제 4 절 함수의 합성

제 4 절 함수의 합성

정 의 5.59 f : X → Y 와 g : Y → Z가 함수일 때 합성(composition) g◦ f : X → Z는

(g◦ f)(x) = g(f(x))

로 정의되는 함수이다. 집합을 사용하여 엄밀히 정의하면 아래와 같다.

g◦ f = {(x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g}

그림 13 합성함수

참 고 5.60 f와 g가 함수일 때 합성함수 g ◦ f : X → Z는 실제로 함수가 된다.

참 고 5.61 함수의 합성은 교환 법칙이 성립하지 않는다.

즉, g ◦ f ̸= f ◦ g.

[[ 예 ]] 5.62 함수 f와 g가 아래 그림과 같이 정의 되었을 경우 합성함수 g◦ f의 함수값은 다음과 같다.

(g◦ f)(a) = g(f(a)) = g(y) = t

(g◦ f)(b) = g(f(b)) = g(z) = r (g◦ f)(c) = g(f(c)) = g(y) = t

그림 14 합성함수 g ◦ f

[[ 예 ]] 5.63 R에서 R로 가는 두 함수

f (x) = 3x, g(x) = x²+ 1에 대해 합성함수를 구하면

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x²+ 1) = 3(x²+ 1) = 3x²+ 3 (g◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x) = (3x)²+ 1 = 9x² + 1 과 같이 다른 함수가 됨을 알 수 있다.

정 리 5.64 [결합법칙(associative law)] f : X → Y

g : Y → Z h : Z → W

=⇒ (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)

증명. (1) Dom((h ◦ g) ◦ f) = Dom(f) = X Dom(h◦ (g ◦ f)) = Dom(g ◦ f) = Dom(f) = X

∴ Dom((h ◦ g) ◦ f) = Dom(h ◦ (g ◦ f)).

(2) ∀x ∈ X,

((h◦ g) ◦ f)(x) = (h ◦ g)(f(x)) (5.61)

= h(g(f (x))) (5.62)

= h((g◦ f)(x)) (5.63)

= (h◦ (g ◦ f))(x) (5.64) (1), (2) 에 의해서 (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) 

항등함수는 함수의 합성 연산에 대해 항등원의 역할을 한다.

정 리 5.65 임의의 함수 f : X → Y 에 대해 다음 사실이 성립한다.

(1) f ◦ 1X = f

(2) 1Y ◦ f = f.

증명. 연습문제. 

역함수는 함수의 합성 연산에 대해 역원의 역할을 한다.

정 리 5.66 함수 f : X → Y 가 역함수 f⁻¹를 가지면 다음 사실이 성립한 다.

(1) f⁻¹◦ f = 1X

(2) f ◦ f⁻¹ = 1_Y

증명. (1) x ∈ X라 하고, y = f(x)라 하면 x = f⁻¹(y)이다.

(f⁻¹◦ f)(x) = f⁻¹(f (x)) = f⁻¹(y) = x = 1_X(x)

모든 x ∈ X에 대해 성립하므로 f⁻¹◦ f = 1X이다.

(2) 비슷한 방법으로 증명된다. 

[[ 예 ]] 5.67 집합 A = {a, b}, B = {1, 2, 3}에 대해

단사함수 f : A → B, f(a) = 1, f(b) = 2가 정의되었을 경우 함수 g : B → A를 아래 그림과 같이 정의하면 g ◦ f = 1A가 된다.

A B

1 2 3

_1

_1

b

a f

f

f g

f

f

그림 15 g◦ f = 1A

정 리 5.68 f : X → Y 가 함수일 때

∃g : Y → X, g ◦ f = 1X ⇐⇒ f : 단사함수

증명. (⇒)

f (x₁) = f (x₂) =⇒ f(x1) = f (x₂)∈ Y (5.65)

=⇒ g(f(x1)) = g(f (x₂)) (∵ g : 함수) (5.66)

=⇒ (g ◦ f)(x1) = (g◦ f)(x2) (5.67)

=⇒ 1X(x₁) = 1_X(x₂) (5.68)

=⇒ x1 = x₂ (∵ 1X : 전단사함수) (5.69)

(⇐) f가 단사이므로 공변역을 줄인 함수 f : X → f(X)는 전단사함 수이다(참고 5.48). 따라서 역함수 f⁻¹ : f (X) → X가 존재한다. 이제 g : Y → X를

g(y) =







f⁻¹(y), y ∈ f(X)일 때 x0 ∈ X, y /∈ f(X)일 때

와 같이 정의하면 g는 함수가 된다(정리 5.16). 단 x0는 X의 임의의 원소이 다. x ∈ X에 대해 y = f(x)라 하면,

(g◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = f⁻¹(y) = x = 1X(x)이다.

따라서 g ◦ f = 1X가 된다. 

정 리 5.69 f : X → Y 가 함수일 때

∃h : Y → X, f ◦ h = 1Y ⇐⇒ f : 전사함수

증명. (⇒) y ∈ Y 라 하자.

=⇒ h(y) ∈ X이다.

=⇒ ∃h(y) ∈ X, f(h(y)) = (f ◦ h)(y) = 1Y(y) = y 따라서 f : 전사함수

(⇐) f : X → Y 가 전사함수이므로 y ∈ Y 에 대해 원상이 항상 존재한다.

f (x) = y가 되는 x중 하나를 xy라 하고, 함수 h : Y → X, h(y) = xy를 정의하자.

그러면 모든 y ∈ Y 에 대해

(f ◦ h)(y) = f(h(y)) = f(xy) = y = 1Y(y)이다.

따라서 f ◦ h = 1Y.