제 3 절 단사함수와 전사함수

제 3 절 단사함수와 전사함수

정 의 5.43 함수 f : X → Y 가

(1) f (a) = f (b) =⇒ a = b 일 때, 이 함수를 단사(injective) 또는 일대 일(one to one)이라 한다. 단사인 함수를 단사함수(injection)라 한다.

(2) ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f(x) = y 일 때, 이 함수를 전사(surjective) 또는 위로(onto)의 함수라 한다. 전사인 함수를 전사함수(surjection)라 한다.

(3) 함수 f : X → Y 가 단사이고 전사일 때 이 함수를 전단사(bijective)라 한다. 전단사인 함수를 간단히 전단사함수(bijection) 또는 일대일 대

응(one to one correspondence)이라고 부른다.

[[ 예 ]] 5.44 아래 그림과 같이 주어진 함수는 단사함수이다.

그림 9 단사함수

[[ 예 ]] 5.45 아래 그림과 같이 주어진 함수는 전사함수이다.

그림 10 전사함수

[[ 예 ]] 5.46 아래 그림과 같이 주어진 함수는 전단사함수이다.

그림 11 전단사함수

참 고 5.47 (1) f : X → Y 가 단사함수이기 위한 필요충분조건은 a ̸=

b =⇒ f(a) ̸= f(b)가 되는 것이다.

(2) f : X → Y 가 전사함수이기 위한 필요충분조건은 f(X) = Y 가 되는 것 이다.

참 고 5.48 (1) f : X → Y 가 함수이면, f : X → f(X)는 전사함수가

된다.

(2) f : X → Y 가 단사함수이면, f : X → f(X)는 전단사함수가 된다.

[[ 예 ]] 5.49 f :R → R, f(x) = 2x + 1인 함수 f는 전단사 함수이다.

f :Z → Z, f(x) = 2x + 1인 함수 f는 전단사 함수이다.

그러나 f : N → N, f(x) = 2x + 1인 함수 f는 단사이지만 전사가 아니다.

[[ 예 ]] 5.50 f :N → N, f(x) = x²인 함수 f는 단사이지만 전사가 아니다.

f :Z → Z, f(x) = x²인 함수 f는 단사도 아니고 전사도 아니다.

[[ 예 ]] 5.51 g : R → R, g(x) = |x|인 함수 g는 전사도 아니고 단사도 아닌 함수이다. 그러나

g :R → R⁺, g(x) = |x|로 생각하면 g는 전사함수가 되고, g :R⁺ → R⁺, g(x) = |x|로 생각하면 g는 전단사함수가 된다.

[[ 예 ]] 5.52 h : R → R, h(x) = 3인 함수 h는 전사도 아니고 단사도 아닌

함수이다. 그러나

h : R → {3}, h(x) = 3로 생각하면 h는 전사함수가 되고, h : {3} → {3}, h(x) = 3로 생각하면 h는 전단사함수가 된다.

정 리 5.53 f : X → Y 가 전단사함수이면 역관계 f⁻¹: Y → X도 함수이고

실제로 f⁻¹는 전단사함수이다.

증명. (1) Dom(f⁻¹) = Im(f ) = f (X) = Y (∵ f : 전단사함수)

(2)

(y, x1) ∈ f⁻¹∧ (y, x2)∈ f⁻¹ (5.53)

=⇒ (x1, y) ∈ f ∧ (x2, y)∈ f (5.54)

=⇒ f(x1) = y∧ f(x2) = y (5.55)

=⇒ f(x1) = f (x2) (5.56)

=⇒ x1 = x2 (∵ f : 단사) (5.57) (1), (2)에 의해서 f⁻¹는 함수이다.

이제 f⁻¹가 전단사임을 보이자.

f⁻¹(y₁) = f⁻¹(y₂) =⇒ f⁻¹(y₁) = f⁻¹(y₂) = x (5.58)

=⇒ f(x) = y1∧ f(x) = y2 (5.59)

=⇒ y1 = y₂ (∵ f : 함수) (5.60)

∴ f⁻¹는 단사함수이다.

또한 Im(f⁻¹) = Dom(f ) = X

∴ f⁻¹는 전사함수이다.

결국 f⁻¹는 전단사함수이다. 

정 의 5.54 전단사함수 f에서 얻어지는 함수 f⁻¹을 f의 역함수(inverse function)라 한다.

참 고 5.55 f가 전단사함수이면 y = f (x) ⇐⇒ x = f⁻¹(y)

X x

f

f f

f

y

x y

Y

1 _1

_1

1

2 2

그림 12 y = f (x) ⇐⇒ x = f⁻¹(y)

[[ 예 ]] 5.56 함수 f : {1, 2, 3} → {a, b, c}, f ={(1, a), (2, c), (3, b)}는 전단사이다. 그러므로

f⁻¹ = {(a, 1), (c, 2), (b, 3)}는 {a, b, c}에서 {1, 2, 3}으로 가는 전단사함 수이다.

[[ 예 ]] 5.57 함수 f : R → R, f(x) = 2x + 1에 대해 역함수를 구하면

f⁻¹(x) = ^x₂ − ¹₂가 되어 전단사 함수가 됨을 알 수 있다.

참 고 5.58 역함수의 기호와 역상의 기호를 혼동하지 않도록 주의 바란다.

역상의 기호는 모든 함수에 대해서 사용할 수 있지만, 역함수의 기호는 전단 사 함수일 경우에만 사용할 수 있다. 즉, 임의의 함수 f : X → Y 에 대해 f⁻¹(A)와 같은 기호를 쓸 수 있지만, f⁻¹ : Y → X와 같은 기호는 f가 전 단사함수일 때만 쓸 수 있다.