2 -1

이홍섭 지음

2 ^-1

중 _수학

정답과 풀이

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정답과 풀이

유리수와 유한소수

1 . 유리수와 순환소수

1 ②, ③ 2 ㄱ, ㄷ, ㄹ 3 풀이 참조

4 17 5 ㄴ, ㄹ 6 ⑤

7 9 8 36

본문 6~7쪽

01

필수유형

1 ^①;4#;=0.75 (유한소수)

③ p=3.141592y (무한소수)

④:¡5¡:=2.2 (유한소수)

2 ^ㄱ. ;2&;=3.5 (유한소수) ㄴ. ;3!;=0.333y (무한소수) ㄷ. ;8%;=0.625 (유한소수) ㄹ. ;1@6&;=1.6875 (유한소수) ㅁ. ;9$;=0.444y (무한소수) ㅂ. ;1™5;=0.1333y (무한소수)

3 ;8¶0;= =

;8¶0;=11110000= 0.0875 11342› _57

5‹

875

5‹

1111222› _5_7_

4 ;2£0;= = =

따라서 a=15, n=2이므로 15+2=17 12310¤15 111122¤ _5_53_5 11342¤ _53

5 ^ㄴ. ;7@0!;=;1£0;= (유한소수)

ㄷ. (무한소수)

ㄹ. ;2¢0=;5!; (유한소수) 1134122_3¤ _57

11342_53

③ = (유한소수)

④ =;5!; (유한소수)

⑤ = 1 (무한소수)

111132_3_5¤

111132_3› _5¤27 11112_3¤ _518

145¤6 1125¤ _742

7 가 유한소수가 되려면 a는 9의 배 수가 되어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수 a의 값은 9이다.

11112_3¤ _5a

8 이 유한소수가 되게 하는 10보다 작은 자연수 a의 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8이다.

따라서 구하는 합은 36이다.

11232‹ _a3_7

분수를 소수로 나타내기 [방법 1] (분자)÷(분모) 를 계산한다.

[방법 2] 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 분모를 10의 거듭제곱인 분수로 만든 다.

▶

분모에서 2나 5가 아닌 소인수는 반드시 분자와 약분한 후에 판단해야 한 다.

▶

시험에

꼭

1 ^⑤ 2 ^{③, ④} 3 ^④ 4 ^②

5 ^④ 6 ^② 7 ^④ 8 ^⑤

9 ^⑤ 10 ^① 11 ^④ 12 ^①

13 ^③ 14 21, 42, 63, 84 15 ^2개 16 ³¹

본문 8~9쪽

1 기약분수로 고쳤을 때, 분모의 소인수가 2나 5뿐인 것을 찾는다.

⑤;6@0!;=;;2¶0;;=

1112¤ _57

2 ③ 1.414141y은 무한소수이다.

④ 3.14는 유한소수이다.

⑤ p=3.141592y이므로 원주율 p는 무한 소수이다.

6 ^①;1§5;=;5@; (유한소수)

②;7ª2;=;8!;= 1 (유한소수) 142‹

분모의 소인수를 생각하 기 전에 먼저 주어진 분수 를 기약분수로 고쳐야 한 다.

▶

3 ;25&0;= = =

= 0.028

122410‹ 11232_5‹7

2¤ 28

3

11112237_

2_5‹ _ 2¤

4 ^①;1£2;=;4!;= ②;2@4#;=

③;6¡2£5;= ④;2£5£0;=

⑤;5£0¡0;=

11232¤ _5‹31

11232_5‹33 13135›

11232‹ _323 12¤1

기약분수로 고쳤을 때, 분 모의 소인수가 2나 5뿐이 면 분모를 10의 거듭제곱 의 꼴로 나타낼 수 있다.

◀

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1. 유리수와 순환소수｜

3

6 ^ㄷ. = (무한소수)

ㄹ. = (유한소수)

ㅁ. = (무한소수)

ㅂ. =;5@; (유한소수) 1121342_3¤ _536

11112_3_57 1121242¤ _3_514

11242_5¤3 11222‹ _5¤12

11242‹ _37 11222‹ _3¤21

7 기약분수로 고쳤을 때, 분모에 2나 5 이외의 소인수가 있는 경우를 찾는다.

④ = 15 (무한소수) 11242› _7

11222¤ _2815

8 가 유한소수가 되려면 기약분수로 고쳤을 때, 분모의 소인수가 2나 5뿐어야 한 다. 따라서 a는 3과 7의 공배수, 즉 21의 배 수이어야 하므로 알맞은 것은 ⑤ 42이다.

11112¤ _3_7a

9 ;28(0;= 이므로 a는 7의 배수이다.

그런데 10<a<20이므로 a=14

11112‹ _5_79 _{_a에서 분모}

의 소인수가 2나 5뿐이어 야 하므로 a는 7의 배수 이다.

11112‹ _5_79

▶

가 유한소수가 되 려면 기약분수로 고쳤을 때, 분모의 소인수가 2나 5뿐이어야 한다.

11232¤ _x15

▶

10a의 값으로 알맞은 10보다 작은 자연수는 1, 2, 4, 5, 7, 8이므로 구하는 합은 27이다.

11;8!4!;_a= _a이므로 a는 3과 7의 공배수, 즉 21의 배수이어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수 a의 값은 21이다.

111132¤ _3_711

12 ^{= , = 에서 자연수 x}

는 3과 11의 공배수, 즉 33의 배수이므로 두 자리의 자연수 x는 33, 66, 99의 3개이다.

1112_11x 1222x

1133_5x 1215x

14x=140, y=3a(a는 4 이상 33 이하의 자연수)

;[};가 유한소수이므로 가 유한소수가 되 려면 = 에서 a는 7의 배수가

되어야 한다. yy①

따라서 y가 될 수 있는 두 자리의 자연수는 3 과 7의 공배수, 즉 21의 배수이므로 21, 42,

63, 84이다. yy②

11112¤ _5_73_a 111403a

111403a

15;6!;=;1™2;, ;4#;=;1ª2;이므로 ;1™2;<x<;1ª2;가 되 는 x 중에서 분모가 12인 수는 ;1£2;, ;1¢2;, ;1∞2;,

;1§2;, ;1¶2;, ;1•2;이다.

이 중 유한소수로 나타내어지는 수는

;1£2;, ;1§2;의 2개이다.

채점 요소 배점

① y가 될 수 있는 수의 조건 구하기 50%

② y가 될 수 있는 수 구하기 50%

5 ;4¶0;= = =

따라서 a+n의 최솟값은 a=175, n=3일 때이므로 175+3=178

12317510‹

1111342‹ _5_5¤7_5¤

11232‹ _57

13;1¡0¶2;= = 이므로

_N이 유한소수가 되려면 N은 3의 배수이어야 한다. 또, ;13&0;= 7 이므

111142_5_13 1132_31

1132_31 111122_3_1717

로 _N이 유한소수가 되려면 N

은 13의 배수이어야 한다.

따라서 구하는 N은 3과 13의 최소공배수이 므로 39이다.

111142_5_137

16;6Å6;가 유한소수가 되려면 ;6Å6;=

이므로 a는 33의 배수이고, 약분해서;b!;이 되 어야 하므로 a=33

;6#6#;=;2!;=;b!;에서 b=2 ∴ a-b=31 111132_3_11a

기약분수로 고쳤을 때 분 모의 소인수가 2나 5뿐인 것을 찾는다.

◀

유리수와 순환소수

1 ⑴ 45 ⑵ 3 ⑶ 360 ⑷ 08 2 ③, ⑤ 3 ㈎ 1000 ㈏ 25.1616y ㈐ 990 ㈑ 2491 3 ㈒;;™9¢9ª0¡;; 4 ⑴;3&; ⑵ ;3¶3; ⑶ ;1@5#; ⑷ ;4^9!5!;

5 0.21H8, 0.H21H8, 0.2H1H8, 0.218 6 ⑤ 7 ;5#; 8 2.H1

본문 10~11쪽 필수유형

02

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1 ^⑴;1∞1;=0.4545y이므로 순환마디는 45

⑵;1•5;=0.5333y이므로 순환마디는 3

⑶;3!3@3);=0.360360y이므로 순환마디는

⑶360

⑷ ;9•9;=0.080808y이므로 순환마디는 08

2 ③ 순환마디가 03이므로 3.030303y=3.H0H3

⑤ 순환마디가 075이므로 2.075075y=2.H07H5 3 순환소수 2.5H1H6을 x라 하면

x=2.51616y yy㉠

㉠의 양변에 각각 10, 을 곱하면

10x= yy㉡

x=2516.1616y yy㉢

㉢-㉡을 하면

->1000x=2516.1616y ->≥0010x=5525.1616y - x=

∴ x= ;;™9¢9ª0¡;;

2491 990

1000

25.1616y

1000

4 ⑴ x=2.H3이라 하면

⑴x=2.333y yy㉠

⑴10x=23.333y yy㉡

⑴㉡-㉠을 하면 9x=21

⑴∴ x=:™9¡:=;3&;

