수학 영역

◈ 자신이 선택한 유형(A형 또는 B형)의 문제지인지 확인하시오.

◈ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◈ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◈ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◈ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◈ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

성명 수험 번호

※ 시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.

2015년 충남 8월 고3 수능모의학력평가

수학 영역 ^(B형)

제`2`교시

1

시간：100분 점수：100점

제 2 교시

수학 영역 (B형)

2015년 충남 8월 고3 수능모의학력평가

고3 - 2015 -  ^{1 8}  - 8월 - 2교시

3.

/0^2"`sin 2x dx의 값은? [2점]

① 1

16 ^② 1

8 ^③ 1

4

④ 1

2 ^⑤ 1

5지선다형

4.

함수 f{x}=ln9{x+1}{x+2}{x+3}{x+4}0에 대하여

f '{1}-f '{2}의 값은? [3점]

① 1

3 ^② 5

12 ^③ 1

2

④ 7

12 ^⑤ 2

3

2.

^{행렬 A=}[1 2

2 3]에 대하여 행렬 A+A_!의 모든 성분의 합은? [2점]

① 6 ② 7 ③ 8

④ 9 ⑤ 10

1.

^{log2 4}₇^+log _log ⁷₂^{의 값은?} [2점]

① j2 ② 2 ③ 2_j2

④ 4 ⑤ 4_j2

수학 영역

2 ^B형

고3 - 2015 - ^{2 8}  - 8월 - 2교시 고3 - 2015 - ^{3 8}  - 8월 - 2교시

8.

^x>-1에서 연속인 함수 f{x}가 x>-1인 모든 실수 x에 대하여 등식

xf{x}=ln{1+x}

를 만족시킬 때, f{0}의 값은? [3점]

① 0 ② ln 2 ③ 1

④ 2 ⑤ e

5.

a, a, b, b, c, d를 일렬로 나열할 때, a가 이웃하지 않도록 나열하는

경우의 수는? [3점]

① 110 ② 120 ③ 130

④ 140 ⑤ 150

6.

이차정사각행렬 A가 나타내는 일차변환 f에 의하여 점 P{3, 0}이 점 Q{0, 2}로 옮겨지고, 점 Q가 점 P로 옮겨진다. 일차변환 f에 의하 여 점 {1, 1}이 점 {p, q}로 옮겨질 때, p-q의 값은? [3점]

① 1 ② 5

6 ^③ 2

3

④ 1

2 ^⑤ 1

3

7.

^{그림과 같이 AB}3=4, AD3=6인 직 사각형 ABCD에서 선분 BC를 1 : 2 로 내분하는 점을 P, 선분 DC의 중 점을 Q라 하자. 이때 내적 AXPV•AXQV

의 값은? [3점]

① 16

② 18

③ 20

④ 22

⑤ 24

수학 영역 3

B형

고3 - 2015 - ^{3 8}  - 8월 - 2교시

11.

^{한 개의 주사위를} 3번 던질 때, 3의 배수의 눈이 홀수 번 나올 확률

은? [3점]

① 11

27 ^② 4

9 ^③ 13

27

④ 14

27 ^⑤ 5

9

9.

삼차함수 y=f{x}의 그래프가 그림 과 같을 때, 부등식 f{-x}

f{x-2}>0을 만 족시키는 모든 정수 x의 값의 합은?

[3점]

① -2

② -1

③ 1

④ 2

⑤ 3

10.

그림과 같이 포물선 y@=ax{a>0}의 초점을 F{b, 0}이라 하고, 직선 x=2b가 포물선과 만나는 점을 P, Q라 하자.

FP3=6일 때, 삼각형 FPQ의 넓이는?

[3점]

① 4₁3

② 6₁2

③ 6₁3

④ 8₁2

⑤ 8₁3

12.

^행렬

13 2 ^-3

2

` 3 2 ¹3

[

2

]

으로 나타내어지는 일차변환 f에 의하여 두 점 A, B가 각각 옮겨진 두 점 사이의 거리가 6일 때, 선분 AB의 길이는?

[3점]

① 13 ② 2₁3 ③ 3₁3

④ 4₁3 ⑤ 5₁3

수학 영역

4 ^B형

고3 - 2015 - ^{4 8}  - 8월 - 2교시 고3 - 2015 - ^{5 8}  - 8월 - 2교시

14.

