| 공간좌표
3 구의 방정식
개념 확인 180쪽~182쪽
1 ⑴ (x-1)€+(y-5)€+(z+2)€=16 ⑵ x€+y€+z€=9
2 ⑴ (x+1)€+(y-2)€+(z-5)€=1 ⑵ (x+1)€+(y-2)€+(z-5)€=5 3 ㈎ 1 ㈏ 9 ㈐ 3
1
⑴ 중심이 C(1, 5, -2)이고 반지름의 길이가 4인 구의 방정식은 (x-1)€+(y-5)€+(z+2)€=16⑵ 중심이 원점이고 반지름의 길이가 3인 구의 방정식은 x€+y€+z€=9
2
⑴ 구가 yz평면에 접하므로(반지름의 길이)=|중심의 x좌표|=1 따라서 구하는 구의 방정식은 (x+1)€+(y-2)€+(z-5)€=1 ⑵ 구가 z축에 접하므로
(반지름의 길이)="ƒ(-1)€+2€='5 따라서 구하는 구의 방정식은 (x+1)€+(y-2)€+(z-5)€=5
개념 check
1-1 ⑴ 4, 9, 9 ⑵ 4, 22, 22 2-1 ⑴ y, 1, 1 ⑵ 2, 13, 13 3-1 4, 4, -1, 2
개념 드릴 | 183쪽 |
1
STEP
스스로 check
1 -2
⑴ (x-2)€+(y-1)€+(z-3)€=14 ⑵ (x-2)€+(y+1)€+(z-2)€=9⑴ 중심이 C(2, 1, 3)이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은 (x-2)€+(y-1)€+(z-3)€=r€
이 구가 원점을 지나므로 4+1+9=r€, r€=14
4 (x-2)€+(y-1)€+(z-3)€=14
⑵ 중심이 C(2, -1, 2)이고 반지름의 길이가 r인 구의 방정식은 (x-2)€+(y+1)€+(z-2)€=r€
이 구가 점 A(0, 1, 3)을 지나므로 4+4+1=r€, r€=9
4 (x-2)€+(y+1)€+(z-2)€=9
03-2
24p|해결 전략| 구와 xy평면이 만나서 생기는 교선의 방정식은 구의 방정식에 z=0 을 대입하여 구하고, 구와 yz평면이 만나서 생기는 교선의 방정식은 구의 방정식 에 x=0을 대입하여 구한다.
(x-1)€+(y-2)€+(z-3)€=r€에 z=0을 대입하면 (x-1)€+(y-2)€=r€-9
즉, 구와 xy평면이 만나서 생기는 도형은 중심의 좌표가 (1, 2, 0)이 고 반지름의 길이가 "ƒr€-9 인 원이다.
이 원의 넓이가 16p이므로 r€-9=16에서 r€=25
4 (x-1)€+(y-2)€+(z-3)€=25
구 (x-1)€+(y-2)€+(z-3)€=25에 x=0을 대입하면 (y-2)€+(z-3)€=24
즉, 구와 yz평면이 만나서 생기는 도형은 중심의 좌표가 (0, 2, 3)이 고 반지름의 길이가 2'6 인 원이다.
따라서 구하는 도형의 넓이는 p_(2'6 )€=24p
04-1
2|해결 전략| 주어진 점에서 구의 중심까지의 거리와 구의 반지름의 길이를 구한 후 피타고라스 정리를 이용한다.
x€+y€+z€-2x+4z-2=0을 변형하면 (x-1)€+y€+(z+2)€=7
즉, 구의 중심의 좌표는 (1, 0, -2)이고 반지름의 길이는 '7 이다.
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C, 점 P에서 구에 그은 접선의 접점을 Q라 하면 1PQC는 직각삼각형이 므로
PQ’=
"ƒ
PC’÷€-CQ’÷€="ƒ(1-2)€+(-3)€+(-2+1)€-('7 )€
=2
04-2
32|해결 전략| 주어진 구의 방정식에서 구의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 먼저 파 악한다.
x€+y€+z€+12x-2z+a=0을 변형하면 (x+6)€+y€+(z-1)€=37-a
즉, 구의 중심의 좌표는 (-6, 0, 1)이고 반지름의 길이는 'ß37-a 이 다.