⑵ x=0.H2H1이라 하면

⑴x=0.212121y yy㉠

⑴100x=21.212121y yy㉡

⑴㉡-㉠을 하면 99x=21

⑴∴ x=;9@9!;=;3¶3;

⑶ x=1.5H3이라 하면

⑴10x=15.333y yy㉠

⑴100x=153.333y yy㉡

⑴㉡-㉠을 하면 90x=138

⑴∴ x=:¡9£0•:=;1@5#;

⑷ x=1.2H3H4라 하면

⑴10x=12.343434y yy㉠

⑴1000x=1234.343434y yy㉡

⑴㉡-㉠을 하면 990x=1222

⑴∴ x=:¡9™9™0™:=;4^9!5!;

5 0.218=0.218 yy㉠

0.21H8=0.21888y yy㉡ 0.2H1H8=0.2181818y yy㉢ 0.H21H8=0.218218218y yy㉣ 위의 식에서 ㉡>㉣>㉢>㉠이므로

0.21H8>0.H21H8>0.2H1H8>0.218 6 ① 0.H2H3=0.2323y, 0.2H3=0.2333y

②∴ 0.H2H3<0.2H3

② 0.1H6= =;9!0%;=;6!;

③ 0.H4=0.4444y, 0.H4H3=0.4343y

②∴ 0.H4>0.H4H3

④ 0.4H9= 49-4=;9$0%;=0.5 11190

112316-190

7 0.5H4-0.1H6+0.H2=;9$0(;-;9!0%;+;9@;

0.5H4-0.1H6+0.H2=49-15+20=;9%0$;=;5#;

11111390

8 x=1.H2+0.H8=:¡9¡:+;9*;=:¡9ª:=2.H1

순환마디의 숫자가 3개 이상일 때는 양 끝의 숫자 위에만 점을 찍는다.

▶

시험에

꼭

1 ^{②, ④} 2 ^① 3 ^⑤ 4 ^③

5 ^④ 6 ^② 7 ¹³ 8 ^④

9 ^① 10 ^⑤ 11 ^⑤ 12 ^④

13 ^④ 14 ^② 15 ¹ 16 ;9!9^;

본문 12~13쪽

1 ② 무한소수 중 순환소수는 유리수이다.

④ 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수이다.

2 ;3•3;을 소수로 고치면 0.H2H4이므로 순환마디는 24이고, ;9$0#;을 소수로 고치면 0.4H7이므로 순 환마디는 7이다.

따라서 a=24, b=7이므로 2b-a=2_7-24=-10

3 0.H182H7의 순환마디는 1827이고,

50=4_12+2이므로 소수점 아래 50번째 자리의 숫자는 소수점 아래 2번째 자리의 숫 자인 8이다.

순환소수는 분수로 나타 낼 수 있으므로 모든 순환 소수는 유리수이다.

◀

분모가 2나 5 이외의 소인 수를 가지는 기약분수를 소수로 나타내면 무한소수 가 되며, 이 무한소수는 반드시 순환소수가 된다.

▶

;;¡9ª;;=2+;9!;=2+0.H1=2.H1^◀

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1. 유리수와 순환소수｜

5

4 x=12.312312y yy㉠

1000x=12312.312312y yy㉡

㉡-㉠을 하면 999x=12300

∴ x=;;;!9@9#9);;);=;;¢3¡3º3º;;

따라서 가장 편리한 식은 1000x-x이다.

5 x=0.0H5H4이므로

10x=0.5454y yy㉠

1000x=54.5454y yy㉡

㉡-㉠을 하면 990x=54

따라서 계산 결과가 정수가 되는 것은 1000x-10x이다.

6 ② x=0.0H5H2라 하면

②10x=0.5252y yy㉠

②1000x=52.5252y yy㉡

②㉡-㉠을 하면 990x=52

②∴ x=;9∞9™0;=;4™9§5;

7 x=2.1666y이라 하면

10x=21.666y yy㉠

100x=216.666y yy㉡

㉡-㉠을 하면 90x=195

∴ x=:¡9ª0∞:=:¡6£: yy① 따라서;6A;=:¡6£:이므로

a=13 yy②

8 0.H37H5=;9#9&9%;=375_;99!9;

∴ A=;99!9;=0.H00H1

9 0.5H6=a_0.0H1에서 ;9%0!;=a_;9¡0;

∴ a=51

0.H7H2=72_b에서 ;9&9@;=72_b

∴ b=;9¡9;

∴ a+;b!;=51+99=150

채점 요소 배점

① 2.1666y을 기약분수로 고치기 60%

② a의 값 구하기 40%

두 순한소수의 소수점 아 래 부분을 같게 한 후 차 를 구하면 정수가 된다.

▶

10^{① 0.203}

② 0.203203y

③ 0.2030303y

④ 0.2030030y

⑤ 0.20333y

11① 0.03H1=0.03111y

①0.H03H1=0.031031y ∴ 0.03H1>0.H03H1

② 0.1H9= =;9!0*;=0.2

③ 0.H2H0=0.202020y

①0.H2=0.222y ∴ 0.H2H0<0.H2

④ 0.4H5H6=0.45656y

①0.45H6=0.45666y ∴ 0.4H5H6<0.45H6 11119-190

12;4!;<0.Hx<;3@;에서 ;4!;<;9{;<;3@;

∴;3ª6;<;3$6{;<;3@6$;

9<4x<24에서 x=3, 4, 5 따라서 x의 값의 합은 3+4+5=12

130.02H4=;9™0™0;=;4¡5¡0;=

따라서 a는 9의 배수이어야 하므로 a의 값이 될 수 있는 가장 작은 자연수는 9이다.

111122_3¤ _5¤11

140.0H2x+0.0H5=0.2에서 ;9™0;x+;9∞0;=;1™0;

양변에 90을 곱하면 2x+5=18 2x=13 ∴ x=:¡2£:=6.5

16^1.H7= =:¡9§:에서 분모를 잘못 보았으 므로 분자 16은 제대로 본 것이다.

1.H1H7= =:¡9¡9§:에서 분자를 잘못 보 았으므로 분모 99는 제대로 본 것이다.

따라서 처음의 기약분수는;9!9^;이다.

117-1 111499 11117-19

15;7@;=0.H28571H4이므로 순환마디는 285714이다.

101=6_16+5이므로 소수점 아래 101번째 자리의 숫자는 소수점 아래 5번째 자리의 숫 자인 1이다.

두 분수 ;4!;, ;3@;를 소수로 고쳐 x의 값을 구할 수도 있다.

◀

분모의 소인수가 2나 5만 남도록 하는 자연수를 곱 해야 한다.

◀

순환소수의 크기를 비교 할 때에는 각각의 순환소 수를 세로로 자리를 맞추 어 쓴 후에 각 자리의 숫 자를 차례로 비교하는 것 이 편리하다.

◀

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2 . 단항식의 계산

지수법칙

1 ⑴ 2‡ ⑵ x‡ ⑶ afi b‹ ⑷ a‡ b‹ 2 ⑤ 3 ⑴ 2⁄ ‹ ⑵ a⁄ ‚ ⑶ x¤ ¤ ⑷ y⁄ · 4 ⑤

5 ⑴ a¤ ⑵ ⑶ 1 ⑷ 6 6

7 ⑴ 25afl b› ⑵ a⁄ fi b⁄ ‚ ⑶ ⑷ - 8 13

11b· c‹8afl 1125y°xfl

13y⁄ ‚1 1afi1

본문 14~15쪽

03

필수유형

1 ⑴ 2¤ _2fi =2¤ ±fi =2‡

⑵ x_x¤ _x› =x⁄ ±¤ ±› =x‡

⑶ a_b‹ _a› =a_a› _b‹ =a⁄ ±› b‹ =afi b‹

⑷ a› _b_a‹ _b¤ =a› _a‹ _b_b¤

=a› ±‹ b⁄ ±¤ =a‡ b‹

2 2≈ ±‹ =2‹ _2≈ =8_2≈ ∴ =8

4 27≈ =(3‹ )≈ =(3≈ )‹ =a‹

3 ⑴ (2› )‹ _2=2⁄ ¤ _2=2⁄ ‹

⑵ a¤ _(a¤ )› =a¤ _a° =a⁄ ‚

⑶ x_(x‹ )fi _(x¤ )‹ =x_x⁄ fi _xfl =x¤ ¤

⑷ (y‹ )¤ _y¤ _(y¤ )fi _y=yfl _y¤ _y⁄ ‚ _y

=y⁄ ·

5 ⑴ (a¤ )› ÷afl =a° ÷afl =a¤

⑵ a› ÷a¤ ÷a‡ =a¤ ÷a‡ =

⑶ (x‹ )‹ ÷(x¤ )› ÷x=x· ÷x° ÷x

=x÷x=1

⑷ (y¤ )› ÷(y‹ )¤ ÷(y› )‹ =y° ÷yfl ÷y⁄ ¤

⑷ (y¤ )› ÷(y‹ )¤ ÷(y› )‹=y¤ ÷y⁄ ¤ = 1 13y⁄ ‚ 15afi1

6 3⁄ › ÷3° ÷3 =1에서 3⁄ › —° ÷3 =1 3fl ÷3 =1, 3 =3fl ∴ =6 7 ⑴ (-5a‹ b¤ )¤ =(-5)¤ afl b› =25afl b›

⑵ (ab¤ )‹ _(a‹ b)› =a‹ bfl _a⁄ ¤ b› =a⁄ fi b⁄ ‚

⑶{ }¤ = =

⑷{- }‹ =- =- 8afl 122b· c‹

2‹ afl 122b· c‹

122a¤b‹ c

12225y°xfl 1225¤ y°xfl 125y›x‹

8 2⁄ fi _5⁄ ¤ =2‹ _2⁄ ¤ _5⁄ ¤

=2‹ _10⁄ ¤ =8_10⁄ ¤

따라서 2⁄ fi _5⁄ ¤ 은 13자리의 자연수이므로 n=13

2¬ _5μ (l, m은 자연수) 이 몇 자리의 자연수인지 구할 때, a_10« (n은 자 연수)의 꼴로 정리한다.

