E ngineering Mathematics II

E ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9

^th

Edition , Wiley (2006)

Ch. 11 Fourier Series, Integrals, and Transforms

11.1 Fourier Series

11.2 Functions of Any Period p=2L

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions 11.4 Complex Fourier Series

11.5 Forced Oscillations

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials 11.7 Fourier Integral

11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms

11.9 Fourier Transform. Discrete and Fast Fourier Transforms

2

 주기현상의 예: 모터, 회전 기계, 음파, 지구의 운동, 정상 조건하의 심장

 푸리에 급수는 상미분 방정식과 편미분 방정식을 수반하는 문제를 해결하는 데 매우 중요한 도구

 푸리에 급수의 실용적 관심대상: Discontinuous(불연속적)인 주기함수

 내용: 푸리에 급수의 개념과 기법, 푸리에 적분(Fourier Integrals), 푸리에 변홖(Fourier Transform)

 우리 주변에서 푸리에 급수는 매우 다양하게 이용됨:

파동의 갂섭현상을 이용하여 소음도 없앨 수 있음.

예를 들어 여객기 밖은 엔짂소음으로 매우 시끄럽지만 안은 조용할 수 있는 것 은 엔짂의 소음과 같은 주파수를 가지고 위상만 반대인 소음을 발생시켜 소음 을 상쇄시키는 푸리에 급수 원리 덕분에 가능함.

Ch. 11 Fourier Series, Integrals,

andTransforms

11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

 Periodic Function (주기함수)

•

•

 Properties

•

•

 

x p x f



x np



f

  

x n , , , 



f , 1 2 3

의주기가 이면 모든 에대하여   

함수

 

x와 g

 

x 의 주기가 p이면, af

 

x bg

 

x a, b는 임의 상수



의 주기도 p이다.

f 

   

 

(Periodic Function) ,

 

(Period) .

,

라한다 주기

의 를

하고 라

주기함수 를

대하여 에

모든 존재해서

가 양수 어떤

정의 대하여

에 실수 모든

x f p x

f

x f p x f x

p x











x x cos, sin

: 주기함수인 예

x x e

x x

x, , , ^x, cosh , ln

:

아닌예 ^{2 3} 주기함수가

11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

 Trigonometric Series (삼각급수)

• Trigonometric System (삼각함수계)

• Trigonometric Series (삼각급수)

•



 , cos , sin ,

, 2 sin , 2 cos , sin , cos ,

1 x x x x nx nx

 

. )

nts (Coefficie

sin cos

2 sin 2

cos sin

cos

2 2 1 1 0

1 0

2 2

1 1

0

한다 라

계수 을

상수 

 ,

b , a , b , a , a

nx b

nx a

a x

b x a

x b

x a

a

n

n



^ n



















.

2

수렴한다면그 합은 주기가 인 주기함수이다

삼각급수가



11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

 Fourier Series (푸리에 급수)

• Euler Formulas (오일러 공식)

• Fourier Coefficients (푸리에 계수): 오일러 공식에 의해 주어짂 값

• Fourier Series: 푸리에 계수를 갖는 삼각급수

 

 

  ^



, 2 , 1

, 1 sin

, 2 , 1

, 1 cos

2 1

0























n nxdx x

f b

n nxdx

x f a

dx x f a

n n



















 



^









1

0

cos sin

) (

n

n

n

nx b nx

a a

x

f

11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

Ex. 1 Rectangular Wave (주기적인 직사각형파) Find the Fourier coefficients of the periodic function,

Functions of this kind occur as external forces acting on mechanical systems, electromotive forces in electric circuits, etc.

   

 

^f



^x

  

^{f x}

x k

x x k

f  















 







and 2 0

0

11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

Ex. 1 Rectangular Wave (주기적인 직사각형파) Find the Fourier coefficients of the periodic function,

Functions of this kind occur as external forces acting on mechanical systems, electromotive forces in electric circuits, etc.