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C, 점 P에서 구에 그은 접선의 접점을 Q라 하면 1PQC는 직각삼각형이 므로
CQ’=
"ƒ
PC’÷€-PQ’÷€="ƒ(-6+4)€+(-3)€+1€-3€
='5
따라서 'ß37-a='5 이므로 a=32
P(2, 3, -1) Q
C(1, 0, -2) '7
P(-4, 3, 0) Q
3 C(-6, 0, 1)
'3ß7-a
02 -1
12|해결 전략| 구가 xy평면, yz평면, zx평면에 동시에 접하면 구의 중심에서 xy평 면, yz평면, zx평면에 이르는 거리가 모두 구의 반지름의 길이와 같다.
점 A와 구의 중심이 xy평면, yz평면, zx평면에 대하여 각각 같은 영 역에 존재해야 하므로 구의 중심을 (a, b, c)라 하면
a>0, b>0, c>0
구의 반지름의 길이를 r라 하면 구가 xy평면, yz평면, zx평면에 모 두 접하므로
|a|=|b|=|c|=r
이때, 구하는 구의 방정식을 (x-r)€+(y-r)€+(z-r)€=r€이라 하자.
점 A(2, 4, 2)를 지나므로 (2-r)€+(4-r)€+(2-r)€=r€
4 r€-8r+12=0
따라서 두 구의 반지름의 길이의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관 계에 의하여
;;¡1™;;=12
02 -2
(x-'2 )€+(y-'2 )€+(z-'2 )€=4|해결 전략| 구가 x축, y축, z축에 동시에 접하면 구의 중심에서 x축, y축, z축에 이르는 거리가 모두 구의 반지름의 길이와 같다.
구의 중심의 x좌표, y좌표, z좌표가 모두 양수이고 구가 x축, y축, z 축에 동시에 접하려면 중심 (a, b, c)에서 x축, y축, z축에 이르는 거 리가 모두 같아야 하므로
a=b=c
즉, 구의 중심은 C(a, a, a)로 놓을 수 있다. (단, a>0)
이때, 이 구와 x축, y축, z축과의 접점을 각각 P(a, 0, 0), Q(0, a, 0), R(0, 0, a)라 하면 CP’=CQ’=CR’=2에서
"ƒ(a-a)€+a€+a€=2, '2 a=2 4 a='2
따라서 중심의 좌표가 ('2, '2, '2 )이고 반지름의 길이가 2이므로 구하는 구의 방정식은
(x-'2 )€+(y-'2 )€+(z-'2 )€=4
03 -1
2'ß11 p|해결 전략| 구와 zx평면이 만나서 생기는 교선의 방정식은 구의 방정식에 y=0 을 대입하여 구한다.
x€+y€+z€-12x-12y+6z+34=0에 y=0을 대입하면 x€+z€-12x+6z+34=0
4 (x-6)€+(z+3)€=11
즉, 구와 zx평면이 만나서 생기는 도형은 중심의 좌표가 (6, 0, -3) 이고 반지름의 길이가 'ß11 인 원이다.
따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는 2p_'ß11=2'ß11 p
유형 드릴 | 188쪽~190쪽 |
3
STEP
1 -1
-7|해결 전략| 수선의 발의 좌표를 구할 때는 관계없는 좌표를 0으로 놓고, 대칭이 동한 점의 좌표를 구할 때는 관계없는 좌표의 부호를 반대로 바꾼다.
점 A(a, b, c)에서 z축에 내린 수선의 발의 좌표가 (0, 0, 4)이므로 c=4
점 B(d, e, f )에서 xy평면에 내린 수선의 발의 좌표가 (1, 2, 0)이 므로
d=1, e=2
또, 두 점 A(a, b, c), B(d, e, f )가 xy평면에 대하여 대칭이므로 a=d=1, b=e=2, c=-f=4
4 (a+b+c)(d+e+f ) =(1+2+4){1+2+(-4)}
=-7
1 -2
-27|해결 전략| 수선의 발의 좌표를 구할 때는 관계없는 좌표를 0으로 놓고, 대칭이 동한 점의 좌표를 구할 때는 관계없는 좌표의 부호를 반대로 바꾼다.
