1, 3)이라 하면 삼각형 OAB의 넓이는 ;2!;_4_3=6

11

-2

  6 |해결 전략 | 주어진 쌍곡선의 방정식을 완전제곱식의 차로 변형하여 (x-m)€ a€ - (y-n)€b€ =\1 꼴로 고친다. 5x€-4y€-20x+8y+36=0에서 5(x-2)€-4(y-1)€=-20 4 (x-2)€₄ - (y-1)€₅ =-1 yy㉠ 주어진 쌍곡선 ㉠은 쌍곡선 x€_{4 -}y€_{5 =-1을 x축의 방향으로 2만} 큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 이때, 쌍곡선 x€_{4 -}y€_{5 =-1에서 'ß4+5=3이므로 초점의 좌표는} (0, 3), (0, -3) 따라서 주어진 쌍곡선 ㉠의 두 초점 F, F'의 좌표는 (2, 4), (2, -2)이므로 삼각형 OFF'의 넓이는 ;2!;_FF'’_2=;2!;_6_2=6 다른 풀이   쌍곡선 ㉠의 중심을 G라 하면 G(2, 1) 오른쪽 그림에서 FF'’=2c라 하면 c€=4+5    4 c=3 이때, 쌍곡선의 중심은 두 초점의 중점이므로 GF’=GF'’= FF'’_{2 =c=3} 따라서 초점의 좌표는 (2, 1\3)이므로 F(2, 4), F'(2, -2)라 하면 삼각형 OFF'의 넓이는 ;2!;_6_2=6 B(-1, 3) A(3, 3) y O x B A G(1, 3) y O x F'(2, -2) F(2, 4) y O x G(2, 1) F' F y O x

1

이차곡선과 직선의 위치 관계

개념 확인 44쪽 1 ⑴ 만나지 않는다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다.

1

⑴ y=x+2를 y€=5x에 대입하면 (x+2)€=5x 4 x€-x+4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=(-1)€-4_1_4=-15<0 이므로 만나지 않는다. ⑵ y=x+2를 3x€+y€=6에 대입하면 3x€+(x+2)€=6 4 2x€+2x-1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=1€-2_(-1)=3>0 이므로 서로 다른 두 점에서 만난다. 개념 check 1-1 ⑴ >, 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 0, 한 점에서 만난다. (접한다.) ⑶ <, 만나지 않는다.

개념 드릴

| 45쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑶ 만나지 않는다. ⑷ 한 점에서 만난다. (접한다.)

⑴ x+y=0, 즉 y=-x를 x€=-4y에 대입하면

x€=-4_(-x) 4 x€-4x=0

| 이차곡선과 직선

2

이 이차방정식의 판별식을 ;;4Î;;=(-2)€-1_0=4>0D라 하면 이므로 서로 다른 두 점에서 만난다. ⑵ y=2x-1을 5x€+3y€=2에 대입하면 5x€+3(2x-1)€=2 5x€+12x€-12x+3=2 4 17x€-12x+1=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(-6)€-17_1=19>0 이므로 서로 다른 두 점에서 만난다.

⑶ 3x-y-2=0, 즉 y=3x-2를 3x€-y€=8에 대입하면

3x€-(3x-2)€=8 3x€-9x€+12x-4=8 4 x€-2x+2=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(-1)€-1_2=-1<0 이므로 만나지 않는다.

⑷ 2x+y+1=0, 즉 y=-2x-1을 10x€-3y€=15에 대입하면

10x€-3(-2x-1)€=15 10x€-12x€-12x-3=15 4 x€+6x+9=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=3€-1_9=0 이므로 한 점에서 만난다. (접한다.)

필수 유형

| 46쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 ⑴ k<-1 또는 k>1 ⑵ k=\1 ⑶ -1<k<1 |해결 전략| 쌍곡선의 방정식과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식을 조사한다.

