EE ngineering Mathematics I ngineering Mathematics I

(1)

EE ngineering Mathematics I ngineering Mathematics I

Prof. Dr. Yong-Su Na g

(32-206, ysna@snu.ac.kr, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch 2 Second

Ch 2 Second Order Linear ODEsOrder Linear ODEs Ch. 2 Second

Ch. 2 Second--Order Linear ODEsOrder Linear ODEs

2.1 Homogeneous Linear ODEs of Second Order

2.2 Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients 2.3 Differential Operatorsp

2.4 Modeling: Free Oscillations. (Mass-Spring System) 2 5 Euler Cauchy Equations

2.5 Euler-Cauchy Equations

2.6 Existence and Uniqueness of Solutions. Wronskian 2.7 Nonhomogeneous ODEs

2.8 Modeling: Forced Oscillations. Resonance 2.9 Modeling: Electric Circuits

2 10 Solution by Variation of Parameters 2.10 Solution by Variation of Parameters

2

(3)

Ch. 2 Second

Ch. 2 Second--Order Linear ODEsOrder Linear ODEs C Seco d

C Seco d O deO de ea Oea O ss (2

(2계계 선형상미분방정식선형상미분방정식))

z 자주 접하게 될 공학문제들의 상당수가 2계 미분방정식으로 표현된다.

기계적 진동 문제 RLC 전기회로 Laplace 방정식 열전도 방정식 - 기계적 진동 문제, RLC 전기회로, Laplace 방정식, 열전도 방정식,

파동 방정식 등

z 내용 : 2계 선형미분방정식의 해법 (제차, 비제차)

(4)

2

2.1 .1 Homogeneous Linear ODEs of Homogeneous Linear ODEs of o oge eouso oge eous ea Oea O s os o Second Order

Second Order (2(2계계 제제차차 선형상미분방정식선형상미분방정식))

z ²^계 ^{선형상미분방정식}^: ^y ^''⁺^p( )^x ^y^'⁺^q( )^x ^y ⁼ ^r( )^x

z

•

(^Standard ^Form) ^: ^y ^''^을 ^첫 ^번째 ^항으로 ^갖는 ^식

표준형

( ) ( )^:^r ^x ⁼ ⁰

제차 Homogeneous

•

( ^g ) ( )

( ) ( )^:^r ^x ^≠ ⁰

비제차 Nonhomogeneous

(5)

2

z 제차 선형 상미분방정식 : 중첩의 원리 또는 선형성의 원리

z 제차 선형 상미분방정식에 대한 기본 정리

제차 선형미분방정식에 대해, 어떤 열린구간 I 에서 두 개의 해의 제차 선형미분방정식에 대해, 어떤 열린구간 I 에서 두 개의 해의

일차결합은 다시 구간 I 에서 다시 제차 선형미분방정식의 해가 된다.

특히, 그러한 방정식에 대해서 해들의 합과 상수곱도 다시 해가 된다.

특히, 러한 방정식에 대해서 해들의 합과 상수곱 다시 해가 된다

단, 이 정리는 비제차 선형방정식 또는 비선형 방정식에서는 성립하지 않는다.

0 ''+ y =

Ex.1 Homogeneous linear ODE. y x c

x c

x

x, sin , cos sin

cos ₁₁ + ₂₂

(6)

2

Ex.2 Nonhomogeneous linear ODE .

함수 와 는 위의 방정식의 해이지만,

1 ''+ y = y

x

y =1+ cos y =1+sin x

수 와 위의 식의 해이지

이들의 합은 해가 아니다.

예를 들어 나 도 해가 아니다.

y y

(¹ ^cos^x)

2 + ⁵(¹⁺ ^sin ^x)

Ex.3 Nonhomogeneous linear ODE .

( )

0 ' ''y − xy = y

함수 와 는 위의 방정식의 해이지만, 이들의 합은 해가 아니다.

x2

y = y =1

예를 들어 − x² 도 해가 아니다.