점 A(a, b, c)에서 yz평면에 내린 수선의 발의 좌표가 (0, -2, 3)이 므로
b=-2, c=3
점 B(d, e, f )에서 x축에 내린 수선의 발의 좌표가 (4, 0, 0)이므로 d=4
또, 두 점 A(a, b, c), B(d, e, f )가 z축에 대하여 대칭이므로 a=-d=-4, b=-e=-2, c=f=3
4 (a+b+c)(d+e+f) ={-4+(-2)+3}(4+2+3)
=-27
2 -1
'ß21|해결 전략| 좌표공간에서 두 점 A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™) 사이의 거리 AB’
는 "ƒ(x™-x¡)€+(y™-y¡)€+(z™-z¡)€이다.
AP’="ƒ(1-a)€+(-1-a)€+2€="ƒ2a€+6 BP’="ƒ(1-3)€+(-1-1)€+(2-4)€=2'3 AP’=2 BP’ 에서 "ƒ2a€+6=4'3
2a€+6=48, a€=21 4 a='ß21 (5 a>0)
2 -2
0|해결 전략| 좌표공간에서 두 점 A(x¡, y¡, z¡), B(x™, y™, z™) 사이의 거리 AB’
는 "ƒ(x™-x¡)€+(y™-y¡)€+(z™-z¡)€이다.
AP’="ƒ(1-2)€+(-3-a)€+(3-a)€="ƒ2a€+19 BP’="ƒ(1+1)€+(-3-3)€+(4+2)€='ß76=2'ß19 AP’=;2!; BP’에서 "ƒ2a€+19='ß19
2a€+19=19, a€=0 4 a=0
f=-4
e=2
3-1
C(0, 1, 0)|해결 전략| y축 위의 점 C의 좌표를 (0, p, 0)으로 놓고 AC’=BC’ 임을 이용 한다.
y축 위의 점 C의 좌표를 (0, p, 0)이라 하면 AC’="ƒ(-1)€+(p-2)€+(-3)€="ƒp€-4p+14 BC’="ƒ1€+(p-4)€+(-1)€="ƒp€-8p+18 AC’=BC’에서 AC’÷€=BC’÷€이므로
p€-4p+14=p€-8p+18, 4p=4 4 p=1
따라서 구하는 점 C의 좌표는 (0, 1, 0)
3-2
C{-;2!;, 0, 0}|해결 전략| x축 위의 점 C의 좌표를 (p, 0, 0)으로 놓고 AC’=BC’ 임을 이용 한다.
x축 위의 점 C의 좌표를 (p, 0, 0)이라 하면 AC’="ƒ(p-2)€+(-3)€+2€="ƒp€-4p+17 BC’="ƒ(p+2)€+(-1)€+(-4)€="ƒp€+4p+21 AC’=BC’에서 AC’÷€=BC’÷€이므로
p€-4p+17=p€+4p+21, 8p=-4 4 p=-;2!;
따라서 구하는 점 C의 좌표는 {-;2!;, 0, 0}
4-1
2|해결 전략| 두 점 A, B가 좌표평면을 기준으로 같은 쪽에 있는지 서로 반대쪽에 있는지 확인한다.
p가 양수이므로 두 점 A, B 의 x좌표의 부호가 같고, 두 점 A, B는 좌표공간에서 yz 평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.
점 A와 yz평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면 A'(-2, 6, 1)
이때, AP’+BP’=A'P’+BP’>A'B’이므로 AP’+BP’의 최솟값은 A'B’의 길이와 같다.
A'B’="ƒ(p+2)€+(2-6)€+(3-1)€="ƒp€+4p+24=6 즉, p€+4p+24=36에서 p€+4p-12=0
(p+6)(p-2)=0 4 p=2 (5 p>0)
4-2
1|해결 전략| 두 점 A, B가 좌표평면을 기준으로 같은 쪽에 있는지 서로 반대쪽에 있는지 확인한다.
yz평면 P
A'(-2, 6, 1) A(2, 6, 1) B(p, 2, 3)
6 -1
m=3, n=1|해결 전략| AB’가 zx평면에 의하여 내분되면 내분점의 y좌표는 0이다.
두 점 A, B의 y좌표의 부호가 -, +로 다르므로 두 점 A, B는 좌표 공간에서 zx평면을 기준으로 서로 반대쪽에 있다.
따라서 AB’는 zx평면에 의하여 m：n으로 내분된다.
