정답 및 해설 5

(1)

［고3 9월 모의평가］

정답 및 해설 5

1. 4^-;2!;_8^;3%;=(2²)^-;2!;_(2³)^;3%;=2^-1_2⁵=2⁴=16

2. A—⁄ ={ }

A-A—⁄ ={ }-{ }={ }

그러므로 모든 성분의 합은 1+2+10+(-1)=12

3.극한값이 ;2!;로 일정하고 x ⁄ 1일 때 (분모) ⁄ 0이므로(분자) ⁄ 0

∴ ("√x¤ +a-b)='ƒ1+a-b=0, 즉 b='ƒ1+a

(좌변)= _

=

= = =;2!;

따라서 a=3, b=2 그러므로 ab=6

4.함수 f(x)가 모든 실수 x에서 연속이려면 x=-1에서 f(x)=f(-1) -1(-1-1)=-1-a+b, -a+b=3 a-b=-3

5.직선과 곡선이 접하므로

- =1

(2-9a)x¤ -30ax-27a=0

=0에서 -18a¤ +54a=0 a는 0이 아니므로 a=3

- =1이므로

두 초점을 (—c, 0)이라 하면 c¤ =a+2=3+2=5 따라서 c='5 그러므로 두 초점 사이의 거리는 2'5

6.ㄱ. f '(x«)=2ax«+b, f '(x«≠¡)=2ax«≠¡+b

∴ f '(x«≠¡)-f '(x«)=2a(x«≠¡-x«)=2ad (단, d는 수열 {x«}의 공차)

따라서 { f '(x«)}은 공차가 2ad인 등차수열이다.

ㄴ. f (x«≠¡)-f(x«)

=a(x«≠¡¤ -x«¤ )+b(x«≠¡-x«)

=a{(x«+d)¤ -x«¤ }+bd y¤

2 x¤

3 D 4

(3x+5)¤

2 x¤

a

x⁄ -1-0lim

2 2'ƒ1+a x+1

"√x¤ +a+'ƒ1+a limx⁄ 1

x¤ -1

(x-1)("√x¤ +a+'ƒ1+a) limx⁄ 1

"√x¤ +a+'ƒ1+a

"√x¤ +a-'ƒ1+a lim x-1

x⁄ 1

limx⁄ 1

1 2 10 -1 2 -1

-5 3 3 1

5 2 2 -1 -5 3

=a(2x«d+d¤ )+bd (단, d는 수열 {x«}의 공차)

=a{2(x¡+(n-1)d)d+d¤ }+bd (∵ x«=x¡+(n-1)d)

=2adx¡+ad¤ +bd+(n-1)2ad¤

따라서 {f(x«≠¡)-f(x«)}은 초항이

2ax¡d+bd+ad¤ 이고 공차가 2ad¤ 인 등차수열 이다.

ㄷ. 0, 2, 4, 6은 등차수열이므로

ㄴ에 의하여 f (2)-f (0), f (4)-f (2), f (6)-f (4)도 등차수열이다.

그런데 f (0)=3, f (2)=5, f (4)=9이므로 2, 4, f (6)-9는 등차수열이다.

따라서 2_4=2+f (6)-9 즉, f (6)=15

7.y=f (x)가 이차함수이고 x=3에 대칭이므로 y=f (x)=a(x-3)¤ +b(단, a+0)

ㄱ. x의 값이 -1에서 7까지 변할 때 평균변화율은

= =0

ㄴ. f '(x)=2a(x-3)이고 a+b=6이므로 f '(a)+f '(b)=f '(a)+f '(6-a)

=2a(a-3)+2a(3-a)=0 ㄷ. f '(x)=2a(x-3)

f '(k-3)= 2a(k-6)

=2a_;2!;_15_16-12a_15

=60a+0(∵ a+0) 따라서 ㄱ, ㄴ만 참이다.

8.두 점 A(1, 0, 0), B(0, '3, 0)을 지나는 직선 l은

= , z=0

즉, = , z=0

점 P에서 직선 l 위에 내린 수선의 발을 H라 하면 H가 l 위의 점이므로 H(-t+1, '3t, 0) 따라서 PH≥=OH≥-OP≥={-t+1, '3t, -;2!;}

또 PH≥와 l의 방향벡터 (-1, '3, 0)은 수직이므 로 내적은 0이다.

