1. 다음 그림은 직육면체의 전개도이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
A A
B A B
C
C D
D
E F
G H
D
① 면 FBCG 에 평행한 면은 면 EADH 이다.
② 면 ABCD 에 수직인 면은 모두 4 개이다.
③ 면 ABFE 에 수직인 변은 모두 2 개이다.
④ 면 HEFG 에 평행한 변은 AB , BC , CD , AD 이다.
⑤ 면 AEHD 에 평행한 면은 면 BFGC 이다.
(답) ③
(풀이) 위의 전개도에 맞게 직육면체를 그리면 다음 그 림과 같다.
A B
C D
E F
H G
③ 면 ABFE 에 수직인 변은 4 개이다.
2. 다음 그림과 같은 오각뿔에서 교점의 개수를 m 개, 교선 의 개수를 n 개라고 할 때, m +n 의 값을 구하여라.
(답) 16
(풀이) 오각뿔의 꼭짓점의 개수는 6 개, 모서리의 개수 는 10 개이므로 교점은 6 개, 교선은 10 개이다.
즉, m = 6 , n = 10 이므로 6 + 10 = 16
3. 다음 그림에서 ∠x : ∠y = 4 : 1 ,
∠x : ∠z = 12 : 5 일 때, ∠z -∠y 의 값은?
① 10 ° ② 12 ° ③ 15 °
④ 18 ° ⑤ 20 °
(답) ④
(풀이) ∠x : ∠y = 4 : 1 , ∠x : ∠z = 12 : 5 이므로 ∠x : ∠y : ∠z = 12 : 3 : 5
∴ ∠y = 180 °× 3
12 + 3+ 5 = 180 °× 3
20 = 27 °
∠z = 180 °× 5
12 +3 + 5 = 180 °×1 4 = 45 °
∴ ∠z- ∠y = 45 ° -27 ° = 18 °
4. 수직선 위의 9 개의 점 P1, P2, P3, … , P9의 좌표는 각각 1 , 2 , 3 , … , 9 이다. 이 9 개의 점 중 에서 두 점을 이어 만들 수 있는 서로 다른 선분 중 길 이가 3 인 선분의 개수를 a 개, 길이가 5 인 선분의 개
수를 b 개라 할 때, a +b 의 값은?
① 7 ② 8 ③ 9
④ 10 ⑤ 11
(답) ④
(풀이) 길이가 3 인 선분은
P1P4, P2P5, P3P6, P4P7, P5P8, P6P9
이므로 a = 6 길이가 5 인 선분은
P1P6, P2P7, P3P8, P4P9 이므로 b = 4
∴ a + b = 10
5. 다음 그림에서 ∠x 의 크기를 구하여라.
(답) 55°
(풀이) 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
∠x +90° = 145°에서 ∠x = 55°
6. 다음 중 둔각인 것을 모두 고르면? (정답 3 개)
① 89 ° ② 91 ° ③ 72 °
④ 108 ° ⑤ 120 °
(답) ②, ④, ⑤
(풀이) 둔각은 90 °보다 크고 180 °보다 작은 각이므로 둔각인 것은 91 ° , 108 ° , 120 ° 이다.
7. 공간에서의 위치 관계에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, 두 직선이 일치하는 경우는 생각하지 않는다.) (정답 2 개)
① 한 평면에 수직인 서로 다른 두 직선은 평행하다.
② 한 직선에 평행한 서로 다른 두 직선은 평행하다.
③ 두 평면이 만나지 않는 경우 두 평면은 수직이라 고 한다.
④ 한 공간에서 만나지 않는 서로 다른 두 직선은 평 행하다.
⑤ 한 직선과 꼬인 위치에 있는 두 직선은 꼬인 위치 에 있다.
(답) ①, ②
(풀이) ③ 두 평면이 만나지 않는 경우 두 평면은 평행 하다고 한다.
④ 한 공간에서 만나지 않는 서로 다른 두 직선은 평행 하거나 꼬인 위치에 있다.
⑤ 한 직선과 꼬인 위치에 있는 두 직선은 꼬인 위치에 있거나 평행하거나 만난다.
8. 다음 그림에 대한 설명 중 옳지 않은 것을 모두 고르면?
(정답 2 개)
① ∠AOC 는 AB 와 CD 의 교각이다.
② AB⊥CD
③ AO = OB
④ AO = OC
⑤ AB 와 CD 의 교각의 크기는 90° 이다.
(답) ③, ④
(풀이) ③, ④ 길이가 같은 지는 알 수 없다.
9. 다음 그림에서 ∠x- ∠y 의 값은?
① 50 ° ② 52 ° ③ 54 °
④ 56 ° ⑤ 58 °
(답) ⑤
(풀이) ∠x+ 42 ° = 180 °
∴ ∠x = 138 °
42 ° + ∠y+ 58 ° = 180 °
∴ ∠y = 80 °
∴ ∠x -∠y = 58 °
10. 한 평면 위에 서로 다른 4 개의 직선을 그릴 때 생기는 교점의 최대 개수를 M 개, 최소 개수를 m 개라 할 때,
M +m 의 값은?
① 6 ② 7 ③ 8
④ 9 ⑤ 10
(답) ① (풀이)
서로 다른 4 개의 직선을 [그림 1 ]과 같이 그릴 때 교 점의 개수는 최대가 되고, [그림 2 ]와 같이 모두 평행하 게 그릴 때 교점의 개수는 최소가 된다.