2x+y+k=0, 즉 y=-2x-k를 2x€-y€=1에 대입하면 2x€-(-2x-k)€=1

4 2x€+4kx+k€+1=0

이 이차방정식의 판별식을 D라 하면

⑴ ;;4Î;;=2(k€-1)>0이어야 하므로 (k+1)(k-1)>0 4 k<-1 또는 k>1 ⑵ ;;4Î;;=2(k€-1)=0이어야 하므로 k=\1 ⑶ ;;4Î;;=2(k€-1)<0이어야 하므로 (k+1)(k-1)<0 4 -1<k<1

01

-2

 k>20 |해결 전략| 한 문자를 소거한 방정식의 실근의 개수와 타원과 직선의 교점의 개 수는 같음을 이용한다. y=x+5를 4x€+y€-k=0에 대입하면 4x€+(x+5)€-k=0 4 5x€+10x+25-k=0 yy㉠ 타원과 직선의 교점의 개수는 이차방정식 ㉠의 실근의 개수와 같으 므로 서로 다른 두 점에서 만나려면 ㉠이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 따라서 이차방정식 ㉠의 판별식을 D라 하면 D>0이어야 하므로 ;;4Î;;=5€-5(25-k)=-100+5k=-5(20-k)>0 20-k<0 4 k>20

2

이차곡선의 접선의 방정식

개념 확인 47쪽~50쪽

1 ⑴ y=x+4 ⑵ y=x\3 ⑶ y=x\'7

2 ⑴ y=2x-2 ⑵ y=x+4 ⑶ y=x-1

3 3x+2y+8=0 또는 y=2

1

⑴ y€=16x=4_4_x에서 p=4이므로 기울기가 1인 접선의 방 정식은 y=x+;1$; 4 y=x+4 ⑵ x€_{4 +}y€_{5 =1에서 a€=4, b€=5이므로 기울기가 1인 접선의} 방정식은 y=x\"ƒ4_1€+5 4 y=x\3 ⑶ x€_{16 -}y€_{9 =1에서 a€=16, b€=9이므로 기울기가 1인 접선의} 방정식은 y=x\"ƒ16_1€-9 4 y=x\'7 다른 풀이 ⑴ 접선의 방정식을 y=x+n으로 놓고 y€=16x에 대입하면 (x+n)€=16x, x€+2(n-8)x+n€=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(n-8)€-n€=0, -16(n-4)=0 4 n=4 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x+4이다.

⑵ 접선의 방정식을 y=x+n으로 놓고 x€_{4 +}y€_{5 =1, 즉 5x€+4y€=20} 에 대입하면 5x€+4(x+n)€=20, 9x€+8nx+4n€-20=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(4n)€-9(4n€-20)=0, -20(n€-9)=0 4 n=\3 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x\3이다. ⑶ 접선의 방정식을 y=x+n으로 놓고 x€_{16 -}y€_{9 =1, 즉} 9x€-16y€=144에 대입하면 9x€-16(x+n)€=144, 7x€+32nx+16n€+144=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 ;;4Î;;=(16n)€-7(16n€+144)=0, 144(n€-7)=0 4`n=\'7 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x\'7이다.

2

⑴ y€=-16x=4_(-4)_x에서 p=-4이므로 포물선 y€=-16x 위의 점 (-1, -4)에서의 접선의 방정식은 -4y=2_(-4)_(x-1) 4 y=2x-2 ⑵ 타원 x€_{4 +12 =1 위의 점 (-1, 3)에서의 접선의 방정식은} y€ (-1)_x₄ + 3_y_{12 =1} 4 y=x+4 ⑶ 쌍곡선 x€_{5 -}y€_{4 =1 위의 점 (5, 4)에서의 접선의 방정식은} 5_x_{5 -}4_y_{4 =1} 4 y=x-1

3

접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 구하는 접선의 방정식은 3x¡x+4y¡y=16 이 직선이 점 (-4, 2)를 지나므로 -12x¡+8y¡=16 yy㉠ 또, 접점 (x¡, y¡)이 타원 위의 점 이므로 3x¡€+4y¡€=16 yy㉡ (-4, 2) 3x€+4y€=16 y O x