(7)

2

z Initial Value Problem (초기값 문제)

• Initial Conditions (초기 조건): y( )x₀ = K₀, y'( )x₀ = K₁

• Initial Value Problems (초기값 문제)

: 제차 선형 상미분방정식과 두 개의 초기조건으로 구성

Ex.4 Solve the initial value problem.

( )⁰ ³^.⁰^, ^'( )⁰ ⁰^.⁵

, 0

''+y = y = y = − y

(8)

2

• Initial Conditions (초기 조건): y( )x₀ = K₀, y'( )x₀ = K₁

• Initial Value Problems (초기값 문제)

: 제차 선형 상미분방정식과 두 개의 초기조건으로 구성

Ex.4 Solve the initial value problem.

( )⁰ ³^.⁰^, ^'( )⁰ ⁰^.⁵

, 0

''+y = y = y = − y

Step 1 일반해를 구함 (Ex.1에 의하여) 일반해 : y = c₁cosx + c₂sin x

일반해

Step 2 초기조건 적용 :

y ₁ ₂

( ) ^c ^y ( ) ^c ( ^y ^c ^x ^c ^x)

y 0 = ₁ = 3.0, ' 0 = ₂ = −0.5 ∵ '= − ₁sin + ₂cos

특수해 : y = 3.0cosx −0.5sin x

(9)

2

z General Solution (일반해):

구간 I 에서 비례하지 않는 제차방정식의 해 y₁, y₂ 와 임의의 상수

2 2 1

1y c y

c

y = +

c₁, c₂ 를 갖는 해이다.

z Particular Solution (특수해): 일반해의 기본형태에서 c₁, c₂ 에 특정한 값을 지정하면, 구간 I 에서 제차방정식의 특수해(particular solution)가 얻어진다.

z Basis of Solution (기저): y₁, y₂ 를 구간 I 에서의 제차방정식의 기저(Basis) 또는 기본계 (Fundamental System)라고 함.

기저는 1차 독립인 해의 쌍임 기저는 1차 독립인 해의 쌍임.

(10)

2

z Linearly Independent (일차독립): 구간 I 에서

일 때 이 된다면 두 함수 y y 와 k k 를

2 0

2 1

1y + yk = k

= 0

= k

일 때 , k 이 된다면 두 함수 y₁, y₂ 와 k₁, k₂ 를 구간 I 에서 일차 독립(linearly independent)이라고 한다.

2 0

1 = k = k

z Linearly Dependent (일차종속): 적어도 하나가 0이 아닌 상수 k k 에 대하여 식 k y + yk =0 이 성립한다면

k₁, k₂에 대하여 식 이 성립한다면,

이 함수들을 일차 종속(linearly dependent)이라고 부른다

2 0

2 1

1y + yk = k

(11)

2

z Method of Reduction of Order (차수축소법) - Lagrange:Method of Reduction of Order (차수축소법) Lagrange:

한 개의 해를 알고 있을 때 1계의 미분방정식으로부터 y 를 구할 수 있다.

제차 선형상미분방정식 : y ''+p( )x y'+q( )x y = 0

( + + ) (+ + )+ =

⇒

+ +

=

⇒ +

=

⇒

=

quy uy

y u p uy

y u y

u

uy y u y

u y

y uy

y u y y uy

y y

1 1

1 1 1

2 1

1 2

0 '

' ''

' ' 2 ''

'' '

' 2 ''

'' ''

' '

(주어진 미분방정식에 대입)

( ) ( )

+ = +

⇒

= +

+ +

⇒

y py u y

u

qy py y

u py y

u y u

1 1 1

' 0

'2 ''

0 '

'' '

2 ' ''

0 '

''

y₁ +py₁ +qy₁ =

∵

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⇒

=

= p U

y U y

u U u U

y

1 1 1

' 0 2 '

'' ' ,

' (변수분리형)

−∫

−

=

⎟⎟ ⇒

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

=

⇒ p dx U y pdx

y y U

dU

1 1

1' ln 2ln 2

∫

=

∴

⇒ e⁻^∫ y uy y Udx U y ₂ ^p^dx ₂ ₁ ₁

1

1 ,

(12)

2

Ex. 7 Find a basis of solutions of the ODE.