따라서 교점은 최대 6 개, 최소 0 개이므로 M = 6 , m = 0 ∴ M +m = 6
11. 다음 그림과 같이 직선 l 위에 세 점 A , B , C 가 있다. 다음 중 옳지 않은 것은?
① AB = BA ② AB = BA
③ AB = AC ④ AC = CA
⑤ AB = AC
(답) ②
(풀이) ② 반직선이 같으려면 시작점과 방향이 같아야 하므로 AB ≠ BA 이다.
12. 다음 그림에서 ∠y- ∠x 의 크기를 구하여라.
(답) 85°
(풀이) 85°+ ∠x = ∠y 에서
∠y -∠x = 85°
13. 다음 그림에서 AE ⊥ BO 이고 ∠ COE = 6∠COD ,
∠ AOC = 6∠BOC 일 때, ∠BOD 의 크기는?
① 27° ② 28° ③ 29°
④ 30° ⑤ 31°
(답) ④
(풀이) ∠ AOC = ∠AOB +∠BOC
= 90°+∠ BOC = 6∠BOC , 5∠ BOC = 90° ∴ ∠ BOC = 18°
∠ COE = 90° -∠BOC = 90°-18° = 72° 이고
∠ COE = 6∠COD = 72° 이므로 ∠COD = 12°
∴ ∠ BOD = ∠BOC +∠COD = 18°+12° = 30°
14. 다음 그림에서 ∠ AOB = 2
3 ∠AOC ,
∠ DOE = 2
3 ∠COE 일 때, ∠BOD 의 크기를 구하여라.
(답) 60°
(풀이) ∠ AOB +∠DOE
=2
3 ∠ AOC +2
3 ∠COE
=2
3( ∠ AOC +∠COE)
= 2
3 ×180° = 120°
∴ ∠ BOD = 180°-( ∠AOB +∠DOE)
= 180°- 120° = 60°
15. 다음 그림과 같은 입체도형에서 교선의 개수를 a 개, 교점의 개수를 b 개, 면의 개수를 c 개라 할 때,
a +b+ c 의 값을 구하여라.
(답) 18
(풀이) a = (교선의 개수) = (모서리의 개수) = 8 b = (교점의 개수) = (꼭짓점의 개수) = 5 c = (면의 개수) = 5
∴ a +b +c = 8 +5 +5 = 18
16. 다음 그림에서 BC = 1
2 AB 이고 AB 와 BC 의 중점을 각각 M , N 이라 할 때, MN 의 길이는?
① 9 cm ② 10 cm ③ 11 cm
④ 12 cm ⑤ 13 cm
(답) ①
(풀이) BC = 1
2 AB = 1
2 ×12 = 6 ( cm) , MB = 1
2 AB = 1
2 ×12 = 6 ( cm) BN = 1
2 BC =1
2 ×6 = 3 ( cm)
∴ MN = MB + BN = 6+3 = 9 ( cm)
17. 다음 그림과 같은 직육면체에서 AB 와 평행한 모서리 의 개수를 a 개, DG 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개 수를 b 개라 할 때, b-a 의 값을 구하여라.
(답) 3
(풀이) AB 와 평행한 모서리는 CD , EF , GH 의 3 개이고, DG 와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AB ,
BC , AE , BF , EF , EH 의 6 개이다.
∴ b -a = 6- 3 = 3
18. 다음 그림에서 점 M 은 AB 의 중점이고, 점 N 은 AM 의 중점이다. NB = 18 cm 일 때, AM 의 길이를 구하여라.
(답) 12 cm
(풀이) 점 M 이 AB 의 중점이므로 AM = MB 점 N 이 AM 의 중점이므로 AN = NM
……❶ 30 % NB = NM+ MB = AN+ AM
= 1
2 AM+ AM =3
2 AM ……❷ 40 %
∴ AM = 2
3 NB = 2
3 ×18 = 12 ( cm )
……❸ 30 %
19. 다음 그림과 같이 정사면체 2 개를 붙여 놓은 입체도형 에서 AB 와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 a 개, CD 와 한 점에서 만나는 모서리의 개수를 b 개라 할 때, a +b 의 값을 구하여라.
(답) 8
(풀이) AB 와 꼬인 위치에 있는 모서리는 CD , CE 로 2 개이므로 a = 2 (개)
CD 와 한 점에서 만나는 모서리는 AC , BC , CE , ED , BD , AD 로 6 개이므로 b = 6 (개)
∴ a + b = 2 +6 = 8
20. 한 직선 l 위에 10 개의 점 A1, A2, A3, …, A10 중 두 점을 골라 나타낼 수 있는 서로 다른 반직 선은 모두 a 개, 선분은 b 개일 때, a +b 의 값을 구하 여라.
(답) 63
(풀이) (ⅰ) 다음 방향의 반직선은 A1A2,
A2A3, A3A4, …, A9A10 : 9 개 왼쪽 방향의 반직선은 A2A1, A3A2,
A4A3, …, A10A9 : 9 개 따라서 만들어지는 반직선은
9 + 9 = 18 (개)
(ⅱ) A1을 왼쪽 끝점으로 하는 선분은 A1A2, A1A3, A1A4, …, A1A10 : 9 개 A2를 왼쪽 끝점으로 하는 선분은 A2A3,
A2A4, A2A5, …, A2A10 : 8 개
같은 방법으로 A9를 왼쪽 끝점으로 하는 선분은 A9A10으로 1개이다.
따라서 만들어지는 선분의 총 개수는 9 + 8+ 7 +… + 3+ 2 +1 = 45 (개)
∴ a +b = 18+ 45 = 63