개념 check 1-1 ⑴ 2x-1 ⑵ -2x\3'2 ⑶ -x\2 2-1 ⑴ ;2!;x-1 ⑵ ;2!;x-2 ⑶ -x+1

개념 드릴

| 51쪽 |

1

S

T

EP

스스로 check

1

-2

 ⑴ y=-4x-;2!; ⑵ y=;2!;x\4 ⑶ y=;3!;x\1 ⑷ y=2x\2 ⑴ y€=8x=4_2_x에서 p=2이므로 기울기가 -4인 접선의 방 정식은 y=-4x+ 2_-4 4 y=-4x-;2!; ⑵ x€_{12 +13 =1에서 a€=12, b€=13이므로 기울기가 ;2!;인 접선의}y€ 방정식은 y=;2!;x\Ƙ12_{;2!;}€+13 4 y=;2!;x\4 ⑶ x€_{27 -}y€_{2 =1에서 a€=27, b€=2이므로 기울기가 ;3!;인 접선의} 방정식은 y=;3!;x\Ƙ27_{;3!;}€-2 4 y=;3!;x\1 ⑷ 16x€-3y€=-48에서 x€_{3 -16 =-1이므로}y€ a€=3, b€=16 따라서 기울기가 2인 접선의 방정식은 y=2x\"ƒ16-3_2€ 4 y=2x\2

2

-2

 ⑴ y=;2#;x-;2#; ⑵ y=-;2!;x+4 ⑶ y=-;4#;x-3 ⑷ y=-;7*;x-:¡7•: ⑴ y€=-9x=4_{-;4(;}_x에서 p=-;4(;이므로 포물선 y€=-9x 위의 점 (-1, -3)에서의 접선의 방정식은 -3y=2_{-;4(;}_(x-1) 4 y=;2#;x-;2#; ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x¡=-2, y¡=-1 또는 x¡=0, y¡=2 따라서 구하는 접선의 방정식은 -6x-4y=16 또는 8y=16 4 3x+2y+8=0 또는 y=2 ⑵ 2_x_{16 +}3_y_{12 =1} 4 y=-;2!;x+4 ⑶ 4_x_{16 -}(-6)_y₁₈ =-1 4 y=-;4#;x-3 ⑷ 4_(-4)_x-7_2_y=36 4 y=-;7*;x-:¡7•:

필수 유형

| 52쪽~56쪽 |

2

S

T

EP

01

-1

 -1 |해결 전략| 쌍곡선 x€ a€- y€b€=1에서 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mx\"ƒa€m€-b€ (a€m€-b€>0)임을 이용한다.

x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45^인 직선의 기울기는 tan 45^=1 따라서 쌍곡선 x€_{3 -y€=1에 접하고 기울기가 1인 직선의 방정식은} y=x\"ƒ3_1€-1 4 y=x\'2 이때, m=1, n='2 (5 n>0)이므로 m€-n€=-1 다른 풀이 접선의 방정식을 y=x+n으로 놓고 x€_{3 -y€=1에 대입하면} x€ 3 -(x+n)€=1 4 2x€+6nx+3n€+3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0일 때 접한다. 즉, ;;4Î;;=9n€-2(3n€+3)=0에서 3(n€-2)=0 4 n=\'2 따라서 접선의 방정식은 y=x\'2이므로 m=1,`n='2 (5 n>0) 4 m€-n€=-1

02

-1

 ;2(; |해결 전략| 먼저 삼각형 APB의 넓이가 최소일 조건을 알아본다. 삼각형 APB의 넓이가 최소이려면 오 른쪽 그림과 같이 포물선 y€=4x 위의 점 P에서의 접선이 직선 AB와 평행해 야 한다. A(-4, 0), B(-1, 3)이므로 직선 AB의 기울기는 3-0 -1-(-4)=1 A(-4, 0) B(-1, 3) y€=4x y O P x

포물선 y€=4x=4_1_x에서 p=1이므로 기울기가 1인 접선의 방 정식은

y=x+;1!; 4 y=x+1

이때, 점 A(-4, 0)에서 접선 y=x+1, 즉 x-y+1=0에 이르는 거리는 |-4+1| "ƒ1€+(-1)€= 3'2 이고 AB’="ƒ{-1-(-4)}€+(3-0)€=3'2이므로 삼각형 APB의 넓이의 최솟값은 ;2!;_3'2_ 3_'2=;2(;

