직선과 원의 방정식

개념 확인 112쪽~117쪽

1 x+32 =y-3 -1 2 ⑴ x-5-8 =y-1

5 ⑵ x+3 2 =y-4

-1 3 3x+4y+11=0

4 'ß10 10

5 ⑴ -;3!; ⑵ 3

6 중심이 C(3, -1)이고 반지름의 길이가 3인 원

1

점 (-3, 3)을 지나고 방향벡터가 u≤=(2, -1)인 직선의 방정식은 x-(-3)

2 = y-3-1 4 x+32 =y-3

-1

2

⑴ 구하는 직선의 방향벡터는 AB≥ 이므로 AB≥=(-3-5, 6-1)=(-8, 5)

따라서 점 A(5, 1)을 지나고 방향벡터가 AB≥=(-8, 5)인 직선의 방정식은

x-5-8 =y-1 5

⑵ 구하는 직선의 방향벡터는 AB≥이므로 AB≥=(-1-(-3), 3-4)=(2, -1)

따라서 점 A(-3, 4)를 지나고 방향벡터가 AB≥=(2, -1)인 직선의 방정식은

x-(-3)

2 = y-4-1 4 x+32 =y-4

-1

3

점 (-5, 1)을 지나고 법선벡터가 n≤=(3, 4)인 직선의 방정식은 3{x-(-5)}+4(y-1)=0

4 3x+4y+11=0

4

두 직선 x-1-3 =y+2, x-3 3 =y

4 의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤라 하면

u¡≤=(-3, 1), u™≤=(3, 4)

두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로 cos h= |-3_3+1_4|

"ƒ(-3)€+1€ "ƒ3€+4€

= 5

'ß10_5= 'ß1010

5

두 직선 x+1a =y-12, x-3

3 =y-5의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤

라 하면

u¡≤=(a, 1), u™≤=(3, 1)

⑴ 두 직선이 서로 수직이려면 u¡≤-u™≤이어야 하므로 u¡≤•u™≤=0

(a, 1)•(3, 1)=0 3a+1=0 4 a=-;3!;

⑵ 두 직선이 서로 평행하려면 u¡≤8u™≤이어야 하므로 u¡≤=ku™≤ (k+0)

을 만족시키는 실수 k가 존재한다.

(a, 1)=k(3, 1)에서

a=3k, 1=k 4 k=1, a=3

03 -2

^{60^}

|해결 전략| |a≤-b≤|=1의 양변을 제곱하고 |a≤|=|b≤|=1임을 이용한다.

|a≤-b≤|=1의 양변을 제곱하면

|a≤|€-2a≤•b≤+|b≤|€=1

1€-2a≤•b≤+1€=1 4 a≤•b≤=;2!;

두 벡터 a≤, b≤가 이루는 각의 크기를 h (0^<h<180^)라 하면 a≤•b≤>0이므로

cos h= ;2!;

1_1 =;2!; 4 h=60^

04 -1

^-3

|해결 전략| 두 벡터가 서로 수직일 조건을 이용한다.

ka≤+b≤=k(-1, 2)+(1, 3)=(-k+1, 2k+3), a≤-2b≤=(-1, 2)-2(1, 3)=(-3, -4) 이때, ka≤+b≤와 a≤-2b≤ 가 서로 수직이므로 (ka≤+b≤ )•( a≤-2b≤ )=0

(-k+1, 2k+3)•(-3, -4)=0 -3(-k+1)-4(2k+3)=0 5k=-15 4 k=-3

04 -2

^;9%;

|해결 전략| 두 벡터가 서로 수직일 조건을 이용하여 a≤ •b≤ 를 구한다.