즉, t-1+3t=0

따라서 t=;4!;이므로 H{;3$;, , 0}

PH”=æ≠{;4#;}¤ +{ }¤ +≠{-;2!;}¤ =æ≠ =1

9.a«= =

a«≠¡= 이므로

- = -

= ¥;1ª0;=

∴ { - }= =9_ =1

10.ㄱ. (좌변)=(A+B)A—⁄ (A-B)

=(E+BA—⁄ )(A-B)=A-BA—⁄ B (우변)=(A-B)A—⁄ (A+B)

=(E-BA—⁄ )(A+B)

=A-BA—⁄ B

∴ 참

;1¡0;

1-;1¡0;

9 10«

;N+!¶

1 a«

1 a«≠¡

;N+!¶

9 10«

1 10« —⁄

10« -1 10« —⁄

10« ±⁄ -1 10«

1 a«

1 an+1

10«

10« ±⁄ -1

10« —⁄

10« -1 10« —⁄

99y9(n개)

9+3+4 16 '3

4

'3 4 y

'3 x-1

-1 y-1 '3-0 x-1

0-1

;K+!15

16a+b-(16a+b) 8

f(7)-f(-1) 7-(-1)

ㄴ. AB¤ =E에서 (AB)B=E (AB)—⁄ =B이므로 B—⁄ A—⁄ =B ㄷ. (반례)

A={ }, B={ }이면

AB¤ =B¤ A이지만 AB+BA이다.

11. log™ n=log™ (2˚ ¥m)=log™ 2˚ +log™ m

=(k+log™ m)

log™ m= , m=2^;pQ;의 양변에 p제곱을 하면 (mπ =2œ )

2œ이 홀수가 되려면 (q=0)일 때, 2‚ =1뿐이다.

12. 구 C의 중심은 B(1, -1, -1)이다. 구 C에 접 하고 평면 a에 평행한 접평면은 점 A의 B에 대한 대칭점 A'을 지난다. =B에서

A'=2B-A=(0, -2, 1)

법선벡터 AA'≥=(-2, -2, 4)에 수직이고 점 A' 을 지나는 평면을 구하면 된다.

따라서 x+y-2z+4=0

13. C의 하루 평균 식수 소비량을 x라 하면

㈎에 의해 A의 소비량은 x+5

㈏에 의해 B의 소비량은 x-4

세 사무실에 같은 양의 식수 S가 공급되었다면 사무실 A에서 식수가 모두 소비되는데 걸리는 날 수는

사무실 B에서 식수가 모두 소비되는데 걸리는 날 수는

사무실 C에서 식수가 모두 소비되는데 걸리는 날 수는

㈐에서

⋯ + =

⋯ x(x-4)+(x+5)(x-4)=x(x+5)

⋯ x¤ -8x-20=0

⋯ 따라서 x=10(∵ x>0)

14. A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 3)일 때 BC”를 2：1로 내분하는 점 P는 P(0, 1, 2) AC”를 1：2로 내분하는 점 Q는 Q(2, 0, 1) P를 xy평면 위로 정사영시킨 점 P'(0, 1, 0) Q를 xy평면 위로 정사영시킨 점 Q'(2, 0, 0) 따라서 △OP'Q'의 넓이는 ;2!;_1_2=1

15. ㄱ. y=a≈ —⁄ 의 역함수가 y=1+logå x이므로 두 그래프는 y=x에 대칭이다. (참)

ㄴ. 아래 그림에서 만나지 않음을 알 수 있다.

ㄷ. k=a—µ 이면 y=a—µ ¥a≈ =a≈ —µ 이므로 y=a≈ 을 x축 방향으로 m만큼 평행이동하면 y=logå x와 만날 수 있다.

y

x 1

-1

y=-a^x y=log x¹_a

O 1 x-4 1

x 1 x+5

S x-4 S

x S x+5

S x S x-4

S x+5

A+A' 2 q

p

0 1 1 0 1 2

1.④ 2. ② 3. ① 4.① 5. ④ 3 4

6.⑤ 7. ③ 8. ① 9.② 10. ③

11.⑤ 12. ② 13. ② 14. ① 15. ③ 16.③ 17. ④ 18.11 19. 20 20. 16 21.12 22. 13 23.30 24. 56 25.682

