미적분학 I
1 성격
5개 과학특성대학의 1학년 기초과정에서 학습하는 미적분학 I 또는 그에 해당하는 일변수 함수의 미적분학, 수열과 급수 및 그 응용의 내용을 다룬다.2 목표
1. 총괄목표
‣ 일 변수 함수의 미적분학을 다루며 기본 개념을 배우고 추상적인 개 념의 이해와 응용으로 확장한다.2. 세부목표
‣ 미적분학에 필요한 실수와 함수의 기본적인 극한과 연속의 내용을 복습한다. ‣ 미분과 적분의 정의를 복습한다. ‣ 적분의 방법과 응용을 학습한다. ‣ 기본적인 미분방정식을 소개하고 미적분학과 연계된 내용을 학습한 다. ‣ 무한수열과 무한급수의 수렴의 정의를 이해하고 무한급수로 나타내 어지는 함수의 성질과 응용을 학습한다. ‣ 미분방정식, 선형대수학, 다변수 함수에 필요한 다양한 기초 주제의 개념을 쌓는다.3 내용 체계
단 원 주요내용 교재 챕터 1. Review of Basic Concepts of Calculus1. Concepts of continuity and limits of a function
2. Differentiation and Integration of single variable functions
Stewart Chapters 1, 2, 3, 4, 5 2. Techniques of Integration 3. Integration by Parts 4. Trigonometric integrals 5. Trigonometric substitutions
6. Integration of rational functions by partial fractions
7. Integrals using tables and CAS 8. Improper Integrals
9. Approximate integration
Stewart 7
3. Application of Integration
10. Areas between curves 11. Cylindrical volumes
12. Volume and surface area of revolution
13. Arc Length
14. Moments and centers of mass 15. Applications to economics, biology
and probability
4. Inverse functions; exponential, logarithmic and inverse trigonometric functions
16. Derivative of inverse functions 17. The natural logarithmic functions
defined as a definite integral 18. The expoential functions defined
as the inverse of the natural logarithmic functions
19. General logarithmic and exponential functions 20. Hyperbolic functions
21. Derivative of inverse trigonometric and hyperbolic functions
Stewart 6
5. Introduction to differential equations and modeling
22. First order linear differential equations and applications
23. Integral curve and direction fields 24. First order separable equations
and applications to exponential growth Stewart 9 6. Parametric equations and polar coordinates
25. Calculus of curves defined by parametric equations
26. Polar coordinates
27. Area and lengths in polar coordinates
28. Conic sections; conic sections in polar coordinates
7. Infinite sequences and series Series of functions
29. Monotonic sequences of real numbers
30. Infinite series 31. Telescoping series 32. Geometric series 33. Comparision tests
34. Integral and estimate of sums 35. Absolute convergence and root
and ratio tests 36. Alternating series
37. Taylor approximation of functions 38. Taylor series and Maclaurin series 39.Power series representing functions 40. Binomial series
Stewart 11
4 추천 교재
‣ A: James Stewart Calculus (7E) Publisher: Brooks Cole; 6 edition (January 1, 2011) Language: English ISBN-10: 0538497815 ISBN-13: 978-0538497817