◀

지수법칙은 밑이 두 가지 이상이면 밑이 같은 문자 끼리 모아서 적용한다.

▶

나눗셈은 교환법칙이 성 립하지 않으므로 앞에서 부터 차례로 계산한다.

▶

시험에

꼭

1 ^③ 2 ^③ 3 ^④ 4 ^③

5 ^① 6 ^② 7 ^-1 8 ^①

9 ^② 10 ^② 11 ^④ 12 ^A›

13 ^④ 14 ^④ 15 ¹³ 16 ^{2a¤ «}

본문 16~17쪽

1 ① (a› )‹ =a›^_‹ =a⁄ ¤

② a‡ _afi =a‡ ±fi =a⁄ ¤

③ a¤ › ÷a¤ =a¤ › —¤ =a¤ ¤

④ a_a⁄ ‚ _a=a⁄ ±⁄ ‚ ±⁄ =a⁄ ¤

⑤ (a¤ )‹ _afl =afl _afl =afl ±fl =a⁄ ¤

2 ㄴ. (2x¤ )‹ =2‹ xfl =8xfl ㄷ. x° ÷x° =1

ㅂ. 8xfl ÷x¤ =8xfl —¤ =8x›

4 ㈎ (a‹ )› _a =a⁄ ¤ _a =a⁄ ¤ ± =a⁄ °

㈎12+ =18에서 =6

㈏ (b )fi ÷b⁄ ¤ =b^5_ ÷b⁄ ¤ =bfi^_ —⁄ ¤ =b⁄ °

㈎ 5_ -12=18에서 =6

5 ∞[{- }¤]¤ §¤ =[{ }¤

]¤ ={ }¤ = a⁄ fl122256 1316a°

14a›4 14a¤2

6 (xå y› )‹ _xfi y∫ =x‹ å y⁄ ¤ _xfi y∫

=x‹ å ±fi y⁄ ¤ ±∫ =x⁄ ⁄ y⁄ fi 3a+5=11에서 a=2

12+b=15에서 b=3

∴ a+b=2+3=5 3 ④ (-x)⁄ ⁄ ‚ =x⁄ ⁄ ‚

( ) ⁄ { } ⁄ [ ] 순 으로 괄호를 푼다.

◀

7 { }b = = 4∫ =64에서 b=3

ab=6에서 3a=6 ∴ a=2

2b=c에서 c=6 yy①

∴ a+b-c=2+3-6=-1 yy② 12264xflyç

4∫ xå ∫ 1242y¤ ∫ 1244xåy¤

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2. 단항식의 계산｜

7

채점 요소 배점

① a, b, c의 값 구하기 90%

② a+b-c의 값 구하기 10%

153⁄ =3, 3¤ =9, 3‹ =27, 3› =81, y이므로 3« (n=1, 2, 3, y)의 일의 자리의 숫자는 3, 9, 7, 1이 차례로 반복된다.

3⁄ › fl =(3› )‹ fl _3¤이므로 3⁄ › fl 의 일의 자리의 숫 자는 9이다.

∴ a=9

또, 4⁄ =4, 4¤ =16, 4‹ =64, 4› =256, y이 므로 4« (n=1, 2, 3, y)의 일의 자리의 숫자 는 4, 6이 차례로 반복된다.

4° ‡ =(4¤ )› ‹ _4이므로 4° ‡ 의 일의 자리의 숫자 는 4이다.

∴ b=4

∴ a+b=9+4=13

16n이 자연수이므로 2n은 짝수, 2n+1은 홀수 이다.

∴ a¤ « +(-a)¤ « ±⁄ +a¤ « ±⁄ +(-a)¤ «

∴=a¤ « -a¤ « ±⁄ +a¤ « ±⁄ +a¤ «

∴=2a¤¤ « 8 ^{① -12=1에서 =13}

② 3_ +1=16에서 =5

③ _2=16에서 =8

④ 2_5= 에서 =10

⑤ 15- +7=10에서 =12

9 3‹ +3‹ +3‹ =3_3‹ =3› ∴ a=4 2› _2› _2› =2› ±› ±› =2⁄ ¤ ∴ b=12 {(5¤ )‹ }¤ =5⁄ ¤ ∴ c=12

∴ a-b+c=4-12+12=4

1016› _8 ÷32¤ =2⁄ ¤에서

(2› )› _(2‹ ) ÷(2fi )¤ =2⁄ fl _2‹^_ ÷2⁄ ‚

=2⁄ fl ±‹^_ —⁄ ‚ =2⁄ ¤ 따라서 16+3_ -10=12이므로

3_ =6 ∴ =2

119¤ ÷(-3)‹ _(-3) =(-3)fi에서

(-3)› ÷(-3)‹ _(-3) =(-3)_(-3)

=(-3)¹⁺

=(-3)fi 따라서 1+ =5이므로 =4

12 ^{= = = yy①}

={ 1 }› =A› yy②

132fi

114(2fi )›1 132¤ ‚1 1313(2¤ )⁄ ‚1 134⁄ ‚1

채점 요소 배점

① 을 로 고치기 50%

② 131 을 A를 사용하여 나타내기 50%

4⁄ ‚ 1311

(2fi )›

131 4⁄ ‚

거듭제곱의 밑을 통일하 여 지수법칙을 적용한다.

▶

일의 자리의 숫자의 반복 되는 규칙을 찾는다.

◀

음수의 거듭제곱

① (-)^(짝수)=(+)

② (-)^(홀수)=(-)

◀

단항식의 곱셈과 나눗셈

1 ⑴ -6x‹ y› ⑵ -9x⁄ ¤ y° 2 150 3 ⑴ 18xy ⑵ -2x¤ yfi 4 4y¤

5 ⑴ 6a¤ b‹ ⑵ 2xy¤ 6 -36x‹ y⁄ ‚ 7 8 1252xfl3y

1153x‹ y1

본문 18~19쪽 필수유형

04

1 ⑴ 2x¤ y_(-3xy‹ )=-6x‹ y›

⑵ (-3x‹ y)¤ _(-x¤ y¤ )‹ =9xfl y¤ _(-xfl yfl )

=-9x⁄ ¤ y°

거듭제곱이 있는 경우에 는 거듭제곱을 먼저 계산 한다.

◀

1316≈ ±⁄ =16≈ _16=16≈ _2›

=2› ≈ _2› =2› ≈ ±› =2⁄ fl 따라서 y=4, 4x+4=16이므로 x=3, y=4

∴ xy=12

144· _5¤ ‚ =2⁄ ° _5¤ ‚ =5¤ _(2_5)⁄ ° =25_10⁄ ° 4· _5¤ ‚=2500 y 0

[

따라서 4· _5¤ ‚ 은 20자리의 자연수이므로 n=20

2 (2xy¤ )› _(-3x‹ yå )∫

=16x› y° _(-3)∫ x‹ ∫ yå ∫

=cx⁄ ‚ y⁄ fl

따라서 16_(-3)∫ =c, 4+3b=10, 8+ab=16이므로

a=4, b=2, c=144

∴ a+b+c=150

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3 ⑴ 12x¤ y‹ ÷;3@;xy¤ =12x¤ y‹ _ =18xy

⑵ (-2x¤ y‹ )‹ ÷(2x¤ y¤ )¤ =(-8xfl y· )÷4x› y›

⑵ (-2x¤ y‹ )‹ ÷(2x¤ y¤ )¤=

⑵ (-2x¤ y‹ )‹ ÷(2x¤ y¤ )¤=-2x¤ yfi -8xfl y·

11124x› y›

1132xy¤3

4 ^{가로의 길이를 라 하면} 32xy› = _8xy¤

∴ =32xy› _ 1 =4y¤

1148xy¤

5 ^{⑴ (주어진 식)= =6a¤ b‹}

⑵ (주어진 식)=4x¤ y_5xy‹ =2xy¤

1111110x¤ y¤

12a‹ bfi _2ab 1111124a¤ b‹

6 (주어진 식)=81x› yfl _(-x‹ yfl )÷;4(;x› y¤

(주어진 식)=81x› yfl _(-x‹ yfl )_

(주어진 식)=-36x‹ y⁄ ‚

1129x› y¤4

7 =4xy¤ ÷12x› y‹

=4xy¤ _ = 1

1133x‹ y 113212x› y‹1

8 =4x⁄ ‚ ÷x¤ ÷6x¤ y

=4x⁄ ‚ _ _ =2xfl 1343y 1136x¤ y1 13x¤1

시험에

꼭

1 ^④ 2 ^③ 3 ^⑤ 4 ^②

5 ⁸ 6 ^④ 7 ^② 8 ^④

9 ^① 10 ^① 11 ^① 12 ^②

13 ^① 14 ^{4ab¤ cm}15 ^{63x‹ yfi} 16 ⁵

본문 20~21쪽

1 ① 2x_(-5y¤ )=-10xy¤

② (3x)¤ ÷4xy¤ =9x¤ _ =

③ -16ab÷8b=-16ab_ =-2a

④ (-2m)¤ _4n=4m¤ _4n=16m¤ n

⑤ (2a¤ b)‹ _(-ab¤ )‹ =8afl b‹ _(-a‹ bfl )