2a≤+b≤와 a≤-2b≤가 서로 수직이므로 (2a≤+b≤ )•( a≤-2b≤ )=0

2|a≤|€-3a ≤•b≤-2|b≤|€=0 2_2€-3a≤ •b≤-2_3€=0 4 a≤•b≤=-:¡3º:

두 벡터 a≤, b≤가 이루는 각의 크기가 h이고 a≤•b≤<0이므로

cos (180^-h)=--:¡3º:

2_3 =;9%;

개념 check

1-1 ⑴ 3, -2 ⑵ 2, -3, 2, -3 2-1 ⑴ 3, 5, 3, 5 ⑵ 3, 4, 3, 4 3-1 ⑴ 4, 5 ⑵ -4, 3, 17 4-1 45^

5-1 2, 3, 1

개념 드릴 ^| 118쪽~119쪽 |

1

STEP

스스로 check

1 -2

^{ ⑴ x-3}_{-1 =}^y-1 _{2 ⑵} ^x+4 _{5 =}^y-1 _-2

⑴ 점 (3, 1)을 지나고 방향벡터가 u≤=(-1, 2)인 직선의 방정식은 x-3

-1 =y-1 2

⑵ 방향벡터가 u≤=(5, -2)이므로 x-(-4)

5 = y-1-2 4 x+4 5 =y-1

-2

2 -2

^{ ⑴ x-2} _{-5 =}^y+3 _{4 ⑵} ^x-3 _{2 =}^y-5 _-1

⑴ 구하는 직선의 방향벡터는 AB≥이므로 AB≥=(-3-2, 1-(-3))=(-5, 4)

따라서 점 A(2, -3)을 지나고 방향벡터가 AB≥=(-5, 4)인 직 선의 방정식은

x-2

-5 =y-(-3) 4 4 x-2 -5 =y+3

4

⑵ 구하는 직선의 방향벡터는 AB≥이므로 AB≥=(5-3, 4-5)=(2, -1)

따라서 점 A(3, 5)를 지나고 방향벡터가 AB≥=(2, -1)인 직선 의 방정식은

x-3 2 =y-5

-1

3-2

^ ⑴ -x+3y-18=0 ⑵ 3x-4y+13=0

⑴ -1_{x-(-3)}+3(y-5)=0에서 -x+3y-18=0

⑵ 법선벡터가 n≤=(3, -4)이므로 3(x-1)-4(y-4)=0 4 3x-4y+13=0

4-2

^{ 90^}

두 직선 x+14 =^3-y 3 , x-13 =^y-2 4 의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤

라 하면

u¡≤=(4, -3), u™≤=(3, 4)

두 직선이 이루는 각의 크기가 h이므로 cos h= |4_3+(-3)_4|

"ƒ4€+(-3)€ "ƒ3€+4€=0 이때, 0^<h<90^이므로 h=90^

5-2

^ 중심이 C(-3, 5)이고 반지름의 길이가 5인 원

|p≤-c≤|=|(x+3, y-5)|=5이므로 (x+3, y-5)•(x+3, y-5)=5€

(x+3)€+(y-5)€=25

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 C(-3, 5)이고 반지름의 길 이가 5인 원이다.

6

|p≤-c≤|=|(x-3, y+1)|=3이므로 (x-3, y+1)•(x-3, y+1)=3€

(x-3)€+(y+1)€=9

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심이 C(3, -1)이고 반지름의 길이가 3인 원이다.

필수 유형 ^| 120쪽~124쪽 ^|

2

STEP

01-1

^{ -1}

|해결 전략| 직선 3(x-5)=4(y+7)의 방향벡터를 구하여 직선의 방정식을 구한다.

3(x-5)=4(y+7)의 양변을 12로 나누면 x-5 4 =y+7 3 이므로 이 직선의 방향벡터를 u≤라 하면

u≤=(4, 3)

따라서 점 (1, 2)를 지나고 방향벡터가 u≤=(4, 3)인 직선의 방정 식은 x-1 4 =y-2

3

이 직선이 점 (-3, k)를 지나므로 -3-1

4 =k-2 3 4 k=-1

01 -2

^-7

|해결 전략| 직선의 방정식을 구하여 y=0을 대입한다.