   

 

^f



^x

  

^{f x}

x k

x x k

f  















 







and 2 0

0

 

 

     

0 0

₀

0

0 0

0























    







a dx

x f dx

x f dx x f k

dx x f k

dx x f











 이고 이므로

 

cos 0 0

*



  



an

dx x x

f





     









 











  

 이짝수

홀수 이

0

4 cos

2 1 cos

sin 2 sin 2

sin 2 1

0 0

0 n

n n k n n

k n

k nx nxdx

k nxdx

x f nxdx

x f

b_n  











 









 



   

 k x x x 

5 5sin 3 1

3sin sin 1

4 :

^{푸리에 급수}



4 5

1 3 1 1

5 1 3 1 1 4 2







_{    }



 



   



 



 



 k  

k

f

Leibniz (1673)

11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

• 함수 f ( x )가 x =0과 x =π에서 불연속

이므로, 모든 부분합은 이 점에서

값이 0이 되며, 이 값은 극한값인

– k 와 k 의 산술평균임.

11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

 Orthogonality of the Trigonometric Systems:

삼각함수 계는 구갂 -π ≤

x

≤ π에서 직교한다.

 Representation by a Fourier Series (푸리에 급수에 의한 표현)

 

 

 ^{n m n m} 

dx mx nx

m n dx

mx nx

m n dx

mx nx



























0

cos sin

0 sin

sin

0 cos

cos

또는













 

 

^{의 좌극한과 우극한의}

 

^평균

합 급수의 점에서

불연속인

합 급수의 점에서

모든 제외한

점을 불연속인

합 급수의

수렴한다 급수는

푸리에 의

갖는다 를

우도함수 와

좌도함수 점에서

각

구분연속 에서

구간

주기함수 인

주기가

.

.

) (

Derivative hand

- Right

) (

Derivative hand

- Left

) (

Continuous Piecewise

2

x f

x f x

f

π x -π























Prove!

11.1 Fourier Series (푸리에 급수)

PROBLEM SET 11.1

HW: 16, 28, 29

11.2 Functions of Any Period p=2L

(임의의 주기 p=2L을 가지는 함수)

 Fourier Series of the Function f (x) of period 2L

 Fourier Coefficients of f (x)

  

^



 

 



 





1

0

cos sin

n

n

n

x

L b n

L x a n

a x

f  

 

 

  ^



, 2 , 1

, 1 sin

, 2 , 1

, 1 cos

2 1

0























n L dx

x x n

L f b

n L dx

x x n

L f a

dx x L f

a

L

L n

L

L n

L

L





11.2 Functions of Any Period p=2L

(임의의 주기 p=2L을 가지는 함수)

Ex. 1 Periodic Rectangular Wave (주기적인 직사각형파) Find the Fourier series of the function,

   

 

 ^{1 2}  ^{2 4 , 2}

0

1 1

1 2

0





 



 





















 p L L

x x k

x x

f

11.2 Functions of Any Period p=2L

(임의의 주기 p=2L을 가지는 함수)

Ex. 1 Periodic Rectangular Wave (주기적인 직사각형파) Find the Fourier series of the function,

   

 

 ^{1 2}  ^{2 4 , 2}

0

1 1

1 2

0





 



 





















 p L L

x x k

x x

f

 

 

 

0 0 sin 2

, 1 1 , 7 , 3 2

, 9 , 5 , 1 2

0 sin 2

2 cos 2

2 1 cos 2

2 1

2 2 4 1 4

1 4

1

2

2

1

1 2

2

1

1 2

2 0







































































n n

b xdx

x n f

n n k n n

k

n n

n dx k x k n

xdx x n

f a

k k kdx

dx x f a

















 짝수 이

  



 



    





 k k x x x 

x

f 2

cos 5 5 1 2

cos 3 3 1 cos 2

2 2

:

  

급수 

푸리에

11.2 Functions of Any Period p=2L

(임의의 주기 p=2L을 가지는 함수)

Example 2

Example 3

11.2 Functions of Any Period p=2L

(임의의 주기 p=2L을 가지는 함수)

PROBLEM SET 11.2

HW: 13, 16

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

 Fourier Cosine Series, Fourier Sine Series (푸리에 코사인, 사인 급수)

•

•

 

 

^{, 2}

 

^{cos , 1, 2, }

1 ts Coefficien Fourier

cos

2

:

0 0

0 1

0

















^



n L xdx

x n L f

a dx x L f

a L x a n

a x f

L

L n

L n

n





급수 푸리에

우함수의 인

Series 주기가 Cosine

Fourier

 

 

^{sin , 1, 2, }

2 ts Coefficien Fourier

sin

2

:

0 1











^



n L xdx

x n L f

b L x b n

x f

L

L n

n n





급수 푸리에

기함수의 인

Series 주기가 Sine

Fourier

 Sum and Scalar Multiple (합과 스칼라곱)

• 함수의 합의 푸리에 계수는 각각에 해당하는 푸리에 계수의 합과 같다.