=-8a· b·

138b1 1334y¤9x 1134xy¤1

따라서 a=-6, b=3, c=3이므로 a+b+c=0

(직사각형의 넓이)

=(가로의 길이)_(세로 의 길이)

▶

A÷B_C=A_;b!;_C

=:ÅbÇ:;

▶

A_B÷C=A_B_;c!;

=:Åc:B;

▶

A_ =B

⇨ =B÷A

▶

A÷ ÷B=C

⇨ =A÷B÷C

▶

2 ^-x¤ y_18xy¤ =-6x‹ y‹

1243

3 ;8#;x› y‹ ÷;4%;xy¤ =;8#;x› y‹ _

;8#;x› y‹ ÷;4%;xy¤=;1£0;x‹ y 1135xy¤4

4 (주어진 식)=x¤ y› _(-x› yfl )_(-x· y‹ )

=x⁄ fi y⁄ ‹

5 { }¤

= = yy①

따라서 8-2a=4, 18-2b=6이므로

a=2, b=6 yy②

∴ a+b=8 yy③

13x›yfl x° y¤ ∫ 112x¤ å y⁄ ° x› y∫

11xå y·

6 (주어진 식)=4x› y¤ _ _ (주어진 식)=- 8x

1123y¤ z¤

1112-6xy¤ z1 112x¤ y¤ z4

7 A=2xy‹ _(-3x¤ y)=-6x‹ y›

B=8x‹ y¤ ÷(-4xy)¤ =8x‹ y¤ _ =;2!;x

∴ A÷B=-6x‹ y› ÷;2!;x

∴ A÷B=-6x‹ y› _;[@;=-12x¤ y›

112216x¤ y¤1

8 (주어진 식)=27x‹ y¤ _16x› y¤ _ (주어진 식)=312yx¤

11314216x· y‹1

채점 요소 배점

① 좌변의 괄호를 풀어 나타내기 40%

② a, b의 값 구하기 40%

③ a+b의 값 구하기 20%

9 =-16xy¤ ÷(-12xy¤ )_;2#;x

=-16xy¤ _{- }_;2#;x=2x 1132412xy¤1

10 =(6x¤ )‹ ÷(-x)fi ÷

=216xfl _{- }_

=-27x‹

13x¤8 13xfi1

13x¤8

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2. 단항식의 계산｜

9

11 =-12a¤ b‹ _(3ab¤ )¤ ÷6a¤ b‹

=-12a¤ b‹ _9a¤ b› _

=-18a¤ b›

13126a¤ b‹1

12(-3)∫ =9에서 b=2 x∫ ÷x‹ ç = 에서 x¤ ÷x‹ ç = 3c-2=4 ∴ c=2 yå ∫ ÷y⁄ ¤ = 에서 12-ab=8 12-2a=8 ∴ a=2

∴ a+b+c=6 14y°1

14x›1 14x›1

13직육면체의 밑면의 넓이가 3ab_5b=15ab¤

이므로

24a¤ b¤ =15ab¤ _(높이)

∴ (높이)=24a¤ b¤ _ 1 =;5*;a 11215ab¤

14밑면인 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 px¤ _3h=48a¤ b› hp이므로 yy① x¤ =48a¤ b› hp_

x¤=16a¤ b› =(—4ab¤ )¤ yy②

∴ x=4ab¤ (cm)(∵ x>0) yy③ 113hp1

15^{어떤 단항식을 라 하면} (-21x¤ y‹ )÷ =7xy

∴ = =-3xy¤

따라서 바르게 계산하면 (-21x¤ y‹ )_(-3xy¤ )=63x‹ yfi

-21x¤ y‹

112127xy

16^{(좌변)=xy‹ _ _9xfl y¤ =} (좌변)=27x‡ —å yfi —∫

=27x‹ y›

따라서 7-a=3, 5-b=4이므로 a=4, b=1

∴ a+b=5

27x‡ yfi 1122xå y∫

11xå y∫3

채점 요소 배점

① x에 관한 식 세우기 20%

② x¤ 구하기 40%

③ 반지름의 길이 구하기 40%

단항식의 곱셈과 나눗셈 을 먼저 계산해도 되지만 계수나 지수 중에서 필요 한 부분만 계산해서 계수, 지수를 비교하면 편리하 다.

▶

(직육면체의 부피)

=(밑면의 넓이)_(높이) 이므로

(높이)=(직육면체의 부피) 11111111(밑면의 넓이)

▶

(원기둥의 부피)

=(밑면의 넓이)_(높이)

▶

3 . 다항식의 계산

다항식의 덧셈과 뺄셈

1 ⑴ 6a+b+3 ⑵ 5x-19y-7

2 ⑴ ⑵

3 ⑴ 3x+y-5 ⑵ -5a+4b-6

4 ⑴ - ⑵ 5 ②

6 ⑴ 5x¤ +5x-9 ⑵ 11x¤ -4x+6 7 ⑴ 11a-5b ⑵ 3x-9y 8 ⑴ 4x¤ -x-2 ⑵ 3x

-17x+y 1123423312 x+13y

1123456

9x-11y 112342312 112345x-y6

본문 22~23쪽

05

필수유형

1 ⑴ (주어진 식)=2a+3b+4a-2b+3

=6a+b+3

⑵ (주어진 식)=-3x+y-7+8x-20y

=5x-19y-7

2 ^{⑴ (주어진 식)=}

⑴ (주어진 식)=

⑴ (주어진 식)=

⑵ (주어진 식)=

⑴ (주어진 식)=

⑴ (주어진 식)=9x-11y 111112

6x-2y+3x-9y 1111111112

2(3x-y)+3(x-3y) 111111111112 112345x-y6

3x+3y+2x-4y 1111111346

3(x+y)+2(x-2y) 1111111116

3 ⑴ (주어진 식)=4x-6y-x+7y-5

=3x+y-5

⑵ (주어진 식)

=-3a+7b-2-2a-3b-4

=-5a+4b-6

4 ^{⑴ (주어진 식)=}

⑴ (주어진 식)=

⑴ (주어진 식)=

⑴ (주어진 식)=-x+13y 11136 -x-13y 111146

2x-4y-3x-9y 1111111346

2(x-2y)-3(x+3y) 111111112236

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⑵ (주어진 식)=

⑴ (주어진 식)=

⑴ (주어진 식)=-17x+y 1111212

3x-3y-20x+4y 11111111212 3(x-y)-4(5x-y) 111111112312

5 이차식은 ①, ②, ④이고, 이 중에서 x에 관한 이차식은 ②이다.

6 ⑴ (주어진 식)=2x¤ -x+3+3x¤ +6x-12

=5x¤ +5x-9

⑵ (주어진 식)=8x¤ -3x+2+3x¤ -x+4

=11x¤ -4x+6

7 ⑴ (주어진 식)=7a-(a+3b-5a+2b)

=7a-(-4a+5b)

=7a+4a-5b

=11a-5b

⑵ (주어진 식)=5x-(3x+5y-x+6y)+2y

=5x-(2x+11y)+2y

=5x-2x-11y+2y

=3x-9y 8 ^{⑴ (주어진 식)}

=2x-{x¤ +1-(5x¤ -3x-1)}

=2x-(x¤ +1-5x¤ +3x+1)

=2x-(-4x¤ +3x+2)

=2x+4x¤ -3x-2

=4x¤ -x-2

⑵ (주어진 식)

=x-{2x+y-(5x+2y-x-y)}

⑵=x-{2x+y-(4x+y)}

⑵=x-(2x+y-4x-y)

⑵=x-(-2x)

=x+2x=3x

시험에

꼭

1 ^④ 2 ^③ 3 ^④ 4 ^④

5 ^③ 6 ^7x+11y-15 7 ^③

8 ^④ 9 ^④ 10 ^① 11 ^②

12 ^⑤ 13 ^{5x¤ -x+2} 14 ^①

15 ^-3 16 ^{3x¤ +4x-3}

본문 24~25쪽

1 (주어진 식)=-3x+y+4-5x+3y-1 (주어진 식)=-8x+4y+3

x에 관한 다항식 중 차수 가 가장 큰 항의 차수가 2 인 다항식을 x에 관한 이 차식이라 한다.