‣ B: George B. Thomas Calculus (12E) Publisher: Addison Wesley; 12 edition (September 12, 2009) Language: English ISBN-10: 0321587995 ISBN-13: 978-0321587992
5 교수·학습 방법
본 과정을 두 개의 과목으로 나누어 개설하는 경우에는 1. 미적분학의 기 본 개념 복습 단원을 포함하는 과목은 나머지 부분을 다루는 과목의 선수과 목으로 지정되어야 하며 이 두 과목을 모두 이수한 경우에만 본 과정을 이 수한 것으로 인정한다.6 영역 및 단원 내용
1. 미적분학의 기본 개념 복습 (*)
1) 세부단원
‣ 일변수 함수의 연속성과 극한 One variable functions; concepts of continuity and limits of a function
‣ 일변수 함수의 미분과 변화율, 미분법칙 Derivatives of functions; Rates of change; Differentiability and Differentiation rules
‣ 연쇄미분의 법칙; 음함수의 미분과 응용 Chain rule; Implicit differentiation; Related rates
‣ 함수의 최대/최소값, 평균값의 정리, 함수의 그래프 Maximum and minimum values; The mean value theorem; Curve Sketching ‣ 정적분의 정의; 정적분의 정리 Definite integral, The fundamental
theorem of calculus
‣ 부정적분의 정의와 응용 Indefinite integral and the net change theorem
‣ 일변수 함수의 연속성과 극한; 중간값의 정리 등의 응용 ‣ 극한을 이용한 미분의 정의와 의미 ‣ 미분법칙과 그 응용; 음함수의 미분과 응용 ‣ 역함수의 미분 ‣ 매개변수식의 미분 ‣ 함수의 증가/감소; 함수의 그래프와 곡선의 개형 ‣ 평균값의 정리와 그 응용 ‣ 정적분과 부정적분의 정리와 정적분의 정리 3) 성취기준 ‣ 극한의 정의와 성질을 이해하였는가 ‣ 다항함수, 유리함수, 삼각함수의 극한을 구할 수 있는가 ‣ 극한을 이용한 연속의 정리를 이해하였는가 ‣ 극한을 이용한 접선의 정의를 이해하였는가 ‣ 극한을 이용한 미분의 정의와 그 의미를 이해하였는가 ‣ 미분의 다양한 성질을 증명하고 활용할 수 있는가 ‣ 함수의 증가. 감소를 판별하여 그래프를 그릴 수 있는가 ‣ 최대/최소와 변화율에 관한 다양한 응용문제를 해결할 수 있는가 ‣ 평균값 정리를 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 정적분과 부정적분의 정의와 두 적분의 관계를 이해할 수 있는가 ‣ 미적분의 기본정리를 이해하고 활용할 수 있는가
4) 평가문항
별첨5) 유의사항
(*) 이 단원은 고교 수학II 의 미분법과 그 배경의 복습이 되는 내용이 므로 영재 고교의 AP과정의 선수과정에서 다루었다면 제외해도 무방합니다.2. 적분의 법칙과 여러 가지 적분법 Techniques of Integration
1) 세부단원
‣ 부분적분법 Integration by parts ‣ 삼각함수의 적분법 Trigonometric integrals ‣ 삼각치환에 의한 이차식의 변형 Trigonometric substitutions ‣ 부분분수를 이용한 유리함수의 적분Integration of rational functions by partial fractions
‣ 적분표 활용과 컴퓨터 프로그램 Integrals using tables and CAS ‣ 이상적분 Improper integrals ‣ 근사적분법 Approximate integration
2) 내용기준
‣ 부분적분법의 식과 응용 ‣ 삼각함수의 적분 – 기본적인 삼각함수의 적분 및 삼각치환에 의한 변형 적분법 ‣ 유리함수의 적분– 부분분수 분리를 이용한 유리함수의 적분법 ‣ 이상적분 – 이상적분의 정의와 계산, 유한구간에서의 이상적분; 무한구간에서의 이상적분; 이상적분의 수렴 판정법‣ 적분표 사용법 ‣ CAS 의 소개와 활용법 (*) ‣ 적분 근사방법의 이해와 근사값의 계산
3) 성취기준
‣ 문제에 따라 사용해야 할 적절한 적분방법들을 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 정적분의 개념을 확장한 이상적분의 개념을 이해하고 활용할 수 있는가 ‣ 적분의 근사방법의 차이를 이해하고 적분의 근사값을 구할 수 있는가4) 평가문항
별첨5) 유의사항
(*) 는 의무사항은 아님
3. 적분의 응용 Applications of integration
1) 세부단원
‣ 그래프 사이의 넓이 Areas between curves ‣ 원통모양의 부피 Cylindrical volumes
‣ 회전체의 부피와 겉넓이 Volume and surface of revolution ‣ 호의 길이 Arc length
‣ Moments and centers of mass ‣ 경제, 생물, 통계에서의 응용
Applications to economics, biology and probability
2) 내용기준
‣ 넓이의 정의 ‣ 원통모양의 부피계산 ‣ 회전체의 부피와 겉넓이 ‣ 호의 길이 계산의 이해3) 성취기준
‣ 다양한 입체의 부피, 회전체의 겉넓이 등을 정적분을 통해 구할 수 있는가 ‣ 호의 길이 계산식을 이해하고 구할 수 있는가4) 평가문항
별첨4. 로그함수와 지수함수; 삼각함수와 쌍곡함수의 역함수
