정의. P3, P6, P8의 공준을 만족하는 집합 S를 연 산 ⊙에 관한 ( ,⊙)이라 부른다.
정리 1. a⊙c=b⊙c 이면 a=b이다.
(증명)
a⊙c=b⊙c ⇒ (a⊙c)⊙c=(b⊙c)⊙c ⇒ a⊙(c⊙c)=b⊙(c⊙c) ⇒ a=b
증명.
(z⊙a) ⊙ a = z⊙ ( a ⊙ a ) = z⊙z
= z
= a ⊙ a
정리 1에 의하여, z⊙a = a = a⊙z
증명.
z
1
= z1
⊙ z2
= z2
⊙ z1
= z2
증명.
(a⊙ a)⊙a = a⊙(a⊙a) = a⊙z
= z⊙ a
따라서, a⊙ a = z = a⊙a
(증명)
a=z⊙ a
= (c⊙c)⊙a =c⊙(c⊙a) = c⊙(c⊙b) = (c⊙c)⊙b =z⊙ b
=b
P11. a≠z 이면 a와 a중 단 하나만이 P에 속하는 z 를 포함하지 않는 S의 부분 집합 P가 존재한다.
P12. a와 b가 P의 원소이면, a⊙b와 a◈b는 P의 원소이다.
정의. a와 b가 S의 원소이고 a⊙b가 P의 원소이면 a>b로 나타낸다.
정의. 이상의 공준 P1~P12을 만족하는 집합 S를 ( , ⊙, ◈)라 부른다.
문제.
적어도 두 개의 복소수를 포함하는 임의의 집합 C가 집합에 속하는 임의의 두 수의 합, 차, 곱, (분 모가 영이 아닌) 몫이 또 다시 집합 C에 속하면 집합 (C,+,ⅹ)는 체를 이룸을 보여라. 이와 같은 체를 수 체라 부른다.
복소수의 연산
i 2 =-1
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)ⅹ(c+di)=
(ac-bd)+(ad+bc)i
교환법칙이 성립하지 않는 공간 체계를 해석할 수 있는 모형
(1843년, 헤밀턴, 영국)
S: 실수의 순서쌍 전체의 집합
a+bi ⇔ (a,b)
(a,b)=(c,d) ⇔ a=c, b=d (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d)
(a,b)ⅹ(c,d) = (ac-bd, ad+bc)
문제.
1. 덧셈에 관한 교환, 결합범칙이 성립함을 보여라.
2. 곱셈에 관한 교환, 결합범칙이 성립함을 보여라.
3. 집합 S는 덧셈과 곱셈에 관하여 체를 형성함을 보여라.
(a, b) = (a,0)+(0,b)= (a,0)+(b,0)(0,1) = a+bi
(0,1)(0,1) = (-1,0) = -1 = i2
( C, +,ⅹ) (R, +, ⅹ) (a,0)+(b,0)=(a+b,O) (a,0)(b,0)=(ab,O)
(a,b)+(c,d) = (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i = (a+c, b+d)
(a,b)ⅹ(c,d) = (a+bi)ⅹ(c+di) = ac+adi+bci+bdi2
= (ac-bd)+(ad+bc)i = (ac-bd, ad+bc)⇒ (a,b,c,d) 실수의 사순서수의 정의
ⅹ 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1
정의 1. (a,b,c,d)+ (e,f,g,h)
2. (a,b,c,d)ⅹ(e,f,g,h) = (ae-bf-cg-dh, af+be+ch-dg, ag+ce+df-bh, ah+bg+de-cf)
Remark. (0,1,0,0) ⅹ(0,0,1,0) (0,0,1,0) ⅹ(0,1,0,0)
정의. 실수의 n순서수(1844, 그라스만)
“ 현대 대수학은 최대한 다양하고 풍부하게 가능한 모든 수학적 체계를 처음으로 표출해 왔다.”
(G. Birkhoff, S. MacLane)
Example 1. 행렬대수학
(non-commutative ring) Example 2. Jordan algebra
A· B=AB+BA/2
Example 3. Lie algebra
A· B=AB-BA
(G, *) : group
G1(P3). (a*b)*c=a*(b*c)
G2(P6). ∃i∈G such that a*i=a for all a∈G G3(P8). For all a∈G ∃a
-1
∈G such that a*a-1
=i Example. ({1},ⅹ)정리1. a*c=b*c ⇒ a=b 정리2. i*a=a*i
정리3. ∃I i∈G
정리4. a
-1
*a=a*a-1
정리5. c*a=c*b ⇒ a=b
정리6. ∃I a
-1
∈G for all a∈G 정리7. (a-1
)-1
=a정리8. For all a,b∈G ∃I x,y ∈G such that a*x=b, y*a=b.
Example. 1
S={ a b | a,b,c,d are rational numbers
c d with ad- bc≠0}
* : 행렬곱셈
⇒ (S, * ) : infinite non-commutative group
Example. 2
S={r, 1-r, 1/r, 1/(1-r), (r-1)/r, r/(r-1)}
f(r)*g(r)= f(g(r))
that is, (1-r)*r/(r-1) = 1-r/(r-1)
= 1/(1-r)
⇒(S,*) : finite non-commutative group
*
r 1-r 1/r 1/(1-r) (r-1)/r r/(r-1)
r r 1-r 1/r 1/(1-r) (r-1)/r r/(r-1)
1-r 1-r (r-1)/r r/(r-1) 1/(1-r)
1/r 1/r
1/(1-r) 1/(1-r) 1/r
(r-1)/r (r-1)/r
r/(r-1) r/(r-1)
Example. 3