▶

따라서 x의 계수는 -8, y의 계수는 4이므 로 구하는 합은

-8+4=-4

2 ^{(주어진 식)}=;2#;x-;2!;y-;2!;x+;3%;y (주어진 식)={;2#;x-;2!;x}+{-;2!;y+;3%;y}

(주어진 식)=x+;6&;y

3 ④ (5x¤ -5x-9)-(2x¤ -5)

=5x¤ -5x-9-2x¤ +5

=3x¤ -5x-4

4 =-7x+4y-(8x-3y)

=-7x+4y-8x+3y

=-15x+7y

5 ^{(주어진 식)=}

(주어진 식)=

(주어진 식)=-7a+5b=-;6&;a+;6%;b 111136

2a-4b-6a-3a+9b 111111111246

2(a-2b)-6a-3(a-3b) 1111111111126

6 ^{어떤 식을 라 하면}

+(x-4y+7)=9x+3y-1

∴ =9x+3y-1-(x-4y+7)

∴ =9x+3y-1-x+4y-7

=8x+7y-8 yy①

따라서 바르게 계산한 답은 (8x+7y-8)-(x-4y+7)

=8x+7y-8-x+4y-7

=7x+11y-15 yy②

7 ① (2x¤ -4x)-2x¤ =-4x (일차식)

8 ^{① 항은};6!;x¤ , ;2!;x, -;4#;이다.

② 이 다항식은 이차식이다.

③;2!;x의 차수는 1이다.

⑤ 상수항은-;4#;이다.

채점 요소 배점

① 어떤 식 구하기 50%

② 바르게 계산한 답 구하기 50%

분모의 최소공배수 6으로 통분한다.

◀

잘못 계산한 식에서 바르 게 계산한 답 구하기

① 어떤 식을 로 놓고 식을 세운다.

② ①의 식에서 를 구 한다.

③ 바르게 계산한 답을 구 한다.

◀

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3. 다항식의 계산｜

11

9 ^{(주어진 식)}

=

=

= 23x¤ +13x-11 111111112

8x¤ +16x-20+15x¤ -3x+9 1111111111121212 4(2x¤ +4x-5)+3(5x¤ -x+3) 1111111111121112

10 =-6x¤ +x-2+(-3x¤ +2x+1)

=-6x¤ +x-2-3x¤ +2x+1

=-9x¤ +3x-1

113a-4b-[2a-3b-{2a-(a+2b)}]

=3a-4b-{2a-3b-(2a-a-2b)}

=3a-4b-{2a-3b-(a-2b)}

=3a-4b-(2a-3b-a+2b)

=3a-4b-(a-b)

=3a-4b-a+b=2a-3b 따라서 A=2, B=-3이므로 A+B=-1

12^{(주어진 식)}

=7x¤ -2x+3-(8x-4x¤ -2x+8)

=7x¤ -2x+3-(-4x¤ +6x+8)

=7x¤ -2x+3+4x¤ -6x-8

=11x¤ -8x-5

13x¤ -2x+5+A=3x¤ -7x+6이므로 A=3x¤ -7x+6-(x¤ -2x+5)

=3x¤ -7x+6-x¤ +2x-5

=2x¤ -5x+1 yy①

4x¤ -x+3-B=x¤ -5x+2이므로 B=4x¤ -x+3-(x¤ -5x+2)

=4x¤ -x+3-x¤ +5x-2

=3x¤ +4x+1 yy②

∴ A+B=(2x¤ -5x+1)+(3x¤ +4x+1)

=2x¤ -5x+1+3x¤ +4x+1

=5x¤ -x+2 yy③

14^{어떤 식을 라 하면}

-(2x¤ -x+1)=-x¤ +3x

분모의 최소공배수 12로 통분한다.

▶

-A=B

⇨ =B+A

▶

좌변을 간단히 정리한 다 음 우변의 동류항과 계수 를 비교한다.

▶

채점 요소 배점

① 다항식 A 구하기 40%

② 다항식 B 구하기 40%

③ A+B 구하기 20%

∴ =-x¤ +3x+(2x¤ -x+1)

=-x¤ +3x+2x¤ -x+1

=x¤ +2x+1 따라서 바르게 계산한 답은 (x¤ +2x+1)+(2x¤ -x+1)

=x¤ +2x+1+2x¤ -x+1=3x¤ +x+2 15ax¤ -6x+4-(3x¤ -bx+1)

=ax¤ -6x+4-3x¤ +bx-1

=(a-3)x¤ +(-6+b)x+3

이차항의 계수와 일차항의 계수가 같으므로 a-3=-6+b ∴ a-b=-3

164x¤ -{3x+(2x¤ - -4)}=5x¤ +x+1에서 4x¤ -(3x+2x¤ - -4)=5x¤ +x+1 4x¤ -3x-2x¤ + +4=5x¤ +x+1 2x¤ -3x+4+ =5x¤ +x+1

∴ =5x¤ +x+1-(2x¤ -3x+4)

=5x¤ +x+1-2x¤ +3x-4

=3x¤ +4x-3

다항식의 곱셈과 나눗셈

1 ⑴ -2x‹ +6x¤ -10x ⑵ -2x‹ y+4xy‹ -32xy 2 -6a¤ +2ab

3 ⑴ 2x¤ y-3y ⑵ -18a¤ b+9b 4 ⑴ x¤ -2xy+3 ⑵ 3a¤ +ab¤ -2b‹

5 ⑴ 6x¤ -4xy ⑵ x¤ y+12xy¤

6 ⑴;;¡3£;;x-;;£6∞;;y ⑵ 4x¤ -4x 7 ⑴ ac+4ad-3bc-12bd

7 ⑵ 5x¤ +18xy-8y¤ +3x+12y 8 -14 본문 26~27쪽 필수유형

06

1 ^{⑴ (주어진 식)}

=(-2x)_x¤ +(-2x)_(-3x)

=+(-2x)_5

=-2x‹ +6x¤ -10x

⑵ (주어진 식)

⑵=8xy_{-;4!;x¤ }+8xy_;2!;y¤

⑵ =+8xy_(-4)

⑵=-2x‹ y+4xy‹ -32xy 2 ^{어떤 다항식을 라 하면}

÷2a=-3a+b

∴ =(-3a+b)_2a=-6a¤ +2ab

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3 ^{⑴ (주어진 식)=}

⑴ (주어진 식)= -

⑴ (주어진 식)=2x¤ y-3y

⑵ (주어진 식)

⑵=(6a‹ b¤ -3ab¤ )_{-;a£b;}

⑴=6a‹ b¤ _{-;a£b;}+(-3ab¤ )_{-;a£b;}

⑴=-18a¤ b+9b

11212xy4x 8x‹ y

1124x 8x‹ y-12xy 1111124x

4 ^{⑴ (주어진 식)= - +}

⑴ (주어진 식)=x¤ -2xy+3

⑵ (주어진 식)= + -

⑴ (주어진 식)=3a¤ +ab¤ -2b‹

1124abfi2ab¤

2a¤ b›

1112ab¤

6a‹ b¤

1122ab¤

1559x3x 6x¤ y 1153x 1233x‹3x

5 ^{⑴ (주어진 식)}

⑴=;3$;_6x¤ +;3$;_(-9xy)

⑴ =+{-;2!;x}_4x+{-;2!;x}_(-16y)

⑴=8x¤ -12xy-2x¤ +8xy

⑴=6x¤ -4xy

⑵ (주어진 식)

⑴=2xy(x+5y)+

⑴=2xy_x+2xy_5y+ -

⑴=2x¤ y+10xy¤ +2xy¤ -x¤ y

⑴=x¤ y+12xy¤

9x› y‹

1129x¤ y¤

18x‹ y›

11239x¤ y¤

18x‹ y› -9x› y‹

1111119x¤ y¤

6 ^{⑴ (주어진 식)}

⑴= - - +

⑴=3x-;2&;y-;3&;y+;3$;x

⑴=:¡3£:x-:£6∞:y

⑵ (주어진 식)

⑴= - + + - -

⑴=2x¤ -3x+4+2x¤ -x-4

⑴=4x¤ -4x

124412x¤3x¤

1243x‹3x¤

1256x›3x¤

128x2x 1246x¤2x 1244x‹2x

1254x¤3x 117xy3x 1137xy¤2xy 6x¤ y

1132xy

7 ⑴ (a-3b)(c+4d)

=ac+4ad-3bc-12bd

⑵ (5x-2y+3)(x+4y)

⑵=5x¤ +20xy-2xy-8y¤ +3x+12y

⑵=5x¤ +18xy-8y¤ +3x+12y 8 (x¤ -3x+1)(4x+3)

=4x‹ +3x¤ -12x¤ -9x+4x+3

=4x‹ -9x¤ -5x+3

따라서 a=-9, b=-5이므로 a+b=-14

x¤항은 x¤ _3+(-3x)_4x=-9x¤ 이므로 a=-9

x항은 -3x_3+1_4x=-5x이므로 b=-5

∴ a+b=-14

다른 풀이

다항식의 곱셈에서 계수 를 구하는 방법 [방법 1] 주어진 식을 전 개한 후 계수를 찾는다.