03

-1

 (0, 2) |해결 전략| 포물선 y€=4px 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은 y¡y=2p(x+x¡)임을 이용한다. y€=-4x=4_(-1)_x에서 p=-1이므로 포물선 y€=-4x 위의 점 (0, 0)에서의 접선 l¡의 방정식은 0_y=2_(-1)_(x+0) 4 x=0 yy㉠ 포물선 y€=-4x 위의 점 (-4, 4)에서의 접선 l™의 방정식은 4_y=2_(-1)_(x-4) 4 x+2y-4=0 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=0, y=2 따라서 두 직선 l¡, l™가 만나는 점의 좌표는 (0, 2)이다.

03

-2

 (4, 0)

|해결 전략| 타원 x€_a€+ y€_b€=1 위의 점 (x¡, y¡)에서의 접선의 방정식은

x¡x

a€ + y¡yb€ =1임을 이용한다.

주어진 그림에서 타원의 꼭짓점의 좌표가 (\2, 0), (0, \'3 )이므로

타원의 방정식은 x€_{4 +}y€_{3 =1}

타원 x€_{4 +}y€_{3 =1 위의 점 P의 x좌표는 1이므로 점 P의 y좌표는}

;4!;+y€_{3 =1에서 y€=;4(;} 4 y=;2#; (5 y>0)

따라서 타원 x€_{4 +}y€_{3 =1 위의 점 P {1, ;2#;}에서의 접선의 방정식은} 1_x 4 + ;2#;_y 3 =1 4 x+2y-4=0 이 접선과 x축이 만나는 점의 좌표는 y=0일 때 x=4이므로 (4, 0) 이다.

04

-1

 6 |해결 전략| 타원 위의 점에서의 접선의 방정식을 구한 후 산술평균과 기하평균 의 관계를 이용하여 삼각형 OAB의 넓이의 최솟값을 구한다. 타원 x€+4y€=12 위의 점 P(a, b)에서의 접선의 방정식은

ax+4by=12 (a>0, b>0) yy㉠

접선 ㉠이 x축과 만나는 점 A의 좌 표는 y=0일 때 x= 12_{a 이므로} { 12_{a , 0}} 접선 ㉠이 y축과 만나는 점 B의 좌 표는 x=0일 때 y=;b#;이므로 {0, ;b#;} 점 P(a, b)는 타원 x€+4y€=12 위의 점이므로 a€+4b€=12 a€>0, 4b€>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 a€+4b€>2"ƒa€_4b€ (단, 등호는 a€=4b€일 때 성립)

12>4ab 4 ab<3 따라서 삼각형 OAB의 넓이는 ;2!;_ 12_{a _;b#;=;a!b*;>:¡3•:=6} 이므로 구하는 삼각형 OAB의 넓이의 최솟값은 6이다.

04

-2

 52 |해결 전략| 타원의 넓이를 이등분하는 직선은 타원의 중심을 지나야 한다. 쌍곡선 x€_{12 -}y€_{8 =1 위의 점 (a, b)에서의 접선의 방정식은} ;1A2X;-by_{8 =1} yy㉠ 타원 (x-2)€₄ +y€=1의 넓 이를 이등분하는 직선은 타 원의 중심 (2, 0)을 지나므로 x=2, y=0을 ㉠에 대입하면 2a 12 =1 4 a=6 yy㉡ 점 (a, b)는 쌍곡선 x€_{12 -}y€_{8 =1 위의 점이므로} a€ 12 -b€8 =1 yy㉢ ㉡, ㉢에서 b€=16 4 a€+b€=6€+16=52 P(a, b) y O B Ax x€+4y€=12 2 y O x ;;::;-;::=1 x€₁₂ y€₈ ;:::::::+y€=1 (x-2)€ 4 (a, b)