두 점 A(-2, 3), B(3, 1)을 지나는 직선의 방향벡터는 AB≥=(3, 1)-(-2, 3)=(5, -2)

따라서 점 (3, -4)를 지나고 방향벡터가 AB≥=(5, -2)인 직선의 방정식은

x-3 5 =y+4 -2 y=0을 위의 식에 대입하면

x-3 5 =-2 4 x=-7 따라서 구하는 x절편은 -7이다.

02 -1

^5

|해결 전략| 직선 x+6=-3(y-4)의 방향벡터가 구하는 직선의 법선벡터임 을 이용한다.

x+6=-3(y-4)의 양변을 3으로 나누면 x+6 3 =y-4 -1 이고, 이 직선의 방향벡터는 (3, -1)이므로 구하는 직선의 법선벡터를 n≤이 라 하면

n≤=(3, -1)

따라서 점 (1, 2)를 지나고 법선벡터가 n≤=(3, -1)인 직선의 방정 식은

3(x-1)-(y-2)=0 4 3x-y-1=0

이 직선이 점 (2, k)를 지나므로 6-k-1=0 4 k=5

02 -2

^;9!;

|해결 전략| 두 점 A, B를 지나는 직선의 방향벡터가 구하는 직선의 법선벡터임 을 이용한다.

두 점 A(-2, -3), B(3, 6)을 지나는 직선의 방향벡터는 AB≥=(3, 6)-(-2, -3)=(5, 9)

이므로 구하는 직선의 법선벡터는 AB≥=(5, 9)이다.

따라서 점 (2, -1)을 지나고 법선벡터가 AB≥=(5, 9)인 직선의 방 정식은

5(x-2)+9(y+1)=0 4 5x+9y-1=0 x=0을 위의 식에 대입하면 9y-1=0 4 y=;9!;

따라서 구하는 y절편은 ;9!;이다.

03 -1

^2

|해결 전략| 두 직선의 방향벡터 u¡≤, u™≤ 를 구하고, cos 45^= |u¡≤•u™≤|

|u≤¡||u≤™|임을 이 용하여 a의 값을 구한다.

두 직선 x-3a =y-1, x+5

-3 =y-2의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤라 하면

u¡≤=(a, 1), u™≤=(-3, 1) 따라서

cos 45^= |u¡≤•u™≤|

|u¡≤||u™≤|= |-3a+1|

"ƒa€+1€ "ƒ(-3)€+1€

= |-3a+1|

"ƒa€+1 'ß10= '22 이므로

|-3a+1|="ƒ5(a€+1) 양변을 제곱하면

9a€-6a+1=5a€+5, 2a€-3a-2=0 (2a+1)(a-2)=0 4 a=2 (5 a>0)

04-1

^ ⑴ -;3*; ⑵ -1

|해결 전략| 두 직선의 방향벡터를 구하고, 수직 조건과 평행 조건을 이용한다.

두 직선 l, m의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤ 라 하면 u¡≤=AB≥=(3, -1)-(2, 1)=(1, -2), u™≤=(a, 2a+4)

⑴ 두 직선 l, m이 서로 수직이려면 u¡≤-u™≤이어야 하므로 u¡≤•u™≤=0

(1, -2)•(a, 2a+4)=0 a-2(2a+4)=0 4 a=-;3*;

⑵ 두 직선 l, m이 서로 평행하려면 u¡≤8u™≤이어야 하므로 u™≤=ku¡≤ (k+0)

을 만족시키는 실수 k가 존재한다.

(a, 2a+4)=k(1, -2)에서 a=k, 2a+4=-2k 4 k=-1, a=-1

05-1

^{ 2'ß13 p}

|해결 전략| 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 구하고 (p≤-a≤)•(p≤-b≤)=0임을 이용한다.