［미분과 적분］

26.⑤ 27. ④ 28.⑤ 29. ⑤ 30. 20

［확률과 통계］

26.③ 27. ② 28.⑤ 29. ④ 30. 50

［이산수학］

26.⑤ 27. ④ 28.① 29. ④ 30. 19

⊙ 수리 영역 ⊙ 정답

가 형

(2)

［고3 9월 모의평가］

정답 및 해설

6

16. X는 이항분포 B{100, ;5!;}를 따르므로 E(X)=100_;5!;=20,

V(X)=100_;5!;_;5$;=4¤ 이므로 N(20, 4¤ )의 정규분포를 따른다. 그러므로

P{| -;5!;|<;1¡0;}=P(|X-20|<10)

=P{| |<2.5}

=P(|Z|<2.5)이다.

위와 같은 방법으로

P{| -;5!;|<;2¡5;}=P(|Z|<1.5) P{| -;5!;|<;2¡5;}=P(|Z|<2) P{| -;5!;|<;1¡0;}=P(|Z|<5)

∴ 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

17. a¡=P¡Q¡”=1, P¡P™”=cos h a™=P™Q™”=cos h, P™P£”=cos¤ h a£=P£Q£”=cos¤ h, P£P¢”=cos‹ h

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯

a«=cos« —⁄ h

a«= =4, 1=4-4 cos h, 4 cos h=3⋯ ⋯∴ cos h=;4#;

18. 'ƒx-2=t라 하면 = t‹ =27에서 t=3 'ƒx-2=3 즉, x=11

19. :!2 f(t)dt=k라 하면 f(x)=:¡7™:x¤ -2kx+k¤ 이다.

k=:!2 {:¡7™:t¤ -2kt+k¤ }dt=[;7$;t‹ -kt¤ +k¤ t]2!

=4-3k+k¤

따라서 k¤ -4k+4=0⋯ ∴ k=2 즉, 10:!2 f(t)dt=10k=20

20. 조건 ㈏에 의해 색칠된 두 부분의 넓이가 같으므 로 k와 6의 중점이 4이다. 그러므로 k=2이다.

g(x)=f (x)-(-f (x-2))라 하면 g(a)=g(4)=g(c)=0이므로 f (x)=x(x-m)(x-6)이라면 g(4)=f (4)+f (2)=0에서 m=3

∴:)2 x(x-3)(x-6)dx=16 y=f (x )

y=-f (x-k ) y

k

m r x

O

4 a 6

9 t¤

t 3 1 1-cos h

;N+!¶

Y 400

W 400

Y 225

X-20 4 X

100 y

1 x y=ka^x

y=log_ax

O

21. ∠O¡CP=∠O™CP= 이고 반지름이 2이므로 A, B의 위치에 관계없이

|PA≥|=|PB≥|=4이다. PA≥와 PB≥가 이루는 각 을 h라 하자.

|PA≥+PB≥|¤

=|PA≥|¤ +|PB≥|¤ +2|PA≥||PB≥| cos h

=16+16+2_16 cos h

=32+32 cos h

0{h{;3@;p이고 cos h는 감소함수이므로 h=0일 때 최대이고, h=;3@;p일 때 최소이다.

M='ƒ16+16+2_16_1=8, m=æ≠16+16+2_16_≠{-;2!;}=4 따라서 M+m=12

22. 확률분포표를 만들어 보면

E(X)=1_;3!;+2_;2!;+4_;6!;=2 E(5X+3)=5E(X)+3=13

23.

위 표와 같이 학생 A, B, C가 자신의 교과서를 선 택하지 못하는 경우의 수는 3가지, 세 명의 학생이 3권의 교과서와 일대일 대응하므로 전체의 경우의 수는 3!가지이므로

(확률)= =;2!;=

10(p+q)=10(2+1)=30

24. 상자를 가득 채울 때, 필요한 작은 블록의 개수는 7_7_7=343개

a¡=10

a™=[ ]+3=8 a£=[ ]+3=7 a¢=[ ]+3=6 a∞=[ ]+3=6 a§=[ ]+3=6

⋯

∴ 네 번째 항부터는 6이므로 a¡+a™+a£+y+a˚=343 10+8+7+6(k-3)=343 6(k-3)=318⋯ ⋯∴ k=56

25. f (5)= (™˚C¡+™˚C£+™˚C∞+y+™˚C™˚–¡)

