E ngineering Mathematics II

E ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9

^th

Edition , Wiley (2006)

Ch. 15 Power Series, Taylor Series

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.2 Power Series

15.3 Functions Given by Power Series 15.4 Taylor and Maclaurin Series

15.5 Uniform Convergence

2

Ch. 15 Power Series, Taylor Series

(거듭제곱 급수와 테일러 급수)

 거듭제곱급수는 대표적인 해석함수이고, 역으로 모든 해석함수들은 테일러 급수라고 하는 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다.

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

 Sequence (수열) :

• Term (항):

• Real Sequence (실수열): 각 항들이 실수인 수열

 Convergence (수렴)

• Convergent Sequence (수렴수열):

• Divergent Sequence (발산수열): 수렴하지 않는 수열

때 배정될 이

수 개의 한 대하여 에

정수 양의

각각의 n z_n



z z

  

z_n z

z₁, ₂,  또는 ₁, ₂,  또는간단히

z

n

수열 갖는 를 극한값

은 (Limit)

, , ₂

1 z c

z 

c z c

z_{n n}

n  





lim 또는 간단히

Ex. 1 Convergent and Divergent Sequences

  ^

^{, 1, , 1,}

^

^{ }

¹

^{ }

^.

.

0

4, 1 3, 2, 1 ,

발산한다 은

인 과

수열

수렴한다 에

극한값 은

수열

n n

n n

n

z i

z i

i i

i i n i

















  













15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

 Sequences of the Real and the Imaginary Parts (실부와 허부의 수열)

 

수렴 에

이 수열

허부의 수렴하고

에 이 수열

실부의

수렴 에

이 수열

의 복소수

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, 2 , 1

2 1 2

1

2 1

b y

y y a

x x

x

ib a c z

z z n

iy x z

n n

n n

n n



























Ex. 2 Sequneces of the Real and the Imaginary Parts

.

2 1

.

2 4

2

,

1 1

1

2 4 1 1

2 2

수렴한다 로

은

수렴한다 에

극한값 는

수열 허부의 수렴하고

에 극한값 은

수열 실부의

에서

i z

y n x n

i n iy n

x z

n

n n

n n n















 

 











15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

 Series (급수):

•

n

th Partial Sums (부분합):

• Term (급수의 항):

• Convergent Series (수렴급수): 부분합의 수열이 수렴

• Sum (합) or Value (값):

• Divergent Series (발산급수): 수렴하지 않는 급수

• Remainder (나머지):

 Real and Imaginary Parts (실부와 허부)







^ 

 1 2

1

z z z

m m

n

n

z z z

s 

₁



₂

  

 , ,

₂

1

z

z

s z

z z s

s s

m m

n n

lim _{1 2}

1

인



 



    





^

 

 

 







_{n1 n2 n3}

n

z z z

R

것 되는 가

합이 그

수렴하여 이

되고 가

합이 그

수렴하여 이

수렴 가지면서 로

합을 이

급수 인

2 1 2

1

1

v y

y u

x x

iv u s z

iy x

z

m m m

m m



  

















^



15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

 Tests for Convergence and Divergence of Series (급수에 대한 수렴, 발산 판정법)

• Divergence

• 급수에 대한 Cauchy의 수렴원리

• Absolutely Convergent (절대수렴): 급수의 각 항들의 절대값의 합이 수렴하는 경우

• Conditionally Convergent (조건수렴):

급수는 수렴하나 각 항들의 절대값의 합은 발산하는 경우

• 급수가 절대수렴하면, 수렴한다.

.

, 0 lim

. 0 lim

,

_{1 2} 이수렴하면 이다 따라서 이면 급수는발산한다

급수    







 n

n n

n z z

z

z 

 





.

, 2 , 1

0

2 1

것이다 존재하는

이 의존 에

일반적으로 만족하는

을

대하여 에

그리고 모든

부등식 대하여

에 임의의

수렴 급수가







N

p N

n z

z

z_n  _n  _{n p}    





















 4

1 3 1 2 1 1 series Harmonic

cf)











 4

1 3 1 2 1 1 ex)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

• 비교판정법 (Comparison Test )

• Geometric Series (기하급수):

• Ratio Test (비판정법)

 

.

,

, 2 , 1

,

2 1 2

1

절대수렴한다 또한

수렴하며 급수는

주어진

있다 수

찾아낼 을

수렴급수 실수항의

아닌 음이

만족하는 을

대하여 에

때 주어졌을 이

급수





















b b

n b z z

z _{n n}







 







 ^







1

1

1 ¹

1

0

2

q q q

q

q ^q

m m

발산

수렴

 로

 

 

.

, 1

.

,

1

, 2 , 1 0

1

1 2 1

발산한다 급수는

이 이면 대하여

에 모든

절대수렴한다 급수는

이 이면 대하여

에 모든 큰

보다 수

어떤

대하여 에

급수 어떤

인























n n

n n n

z N z

n

N n z q

n z N

z z n

z  

1

cf) ^1 

n n

z z











 4

1 3 1 2 1 1 series Harmonic

cf)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

• Ratio Test (비판정법)

 

 

 

 

iii 1 , , .