두 점 A(-1, -2), B(3, 4)의 위치벡터는 각각 a≤=(-1, -2), b≤=(3, 4)

점 P의 위치벡터를 p≤=(x, y)라 하면

( p≤-a≤ )•( p≤-b≤ )=0에서 (x+1, y+2)•(x-3, y-4)=0 (x+1)(x-3)+(y+2)(y-4)=0

4 (x-1)€+(y-1)€=13

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (1, 1)이고 반지름의 길이가 'ß13인 원이므로 구하는 둘레의 길이는

2p_'ß13=2'ß13p

유형 드릴 ^| 125쪽~127쪽 ^|

3

STEP

1 -1

^{ 2}

|해결 전략| 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터 공식을 이용하여 두 점 P, Q의 위치벡터를 a≤, b≤ 로 나타낸다.

p≤= b≤+2a≤1+2 =;3@; a≤+;3!; b≤, q≤=2b≤-a≤

2-1 =-a≤+2b≤이므로 p≤+q≤={;3@; a≤+;3!; b≤}+(-a≤+2b≤ )=-;3!; a≤+;3&; b≤

따라서 m=-;3!;, n=;3&;이므로 m+n=-;3!;+;3&;=2

1 -2

^{ :¡4¡:}

|해결 전략| 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터 공식을 이용하여 두 점 P, Q의 위치벡터를 a≤, b≤ 로 나타낸다.

두 점 P, Q의 위치벡터를 각각 p≤, q≤ 라 하면 p≤= 2b≤+a≤2+1 =;3!; a≤+;3@; b≤, q≤=b≤-ka≤

1-k = k

k-1 a≤- 1 k-1 b≤

선분 PQ의 중점의 위치벡터를 m≤이라 하면 m≤= p≤+q≤2 =;2!; {;3!; a≤+;3@; b≤+ k

k-1 a≤- 1 k-1 b≤ } ={;6!;+ k2k-2 } a≤+{;3!;- 1

2k-2 } b≤

선분 PQ의 중점이 점 A이면 {;6!;+ k2k-2 } a≤+{;3!;- 1

2k-2 } b≤=a≤ 에서

;6!;+ k2k-2 =1, ;3!;- 1 2k-2 =0 따라서 k=;2%;이므로 a=;2%;

선분 PQ의 중점이 점 B이면 {;6!;+ k2k-2 } a≤+{;3!;- 1

2k-2 } b≤=b≤ 에서

;6!;+ k2k-2 =0, ;3!;- 1 2k-2 =1 따라서 k=;4!;이므로 b=;4!;

4 a+b=;2%;+;4!;=:¡4¡:

2-1

^{ 10}

|해결 전략| 주어진 식을 네 점 A, B, C, P의 위치벡터로 나타낸다.

네 점 A, B, C, P의 위치벡터를 각각 a≤, b≤, c≤, p≤라 하면 2PA≥+5PB≥-CP≥=BC≥에서

2( a≤-p≤ )+5( b≤-p≤ )-( p≤-c≤ )=c≤-b≤

4 p≤= a≤+3b≤4 = 3b≤+a≤3+1

따라서 점 P는 선분 AB를 3：1로 내분하 는 점이므로

1PBC=;4!;_1ABC

=;4!;_40=10 다른 풀이

BC≥=PC≥-PB≥, -CP≥=PC≥이므로 2PA≥+5PB≥-CP≥=BC≥에서 2PA≥+5PB≥+PC≥=PC≥-PB≥

4 PA≥=-3PB≥

따라서 세 점 A, P, B는 한 직선 위에 있고 점 P는 선분 AB를 3：1로 내분 하는 점이므로

1PBC=;4!;_1ABC=;4!;_40=10

PB≥=-kPC≥ (k>0)이면 점 P는 BC’ 를 k：1로 내분하는 점이다.

➡ 1ABP：1ACP=k：1

k P 1

B C

A LECTURE

B C

P 3

1

A

05-2

^{ 13p}

|해결 전략| 두 점 A, B의 위치벡터를 각각 구하고 AP≥ • BP≥=0임을 이용한다.