05

-1

 -1 |해결 전략| 기울기와 관련된 이차곡선의 접선 문제는 기울기가 m인 접선 공식 을 적용시킨다. 포물선 y€=4x=4_1_x에서 p=1이므로 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mx+ 1_m 이 직선이 점 (a, 2)를 지나므로 2=ma+ 1_m 4 am€-2m+1=0 yy㉠ 이차방정식 ㉠의 두 근을 m¡, m™라 하면 m¡, m™는 각각 두 접선의 기울기이고 두 접선이 수직이므로 m¡m™=-1 yy㉡ 이차방정식 ㉠의 근과 계수의 관계에 의하여 m¡m™=;a!;=-1 (5 ㉡) 4 a=-1 참고 임의의 한 점 A에서 포물선에 그은 두 접선이 수직이면 점 A는 포물선의 준 선 위에 있다. 포물선 y€=4x의 준선은 x=-1이고 점 (a, 2)에서 포물선에 그은 두 접선 이 수직이므로 점 (a, 2)는 준선 위에 있다. ∴ a=-1

05

-2

 4 |해결 전략| 쌍곡선 위의 한 점 (x¡, y¡)에서의 접선 공식을 적용시킨다.

접점의 좌표를 (x¡, y¡)이라 하면 쌍곡선 x€-2y€=8 위의 점 (x¡, y¡)

에서의 접선의 방정식은 x¡x-2y¡y=8 이 직선이 점 (2, 0)을 지나므로 2x¡=8 4 x¡=4 yy㉠ 또, 접점 (x¡, y¡)이 쌍곡선 x€-2y€=8 위의 점이므로 x¡€-2y¡€=8 yy㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 y¡=\2 따라서 두 접선의 방정식은 4x-4y=8, 4x+4y=8 4 y=x-2, y=-x+2 직선 y=x-2가 y축과 만나 는 점의 좌표는 (0, -2), 직 선 y=-x+2가 y축과 만나 는 점의 좌표는 (0, 2)이므로 구하는 삼각형의 넓이는 ;2!;_4_2=4 (a, 2) y€=4x y O x y=x-2 y=-x+2 x€-2y€=8 y O 2 2 -2 x

유형 드릴

| 57쪽~59쪽 |

3

S

T

EP

1

-1

 0 |해결 전략 | 한 문자를 소거한 방정식의 실근의 개수와 포물선과 직선의 교점의 개수는 같음을 이용한다. 점 (2, 1)이 직선 y=mx+n 위의 점이므로 1=2m+n 4 n=-2m+1 yy㉠ ㉠을 y=mx+n에 대입하면 y=mx-2m+1 이 식을 x€=4y에 대입하면 x€=4(mx-2m+1) 4 x€-4mx+8m-4=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0일 때 오직 한 점에서 만 난다. 즉, ;;4Î;;=4m€-8m+4=0에서 m=1 이것을 ㉠에 대입하면 n=-1 4 m+n=1-1=0

1

-2

 -1 |해결 전략 | 한 문자를 소거한 방정식의 실근의 개수와 포물선과 직선의 교점의 개수는 같음을 이용한다. 점 (-2, 4)가 직선 x+ay+b=0 위의 점이므로

-2+4a+b=0 4 b=-4a+2 yy㉠

㉠을 x+ay+b=0에 대입하면 x+ay-4a+2=0 4 x=-ay+4a-2 이 식을 y€=-8x에 대입하면 y€=-8(-ay+4a-2) 4 y€-8ay+32a-16=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면 D=0일 때 오직 한 점에서 만 난다. 즉, ;;4Î;;=16a€-32a+16=0에서 a=1 이것을 ㉠에 대입하면 b=-2 4 a+b=1-2=-1

2

-1

 ② |해결 전략 | 한 문자를 소거한 방정식의 실근의 개수와 타원과 직선의 교점의 개 수는 같음을 이용한다. 점 (0, 1)이 직선 y=mx+n 위의 점이므로 n=1 4 y=mx+1 이 식을 4x€+y€=1에 대입하면 4x€+(mx+1)€=1 4 (m€+4)x€+2mx=0