.

, 1 ii

.

, 1 i

. lim

, 2 , 1

0 _{1 2} ¹

실패이다 판정은

이 있으므로 수도

발산할 수도

수렴할 급수는

그 이면

발산한다 급수는

그 이면

절대수렴한다 급수는

그 이면

이다 대하여

에 급수

어떤 인















 ^





L L L

z L z z

z n

z

n n

n   n

Ex. 4 Ratio Test

다음 급수는 수렴하는가, 발산하는가? (먼저 추정해 보고 계산하라)



^



^{ }



^



^



^



^



^



2 0

75

! 100 2 75 1 100

! 1 75

100 i i

n i

n

n























 16

1 9 1 4 1 1 4 ,

1 3 1 2 1 1 ex)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

• Ratio Test (비판정법)

 

 

 

 

iii 1 , , .

.

, 1 ii

.

, 1 i

. lim

, 2 , 1

0 _{1 2} ¹

실패이다 판정은

이 있으므로 수도

발산할 수도

수렴할 급수는

그 이면

발산한다 급수는

그 이면

절대수렴한다 급수는

그 이면

이다 대하여

에 급수

어떤 인















 ^





L L L

z L z z

z n

z

n n

n   n



^



^{ }



^



^



^



^



^



2 0

75

! 100 2 75 1 100

! 1 75

100 i i

n i

n

n

 

 

 

0 .

1 125 1

75 100

! 75 100

! 1 75 100 1

1

수렴한다 급수는

이 L 이므로 n

n

i z

z

n i n

i

n n

n n



 

 

 



_^





























 16

1 9 1 4 1 1 4 ,

1 3 1 2 1 1 ex) Ex. 4 Ratio Test

다음 급수는 수렴하는가, 발산하는가? (먼저 추정해 보고 계산하라)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

• Root Test (근판정법)

• Root Test (근판정법)

 

.

, 1

.

, 1

_{1 2}

발산한다 급수는

이 이면 대하여

에 많은 무한히

절대수렴한다 급수는

이 이면 대하여

에 모든 큰

보다 수

어떤

대하여 에

급수 어떤













n n

n n

z n

N n q z n

N

z

z 

 

 

 

^{iii 1 , .}

.

, 1 ii

.

, 1 i

. lim

_{1 2}

실패이다 판정은

이면

발산한다 급수는

그 이면

절대수렴한다 급수는

그 이면

이다 대하여

에 급수











 

L L L

L z

z

z ⁿ _n

 n

1

cf) ⁿ z_n 























 16

1 9 1 4 1 1 4 ,

1 3 1 2 1 1 ex)











 4

1 3 1 2 1 1 series Harmonic

cf)

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests (수열과 급수, 수렴판정)

PROBLEM SET 15.1

HW: 17 (ratio test), 18 (comparison test), 23

15.2 Power Series (거듭제곱급수)

 Power Series (거듭제곱급수)

•

•

     

0

1 0

2 0 2

0 1

0 0

0 0

: ) (Center

, ,

: ) nt (Coefficie

:

z

a a

z z a z z a a z

z a z

z ⁿ

n n

복소수 복소수

거듭제곱급수 된

거듭제곱으로 의

중심

계수 



















^















^



2 2 1

0 0

0 0 : a z a a z a z

z ⁿ

n

거듭제곱급수 n

된 거듭제곱으로 의

Ex. 1 원판 안에서의 수렴, 기하급수

.

1

1 1

²

0

발산한다 때

일 절대수렴하고

때 일 은

기하급수



^      



z z

z z z

n

n 

Ex. 2 모든

z

에 대한 수렴











^ 

 1 2! 3!

! Maclaurin

3

0

2 z

z z n

e z

n n

z의 급수

15.2 Power Series (거듭제곱급수)

 Power Series (거듭제곱급수)

•

•

     

0

1 0

2 0 2

0 1

0 0

0 0

: ) (Center

, ,

: ) nt (Coefficie

:

z

a a

z z a z z a a z

z a z

z ⁿ

n n

복소수 복소수

거듭제곱급수 된

거듭제곱으로 의

중심

계수 



















^















^



2 2 1

0 0

0 0 : a z a a z a z

z ⁿ

n

거듭제곱급수 n

된 거듭제곱으로 의

Ex. 1 원판 안에서의 수렴, 기하급수

.

1

1 1

²

0

발산한다 때

일 절대수렴하고

때 일 은

기하급수



^      



z z

z z z

n

n 

Ex. 2 모든

z

에 대한 수렴

  0 .

1

! 3

! 1 2

! Maclaurin

!

! 3 1

0

2 ¹

절대수렴한다 대해

에 모든 이므로 은

급수

의 z

n z z

z z n

e z

n z n z

n n z

n n

 











 ^









^

Ratio test

15.2 Power Series (거듭제곱급수)

 Convergence of a Power Series (거듭제곱급수의 수렴)

•

•

•

.

거듭제곱급수는중심 ₀에서수렴한다

모든 z

.