=(™C¡)+(¢C¡+¢C£)+(§C¡+§C£+§C∞) +(•C¡+•C£+•C∞+•C¶)+(¡ºC¡+¡ºC£

+¡ºC∞+¡ºC¶+¡ºCª)

=2⁄ +2‹ +2ﬁ +2‡ +2· = =682

미분과 적분

2(4ﬁ -1) 4-1

;K+!5

a∞

2 a¢

2 a£

2 a™

2 a¡

2

q p 3

3¥2¥1

p 3

26. : 3 » x sin x dx

=[-x cos x]^3p_2p-: 3 » (-cos x)dx

=[-x cos x]^3p_2p+[sin x]^3p_2p=5p 27. f(x)=cos 2x+2 sin x cos x

=cos 2x+sin 2x

='2 sin {2x+ }='2 sin 2{x+ } 즉, y=f (x)는 y='2 sin 2x의 그래프를 x축의 방향으로 - 만큼 평행이동한 것이다.

그러므로 y=f(x)의 그래프는 아래 그림과 같다.

위의 그래프에서 a=1

28. ㄱ. f (x)가 다항함수이므로 폐구간 [0, 1]에서 연 속이고 개구간 (0, 1)에서 미분가능하다. 평균값 의 정리에 의하여 f '(x)= =;5$;를 만족하는 x가 구간 (0, 1)에 적어도 하나 존재한 다. (참)

ㄴ.

:)1 f(x)dx=A : 1 f —⁄ (x)dx=B

∴ A+B=1

[참고]f (x)와 f —⁄ (x)의 그래프는 y=x에 대칭 이다.

ㄷ. g(x)가 폐구간 [0, 1]에서 연속이고 개구간 (0, 1)에서 미분가능하다.

g(a)=f (f (a))=f (a)=a ((a, f (a))는 y=x와 y=f(x)의 교점이다.)

g(1)=f (f (1))=f (1)=1 평균값의 정리에 의하여

=1=g'(x)을 만족하는 x가 구 간 (0, 1)에 적어도 하나 존재한다. (참) 29.

의 그래프의 개형은 다음과 같다.

㈀ x=b에서 극소값, x=c에서 극대값을 갖는다.

(거짓)

㈁ 4<x<6에서는 그래프가 아래로 볼록하다.

(참)

㈂ 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 y=a가 극대점을 지나야 한다. (∵ a>0) (참)

g (1)-g (a) 1-a

y=f (x ) 1

y

O x 1 A 5

1

f (1)-f (0) 1-0 1 y=1

y

p x

O p 8

3

8 5p

8 p

p

7 8 p

8

p 8 p

4

y=a

b

c y

O 1 4 6 x

y=f ^-1(x )

B

y=f (x )

1 5

1 5 1

1 y

O x X

P

1

;3!;

2

;2!;

4

;6!;

계 1

학생 A B C D

D C B A

B C D A

교과서 C D B A

y - +

b 0

¥ + +

1 -1

0 0

y + -

4 0 0

y + +

6 +

0 y + -

c 0 -

y - - x

f '(x) f "(x) f (x)

@˘

;5!;

(3)

［고3 9월 모의평가］

정답 및 해설 7

30. OA”=OP”=2이므로 ∠OPA=h, ∠POB=2h 이다.

∴g(h)=;2!;_2_2_2h=4h

그림에서 ∠EOP=90˘-2h, ∠PAE=45˘-h AP”=2AH”=2_2 cos h

=4 cos h`{∵ cos h= } AC”=4'2

∴ f (h)=;2!;_4'2_4 cos h_sin (45˘-h)

=8'2 cos h (sin 45˘ cos h -sin h cos 45˘)

=8(cos¤ h-cos h sin h)

=8(1-sin¤ h-cos h sin h)

= { + }=2

∴ 10a=20

26. 10회의 시험점수의 평균을 m이라 하면

m= =14

표준편차를 r라 하면 r¤ =

=3

∴ r='3

27. p=;1¡0;_;9!;=;9¡0;

q= =;5¡6;

r=;1¡0;_;8!;=;8¡0;

∴ p<r<q

28. E(X’)=800, r(X’)= =2

∴ 표본평균 X’는 정규분포 N(800, 2¤ )을 따른다.

