제 1 장
기초 논리
1
이 장에서 다루는 내용:
• 명제와 연결사
• 항진명제, 모순명제
• 연역적 추론
• 한정기호
제 1 절 명제와 연결사
• 명제(statement): 참과 거짓을 구별할 수 있는 식이나 문장
• 단순명제(simple statement): 한가지 사실을 주장하는 명제
• 합성명제(compound statement): 연결사를 사용해서 몇 개의 단순명 제를 이어서 만든 명제
단순명제일 경우 보통 p, q, r, . . . 등으로, 합성명제일 경우 P, Q, R, . . . 등으로 나타낸다.
• 연결사(connectives): 단순명제를 이어서 합성명제로 만들어 주는 기호 로서 ∼, ∧, ∨, →, ↔ 등이 있다.
• 명제함수(propositional function): “x > 0” 과 같이 변수 x에 어떤 값을 대입하면 명제가 되는 문장이나 식으로서, p(x)로 표시한다.
[[ 예 ]] 1.1 아래 문장은 모두 명제이다.
(1) 서울은 한국의 수도이다.
(2) 2 + 1 = 5.
(3) π의 소수점 이하 10000번째 자리 수는 3이다.
(4) 우주에는 지구 외에도 생물이 살고 있는 혹성이 있다.
(5) 지금 비가 내린다.
(1)은 참인 명제이고 (2)는 거짓인 명제이다. (3)과 (4)는 지금 우리가 잘 알 지 못하지만 분명히 참이거나 거짓 중 하나이다. (5)의 명제는 지금의 상황에
따라 참과 거짓을 정할 수 있다.
[[ 예 ]] 1.2 아래 문장은 모두 명제가 아니다.
(1) 이번 주말에 놀러가자.
(2) 하늘이 파랗다.
(3) 안녕하세요?
정 의 1.3 명제 p의부정(negation)은
∼ p
로 나타내고 “p가 아니다(not p)”라고 읽는다. p가 참(true, T)일 때 ∼
p의 진리값(truth value)은 거짓(false, F)이 되고 p가 거짓일 때 ∼ p의 진 리값은 참이 된다. 이것을 진리표(truth table)로 나타내면 아래와 같다.
p ∼ p
T F F T
[[ 예 ]] 1.4 p : 서울은 한국의 수도이다.
∼ p : 서울은 한국의 수도가 아니다.
정 의 1.5 명제 p와 q의논리합(disjunction)은
p ∨ q
으로 나타내고, “p 또는 q”(p or q)라 읽는다. 논리합 p ∨ q의 진리표는 아 래와 같이 정의한다.
p q p ∨ q
T T T T F T F T T F F F
[[ 예 ]] 1.6 p : 이 자동차는 배터리가 불량이다.
q : 이 자동차는 시동모터가 불량이다.
p∨ q : 이 자동차는 배터리가 불량이거나 시동모터가 불량이다.
정 의 1.7 명제 p와 q의논리곱(conjunction)은
p ∧ q
으로 나타내고, “p 그리고 q” (p and q)라 읽는다. 논리곱 p ∧ q의 진리표 는 아래와 같이 정의한다.
p q p ∧ q
T T T T F F F T F F F F
[[ 예 ]] 1.8 p : 이 자동차는 배터리가 불량이다.
q : 이 자동차는 시동모터가 불량이다.
p ∧ q : 이 자동차는 배터리가 불량이고 시동모터도 불량이다.
[[ 예 ]] 1.9 ∼ [(∼ p) ∧ (∼ q)]의 진리표를 작성하여라.
풀이.
p q ∼ [(∼ p) ∧ (∼ q)]
T T T F F F
T F T F F T
F T T T F F
F F F T T T
1 1 4 2 3 2