[방법 2] 문제에서 구하고 자 하는 문자가 나오는 부 분만 전개하여 계수를 찾 는다.

◀

시험에

꼭

1 ^⑤ 2 ^④ 3 ^③ 4 ^③

5 ^⑤ 6 ^② 7 ^③ 8 ^②

9 12x¤ -24y+8 10 ^② 11 ^① 12 ^③ 13 ^④ 14 ¹⁸ 15 ^-2 16 ⁵

본문 28~29쪽

1 ^{(주어진 식)}

=-9x¤ +6xy-18x+20x¤ -25xy+40x

=11x¤ -19xy+22x

2 ^{(주어진 식)= _4x› y¤}

(주어진 식)=(8y‹ -x¤ y¤ )_

(주어진 식)=16x‹ y-2xfi

112x‹y¤

8y‹ -x¤ y¤

111122xy›

3 ^{(주어진 식)}

= - - +

=3x-4y-5y+x=4x-9y 1133xy¤3y¤

1115y‹3y¤

1138xy¤2xy 6x¤ y

1132xy

4 ^{(주어진 식)}

= +

=4y-2xy-2y-3xy=-5xy+2y 따라서 xy의 계수는 -5이고, y의 계수는 2 이므로 구하는 합은 -5+2=-3

-6xy¤ -9x¤ y¤

11111123xy 8x¤ y-4x‹ y

111112x¤

= + 임을 이용한다.

15BC 15AC

15125A+BC ^◀

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3. 다항식의 계산｜

13

5 (주어진 식)=2b+a-2a+b=-a+3b

6 ^{(주어진 식)}

=(9a¤ b‹ -6a› b¤ )_ -(a¤ -2b)_(-5a)

=6ab-4a‹ -(-5a‹ +10ab)

=6ab-4a‹ +5a‹ -10ab

=a‹ -4ab

따라서 ab의 계수는 -4이다.

113ab¤2

7 ^{(주어진 식)}

=;3@;x(x+6y)+{;6!;x‹ -;:”4’:}_{-;[#;}

=;3@;x¤ +4xy-;2!;x¤ +;4#;y

=;6!;x¤ +4xy+;4#;y

8 ^{(주어진 식)}

= _{-;6∞[;}_9x¤

= _{-;6∞[;}_9x¤ =- 5x¤ +5x 11118 1155x+112

3(3x-1)-4(2x-1) 111111111212

9 ^{어떤 다항식을 라 하면} _;4#;xy¤ =9x‹ y¤ -18xy‹ +6xy¤

∴ =(9x‹ y¤ -18xy‹ +6xy¤ )÷;4#;xy¤

yy①

∴ =(9x‹ y¤ -18xy‹ +6xy¤ )_

∴ =12x¤ -24y+8 yy②

12333xy¤4

10^(넓이)=;2!;_(xy+3x¤ )_4y¤

(넓이)=2y¤ (xy+3x¤ ) (넓이)=2xy‹ +6x¤ y¤

11(밑넓이)=a_2b=2ab

∴ (높이)=

∴ (높이)= +

∴ (높이)=2a+b 12342ab¤2ab 4a¤ b

12342ab 4a¤ b+2ab¤

111125552ab

채점 요소 배점

① 어떤 다항식을 구하는 식 세우기 50%

② 어떤 다항식 구하기 50%

(다항식)÷(단항식)에서 나누는 계수가 분수인 경 우에는 곱셈으로 고쳐서 계산하는 것이 편리하다.

▶

(사다리꼴의 넓이)

=;2!;_{(윗변의 길이) +(아랫변의 길이)}

_(높이)

▶

(직육면체의 높이)

=(직육면체의 부피) 151251112325_(밑넓이)

▶

12① 2x(3x-1)=6x¤ -2x

② x¤ y(xy-4y¤ )=x‹ y¤ -4x¤ y‹

④ (2x+1)(x-1)=2x¤ -2x+x-1

=2x¤ -x-1

⑤ (x+5)(y-9)=xy-9x+5y-45

13색칠한 직사각형의 가로의 길이는 4a-x이 고, 세로의 길이는 3b-y이므로

(색칠한 부분의 넓이)

=(4a-x)(3b-y)

=12ab-4ay-3bx+xy

14xy항은 x_(-5y)+7y_3x=16xy이므로

a=16 yy①

상수항은 2_(-1)=-2이므로

b=-2 yy②

∴ a-b=16-(-2)=18 yy③

15(x+3y-2)¤ =(x+3y-2)(x+3y-2)이 므로 xy항은 x_3y+3y_x=6xy

∴ a=6

y항은 3y_(-2)+(-2)_3y=-12y

∴ b=-12

상수항은 (-2)_(-2)=4 ∴ c=4

∴ a+b+c=-2

(x+3y-2)¤

=(x+3y-2)(x+3y-2)

=x¤ +3xy-2x+3xy+9y¤ -6y-2x-6y+4

=x¤ +6xy-4x+9y¤ -12y+4 따라서 a=6, b=-12, c=4이므로 a+b+c=-2

16(x¤ +Ax+2)(x-1)

=x‹ -x¤ +Ax¤ -Ax+2x-2

=x‹ +(-1+A)x¤ +(-A+2)x-2 x¤의 계수가 -4이므로 -1+A=-4

∴ A=-3 따라서 x의 계수는 -A+2=-(-3)+2=5

채점 요소 배점

① a의 값 구하기 40%

② b의 값 구하기 40%

③ a-b의 값 구하기 20%

다른 풀이

다항식의 항이 3개 이상 인 경우에도 분배법칙을 이용하여 전개한다.

◀

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곱셈 공식

1 ⑴ x¤ +8x+16 ⑵ 4x¤ -4xy+y¤

1 ⑶ x¤ -14x+49 ⑷ x¤ +6xy+9y¤

2 ⑴ 4, 16 ⑵ 5, 30, 9

3 ⑴ x¤ -25 ⑵ 81-4m¤ ⑶ p¤ -16q¤ ⑷ 9-a¤

4 ⑴;9!;x¤ -16y¤ ⑵;2¢5;y¤ -;4!;x¤

5 ⑴ x¤ +4x+3 ⑵ x¤ -5x-14 1 ⑶ a¤ -7ab+12b¤ ⑷ x¤ y¤ +6xy-7 6 ⑴ 12x¤ +11x+2 ⑵ 6x¤ -11x+4 1 ⑶ 10a¤ +3ab-4b¤ ⑷ 6a¤ -31ab+35b¤

7 ⑴ a¤ +b¤ +c¤ +2ab+2bc+2ac 1 ⑵ 4x¤ +y¤ +z¤ -4xy+2yz-4xz 1 ⑶ a¤ +4ab+4b¤ -9 ⑷ x¤ -y¤ +2yz-z¤

8 ⑴ x› -4x‹ -14x¤ +36x+45 1 ⑵ x› +4x‹ -7x¤ -22x+24

본문 30~31쪽

07

필수유형

1 ⑴ (x+4)¤ =x¤ +2_x_4+4¤

=x¤ +8x+16

⑵ (-2x+y)¤ =(-2x)¤ +2_(-2x)_y+y¤

⑵ (-2x+y)¤=4x¤ -4xy+y¤

⑶ (x-7)¤ =x¤ -2_x_7+7¤

=x¤ -14x+49

⑷ (-x-3y)¤

=(-x)¤ -2_(-x)_3y+(3y)¤

⑷=x¤ +6xy+9y¤

2 ^{⑴ (x-} )¤ =x¤ -2_x_ + ¤

⑴ (x- )¤=x¤ -8x+

⑴-2_ =-8에서 =4

⑴4¤ = 에서 =16

⑵ ( x+3)¤ = ¤ x¤ +2_ x_3+3¤

⑵ ( x+3)¤=25x¤ + x+

⑴ ¤ =25에서 =5 (∵ >0)

⑴2_5_3= 에서 =30

⑴ ㉢=3¤ =9

㉡

㉡

㉠

㉠

㉠

㉢

㉡

㉠

㉠

㉠

㉡

㉡

㉠

㉠

㉡

㉠

㉠

㉠

3 ⑴ (x-5)(x+5)=x¤ -5¤

=x¤ -25

⑵ (9-2m)(9+2m)=9¤ -(2m)¤

=81-4m¤

⑶ (-p+4q)(-p-4q)=(-p)¤ -(4q)¤

=p¤ -16q¤

⑷ (-a+3)(a+3)=(3-a)(3+a)

(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤

▶

(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤

▶

(-x-3y)¤ =(x+3y)¤

▶

(a+b)(a-b)=a¤ -b¤

▶

(-a+b)(-a-b)

=(-a)¤ -b¤

▶

4 ^⑴{-;3!;x+4y}{-;3!;x-4y}

⑴={-;3!;x}2 -(4y)¤

⑴=;9!;x¤ -16y¤

⑵{;2!;x+;5@;y}{;5@;y-;2!;x}

⑴={;5@;y+;2!;x}{;5@;y-;2!;x}

⑴={;5@;y}¤

-{;2!;x}¤

⑴=;2¢5;y¤ -;4!;x¤

5 ⑴ (x+1)(x+3)=x¤ +(1+3)x+1_3

=x¤ +4x+3

⑵ (x-7)(x+2)