AB’를 m：n으로 내분하는 점을 P라 하면 점 P의 좌표는 { -5m+2n m+n , m-3n
m+n , -3m+n m+n }
AB’가 zx평면에 의하여 m：n으로 내분되므로 점 P는 zx평면 위의 점이다.
zx평면 위의 점의 y좌표는 0이므로 m-3nm+n =0, m=3n
4 m=3, n=1 (5 m, n은 서로소인 자연수)
6 -2
m=1, n=1|해결 전략| AB’가 xy평면에 의하여 내분되면 내분점의 z좌표는 0이다.
두 점 A, B의 z좌표의 부호가 -, +로 다르므로 두 점 A, B는 좌표 공간에서 xy평면을 기준으로 서로 반대쪽에 있다.
따라서 AB’는 xy평면에 의하여 m：n으로 내분된다.
AB’를 m：n으로 내분하는 점을 P라 하면 점 P의 좌표는 { m+4nm+n , -2m+n
m+n , 3m-3n m+n }
AB’가 xy평면에 의하여 m：n으로 내분되므로 점 P는 xy평면 위의 점이다.
xy평면 위의 점의 z좌표는 0이므로 3m-3n
m+n =0, m=n
4 m=1, n=1 (5 m, n은 서로소인 자연수)
7 -1
-;2!;|해결 전략| 사각형 ABCD가 평행사변형이면 AC’의 중점과 BD’의 중점이 서 로 일치한다.
AC’의 중점의 좌표는 { 3-22 , -2+a-2b
2 , -2+2 2 } 즉, {;2!;, a-2b-2 2 , 0}
BD’의 중점의 좌표는
{ a+2b+4 2 , 3-2 2 , -1+c 2 } 즉, { a+2b+4 2 , ;2!;, c-12 }
사각형 ABCD가 평행사변형이므로 AC’의 중점과 BD’의 중점이 서 로 일치한다.
p가 양수이므로 두 점 A, B의 y좌표의
zx평면 P
A'(1, -3, 5) A(1, 3, 5)
B(3, p, 1) 부호가 같고, 두 점 A, B는 좌표공간
에서 zx평면을 기준으로 같은 쪽에 있 다.
점 A와 zx평면에 대하여 대칭인 점을 A'이라 하면
A'(1, -3, 5)
이때, AP’+BP’=A'P’+BP’>A'B’
이므로 AP’+BP’의 최솟값은 A'B’의 길이와 같다.
A'B’="ƒ(3-1)€+(p+3)€+(1-5)€="ƒp€+6p+29=6 즉, p€+6p+29=36에서 p€+6p-7=0
(p+7)(p-1)=0 4 p=1 (5 p>0)
5 -1
2'ß413|해결 전략| 주어진 조건에 맞게 두 점 P, Q의 좌표를 구한 후 PQ’의 길이를 구 한다.
선분 AB를 2：1로 내분하는 점 P의 좌표는 { 2_0+1_4 2+1 , 2_3+1_(-1)
2+1 , 2_(-1)+1_2 2+1 } 즉, P {;3$;, ;3%;, 0}
선분 PA를 1：2로 외분하는 점 Q의 좌표는
{
1_4-2_1-2 ;3$; , 1_(-1)-2_1-2 ;3%; , 1_2-2_0 1-2}
즉, Q {-;3$;, :¡3£:, -2}
4 PQ’=Ƙ{-;3$;-;3$;}€+{:¡3£:-;3%;}€+(-2-0)€
= 2'ß413
5 -2
4'3|해결 전략| 주어진 조건에 맞게 두 점 P, Q의 좌표를 구한 후 PQ’의 길이를 구 한다.
선분 AB를 1：2로 내분하는 점 P의 좌표는 { 1_3+2_(-1) 1+2 , 1_(-4)+2_0
1+2 , 1_(-2)+2_2
1+2 }
즉, P {;3!;, -;3$;, ;3@;}
선분 PA를 3：2로 외분하는 점 Q의 좌표는
{
3_(-1)-2_3-2 ;3!; , 3_0-2_3-2{-;3$;}, 3_2-2_3-2 ;3@;}
즉, Q {-:¡3¡:, ;3*;, :¡3¢:}
4 PQ’=Ƙ÷{-:¡3¡:-;3!;}€+{;3*;+;3$;}€+{:¡3¢:-;3@;}€
=4'3
a+2b+4
또, PC’="ƒ(-5+1)€+(1-3)€+(-3+1)€=2'6 따라서 구하는 구의 방정식은
또, PC’="ƒ(-5-1)€+(8-2)€+(7-1)€=6'3 따라서 구하는 구의 방정식은
11-1
2'3|해결 전략| x축 위의 점 P에서 구의 중심까지의 거리와 구의 반지름의 길이를 구한 후 피타고라스 정리를 이용한다.
x축 위의 점 P의 좌표를 (a, 0, 0)이라 하자.
x€+y€+z€-2x-4y-6z+13=0을 변형하면 (x-1)€+(y-2)€+(z-3)€=1
즉, 구의 중심의 좌표는 (1, 2, 3)이고 반지름의 길이는 1이다.