1<a<b<4일 때, 곡선 y=f{x}와 두 직선 x=1, x=a 및 x축으 로 둘러싸인 부분의 넓이를 S1, 곡선 y=f{x}와 두 직선 x=a, x=b 및 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S2, 곡선 y=f{x}와 두 직선 x=b, x=4 및 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S3이라 하자. S1, S2, S3이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, b-a

ab 의 값은? [4점]

① 1

4 ^② 2

7 ^③ 1

3

④ 2

5 ^⑤ 1

2

13.

점 A에서의 접선을 l1, 점 B에서의 접선을 l2라 할 때, 두 직선 l1과

l2의 교점의 y좌표는? [3점]

① 1

21 ^② 1

14 ^③ 2

21

④ 5

42 ^⑤ 1

7

【13~14】 그림과 같이 함수 f{x}= 1

x@{x>0}의 그래프와 두 직 선 x=1, x=4가 만나는 점을 각각 A, B라 할 때, 13번과 14번의 두 물 음에 답하시오.

16.

^{cos@ {10}!+x}-sin@ {10!-x}=k cos 2x일 때, 상수 k의 값은?

[4점]

① sin 10! ② tan 10! ③ sin 20!

④ cos 20! ⑤ tan 20!

15.

화학 반응 속도 이론에서 반응 속도를 k{mol/L K s}, 역반응 속도를 s{mol/L K s}, 활성화 에너지를 E{KJ/mol}, 절대온도를 T{K}라 하면

log k=log s- E

cT (단, c는 상수) 가 성립한다고 한다.

반응 속도가 역반응 속도의 100배이고 절대온도가 400 K인 활성화 에 너지를 E1{KJ/mol}, 반응 속도가 역반응 속도의 10배이고 절대온도 가 200 K인 활성화 에너지를 E2{KJ/mol}라 할 때, E1

E2의 값은? [4점]

① 1 ② 2 ③ 3

④ 4 ⑤ 5

수학 영역 5

B형

고3 - 2015 - ^{5 8}  - 8월 - 2교시

18.

^{쌍곡선 x@}_a@^-y@_b@^{=1{a>0, b>0}}의 두 초점을 F, F'이라 하고, 이 쌍곡선 위의 한 점을 P라 할 때, 다음 세 조건이 성립한다.

㈎ CFPF'=90!

㈏ PF3=2PF'3

㈐ FF'3=8

이때 ab의 값은? [4점]

① 28

5 ^② 6 ③ 32

5

④ 34

5 ^⑤ 36

5

20.

n이 자연수일 때, 정의역이 9x|0<x<2p0인 함수

f{x}={1-sin x}sin x-n!이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로

고른 것은? [4점]

ㄱ. n의 값에 관계없이 f{x}는 극솟값을 2개 갖는다.

ㄴ. 곡선 y=f{x}가 x축에 접하는 n의 값이 존재한다.

ㄷ. n=10일 때 방정식 f{x}=0은 서로 다른 실근 4개를 갖는다.

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<보 기>

17.

모든 항이 양수인 수열 9an0이

a1=1, an'1-an=an{5-an'1}`{n>1}

을 만족시킬 때, 다음은 일반항 an을 구하는 과정이다.

an'1-an=an{5-an'1}의 양변을 an'1 an으로 나누면 1

an- 1 an'1= 1

an'1{5-an'1}

= 5 an'1-1 1

an'1= ㈎[1+1 an]

bn=1

an이라 하면

bn'1= ㈎ {1+bn}, bn'1-1

5^{= ㈎[bn-}1 5^] bn-1

5⁼4

5^{[ ㈎ ]N_!}

즉, bn=4

5^{[ ㈎ ]N_!+}1 5^이므로 an=1

bn= ㈏ 6N_!+4

위의 과정에서 ㈎에 알맞은 수를 a, ㈏에 알맞은 식을 f{n}이라 할

때, f{12a}의 값은? [4점]

① 20 ② 25 ③ 30

④ 35 ⑤ 40

19.

이차정사각행렬 A에 대하여 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 P, Q를

P=2A-E, Q=2E-2A

라 하자. PQ=O일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것 은? (단, E는 단위행렬이고, O는 영행렬이다.) [4점]

ㄱ. QP=O ㄴ. P@=P ㄷ. P#+Q#=E

① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<보 기>

수학 영역

6 ^B형

고3 - 2015 - ^{6 8}  - 8월 - 2교시 고3 - 2015 -  ^{7 8}  - 8월 - 2교시

단답형

22.