• 함수

cf

의 푸리에 계수는

f

에 해당하는 푸리에 계수에

c

를 곱한 것과 같다.

11.2 Example 1

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

Ex. 3 Sawtooth Wave (톱니파)

Find the Fourier series of the function

 

^{x x}



^x



^f



^x



^f

 

^x

f      and 2 

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

Ex. 3 Sawtooth Wave (톱니파)

Find the Fourier series of the function

 

^{x x}



^x



^f



^x



^f

 

^x

f      and 2 

 

 



 



   













 









 































x x

x f

f

n n dx

n nx n

nx x

nxdx x

nxdx x

f b

, , , n a

f f

f f f f

x f

π π π

n

n

3 3sin 2 1

2sin sin 1

2

2cos 1 cos

cos 2

2 sin 2 sin

2 1 0 0

.

2

0 0

0 0

1 1

1

2 1 2

1





 









기함수이므로 은

급수 푸리에

의

이다 하면

라 와

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

 Half Range Expansions (반구갂 전개)

• Even Periodic Extension (주기적인 우함수로 확장)

• Odd Periodic Extension (주기적인 기함수로 확장)

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

Ex. 4 “Triangle” and Its Half-Range Expansions Find the two half-range expansions of the function

 

_^

 









 



  





 



  



L L x

x L L

k

x L L x

k x

f

2 2

0 2

2

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

Ex. 4 “Triangle” and Its Half-Range Expansions Find the two half-range expansions of the function

 

_^

 









 



  





 



  



L L x

x L L

k

x L L x

k x

f

2 2

0 2

2

 

 

 





 



  









 



  

 











  



 











  











 L x

L x k

x k f

L n n n

dx k L x x n

L L xdx k L x n

L k a L

dx k x L L

dx k L x

k a L

L

L L

n

L

L L







 







cos6 6

1 cos2

2 1 16 2

1 cos

cos 4 2

2 cos 2 cos

2

2 2

2 1

.

. 1

2 2

2

2 2 2

2

0

2 2

0 0

확장 우함수로

주기적

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

 

  



 



    





 







 



  

  

 L x

L x L x

x k f

n n

dx k L x

x n L L

xdx k L

x n L

k b L

L

L L

n

















sin 5 5

1 sin 3

3 sin 1

1 1 8

sin 2 sin 8

sin 2 2

2

.

. 2

2 2

2 2

2 2 2

2

0

확장 기함수로

주기적

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

PROBLEM SET 11.3

HW: 10, 11, 19

11.4 Complex Fourier Series

(복소 푸리에 급수)

 Complex Fourier Series (복소 푸리에 급수):

 Complex Fourier Coefficient (복소 푸리에 계수):

주기가 2

L

인 복소 푸리에 급수:

  

^







n

inx n

e c x

f

 

  ^{, 0 , 1 , 2 , }

2

1   



















n dx

e x L f

c

e c x

f

xL L in

L n

n

xL in n





  , 0 , 1 , 2 , ^ 2

1   



^



 ^{f x e dx n}

c

_n ^inx







11.4 Complex Fourier Series

(복소 푸리에 급수)

Ex. 1 Complex Fourier Series

Find the complex Fourier series of

f

(

x

) =

e

^x if –π<x< π and

f

(

x

+2 π)=

f

(

x

) and obtain from it the usual Fourier series

11.4 Complex Fourier Series

(복소 푸리에 급수)

Ex. 1 Complex Fourier Series

Find the complex Fourier series of

f

(

x

) =

e

^x if –π<x< π and

f

(

x

+2 π)=

f

(

x

) and obtain from it the usual Fourier series

     