Inverse functions; exponential, logarithmic; inverse of
trigonometric and hyperbolic functions
1) 세부단원
‣ 정적분으로 정의된 자연로그 The natural logarithmic functions defined as a definite integral
‣ 자연로그의 역함수로 정의된 지수함수 The exponential functions defined as the inverse of the natural logarithmic functions
‣ 일반적인 로그함수와 지수함수
General logarithmic and exponential functions ‣ 쌍곡함수 Hyperbolic functions
‣ 삼각함수 및 쌍곡함수의 역함수의 미분 Derivatives of inverse trigonometric and hyperbolic functions
2) 내용기준
‣ 정적분으로 정의된 자연로그함수의 정의, 자연로그의 미분과 적분 ‣ 지수함수의 정의와 성질 및 미분과 적분법 ‣ 기타 지수함수와 로그함수 및 응용 ‣ 쌍곡함수의 정의, 역쌍곡함수의 정의와 미분법 및 응용 ‣ 역삼각함수의 미분법 및 응용3) 성취기준
‣ 자연로그와 지수함수의 정의를 이해하였는가 ‣ 기타 일반적인 지수, 로그함수의 미분법을 이해하고 응용문제를 해결 할 수 있는가 ‣ 쌍곡함수의 정의와 역쌍곡함수의 응용과 미분법을 이해하고 응용할 수 있는가4) 평가문항
별첨5. 미분방정식의 소개와 모델링
Introduction to differential equations and modelling
1) 세부단원
‣ 일계 미분방정식과 그 응용 First order linear differential equations and applications
‣ 적분곡선과 방향벡터장 Integral curves and direction fields
‣ 일계 변수분리형 미분방정식과 응용 First order separable equations and applications to exponential growth/decay
2) 내용기준
‣ 일계 미분방정식의 정의와 응용 ‣ 적분곡선과 방향벡터장의 응용 ‣ 일계 변수분리형 미분방정식의 정의와 응용3) 성취기준
‣ 일계 미분방정식을 구분하고 해를 구할 수 있는가 ‣ 적분곡선과 direction field를 보고 미분방정식의 해를 스케치 할 수 있는가 ‣ 일계 변수분리형 미분방정식의 해를 구하고 응용에 활용할 수 있는가4) 평가문항
별첨6. 매개함수와 극좌표
Parametric equations and polar coordinates
1) 세부단원
‣ 매개변수 곡선의 미적분학
Calculus of curves defined by parametric equations ‣ 극좌표 Polar coordinates
‣ 극좌표에서의 넓이와 길이 Area and lengths in polar coordinates ‣ 원뿔곡선; 극좌표계에서의 원뿔곡선
Conic sections; conic sections in polar coordinates
2) 내용기준
‣ 매개변수로 표현되는 함수의 정의; 매개함수의 미분과 적분극 ‣ 좌표의 정의; 극좌표와 직교좌표 사이의 관계 ‣ 극방정식의 그래프 그리기 ‣ 극방정식의 해집합의 대칭성 ‣ 극좌표계에서의 넓이와 곡선의 길이 ‣ 원뿔곡선의 정의; 극좌표계에서의 원뿔곡선3) 성취기준
‣ 곡선을 매개함수로 표현하고 그 곡선의 접선과 길이를 구할 수 있는가 ‣ 극방정식으로 나타나는 곡선의 그래프를 그릴 수 있고 그 곡선의 접선과 길이를 구할 수 있는가 ‣ 원뿔곡선의 정의와 이심율을 이해하고 극좌표계로 표현된 원뿔곡선 의 특징을 이해하는가4) 평가문항
별첨
7. 무한 수열과 급수; 무한급수로 표현되는 함수
Infinite sequences and series; series of functions
1) 세부단원
‣ 단조 수열의 정의 Monotonic sequences of real numbers ‣ 무한급수 Infinite series
‣ 적분판정법과 급수의 근사정리 Integral test and estimate of sums ‣ 절대수렴; 비율판정법과 제곱근 판정법 Absolute convergence and
root and ratio tests
‣ 교대급수 Alternating series
‣ 테일러 급수와 테일러 정리 Taylor approximation of functions and Taylor series; Maclaurin series
‣ 멱급수와 함수로서의 멱급수 Power series representing functions ‣ 이항급수 Binomial series
2) 내용기준
‣ 수열의 수렴과 발산; 단조수열; 최소상계의 성질; 단조증가수열의 수 렴성; 수렴하는 수열의 성질 ‣ 수열과 함수극한과의 관계; 수열의 조임정리 ‣ 무한급수의 정의; 발산하는 급수; 수렴의 필요조건과 발산의 충분조 건; 급수의 연산‣ 무한급수의 수렴과 발산: 비교판정법; 적분판정법; 극한비교 판정법 ‣ 절대수렴: 비율판정법과 제곱근 판정법 ‣ 급수의 재배열; 급수의 곱 ‣ 교대급수의 근사정리 ‣ 멱급수의 정의와 수렴성; 수렴반경 공식 ‣ 함수로서의 멱급수; 멱급수 사이의 연산 ‣ 테일러 급수와 테일러 정리; 테일러 급수와 원래 함수와의 관계 ‣ 테일러 정리를 이용한 근사계산 ‣ 일반화된 이항전개식