P(X’<c)=0.02에서

P(Z<-2.05)=0.02(표 참고)에서

Z= 이므로

-2.05=

∴ c=795.9 29. ㄱ.

∴ P(1{X{2)>P(2{X{3) (거짓) ㄴ. 확률변수 X의 표준편차가 a이고

확률변수 Y의 표준편차는 b이므로 1 0 2 3 1

0 2 3 c-800

2

14 '4å9 1

•C£

2¤ _7+(13-14)¤ +(15-14)¤ +(14-14)¤

10 14_7+13+15+14

10

확률과 통계

2 cos h sin h h 2 sin¤ h

lim h

h⁄ 0

8 sin ¤ h+8 cos`h sin h lim 4h

h⁄ 0

AH”

OA”

H

A O 4

B D

E

P C

2

X’-m r 'n

⋯ ⋯

이 때, P(-a{X{0)=P(0{X{a)

∴ P(0{X{a)=P(0{X{b) (참)

ㄷ. Z= 이므로

P(-1{X{1)=P(-2{X{2)에서

=

b=-2⋯ ∴ a<b (참)

30. 집단 A의 학생인 사건을 A, 집단 B의 학생인 사 건을 B라 하고 안경을 쓴 학생인 사건을 C라 하면 P(A;C)=0.6_0.7=0.42

P(B;C)=0.4_0.4=0.16 P(C)=P(A;C)+P(B;C)

=0.42+0.16=0.58

∴ P(A|C)= = =;2@9!;

∴ p+q=50

26. 정사각형은 직사각형이므로 모든 정사각형과 직 사각형의 넓이를 구하는 문제이다.

정사각형은

：4_3=12개⋯ ∴ (넓이)=12_1=12 y⑴

：3_2=6개⋯ ∴ (넓이)=6_4=24 y⑵

：2_1=2개⋯ ∴ (넓이)=2_9=18y⑶

정사각형이 아닌 직사각형은

⋯ 17개⋯ ∴ (넓이)=17_2=34 y⑷

⋯ 10개⋯ ∴ (넓이)=10_3=30 y⑸

⋯ 3개⋯ ∴ (넓이)=3_4=12 y⑹

⋯ 7개⋯ ∴ (넓이)=7_6=42 y⑺

⋯ 2개⋯ ∴ (넓이)=2_8=16 y⑻

⋯ 1개⋯ ∴ (넓이)=1_12=12y⑼

∴ ⑴+⑵+y+⑼=200

[별해] 수의 분할을 이용하여 구해보면 P(4, k)=5

(∵ 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1) 분할된 넓이 합은

1_4(개)+2_3(개)+3_2(개)+4_1(개) yy㉠

P(3, k')=3 (∵ 3=2+1=1+1+1) 분할된 넓이 합은

1_3(개)+2_2(개)+3_1(개) yy㉡

∴ ㉠_㉡=200

27.

· ‚

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0

이산수학

0.42 0.58 P(A;C)

P(C) 2-0

b 1-0

a

X-m r

O -b b 2b O -2b

-a a 2a -2a

⑴ 1행, 2행, 5행에 의하여 꼭지점의 차수가 1차 인 점이 3개

⑵ 3행에 의하여 꼭지점의 차수가 3인 점이 1개

⑶ 4행에 의해 꼭지점의 차수가 2차인 점이 1개

∴ ⑴, ⑵, ⑶에 의하여 연결상태가 다른 것은 아 래 그림과 같다.

[참고]다섯 개의 수형도 중 연결상태가 다른 것을 찾아도 가능하다.

28. 점화식의 유형

a«≠¡=pa«+q(p, q는 상수)에서

일반항 a«=a¡+ 의 식을 이

용하면

a«=3+ (∵ a¡=3, a™=13) a«>2000에서 5_2« -7>2000

그러므로 최소의 자연수 n=9

29. 규칙에 따라 번호를 매겨 보자.

[참고]x‘ 와 인접한 꼭지점에 지정되어 있는 수를 제외한 자연수 중 가장 작은 수를 지정!

30.

위의 그림에서 보듯이 홀수점이 4개이다.

홀수점이 없어야 출발점과 도착점이 같아진다.

홀수점이 A, B, C, D가 있으므로 두 점씩 적당히 잡아서 이으면 홀수점이 없어진다.