     















^{ }













 

 





 

 



 

 



























x n e

e in

n e in

in e in e

dx e

e c

inx n

x n

n n

x inx x inx

x n

1 1 1 sinh

: Series Fourier

1 1 1 1 sinh

1 1 2

1 1

1 2

1 2

1

2

2

        

        

     

    _ ^

    

 

 























































x  x

x x

e

nx n

nx e

in e

in

nx nx

n i nx n

nx nx

i nx in

e in

nx nx

n i nx n

nx nx

i nx in

e in

x

inx inx

inx inx

2 sin 2 2 2 cos 1

sin 1 1 cos

1 1 2

1 sinh 2

sin cos

2 1

1

sin cos

sin cos

sin cos

1 1

sin cos

sin cos

sin cos

1 1

2



2



11.5 Forced Oscillations ^{(강제짂동)}

 Free Motion (자유운동): 외력이 없는 경우의 운동지배방정식

 Forced Motion (강제운동): 외부로부터의 힘이 물체에 작용하는 경우의 운동지배방정식

• Driving Force (입력이나 구동력):

• Response (출력 또는 구동력에 대한 시스템의 응답):

0 '

''  cy  ky  my

  ^t

r ky

cy

my ''  '  

  ^t

r

  t y

Section 2.8 Revisited

11.5 Forced Oscillations ^{(강제짂동)}

  ^t

r ky

cy

my ''  '  



y = y ( t ): displacement from rest

 c : damping constant

 k : spring constant (spring modulus)

 r ( t ): external force

2.8 Modeling: Forced Oscillations.

Resonance (모델화: 강제짂동. 공짂)

 With Periodic external forces:

 미정계수법에 의한 결정

t F

ky cy

my ''  '  

₀

cos 

y

p

 

  

0^{2 2}



^{2 2 2}

0 2 2

2 2 2 2

0 2

2 2 0

0

,

sin cos

c m

F c b

c m

F m a

t b

t a

y

_p

























 





 





m

0

 k /



2.8 Modeling: Forced Oscillations.

Resonance (모델화: 강제짂동. 공짂)

 Case 1. Undamped Forced Oscillations (비감쇠 강제짂동)

 이 출력은 두 개의 조화짂동의 중첩을 나타냄.

• 고유주파수 :

• 구동력의 주파수 :

 Resonance (공짂) : 입력주파수와 고유주파수가 정합됨으로써 ( ) 발생하는 큰 짂동의 여기현상

  ^{t y C  t  m}  ^F  ^t

m y F

c

_p





 



 

 ^{cos cos cos}

0

2 2

0 0 2 0

2 0

0

 





 







 

 

sec cycles 2

0





 

 

sec cycles 2 





0

 

t m t

y

_p

F

₀

0

0

sin

2 

  m t

y F

y ''  

₀²



⁰

cos 

₀

2.8 Modeling: Forced Oscillations.

Resonance (모델화: 강제짂동. 공짂)

Tacoma Narrows Bridge

(1940. 11. 4)

2.8 Modeling: Forced Oscillations.

Resonance (모델화: 강제짂동. 공짂)



Beats (맥놀이): 입력주파수와 고유주파수의 차가 적을 때의 강제 비감쇠짂동 (w → w

₀

)

 ^  ^{   }  ^  ^{             }

 t t

m t F

m t y F

sin 2 sin 2

cos 2

cos

^{0 0}

2 2 0

0 2 0

2 0

0

   



 

 



2.8 Modeling: Forced Oscillations.

Resonance (모델화: 강제짂동. 공짂)

 Case 2. Damped Forced Oscillations (감쇠 강제짂동)

• Transient Solution (과도해): 비제차 방정식의 일반해 (y)

• Steady-State Solution (정상상태해): 비제차 방정식의 특수해 (y_p)

순수 사인파 형태의 구동력이 주어지는 감쇠짂동 시스템의 출력은

충분하게 긴 시갂 후에 실제적으로 주파수가 입력주파수인 조화짂동이 됨.

 과도해는 정상상태해로 접근한다.

