감사합니다
부록 3. 모형의 검증
모형 검증 2)
동등 조건
(1) (Equivalency Condition)
제시된 모형식이 Wardrop의 균형조건을 만족하고 있음을 살펴볼 필요가 있다. 이를 위해 균형 상태에서 사용된 경로의 비용은 모두 같고 사용되지 않은 어떤, 경로의 통행시간보다 크지 않다는 조건이 성립함을 보여야 한다 이는 최소화 문. 제의 해를 찾아냄으로써 균형 상태의 교통량의 패턴을 얻어낼 수 있다 이를 위. 해 라그랑지 승수법(Lagrange Multiplier)을 사용하며 식을 선형등식과 비음제약, 을 가진 최소화 문제의 라그랑지 함수로 변환하면 다음과 같다.
≥ ∀
≥ ∀
식 (1)
여기서, =라그랑지 승수(Lagrange Multiplier)
식의 라그랑지 함수로부터 쿤 터커 조건- (Kuhn-Tucker Condition)을 유도하면 다 음과 같다.
≥ ∀ 식 (2)
∀ 식 (3)
≥ ∀ 식 (4)
식의 필요조건은 식을 통행량 변수 에 대한 편미분을 하여 그 결과를 식에
위 식에서 어떤 링크 또는 환적의 일반화 통행비용은 그 링크 교통량 물동량( )
∙
∙
∙ 식 (14)
식(14)의 두 번째 항은 변수의 정의 상 식이 성립한다.
식 (15)
또한 는 상수이고, 는 의 함수가 아니므로 다음과 같이 표현된다.
식 (16)식에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.
식 (17)
여기서,
(
,
)는 m-n을연결하는 경로상의 도로링크 의 비용시간탄소배출량l a ( , )
는 m-n을 연결하는 경로상의 환적 의l ab 대기시간 환승시간 대기비용( , )
m-n을 연결하는 경로상의 철도링크 의 비용시간탄소배출량l b ( , )이제 마지막으로 식으로 표현된 쿤 터커 조건을 정리하면 아래와 같다- .
∀ 식 (1617)
∀ 식 (1718)
≥ ∀ 식 (1819)
∀ 식 (1920) ≥ ∀ 식 (2021)
여기서 식, (20)와 식(21)은 교통량 보존과 비음제약 조건이다 반면에 두 조건. 식 (18)과 식 (19)는 기종점 를 연결하는 경로 가 주어질 때 위의 조건들은, 경로 교통량과 통행시간의 가능한 조합에 대해 성립한다 만약 어떤 경로의 통행. 경로에 통행량이 배정되지 않으면 즉( ), 그 통행경로상의 통행시간( ) 은 라그랑지 승수()보다 크거나 같아야 한다 만약 어떤 통행경로에 통행량이. 배정되면 즉( ), 그 통행경로상의 일반화 통행비용( )은 라그랑지 승수 ( )와 같아야 한다 이는 어떠한 경우에도 주어진 출발지와 목적지를 위한 라. 그랑지 승수는 어떠한 통행경로상의 일반화 통행비용보다 작거나 같은 값을 가 진다는 사실을 나타낸다 따라서 라그랑지 승수. ( )는 출발지 과 목적지 사 이의 최소통행경로 일반화 통행비용과 같다 따라서 본 연구에서 제안한 모형은. 동등 조건(Equivalency)을 만족함을 알 수 있다.
유일 조건
(2) (Uniqueness Condition)
본 연구에서 제시한 모형을 다시 한 번 살펴보면 다음과 같다.
min
식 (21)
∀
≥ ∀
∙ ∀
∙ ∀
∙ ∀제안된 모형이 유일 조건(Uniqueness Condition)을 만족하는 지에 대한 판단은 모형이 오직 하나의 해를 갖는다는 것을 보여주면 된다 다시 말해 이는 목적함. 수가 최적해 근방에서 엄밀하게 볼록(Strictly Convex)하며 제약조건들에 의해 정 의되는 실행가능영역(Feasible Region)은 볼록(Convex)이라는 것을 증명하면 된 다.
식 (21)의 첫 번째 항이 유일해 조건을 만족하는지 살펴보면 된다.
일차미분식은,
이차미분식은,
∙