(

^x² ⁻ ^x

)

^y ^''⁻^xy^'⁺^y ⁼ ⁰

첫 번째 해 :

( )

^y ^y ^y

x y₁ =

(13)

2

Ex. 7 Find a basis of solutions of the ODE.

(

^x² ⁻ ^x

)

^y ^''⁻^xy^'⁺^y ⁼ ⁰

첫 번째 해 :

( )

^y ^y ^y

x y₁ =

차수축소법 적용

−

− =

=

∫ =

=

− ⇒

−

− =

−

= 1 ⁻ 1 ⁻ 1 ⁻ 1 1 1

1 1

2 2

1 ln 2 1

1 2 2

1

2 x x x

e x e x

e x U y

x x

x

p x ^pdx ^x ^dx ^x

∫

∫ ⁼ ⁻ ⁼ ^⎜_⎝^⎛ ⁺ ^⎟_⎠^⎞ ⁼ ⁺

=

⇒ 1 ln 1

ln 1 ]

[1

₂ ₁ ₂ x x

x x x

x dx x x

Udx y

y

(14)

2

PROBLEM SET 2.1

HW 23 24 HW: 23, 24

(15)

2

2.2 .2 Homogeneous Linear ODEs with Homogeneous Linear ODEs with C t t C ffi i t

C t t C ffi i t Constant Coefficients Constant Coefficients

((상수계수를 상수계수를 갖는 갖는 제 제차 차 선형상미분방정식 선형상미분방정식))

z 상수계수를 갖는 2계 제차 선형상미분방정식: y ''+ay'+by = 0

z Characteristic or Auxiliary Equation (특성방정식 or 보조방정식): 2

z 일반해

2 + aλ +b = 0 λ

특성방정식 에서

• 경우 1 a² − b4 > 0 이면 서로 다른 두 실근 λ₁, λ₂ ⇒ 일반해: y = c₁e^λ¹^x +c₂e^λ²^x

2 +aλ +b = 0 λ

• 경우 2 이라면 실 이중근 일반해:

• 경우 3 이라면 공액복소근

2 ⇒

−

λ = a ^y = (^c₁ +^c₂^x)^e⁻^ax²

0

2 − b4 = a

0

2 − b4 <

a λ = −a2 ±iω ^ω ²⁼^b⁻¹^a² ^Prove!

경우 3 이라면 공액복소근 ,

일반해:

0 4b<

a λ 2 ±iω

(^A ^x ^B ^x)

e

y = ⁻^ax² cosω + sinω

⇒

4a ω b

t i

it t

*E l F l i

Prove!

t i

t

e^it = cos + sin

*Euler Formula

(16)

2

((상수계수를 상수계수를 갖는 갖는 제 제차 차 선형상미분방정식 선형상미분방정식))

Ex. 5 Solve the initial value problem.

( )⁰ ⁰^, ^'( )⁰ ³

, 0 04

. 9 ' 4 . 0

''+ y + y = y = y =

y

(17)

2

((상수계수를 상수계수를 갖는 갖는 제 제차 차 선형상미분방정식 선형상미분방정식))

Ex. 5 Solve the initial value problem.