A와 C, B와 D의 다리를 건설하는 것이 최소값이 다.

∴ 19억원

[참고]한붓그리기가 가능한 경우는 홀수점이 0개 또는 2개인 경우이다.

홀수점이 0개인 경우는 출발점과 도착점이 같고 홀수점이 2개인 경우는 한 홀수점에서 출발하여 다른 홀수점에서 도착하여야 한붓 그리기가 가능하다.

A

B D

C

x¡(1) x™(2)

x∞(1) x§(2)

x¶(3)

x•(4)

x¢(2) x£(1) 10{2« —⁄ -1}

2-1

(a™-a¡){p« —⁄ -1}

p-1

1. ④ 2.② 3.① 4. ① 5.②

6. ⑤ 7.② 8.⑤ 9. ② 10.③

11. ⑤ 12.① 13.④ 14. ① 15.③ 16. ③ 17.④ 18.42 19. 14 20. 12 21. 25 22.13 23.30 24. 56 25.682 26. ③ 27.④ 28.③ 29. ② 30.89

⊙ 수리 영역 ⊙ 정답

나 형

P(1{X{2)

P(2{X{3)

(4)

［고3 9월 모의평가］

정답 및 해설

8

1. 가형1참조

2. _가형2_참조

3. 2^x¤<2¤ ¥2≈ 에서 2^x¤<2^x+2, x¤ <x+2

x¤ -x-2<0, (x-2)(x+1)<0 -1<x<2

그러므로 a+b=1

4. a˚ = {2˚ +(-1)˚ }= 2˚ + (-1)˚

= +(-1)=2⁄ ‚ -3

5. P(A;B)=P(A)P(B)=;5!;

P(A)¥;5#;=;5!;⋯ ⋯P(A)=;3!;

∴ P(A'B)=P(A)+P(B)-P(A;B)

=;3!;+;5#;-;5!;=;1!5!;

6. (1+2x)ﬂ에서 x‹ 과 x› 의 계수를 구한다.

(1+2x)ﬂ의 일반항은 §C®¥(2x)® =§C®¥2® ¥x®

⁄ x‹`의 계수는 §C£¥2‹ =160

¤ x› 의 계수는 §C™¥2£ =240

그러므로 (1+2x)ﬂ (1-x)의 x› 의 계수는 160_(-1)+240_1=80

7. A의 역행열이 존재하지 않으므로 (x+y)¤ +xy=0 yy①

복소수 Z의 제곱이 음의 실수가 되려면 Z가 순허수가 되어야 하므로

x+y-3=0, xy+0이 된다.

x+y=3을 ①식에 대입하면 9+xy=0⋯ ⋯∴ xy=-9

8. S¡={1, 2}, S™={1, 2, 3, 4}, S£={1, 2, 3, 4, 5, 6}

에서 백의 자리는 S¡에서, 십의 자리는 S™에서, 일 의 자리는 S£에서 골라 수형도를 그리면 다음과 같 다.

<백의 자리> <십의 자리> <일의 자리>

2 3, 4, 5, 6

1 3 2, 4, 5, 6

4 2, 3, 5, 6 1 3, 4, 5, 6

2 3 1, 4, 5, 6

4 1, 3, 5, 6 그러므로 총 개수는 4_6=24

9. 가형9참조 10. _가형10_참조

11. _가형11_참조

12. 원 (x+c-1)¤ +y¤ =c¤ 의 중심은 (-c+1, 0) 이고, 반지름이 c이므로 A={ }이다.

원 (x-1)¤ +y¤ =k¤ 의 중심은 (1, 0)이고, 반지름 이 k이므로 A¤ ={ }이다.

그러므로 { }¤ ={ }에서 1 0 1 k -c+1 0

1 c 1 0 1 k

-c+1 0 1 c 2(2· -1)

2-1

;K+!9

{ }={ }이므로

(-c+1)¤ =1, c¤ =k에서 c>0이므로 c=2, k=4에서 c+k=6

13. 당첨제비가 하나도 뽑히지 않을 확률이 이 므로 적어도 하나가 당첨제비가 될 확률은

1- =1- =

14.(S«≠¡-S«–¡)¤ =4a«a«≠¡+4에서 (S«≠¡-S«+S«-S«–¡)¤ =4a«a«≠¡+4 (a«≠¡+a«)¤ =4a«a«≠¡+4

(a«≠¡+a«)¤ -4a«a«≠¡=4

(a«≠¡-a«)¤ =4에서 a«≠¡>a«이므로 a«≠¡-a«=2

그러므로 수열 a«은 초항 a¡=1, 공차가 2인 등차 수열이다.