두 점 A(3, 1), B(-1, 7)의 위치벡터는 각각 a≤=(3, 1), b≤=(-1, 7)

점 P의 위치벡터를 p≤=(x, y)라 하면

AP≥ • BP≥=0에서 (x-3, y-1)•(x+1, y-7)=0 (x-3)(x+1)+(y-1)(y-7)=0

4 (x-1)€+(y-4)€=13

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (1, 4)이고 반지름의 길이가 'ß13인 원이므로 구하는 넓이는

p_('ß13 )€=13p 다른 풀이

AP≥•BP≥=0에서 3APB=90^이므로 점 P가 나타내는 도형은 두 점 A(3, 1), B(-1, 7)을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다.

따라서 원의 반지름의 길이는

;2!; AB’=;2!; "ƒ(-1-3)€+(7-1)€='ß13 이므로 구하는 넓이는

p_('ß13 )€=13p

4 -1

^{ 0}

5 -1

^{ -2'3}

|해결 전략| a≤•b≤ 를 구하여 |xa≤+b≤|=2의 양변을 제곱한 식에 대입한다.

a≤•b≤=|a≤||b≤|cos 30^=1_2_ '32 ='3

|xa≤+b≤|=2의 양변을 제곱하면 x€|a≤|€+2x a≤ •b≤ +|b≤|€=4 x€+2'3x+4=4, x(x+2'3 )=0 4 x=-2'3 (5 x+0)

5 -2

^{ 320}

|해결 전략| |pa≤+qb≤|=k의 양변을 제곱하면 p€|a≤|€+2pqa≤•b≤+q€|b≤|€=k€

임을 이용한다.

|a≤+b≤|=4의 양변을 제곱하면

|a≤|€+2a≤•b≤+|b≤|€=16 yy ㉠

|a≤-b≤|=6의 양변을 제곱하면

|a≤|€-2a≤•b≤+|b≤|€=36 yy ㉡

㉠+㉡ 을 하면

2(|a≤|€+|b≤|€)=52 4 |a≤|€+|b≤|€=26

㉠-㉡ 을 하면

4a≤•b≤=-20 4 a≤•b≤=-5 4 |a≤-3b≤|€+|3a≤-b≤|€

=|a≤|€-6a≤•b≤+9|b≤|€+9|a≤|€-6a≤•b≤+|b≤|€

=10(|a≤|€+|b≤|€)-12a≤•b≤

=10_26-12_(-5)=320

6 -1

^{ 45^}

|해결 전략| CA≥, CB≥를 각각 성분으로 나타내고 두 벡터 CA≥, CB≥ 가 이루는 각 의 크기를 구한다.

CA≥=OA≥-OC≥=(5, 3)-(4, 0)=(1, 3), CB≥=OB≥-OC≥=(6, 1)-(4, 0)=(2, 1) 이므로

CA≥•CB≥=1_2+3_1=5

두 벡터 CA≥, CB≥ 가 이루는 각의 크기를 h (0^<h<180^)라 하면 CA≥•CB≥>0이므로

cos h= 5

"ƒ1€+3€"ƒ2€+1€= 5 'ß10'5= '22 4 h=45^

6 -2

^{ '2}₂

|해결 전략| a≤+b≤ 를 성분으로 나타내고 |a≤+b≤|='5임을 이용한다.

a≤+b≤=(-x, -1)+(x+2, x+1)=(2, x)이므로

|a≤+b≤|='5에서

"ƒ2€+x€='5

양변을 제곱하면 4+x€=5 x€=1 4 x=-1 (5 x<0)

따라서 a≤=(1, -1), b≤=(1, 0)이므로 a≤•b≤=1_1+(-1)_0=1>0 4 cos h= 1

"ƒ1€+(-1)€"ƒ1€+0€= 1 '2= '22

7-1

^{ 120^}

|해결 전략| PQ≥ 를 a≤, b≤ 로 나타낸 후|PQ≥|=3'3 의 양변을 제곱하여 a≤•b≤ 를 구한다.