( )⁰ ⁰^, ^'( )⁰ ³

, 0 04

. 9 ' 4 . 0

''+ y + y = y = y =

y

Step 1 일반해

이므로 근이

의

특성방정식 λ² +0 4λ +904=0 λ = 02±3i

일반해:

이므로 근이

의

특성방정식 λ +0.4λ +9.04=0 λ =−0.2±3i

(A x B x)

e

y = ⁻⁰^.²^x cos3 + sin3

Step 2 특수해

(A x B x) e ( A x B x)^이므로

e

y'=−0.2 ⁻⁰^.²^x cos3 + sin3 + ⁻⁰^.²^x −3 sin3 +3 cos3

초기조건을 적용 특수해 :

( )0 0, '( )0 0.2 3 3 0, 1

= = =− + = ⇒ = =

⇒ y A y A B A B

x e

y = ⁻⁰^.²^xsin3

Euler 공식: e^it =cost+isint λ a iω e^λ^x e ^ax (cosωx isinωx)

2± ⇒ = ² ±

−

= ⁻

(18)

2

((상수계수를 상수계수를 갖는 갖는 제 제차 차 선형상미분방정식 선형상미분방정식))

PROBLEM SET 2.2

HW 33 HW: 33

(19)

2

2.3 .3 Differential Operators33 Differential Operatorse ee e a Ope a o sa Ope a o s ((미분연산자((미분연산자미분연산자))미분연산자))

z Operators (연산자): 함수를 다른 함수로 변형하는 변환을 의미 z Operational Calculus (연산자법): 연산자와 그에 해당하는 기법Operational Calculus (연산자법): 연산자와 그에 해당하는 기법 z Differential Operator (미분연산자):

z Identity Opterator (항등연산자):

' y Dy =

y Iy =

z Identity Opterator (항등연산자):

z 2계 미분연산자의 도입

y Iy

( )^D ^D ^aD ^bI ^Ly ^P( )^D ^y ^y ^ay ^by

P

L = ^P( )^D = ^D² + ^aD +^bI ⇒ ^Ly = ^P( )^D ^y = ^y ''+^ay'+^by

L = = + + ⇒ = = + +

(20)

2

2.4 .4 Modeling: Free Oscillations (MassModeling: Free Oscillations (Mass--gg (( Spring System)

Spring System)

((자유진동 자유진동 ((질량 질량--용수철시스템 용수철시스템)) ))

• 기초적인 역학계인 용수철에 매달린 질량의 운동에 대해 논의한다.

• 계의 모형화(수식화) 및 해를 구하고 운동의 유형에 대해 논의한다.

z Undamped System (비감쇠 시스템)

물리적 법칙 z 물리적 법칙

• Newton’s 2nd law: 질량 X 가속도 = 힘

• Hooke’s law: 용수철에 작용하는 힘은Hooke s law: 용수철에 작용하는 힘은 용수철의 길이의 변화에 비례한다.

Mechanical mass-spring t

system

(21)

2

Spring System)

((자유진동 자유진동 ((질량 질량--용수철시스템 용수철시스템)) ))

z 모델화 z 모델화

• 정적 평형 상태에 있는 시스템

0

0 ks

F = − (k: 용수철 상수)

0 k

W F

동적인 시스템

0 0

물체의 무게 : W = mg F₀ +W = −ks₀ +mg = 0

• 동적인 시스템 복원력 :

(Newton의 제 2법칙)

ky

F₁ = − (Hooke의 법칙)

'' F

my = my ''+ky =0

(Newton의 제 2법칙)

F1

my =

Harmonic oscillation (조화진동):

( ) ^A ⁱ ^C ( δ)

( ) ( )

) / arctan(

,

, cos

sin cos

2 2 2

0

0 0

0

A B B

A m C

k

t C

t B

t A

t y

= +

=

−

= +

=

δ ω

ω ω

(22)

2

Spring System)

((자유진동 자유진동 ((질량 질량--용수철시스템 용수철시스템)) ))

z Damped System (감쇠 시스템) z Damped System (감쇠 시스템)

Damping

force (감쇠력) F₂ = −cy' ₍_c: damping constant (감쇠 상수))

0 '

''+cy +ky = my

2

'' F1 F

my = + (Newton의 제 2법칙) my +cy +ky = 0

( ² ) ^{( )} ⁽ ^β⁾ ⁽ ^β⁾

• Overdamping (과감쇠) ( ) ^{( )} ⁽ ⁾ ⁽ ⁾

m mk c

m c

e c e

c t y mk

c ^t ^t

2 4

2 ,

: 4

2

2 1

2

= −

=

+

=

> ⁻ ⁻ ⁻ ⁺

β α

β α β

α

(23)