/x\0``sin ax

x =5_{, /x\}0``sin bx

sin ax=2일 때, a@+b@의 값을 구하시오. (단,

a, b는 상수이다.) ^[3점]

21.

그림과 같이 점 A{1, 0}과 원 x@+y@=1 위의 점 P에 대하여 CAOP=h일 때, 다음 두 조건을 만 족시키는 점 Q가 있다.

㈎ OP3\PQ3

㈏ PQ3=h

OQV={ f{h}, g{h}}라 하자.

매개변수 h로 나타내어진 함수 -`x=f{h}

y=g{h}에 대하여 h=2

3^{p일 때, dy}dx 의 값은? (단, O는 원점이고, 동경 OQ의 각의 크기는 동경 OP의 각

의 크기보다 작다.) [4점]

① -p

6 ^{② -}

p

3 ^{③ -}1

2

④ - j3

2 ^{⑤ -1}3

23.

등차수열 9an0에 대하여 a1=3, a4-a2=4일 때, /k=!)``ak의 값을 구하1

시오. [3점]

수학 영역 7

B형

고3 - 2015 -  ^{7 8}  - 8월 - 2교시

24.

^{쌍곡선 x@}₄^-y@₉⁼1과 두 직선 x=-3, x=3으로 둘러싸인 부분을 x축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피가 pQp일 때, p+q의 값을 구하 시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) [3점]

27.

그림과 같이 한 모서리의 길이가 4 인 정육면체 ABCD-EFGH에서 선 분 CG, 선분 DH를 각각 3 : 1로 내분 하는 점을 M, N이라 하고, 직사각형 ABMN에 내접하는 타원의 두 초점을 P, P '이라 하자. 선분 P P '의 평면 ABFE와 평면 ABCD 위로의 정사영 의 길이를 각각 l1, l2라 할 때, l1@+l2@

의 값을 구하시오. (단, 타원의 장축은 선분 BM에 평행하다.) [4점]

25.

모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 얻은 표본비율 pˆ이 pˆ=4

5일 때, 모비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간 [a, b]에 대하여 b-a=0.196이다. 자연수 n의 값을 구하시오. (단, Z가 표준정규분 포를 따르는 확률변수일 때, P{0<Z<1.96}=0.475로 계산한다.) [3점]

26.

좌표공간에서 직선 x-3= y+2

-2 =-z가 xy평면, yz평면, zx평면 과 만나는 점을 각각 P, Q, R라 하자. OP3@+OQ3@+OR3@의 값을 구하

시오. (단, O는 원점이다.) [4점]

수학 영역

8 ^B형

고3 - 2015 - ^{8 8}  - 8월 - 2교시 고3 - 2015 - ^{PB 8}  - 8월 - 2교시

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

30.

곡선 y=ln {x+1x@+13}과 y축 및 직선 y=ln {2+13}으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 S라 할 때, 50S의 값을 구하시오. [4점]

29.

그림과 같이 x축 위에 OA13=1, A1A23=a!^{, A2A3}3=[a!]@, y, AnAn'13=[a!]N, y을 만족시키는 점 A1, A2, A3, y, An, An'1, y 이 왼쪽부터 오른쪽으로 차례대로 놓여 있다. 점 A1을 한 꼭짓점으로 하고, 점 C1은 y축 위에 있으며 변 B1C1이 x축과 평행하도록 정삼각형 A1B1C1을 만든다. 또, 점 An'1{n=1, 2, 3, y}을 한 꼭짓점으로 하 고, 점 Cn'1이 변 AnBn 위에 있으며 변 BnCn이 x축과 평행하도록 정 삼각형 A2B2C2, A3B3C3, y, AnBnCn, An'1Bn'1Cn'1, y을 계속해서 만든다. 삼각형 AnBnCn의 넓이 Sn에 대하여 /n=<`` Sn=1 5₁3

4 ^{일 때,} 100a@

의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고 a>1이다.) [4점]

28.

^{곡선 y=}3!x#+x@-x와 직선 y=k가 서로 다른 세 점 A{a, k}, B{b, k}, C{c, k}{a<b<c}에서 만날 때, 두 점 A, C에서의 접선 이 서로 평행하다. 이때 상수 k의 값은 pQ이다. p+q의 값을 구하시 오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

※ 시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.