PQ≥=OQ≥-OP≥=(2a≤+b≤)-(a≤-b≤)=a≤+2b≤ 이므로

|PQ≥|=3'3에서 |a≤+2b≤|=3'3

양변을 제곱하면 |a≤|€+4a≤•b≤+4|b≤|€=27 3€+4a≤•b≤+4_3€=27 4 a≤•b≤=-;2(;

두 벡터 a≤, b≤ 가 이루는 각의 크기를 h (0^<h<180^)라 하면 a≤•b≤<0이므로

cos (180^-h)=--;2(;

3_3 =;2!;

따라서 180^-h=60^이므로 h=120^

7-2

^{ ;4#;}

|해결 전략| |a≤+b≤|='2|2a≤-b≤|의 양변을 제곱하여 a≤•b≤ 를 구한다.

|a≤+b≤|='2|2a≤-b≤|의 양변을 제곱하면

|a≤|€+2a≤•b≤+|b≤|€=8|a≤|€-8a≤•b≤+2|b≤|€

10a≤•b≤=7|a≤|€+|b≤|€=8|a≤|€ (5 |a≤|=|b≤|) 4 a≤•b≤=;5$;|a≤|€

두 벡터 a≤, b≤가 이루는 각의 크기가 h이고 a≤•b≤>0이므로 cos h= a≤•b≤

|a≤||b≤| = ;5$;|a≤|€

|a≤||a≤| =;5$;

이때, 오른쪽 그림에서 tan h=;4#;

8-1

^{ 29}

|해결 전략| 3B=90^이므로 AB≥ • BC≥=0임을 이용한다.

1ABC에서 3B=90^이므로 AB≥•BC≥=0

BC≥=AC≥-AB≥

=(x, x€+1)-(2, 5)

=(x-2, x€-4)

따라서 (2, 5)•(x-2, x€-4)=0이므로 2(x-2)+5(x€-4)=0

5x€+2x-24=0 (5x+12)(x-2)=0

그런데 x=2인 경우 BC≥=(0, 0)이 되므로 1ABC가 만들어지지 않는다.

4 x=-:¡5™:

h 5

4

3

두 점 B(1, 5), C(3, 3)을 지나는 직선의 방향벡터는 BC≥=(3, 3)-(1, 5)=(2, -2)

따라서 점 B(1, 5)를 지나고 방향벡터가 BC≥=(2, -2)인 직선 의 방정식은

x-1 2 =y-5 -2

4 y=-x+6 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=4 따라서 p=2, q=4이므로

p+q=6

10-1

^{ 6}

|해결 전략| 세 직선의 방향벡터를 구하고 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이 용한다.

세 직선 l, m, n의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤, u£≤이라 하면 u¡≤=(2, 3), u™≤=(a, 6), u£≤=(3, -b)

l8m에서 u¡≤8u™≤이어야 하므로 u™≤=ku¡≤ (k+0)

을 만족시키는 실수 k가 존재한다.

(a, 6)=k(2, 3)에서 a=2k, 6=3k 4 k=2, a=4

l-n에서 u¡≤-u£≤이어야 하므로 u¡≤•u£≤=0

(2, 3)•(3, -b)=0 6-3b=0 4 b=2 4 a+b=4+2=6

10-2

^{ -;3*;}

|해결 전략| 세 직선의 방향벡터를 구하고 두 직선의 평행 조건과 수직 조건을 이 용한다.

세 직선 l, m, n의 방향벡터를 각각 u¡≤, u™≤, u£≤이라 하면 u¡≤=(-3, 2), u™≤=(6, a), u£≤=(b, 2)

l8m에서 u¡≤8u™≤이어야 하므로 u™≤=ku¡≤ (k+0)

을 만족시키는 실수 k가 존재한다.