2

Spring System)

((자유진동 자유진동 ((질량 질량--용수철시스템 용수철시스템)) ))

C iti l d i (임계감쇠) ( ² ) ( ) ( ) ^t ^c

• Critical damping (임계감쇠) ( ) ( ) ( )

m e c

t c c

t y mk

c ^t

2 , :

4 ₁ ₂

2 = = + ⁻^α α =

• Underdamping (저감쇠) (^c² ^<⁴^mk)^:^y^{( )}^t ⁼ ^e⁻^α^t⁽^A^cos^ω^*^t⁺^B^sin^ω^*^t⁾⁼^Ce⁻^α^t ^cos⁽^ω^*^t⁻^δ⁾

2 2 2 2

/ tan

*= k − c δ =B A C = A +B ω ₂ , tan / ,

4 B A C A B

m

m δ +

ω

(24)

2

Spring System)

((자유진동 자유진동 ((질량 질량--용수철시스템 용수철시스템)) ))

PROBLEM SET 2.4

HW 8 HW: 8

(25)

2

2.5 .5 Euler55 u eEuler--Cauchy Equations u e Cauc y qua o sCauchy Equations Cauc y qua o s

((오일러오일러--코시코시 방정식방정식))

z Euler-Cauchy Equations (오일러-코시 방정식): x² y ''+axy'+by = 0

z Auxiliary equation (보조방정식):

z General Solution

( ¹) ⁰

2 + a − m +b =

m

보조방정식 에서

• 경우 1 서로 다른 두 실근 일반해 :

( ¹) ⁰

2 + a − m+b =

m

, ₂

1 m ⇒

m y = c₁x^m¹ + c₂x^m²

경우 서 다른 두 실근 일반해

• 경우 2 이중근 일반해 :

경우 3 공액복소근 일반해 :

, ₂

1 y 1 2

( )

2

1− ⇒

= a

m ^y ⁼ (^c ⁺ ^c ^x)^x^m ^m ⁼ (¹⁻^a)

2 1

,

2 ln

1

⇒

± υ μ i

• 경우 3 공액복소근 mm = μ ±iυ ⇒ 일반해 :

( ) ( )

[^A ^x ^B ^x ]

x

y = ^μ cos υ ln + sin υ ln

(26)

2

2.5 .5 Euler55 u eEuler--Cauchy Equations u e Cauc y qua o sCauchy Equations Cauc y qua o s

((오일러오일러--코시코시 방정식방정식))

PROBLEM SET 2.5

HW 16 (A) HW: 16 (A)

(27)

2

2.6 .6 Existence and Uniqueness of Existence and Uniqueness of qq Solutions.

Solutions. WronskianWronskian

((해의 해의 존재성과 존재성과 유일성 유일성))

z Existence and Uniqueness Theorem for Initial Value Problems

초기값 문제 에서

와 가 어떤 열린 구간 I (1.1절 참조)에서 연속함수이고, 가

( ) ^' ( ) ⁰^, ( )⁰ ₀^, ^'( )⁰ ₁

'' p x y q x y y K y K

y + + = = =

( )^x

p ^q( )^x ^x₀

구간 I 내에 있다면, 초기값 문제는 구간 I 에서 유일한 해를 갖는다.

(28)

2

((해의 해의 존재성과 존재성과 유일성 유일성))

z Wronskian or Wronski Determinant (행렬식)

( ) ^y¹ ^y² ^' ^'

W( ) ^' ^'

'

, ' ₁ ₂ ₂ ₁

2 1

2

1 y y y y

y y y

y

W = = −

z Linear Dependence and Independence of Solutions

상미분방정식이 열린 구간 I 에서 연속인 계수 p(x)와 q(x)를 갖는다고 가정.