∴ a«=2n-1 ∴ a™º=2_20-1=39

15.가형15참조

16._가형16_참조

17.가형17참조

18. a«=a¡+a™+y+a¡º=S¡º

∴ S«= 에서

S¡º= =200

4+9d=40, d=4

∴ a«=2+(n-1)¥4=4n-2 a¡¡=4_11-2=42

19.¶-¶인 형태이므로 유리화하면

=

= =:™2•:=14

20.a log£ 2=4에서 a=4_ =4 log™ 3 log£ b=1-log£ (log™ 3) log£ b+log£ (log™ 3)=1 log£ (b log™ 3)=1 b log™ 3=3

b=3_ =3 log£ 2

∴ ab=4 log™ 3_3 log£ 2=12 21.ef=12¤ =144=3¤ _4¤

b=3, c=4

a는 3의 배수이고, b=3이므로 e는 3¤ 의 배수이다.

d는 4의 배수이고, c=4이므로 f는 4¤ 의 배수이다.

그런데 ef=3¤ _4¤ 이므로 e=3¤ , f=4¤

이므로 e+f=9+16=25 22._가형22_참조

1 log™ 3

1 log£ 2

nlim⁄ ¶

28n+13

"√n¤ +15n+13+"√n¤ -13n

nlim⁄ ¶

n¤ +15n+13-n¤ +13n

"√n¤ +15n+13+"√n¤ -13n

nlim⁄ ¶

10{2_2+(10-1)d}

2

n{2a¡+(n-1)d}

2

;N+!10

8 15 7 15

•C£

¡ºC£

•C£

¡ºC£

1 0 1 k (-c+1)¤ 0

1 c¤

28+

æ≠1+ + +Æ…1-13 n 13

n¤

15 n

13 n

23.가형23참조 24. _가형24_참조

25. 가형25참조

26. x=3y-3이므로 (a¡, b¡)=(3, 2) (a™, b™)=(6, 3) (a£, b£)=(9, 4)

⋯ ⋯ ⋯⋯

(a«, b«)=(3n, n+1)

= =;3!;

27. p+;4!;+q+;1¡2;=1

E(X)=0_p+1_;4!;+2_q+3_;1¡2;

=2q+;2!;

V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

={0¤ _p+1¤ _;4!;+2¤ _q+3¤ _;1¡2;}

-{2q+;2!;}¤

=4q+1-4q¤ -2q-;4!;=1 4q¤ -2q+;4!;=0

16q¤ -8q+1=0

(4q-1)¤ =0에서 q=;4!;이므로 p=;1∞2;

∴ 3p+q=3_;1∞2;+;4!;=;2#;

28. ㄱ. g(-1)=;1¡0;, g(0)=1, g(1)=10이므로 B={-1, 0, 1} ∴ 참

ㄴ. g(x)=10≈ =N(N은 자연수), x=log N이므로

B={log 1, log 2, log 3, y}

예를 들어 log 2<B, log 3<B이지만 (log 2)_(log 3)≤B ∴ 거짓 ㄷ. 만약 C={a¡, a™, a£, y}이면

{g(x)|x<C}={10â¡, 10â™, 10â£, y}=A이므로 A={x|f (x)<C}이다.

즉, a<C이면 f (10â)=log 10â=a<C이므로 10â<A ∴ 참

29. -25=14+0.6_(-15) +{0.4_(-15)-12}x^0.16 -30=-18x^0.16

x^0.16=:¡6º:

0.16 log x=log :¡6º:

log x= (1-log 2-log 3)=1.375 log x/1.38 ∴ x=24

30. 최소 점수를 X라 하면

P(X}a)=P{Z} }{;3£0§0;=0.12 0.5-P{0{Z{ }{0.12

P{0{Z{ }}0.38

표에서 P(0{Z{1.2)}0.38

∴ }1.2

즉, a}89

∴ 최소 점수는 89점이다.

a-83 5

a-83 5 1

0.16 1 3n(n+1)

;N+!¶

1 a«b«

;N+!¶