(6, a)=k(-3, 2)에서 6=-3k, a=2k 4 k=-2, a=-4

l-n에서 u¡≤-u£≤이어야 하므로 u≤¡•u≤£=0

(-3, 2)•(b, 2)=0 -3b+4=0 4 b=;3$;

4 a+b=-4+;3$;=-;3*;

즉, AC≥={-:¡5™:, :¡2§5ª:}이므로 AB≥•AC≥=(2, 5)•{-:¡5™:, :¡2§5ª:}

=-:™5¢:+ 1695 =29

8 -2

^{ :£5§:}

|해결 전략| 두 평면벡터가 평행할 조건과 수직일 조건을 각각 이용한다.

AP≥8OB≥이므로 AP≥=kOB≥ (k+0) 인 실수 k가 존재한다.

4 AP≥=k(-2, 1)=(-2k, k) 또, OP≥-OB≥이므로 OP≥•OB≥=0

이때, OP≥=OA≥+AP≥=(2, 5)+(-2k, k)=(2-2k, k+5)이므로 (2-2k, k+5)•(-2, 1)=0

-2(2-2k)+(k+5)=0 5k+1=0 4 k=-;5!;

따라서 OP≥={:¡5™:, :™5¢:}이므로 a=:¡5™:, b=:™5¢:

4 a+b=:¡5™:+:™5¢:=:£5§:

9 -1

^{ 4}

|해결 전략| 두 점 A(2, 4), B(1, 6)을 지나는 직선의 방향벡터를 구하여 직선의 방정식을 구한다.

두 점 A(2, 4), B(1, 6)을 지나는 직선의 방향벡터는 AB≥=(1, 6)-(2, 4)=(-1, 2)

이므로 점 (1, 2)를 지나고 방향벡터가 AB≥=(-1, 2)인 직선의 방 정식은

x-1 -1 =y-2 2 4 y=-2x+4

따라서 직선 y=-2x+4와 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

;2!;_2_4=4

9 -2

^{ 6}

|해결 전략| 두 직선의 방정식을 각각 구하여 연립방정식을 푼다.

점 A(5, 8)을 지나고 방향벡터가 u≤=(3, 4)인 직선의 방정식은 x-5 3 =y-8

4

4 y=;3$;x+;3$; yy ㉠

y

y=-2x+4 O

4

2 x

11-1

^{ 8p}

|해결 전략| 주어진 식의 양변을 제곱하여 내적으로 나타낸다.

두 점 A(1, 1), B(4, 4)의 위치벡터는 각각 a≤=(1, 1), b≤=(4, 4)

점 P의 위치벡터를 p≤=(x, y)라 하면 2|p≤-a≤|=|p≤-b≤|에서 4|p≤-a≤|€=|p≤-b≤|€

4( p≤-a≤ )•( p≤-a≤ )=( p≤-b≤ )•( p≤-b≤ ) 4{(x-1)€+(y-1)€}=(x-4)€+(y-4)€

4 x€+y€=8

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (0, 0)이고 반지름의 길이가 2'2인 원이므로 구하는 넓이는

p_(2'2 )€=8p

11-2

^{ 6'5 p}

|해결 전략| 주어진 식의 양변을 제곱하여 내적으로 나타낸다.

두 점 A(1, 1), B {-4, -;2#;}의 위치벡터는 각각

a≤=(1, 1), b≤={-4, -;2#;}

점 P의 위치벡터를 p≤=(x, y)라 하면

3|p≤-a≤|=2|p≤-b≤|에서 9|p≤-a≤|€=4|p≤-b≤|€

9( p≤-a≤ )•( p≤-a≤ )=4( p≤-b≤ )•( p≤-b≤ ) 9{(x-1)€+(y-1)€}=4[(x+4)€+{y+;2#;}€]

4 (x-5)€+(y-3)€=45

따라서 점 P가 나타내는 도형은 중심의 좌표가 (5, 3)이고 반지름의 길이가 3'5인 원이므로 구하는 둘레의 길이는

2p_3'5=6'5p

문서에서 2020 개념해결의법칙 기하 답지 정답 (페이지 36-43)