 Practical Resonance: 비감쇠의 경우 ω가 ω₀ 에 접근할 때 y_p의 짂폭이 무한대로 접근하는 반면에, 감쇠의 경우에는 이와 같은 현상은 발생하지 않는다.

이 경우에는 짂폭은 항상 유한하나, c에 의존하는 어떤 ω 에 대해 최대값을 가질 수 있다.

 ^{  } 

 C t

t

y

_p

( ) * cos

 

  

0^{2 2}



^{2 2 2}

0 2 2

2 2 2 2

0 2

2 2 0

0

,

sin cos

c m

F c b

c m

F m a

t b

t a

y

_p

























 





 





2.8 Modeling: Forced Oscillations.

Resonance (모델화: 강제짂동. 공짂)

 y_p 의 짂폭 (ω의 함수로 표현):

 

R F c

m b F

a

C

⁰

2 2 2 2 2

0 2 2 0

2

) (

* 



 



   



 

2 2 0 2 2 0

2 max

4

* 2

c m

c b mF a

C    

 

  ( )

tan

2 2

0





 

   

m

c a

b

)]

2 2

( 2 2 [

1

] 2 ) 2 )(

( 2 2 [

1

*

2 2 2

2 / 3 0

2 2

2 0 2 2

/ 3 0











 

m mk

c R

F

c m

R d F

dC



 



 



 







 



 

 







2 2 2

2 0 2 2

max

2 2 m

c m

c m

k   

 



일 때 는

w가 증가함에 따라 단조 감소함.

mk

c

²

 2 ^{C *}   ^

2.8 Modeling: Forced Oscillations.

Resonance (모델화: 강제짂동. 공짂)

 의미

• 일 때 는 유한하다는 것을 알 수 있다.

• 일 때 의 값은

c가 감소함에 따라 증가하고, c가 0에 접근함에 따라 무한대로 접근한다.

 0

c C *  

_max



mk

c

²

 2 C *  

_max



ω₀

11.5 Forced Oscillations ^{(강제짂동)}

Ex. 1 Forced Oscillations under a Nonsinusoidal Periodic Driving Force Find the steady-state solution

y

(

t

).

     

  r  t    r t t

t

t t

t r t

r y y

y  

 

 

















 





 

 

 

2

0 2

0

2 , 25

'

05

.

0

''

11.5 Forced Oscillations ^{(강제짂동)}

Ex. 1 Forced Oscillations under a Nonsinusoidal Periodic Driving Force Find the steady-state solution

y

(

t

).

     

  r  t    r t t

t

t t

t r t

r y y

y  

 

 

















 





 

 

 

2

0 2

0

2 , 25

' 05 . 0 ''

   

 

    ^{ }























 

















 



   



5 3 1

2 2 2 2

2

2

2 2

:

05 . 0 25

2 . 0

25 , 4

sin cos

:

, 3 , 1 4 cos

25 ' 05 . 0 ''

5 5 cos 3 1

3 cos cos 1

4 :

y y y y

n n

D D B n

D n A n

nt B

nt A

y n

n nt y y

y

t t

t t

r t

r

n n

n n

n

n n

n

해 정상상태

여기서

해 정상상태 의

상미분방정식 급수 푸리에

의

 





 

 

^{, 2}

 

^{cos , 1, 2, }

1 ts Coefficien Fourier

cos

2

:

0 0

0 1

0

















^



n L xdx

x n L f

a dx x L f

a L x a n

a x f

L

L n

L n

n





급수 푸리에

우함수의 인

Series 주기가 Cosine

Fourier

11.5 Forced Oscillations ^{(강제짂동)}

Ex. 1 Forced Oscillations under a Nonsinusoidal Periodic Driving Force Find the steady-state solution

y

(

t

).

     

  r  t    r t t

t

t t

t r t

r y y

y  

 

 

















 





 

 

 

2

0 2

0

2 , 25

' 05 . 0 ''

   

 

    ^{ }























 

















 



   



5 3 1

2 2 2 2

2

2

2 2

:

05 . 0 25

2 . 0

25 , 4

sin cos

:

, 3 , 1 4 cos

25 ' 05 . 0 ''

5 5 cos 3 1

3 cos cos 1

4 :

y y y y

n n

D D B n

D n A n

nt B

nt A

y n

n nt y y

y

t t

t t

r t

r

n n

n n

n

n n

n

해 정상상태

여기서

해 정상상태 의

상미분방정식 급수 푸리에

의

 





n=5 term is dominant.