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C,
P(a, 0, 0) C(1, 2, 3) 1 Q
점 P에서 구에 그은 접선의 접점을 Q라 하면 1PQC는 직각삼각형이 므로
PQ’="ƒ÷÷÷PC’÷€-CQ’÷€
="ƒ(1-a)€+2€+3€-1€
="ƒ(a-1)€+12
따라서 점 P에서 구에 그은 접선의 길이는 a=1일 때, 즉 점 P의 좌 표가 (1, 0, 0)일 때 최솟값 'ß12=2'3을 갖는다.
11-2
1|해결 전략| y축 위의 점 P에서 구의 중심까지의 거리와 구의 반지름의 길이를 구한 후 피타고라스 정리를 이용한다.
y축 위의 점 P의 좌표를 (0, b, 0)이라 하자.
x€+y€+z€-2x+4y+2z+5=0을 변형하면 (x-1)€+(y+2)€+(z+1)€=1
즉, 구의 중심의 좌표는 (1, -2, -1)이고 반지름의 길이는 1이다.
오른쪽 그림과 같이 구의 중심을 C, 점 P에서 구에 그은 접선의 접 점을 Q라 하면 1PQC는 직각삼 각형이므로
PQ’="ƒ÷÷PC’÷€-CQ’÷€
="ƒ1€+(-2-b)€+(-1)€-1€
="ƒ(b+2)€+1
따라서 점 P에서 구에 그은 접선의 길이는 b=-2일 때, 즉 점 P의 좌표가 (0, -2, 0)일 때 최솟값 1을 갖는다.
P(0, b, 0) C(1, -2, -1) 1 Q
(x-a)€+(y-1)€+(z-2)€=r€에 z=0을 대입하면 (x-a)€+(y-1)€=r€-4
즉, 구와 xy평면이 만나서 생기는 도형은 중심의 좌표가 (a, 1, 0)이 고 반지름의 길이가 "ƒr€-4인 원이다.
이 도형의 넓이가 5p이므로 r€-4=5에서 r€=9
4 (x-a)€+(y-1)€+(z-2)€=9
구 (x-a)€+(y-1)€+(z-2)€=9에 x=0을 대입하면 (y-1)€+(z-2)€=9-a€
즉, 구와 yz평면이 만나서 생기는 도형은 중심의 좌표가 (0, 1, 2)이 고 반지름의 길이가 "ƒ9-a€인 원이다.
이 도형의 넓이가 6p이므로 9-a€=6에서 a€=3 4 a='3 (5 a>0)
10 -2
4|해결 전략| 구와 xy평면이 만나서 생기는 교선의 방정식은 구의 방정식에 z=0 을 대입하여 구하고, 구와 zx평면이 만나서 생기는 교선의 방정식은 구의 방정식 에 y=0을 대입하여 구한다.
(x+2)€+(y-b)€+(z-3)€=r€에 z=0을 대입하면 (x+2)€+(y-b)€=r€-9
즉, 구와 xy평면이 만나서 생기는 도형은 중심의 좌표가 (-2, b, 0) 이고 반지름의 길이가 "ƒr€-9인 원이다.
이 도형의 넓이가 16p이므로 r€-9=16에서 r€=25
4 (x+2)€+(y-b)€+(z-3)€=25
구 (x+2)€+(y-b)€+(z-3)€=25에 y=0을 대입하면 (x+2)€+(z-3)€=25-b€
즉, 구와 zx평면이 만나서 생기는 도형은 중심의 좌표가 (-2, 0, 3) 이고 반지름의 길이가 "ƒ25-b€인 원이다.
이 도형의 넓이가 9p이므로 25-b€=9에서 b€=16 4 b=4 (5 b>0)