=x¤+(-7+2)x+(-7)_2

=x¤ -5x-14

⑶ (a-3b)(a-4b)

⑶=a¤ +(-3b-4b)a+(-3b)_(-4b)

⑶=a¤ -7ab+12b¤

⑷ (xy+7)(xy-1)

⑶=(xy)¤ +(7-1)xy+7_(-1)

⑶=x¤ y¤ +6xy-7

6 ⑴ (3x+2)(4x+1)

⑴=(3_4)x¤ +(3_1+2_4)x+2_1

⑴=12x¤ +11x+2

⑵ (2x-1)(3x-4)

⑴=(2_3)x¤ +{2_(-4)+(-1)_3}x

⑴ =+(-1)_(-4)

⑴=6x¤ -11x+4

⑶ (2a-b)(5a+4b)

⑴=(2_5)a¤ +{2_4b+(-b)_5}a

⑴ =+(-b)_4b

⑴=10a¤ +3ab-4b¤

⑷ (-3a+5b)(-2a+7b)

⑴={(-3)_(-2)}a¤

⑴ =+{(-3)_7b+5b_(-2)}a+5b_7b

⑴=6a¤ -31ab+35b¤

7 ⑴ a+b=A로 치환하면

⑴(a+b+c)¤

(x+a)(x+b)

=x¤ +(a+b)x+ab

◀

=3¤ -a¤

=9-a¤

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3. 다항식의 계산｜

15

⑴=(A+c)¤

⑴=A¤ +2Ac+c¤

⑴=(a+b)¤ +2(a+b)c+c¤

⑴=a¤ +2ab+b¤ +2ac+2bc+c¤

⑴=a¤ +b¤ +c¤ +2ab+2bc+2ac

⑵ 2x-y=A로 치환하면

⑴(2x-y-z)¤

⑴=(A-z)¤

⑴=A¤ -2Az+z¤

⑴=(2x-y)¤ -2(2x-y)z+z¤

⑴=4x¤ -4xy+y¤ -4xz+2yz+z¤

⑴=4x¤ +y¤ +z¤ -4xy+2yz-4xz

⑶ a+2b=A로 치환하면

⑴(a+2b+3)(a+2b-3)

⑴=(A+3)(A-3)

=A¤ -9

⑴=(a+2b)¤ -9

⑴=a¤ +4ab+4b¤ -9

⑷ y-z=A로 치환하면

⑴(x+y-z)(x-y+z)

⑴={x+(y-z)}{x-(y-z)}

⑴=(x+A)(x-A)

⑴=x¤ -A¤

⑴=x¤ -(y-z)¤

⑴=x¤ -(y¤ -2yz+z¤ )

⑴=x¤ -y¤ +2yz-z¤

8 ⑴ (x+1)(x-3)(x+3)(x-5)

⑴={(x+1)(x-3)}{(x+3)(x-5)}

⑴=(x¤ -2x-3)(x¤ -2x-15) yy㉠

⑴x¤ -2x=A로 치환하면

⑴㉠=(A-3)(A-15)

⑴ ㉠=A¤ -18A+45

⑴ ㉠=(x¤ -2x)¤ -18(x¤ -2x)+45

⑴ ㉠=x› -4x‹ +4x¤ -18x¤ +36x+45

⑴ ㉠=x› -4x‹ -14x¤ +36x+45

⑵ (x-2)(x-1)(x+3)(x+4)

⑴={(x-2)(x+4)}{(x-1)(x+3)}

⑴=(x¤ +2x-8)(x¤ +2x-3) yy㉠

⑴x¤ +2x=A로 치환하면

⑴㉠=(A-8)(A-3)

⑴ ㉠=A¤ -11A+24

⑴ ㉠=(x¤ +2x)¤ -11(x¤ +2x)+24

⑴ ㉠=x› +4x‹ +4x¤ -11x¤ -22x+24

⑴ ㉠=x› +4x‹ -7x¤ -22x+24

공통 부분이 생기도록 2 개씩 짝을 지어 전개한다.

▶

A에 a+b를 다시 대입하 여 정리한다.

▶

공식으로 외워 활용하면 편리하다.

▶

시험에

꼭

1 ^④ 2 ^⑤ 3 ^③ 4 ^④

5 ^① 6 ^⑤ 7 ^② 8 ^⑤

9 ^④ 10 ³⁷ 11 ^④ 12 ^-5 13 ^⑤ 14 ^④ 15 ⁸ 16 ¹²

본문 32~33쪽

1 ① (x-3y)¤ =x¤ -6xy+9y¤

② (x-2)(x+5)=x¤ +3x-10

③ (-x+2y)(-x-2y)=(-x)¤ -(2y)¤

=x¤ -4y¤

⑤ (-x+6y)(2x-5y)

=-2x¤ +17xy-30y¤

2 ① (x-1)(x+4)=x¤ +3x-4

①따라서 x의 계수는 3이다.

② (-x+1)(x-2)=-x¤ +3x-2

①따라서 x의 계수는 3이다.

③ (2x+1)(x-3)=2x¤ -5x-3

①따라서 x의 계수는 -5이다.

④ (3x-1)(x+2)=3x¤ +5x-2

①따라서 x의 계수는 5이다.

⑤ (4x+1)(x-1)=4x¤ -3x-1

①따라서 x의 계수는 -3이다.

3 (a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤

① (a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤

② -(a+b)¤ =-(a¤ +2ab+b¤ )

=-a¤ -2ab-b¤

③ (b-a)¤ =b¤ -2ab+a¤

=a¤ -2ab+b¤

④ (-a-b)¤

④=(-a)¤ -2_(-a)_b+b¤

④=a¤ +2ab+b¤

⑤ -(b-a)¤ =-(b¤ -2ab+a¤ )

=-a¤ +2ab-b¤

4 (x+a)¤ =x¤ +2ax+a¤ =x¤ +bx+;1¡6;

이므로 2a=b, a¤ =;1¡6;

2a=b의 양변을 제곱하면 4a¤ =b¤

∴ b¤ =4_;1¡6;=;4!;

∴ 8a¤ -b¤ =8_;1¡6;-;4!;

∴ 8a¤ -b¤=;2!;-;4!;

∴ 8a¤ -b¤=;4!;

(a+b)¤ =(-a-b)¤

(a-b)¤ =(-a+b)¤

◀

a, b의 값을 직접 구할 필 요없이 a¤ , b¤ 의 값을 구 하면 되므로 2a=b의 양 변을 제곱한다.

◀

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5 (주어진 식)=(2x-3)¤ -(2x+1)(2x-1)

=4x¤ -12x+9-(4x¤ -1)

=4x¤ -12x+9-4x¤ +1

=-12x+10

6 ^{(주어진 식)}

=x¤ +xy-6y¤ -12x¤ +11xy-2y¤

=-11x¤ +12xy-8y¤

따라서 a=-11, b=12, c=-8이므로 a+b-c=-11+12-(-8)=9

7 색칠한 직사각형의 가로의 길이는 a+b이고, 세로의 길이는 a-b이므로

(구하는 넓이)=(a+b)(a-b)

=a¤ -b¤

8 ^{① (x-} )(x+3)=x¤ +x-6

② ( x-1)¤ =4x¤ -4x+1

③ (3y- )(3y+2)=9y¤ -4

④ (x+1)( x-3)=2x¤ -x-3

⑤ (3x+ y)(-x+4y)

⑤=-3x¤ +8xy+16y¤

4 2 2 2

2

9 (2x+1)(x-a)=2x¤ +(-2a+1)x-a x의 계수가 -5이므로

-2a+1=-5 ∴ a=3 따라서 상수항은 -a=-3

10(Ax-4y)(3x+By)

=3Ax¤ +(AB-12)xy-4By¤

=27x¤ +Cxy-20y¤

3A=27에서 A=9 yy①

-4B=-20에서 B=5 yy②

AB-12=C에서 45-12=C

∴ C=33 yy③

∴ A-B+C=9-5+33=37 yy④

채점 요소 배점

① A의 값 구하기 20%

② B의 값 구하기 30%

③ C의 값 구하기 30%

④ A-B+C의 값 구하기 20%

(a-b)=a¤ -2ab+b¤

▶

(a+b)(a-b)=a¤ -b¤

▶

•(x+ay)(x+by)

=x¤ +(a+b)xy+aby¤

•(ax+by)(cx+dy)

=acx¤ +(ad+bc)xy +bdy¤

▶

좌변을 전개한 후 양변의 계수를 비교하여 A, B, C의 값을 구한다. 즉, Ax¤ +Bx+C

=Dx¤ +Ex+F이면 A=D, B=E, C=F

▶

11(직육면체의 겉넓이)

=2{(3x+1)(2x-3)+(2x-3)(2x+3)

=+(2x+3)(3x+1)}

=2(6x¤ -7x-3+4x¤ -9+6x¤ +11x+3)

=2(16x¤ +4x-9)