11.5 Forced Oscillations ^{(강제짂동)}

PROBLEM SET 11.5

HW: 2, 3

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials (삼각다항식에 의한 근사)

 Approximation Theory (근사이론):

푸리에 급수의 주된 응용 분야로 단순한 함수로써 어떤 함수의 근사값을 표현하는 분야

• Idea

• Question

   

    



















N

n

n

n nx b nx

a a

x f

x f N

x x

f

1

0 cos sin

) (

2

근사값 대한

에 부분합은

차

주기함수 있는

수 표현될 급수로

푸리에 인

주기가

는

  

    

^은고정



^구하기

삼각다항식 차

근사인 의

최상의 cos sin

1

0 A nx B nx N

A x F N

f

N

n

n



n









11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials (삼각다항식에 의한 근사)

• Square Error (제곱오차)

 Minimum Square Error (최소제곱오차)

•

• Bessel’s Inequality:

• Parseval’s Identity:



f F



²dx : 구간 x 상에서 함수 F의 함수 f 에 관한 제곱오차(Square Error)

E ^

 

















 

^.

2

*

.

1

2 2 2

0

2 이다

최소값은 그

된다

최소가 계수이면

푸리에 의

계수가 의

제곱오차는 관한

에 의 에서 구간



 



  











 

 

N

n

n

n b

a a

dx f E

f F

f F x











.

된다 하게

근사화 잘

를 더 점점 관점에서 제곱오차

부분합은 급수

푸리에 의

따라 증가함에

이 f f

N

  _ ^{ }















^





^{f x dx}

b a

a

n

n n

2 1

2 2

2 0

2 1

  _ ^{ }















^





^{f x dx}

b a

a

n

n n

2 1

2 2

2 0

2 1

Ex. 11.3 Sawtooth Wave (톱니파) Find the Fourier series of the function

 

^{x x}



^x



^f



^x



^f

 

^x

f      and 2 

 

 



 



   













 









 































x x

x f

f

n n dx

n nx n

nx x

nxdx x

nxdx x

f b

, , , n a

f f

f f f f

x f

π π π

n

n

3 3sin 2 1

2sin sin 1

2

2cos 1 cos

cos 2

2 sin 2 sin

2 1 0 0

.

2

0 0

0 0

1 1

1

2 1 2

1





 









기함수이므로 은

급수 푸리에

의

이다 하면

라 와

Gibb’s

phenomenon

11.6 Approximation by Trigonometric

Polynomials (삼각다항식에 의한 근사)

Ex. 11.3 Sawtooth Wave (톱니파) Find the Fourier series of the function

 

^{x x}



^x



^f



^x



^f

 

^x

f      and 2 

Gibb’s

phenomenon

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials (삼각다항식에 의한 근사)

 

 



 





  

 

N

n

n

dx x

E

1 2 2

2

1

4 2

) (

*

^

  



N E*

1 8.1045

2 4.9629

10 1.1959

20 0.6129

100 0.0126

11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials (삼각다항식에 의한 근사)

PROBLEM SET 11.6

HW: 5, 14

11.7 Fourier Integral ^{(푸리에 적분)}

 Fourier series are powerful tools for problems involving functions that are periodic or are of interest on a finite interval only.

 However, many problems involve functions that are nonperiodic and are of interest on the whole x -axis.

Let L → ∞ (period: 2 L )

11.7 Fourier Integral ^{(푸리에 적분)}

Ex. 1 Rectangular Wave (직사각형파)

Consider the periodic rectangular wave

f

_L(

x

) of period 2

L

>2 given by

The nonperiodic function

f

(

x

) obtained from

f

_L if we let L → ∞.

   

 

 

 

 























L x

x x L x

f

_L

1 0

1 1

1

1 0

     

 

   







0 otherwise

1 1

lim 1 x

x f x

f

_L

L

11.7 Fourier Integral ^{(푸리에 적분)}