이 때 구간 I 에서 제차 선형상미분방정식의 두 개의 해 y₁, y₂가 구간 I 에서 일 차종속이 되기 위한 필요충분조건은 그들의 Wronskian이 구간 I 내의 어떤 x₀ 에서 0이 되는 것임 x = x 에서 W = 0 이라면 구간 I 에서 W ≡ 0

에서 0이 되는 것임. x = x₀ 에서 W = 0 이라면, 구간 I 에서 W ≡ 0.

만약 W가 0이 아닌 x₁이 구간 I 내에 존재하면, 구간 I 에서 y₁, y₂는 일차독립.

E 1 2 y ''+ yw² 0 ^y ^''⁻²^y^'⁺^y ⁼ ⁰

Ex. 1, 2. ,y ''+ yw =0 ^y ⁻²^y⁺^y ⁼ ⁰

(29)

2

((해의 해의 존재성과 존재성과 유일성 유일성))

z Existence of a General Solution z Existence of a General Solution

p(x)와 q(x)가 어떤 열린 구간 I 에서 연속이면, 제차 선형상미분방정식은 구간 I 에서 일반해를 갖는다

일반해를 갖는다.

z A General Solution Includes All Solutions

제차 선형상미분방정식이 어떤 열린 구간 I 에서 연속인 계수 p(x)와 q(x)를 갖는다면, 구간 I 에서 제차 선형상미분방정식의 모든 해 y = Y(x)는

( )^x ^C ^y ( )^x ^C ^y ( )^x

Y = +

의 형태인데, 여기서 y₁, y₂는 구간 I 에서 제차 선형상미분방정식의 해의 어떤 기저 를 형성하고 C C 는 적당한 상수이다

( )^x ^C ^y ( )^x ^C ^y ( )^x

Y = ₁ ₁ + ₂ ₂

를 형성하고, C₁, C₂는 적당한 상수이다.

그러므로, 제차 선형상미분방정식은 특이해(Singular Solution, 즉 일반해로부터 얻을 수 없는 해)를 갖지 않는다

수 없는 해)를 갖지 않는다.

(30)

2

((해의 해의 존재성과 존재성과 유일성 유일성))

PROBLEM SET 2.6

HW HW:

(31)

2

2.7 .7 NonhomogeneousNonhomogeneous ODEsoo o oge eouso oge eous OODEsO ss

((비제차비제차 상미분방정식상미분방정식))

z Nonhomogeneous linear ODE:

z 제차방정식과 비제차방정식의 해 사이의 관계

( ) ^' ( ) ( ) ( )^, ⁰

''+ p x y +q x y = r x r x ≠ y

• 어떤 열린구간 I 에서 비제차방정식의 두 해의 차는 구간 I 에서 제차방정식의 해이다.

• 구간 I 에서의 비제차방정식의 해와 구간 I 에서의 제차방정식의 해의 합은 구간 I 에서 비제차방정식의 해이다.

z General Solution: ^y( )^x = ^y_h( )^x + ^y_p( )^x

여기서 는 구간 I 에서의 제차 상미분방정식의 일반해이고, 는 구간 I 에서의 임의의 상수를 포함하지 않는 비제차방정식의 어떤 해이다.

2 2 1

1y c y

c

y_h = +

yp

(32)

2

2.7 .7 NonhomogeneousNonhomogeneous ODEsoo o oge eouso oge eous OODEsO ss

((비제차비제차 상미분방정식상미분방정식))

z Method of Undetermined Coefficients (미정계수방법)

T i ( ) Ch i f

Term in ^r( )^x Choice for ^y_p

ke^γ^x Ce^γ^x

( )

x k

n kxⁿ

ω cos

, 1 , 0 =

x M

x K

K x K x

K x

K_n ⁿ _n ⁿ

ω ω sin cos

0 1

1 1

+

+ +

+ + ₋ ⁻

k

x k

x

ω

α

sin

(K M )

αx

i x

ke

x ke

x x

ω ω

α α

sin

cos e^α^x(K cosωx+ M sinωx)