=32x¤ +8x-18

12(x-5)(x+A)=x¤ +(-5+A)x-5A

=x¤ -2x+B

이므로 -5+A=-2에서 A=3 yy① -5A=B에서 B=-5_3=-15 yy ② x의 계수 3을 D로 잘못 보았다고 하면 (Dx-1)(x+4)=Dx¤ +(4D-1)x-4

=Cx¤ +27x-4 이므로 D=C, 4D-1=27

∴ D=7, C=7 yy③

∴ A+B+C=3+(-15)+7

=-5 yy④

채점 요소 배점

① A의 값 구하기 20%

② B의 값 구하기 30%

③ C의 값 구하기 30%

④ A+B+C의 값 구하기 20%

13x+y=A로 치환하면 (x+y+3)(x+y-5)

=(A+3)(A-5)

=A¤ -2A-15

=(x+y)¤ -2(x+y)-15

=x¤ +2xy+y¤ -2x-2y-15

14(x-2)(x-1)(x+2)(x+3)

={(x-2)(x+3)}{(x-1)(x+2)}

=(x¤ +x-6)(x¤ +x-2) yy㉠ x¤ +x=A로 치환하면

㉠=(A-6)(A-2)

㉠=A¤ -8A+12

㉠=(x¤ +x)¤ -8(x¤ +x)+12

㉠=x› +2x‹ +x¤ -8x¤ -8x+12

㉠=x› +2x‹ -7x¤ -8x+12

따라서 x의 계수는 -8, 상수항은 12이므로 합은 -8+12=4

A에 x+y를 다시 대입하 여 정리한다.

◀

15(1-x)(1+x)(1+x¤ )(1+x› )

=(1-x¤ )(1+x¤ )(1+x› )

곱셈 공식

(a+b)(a-b)=a¤ -b¤과 지수법칙 (aμ )« =aμ « 을 이용한다.

◀

공통 부분이 생기도록 2 개씩 짝을 지어 전개한다.

◀

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3. 다항식의 계산｜

17

=(1-x› )(1+x› )

=1-x°

∴ n=8

16(x+a)(x+b)=x¤ +(a+b)x+ab

=x¤ +7x+k 이므로 a+b=7, ab=k

a+b=7을 만족하는 두 자연수 a, b의 순서쌍 (a, b)를 구하면

(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)이다.

이때 k의 값을 구하면 차례로 6, 10, 12, 12, 10, 6이다.

따라서 k의 최댓값은 12이다.

식의 변형

1 ⑴ 9025 ⑵ 10404 ⑶ 9999 ⑷ 10302

2 ③ 3 ⑴ 18 ⑵ 1

4 ⑴ 7 ⑵ 8 5 ⑴ -13 ⑵ 6 6 ⑴ -x+3 ⑵ -5x+1

7 ⑴ y=;2%;x-6 ⑵ a=-;3$;b+;3&;

7 ⑶ y=- ⑷ a=

8 ⑴ x= ⑵ c=;9%;( f-32) 8 ⑶ n=1143S-hhr ⑷ b=2a+3

-4y+1 111243

112S-3pr¤

1112x-31

본문 34~35쪽 필수유형

08

1 ⑴ 95¤ =(100-5)¤

=100¤ -2_100_5+5¤

=10000-1000+25

=9025

⑵ 102¤ =(100+2)¤

=100¤ +2_100_2+2¤

=10000+400+4

=10404

⑶ 101_99=(100+1)(100-1)

=100¤ -1¤

=10000-1

=9999

⑷ 101_102=(100+1)(100+2)

=100¤ +(1+2)_100+1_2

=10000+300+2

=10302

곱셈 공식

(a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤

을 이용한다.

▶

곱셈 공식

(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤

을 이용한다.

▶

곱셈 공식

(a+b)(a-b)=a¤ -b¤

을 이용한다.

▶

곱셈 공식 (x+a)(x+b)

=x¤ +(a+b)x+ab 를 이용한다.

▶

2 88_92=(90-2)(90+2)=90¤ -2¤

=8100-4

=8096

따라서 곱셈 공식 (a+b)(a-b)=a¤ -b¤ 을 이용하면 가장 편리하다.

3 ⑴ x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=4¤ -2_(-1)=18

⑵ (x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy

=(-3)¤ -4_2=1

4 ^{⑴ x¤ +} ={x+;[!;}¤ -2=3¤ -2=7

⑵{x+;[!;}¤ ={x-;[!;}¤ +4=2¤ +4=8 13x¤1

5 ⑴ (주어진 식)=b-2a+2b-3a

=-5a+3b

⑴위의 식에 a=2, b=-1을 대입하면

⑴-5a+3b=-5_2+3_(-1)

=-13

⑵ (주어진 식)=2a-3b¤ -(b¤ -3a)

=5a-4b¤

⑴위의 식에 a=2, b=-1을 대입하면

⑴5a-4b¤ =5_2-4_(-1)¤ =6 6 ⑴ -y+2x+1에 y=3x-2를 대입하면

⑴-(3x-2)+2x+1

⑴=-3x+2+2x+1

⑴=-x+3

⑵ 4x-3y-5에 y=3x-2를 대입하면

⑴4x-3(3x-2)-5=4x-9x+6-5

=-5x+1 7 ⑴ -2y=12-5x에서 y=;2%;x-6

⑵ 3a=7-4b에서 a=-;3$;b+;3&;

⑶ 2xy-3y=-1에서 y(2x-3)=-1

⑶∴ y=-

⑷ par¤ =S-3에서 a= S-3 1123pr¤

11232x-31

8 ⑴ 3x=-4y+1에서 x=

⑵;5(;c=f-32에서 c=;9%;( f-32) -4y+1 112313

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시험에

꼭

1 ^③ 2 ^③ 3 ^② 4 ^②

5 ^② 6 ^③ 7 -;2%; 8 ^⑤

9 ^② 10 ^⑤ 11 ^③ 12 ^①

13 ^-1 14 ^③ 15 ²⁵⁵ 16 ²⁸

본문 36~37쪽

1 107¤ -92_108

=(100+7)¤ -(100-8)(100+8)

=100¤ +2_100_7+7¤ -(100¤ -8¤ )

=10000+1400+49-10000+64

=1513

2 ③ 95¤ =(100-5)¤

=100¤ -2_100_5+5¤

=10000-1000+25

=9025

따라서 이용되는 곱셈 공식은 (a-b)¤ =a¤ -2ab+b¤이다.

3 ^{105=x라 하면}

=

=

=x+3

=105+3=108 111113x¤ -(x¤ -1)x+3 1121111255524x¤ -(x-1)(x+1)x+3 11211112105¤ -104_106108

4 x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy에 x+y=4, x¤ +y¤ =10을 대입하면 10=4¤ -2xy, 2xy=6

∴ xy=3

5 ^{x¤ +} 1 ={x-;[!;}2 +2=3¤ +2=11 14x¤

⑶ 1+rn= 에서 rn= -1

⑵rn= ∴ n=

⑷ 2(a+1)=b-1에서 2a+2=b-1

⑵∴ b=2a+3

1135S-hhr 1135S-hh

15Sh 15Sh

(a-b)¤ =a¤ -2ab+b에 서 a=100, b=5일 때이 다.

▶

적당한 수를 x로 치환하 여 각 수를 x에 관한 식 으로 나타낸다.

▶

6 (a+b)¤ +(a-b)¤

=a¤ +2ab+b¤ +a¤ -2ab+b¤

=2a¤ +2b¤ =2(a¤ +b¤ )

=2_5=10

7 (3x¤ y+xy¤ )÷xy-(5xy¤ +3y‹ )÷2y¤

= -

=3x+y-;2%;x-;2#;y

=;2!;x-;2!;y yy①

이 식에 x=-3, y=2를 대입하면

;2!;_(-3)-;2!;_2=-;2%; yy② 5xy¤ +3y‹

111122y¤

3x¤ y+xy¤

11112xy

8 ^3(A-B)+A+6

=3A-3B+A+6=4A-3B+6

=4_ -3_ +6

=2(x-y)-(y-2x-5)+6

=2x-2y-y+2x+5+6

=4x-3y+11

y-2x-5 111123 112x-y2

9 2x-y+3=4y-3x+2에서 -y-4y=-3x+2-2x-3 -5y=-5x-1 ∴ y=x+;5!;

10a에 관하여 풀면 다음과 같다.

② b= 에서 b(a-f )=af

②ab-bf=af이므로 ab-af=bf

②a(b-f )=bf ∴ a=

③;f!;= 에서 f(a+b)=ab

②fa+fb=ab이므로 a( f-b)=-fb

②∴ a= =

④ f= 는 ③의 역수와 같다.

⑤ - = 에서 =

⑤ bf-ab=af, ab+af=bf

⑤ a(b+f)=bf ∴ a= bf 112b+f

11b 112f-aaf 11b

11f 11a

112a+bab

112b-fbf 112-fbf-b

112a+bab

112b-fbf 112a-faf

채점 요소 배점

① 주어진 식 간단히 하기 60%

② 식의 값 구하기 40%

먼저 3(A-B)+A+6 을 간단히 한다.

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