,

0 1 0

0 1

0 1

절대수렴한다 대해서

에 모든 인

즉 모든

근접한 더

에 보다

수렴 에서

점 거듭제곱급수가

z z

z z

z z

z z

z z z













.

,

₂에서발산하면 ₂보다 ₀로부터더떨어진모든 에대하여발산한다

거듭제곱급수가z  z z z z

15.2 Power Series (거듭제곱급수)

 Radius of Convergence of a Power Series (거듭제곱급수의 수렴반지름)

• 수렴원(Circle of Convergence): 수렴하는 모든 점을 포함하는 가장 작은 원

• 수렴반지름(Radius of Convergence): 수렴원의 반지름

•

 

.

0 0 0

발산한다 대하여

에 모든 만족하는

을 외부

원의

수렴하고 대하여

에 모든 만족하는

을 내부

원의

수렴반지름 수렴원

이

z R

z z

z R

z z

R R

z z

















때 수렴할 에서만

중심 단지

급수가

때 수렴할 대해

에 모든 급수가

:

0

:

z0

z R

z R









15.2 Power Series (거듭제곱급수)

 

.

. 0 lim

Hadamard -

Cauchy

* lim 1

0

.

, .

0

,

* lim

0 1

1 1

수렴한다 에서만

중심 단지 이다

이면

공식 이면

수렴한다 대해

에 모든 거듭제곱급수는 즉

이다 이면

때 일

z a R

a

a a R L

L*

z R

L*

a L a

n n n

n n n

n n n



























 









 Radius of Convergence R (수렴반지름)

Ex. 5 수렴반지름

    

³



^?

!

! 2

0

2 의 수렴반지름은

거듭제곱급수 ⁿ

n

i n z

n 



^



15.2 Power Series (거듭제곱급수)

 

.

. 0 lim

Hadamard -

Cauchy

* lim 1

0

.

, .

0

,

* lim

0 1

1 1

수렴한다 에서만

중심 단지 이다

이면

공식 이면

수렴한다 대해

에 모든 거듭제곱급수는 즉

이다 이면

때 일

z a R

a

a a R L

L*

z R

L*

a L a

n n n

n n n

n n n



























 









Ex. 5 수렴반지름

  

 

 

 

       

   

  

.

4 3 1

3 4

1

4 . 1 1 2 2 2 lim 1

!

! 1

! 2 2

! lim 2

lim

2 2

2

! 1

! 2 2

!

! 2

2 2

수렴한다 안에서

원판 열린 인 중심이 이고

반지름이 급수는

이

이다







 



 



 



 

 











 







 

 



i z i

n n

n n

n n

R n

n n

n n n n

n

    

³



^?

!

! 2

0

2 의 수렴반지름은

거듭제곱급수 ⁿ

n

i n z

n 



^



 Radius of Convergence R (수렴반지름)

15.2 Power Series (거듭제곱급수)

PROBLEM SET 15.2

HW: 8, 12, 20 (a), (b), (d)

15.3 Functions Given by Power Series

(거듭제곱급수로 주어지는 함수)

 Continuity (거듭제곱급수의 연속성 )

 Identity Theorem (항등정리). Uniqueness (유일성)

함수는 같은 중심을 갖는 두 개의 서로 다른 거듭제곱급수로 표현될 수 없다.

 

 

^{0 .}

0

연속이다 에서

는 함수

있다면 수

나타낼 거듭제곱급수로

가지는 수렴반지름을

인 가

함수



 z z f

R z

f

 

, .

,

,

,

, .

.

0

2 2 1 1 0 0

2 2 1 0 2

2 1 0

유일하다 표현은

이 표현된다면 거듭제곱급수로

갖는 를

중심 임의의 가

함수

즉 같다 항등적으로 급수는

이들

갖는다 합을

똑같은 대해서

에 모든

이 과

거듭제곱급수 두

수렴하는 에서

z z

f

b a b a b a z

z b z b b z

a z a a R

z































15.3 Functions Given by Power Series

(거듭제곱급수로 주어지는 함수)

 Operations on Power Series (거듭제곱급수의 연산)

• Termwise Addition or Subtraction (항별덧셈 또는 항별뺄셈)

• Termwise Multiplication (항별곱셈):

첫 번째 급수의 각 항에 두 번째 급수의 각 항을 곱하여

z

의 차수가 같은 것을 모으는 것을 의미한다. 두 개의 급수가 갖는 수렴원에 모두 속하는

z

에 대해 절대수렴한다.

• Derived Series (미분급수): 항별미분에 의하여 얻은 거듭제곱급수 .

2 1

2 1

얻는다 거듭제곱급수를

갖는 수렴반지름을

같은 것과

작은 중

과

항별뺄셈하면 또는

항별덧셈 거듭제곱급수를

개의 두

인 과

수렴반지름이 R

R

R R



 ^



 





 

  



^



^

  2

0 2 1 1 2 0 0

1 1 0 0 0 0

0 1

1

0

: ) Product Cauchy

( Cauchy

z b a b a b a z b a b a b a z b a b

a b a

n

n n n

n

곱









^ 



 2

3 2

1 1

1 a 2a z 3a z

z na

n

n n

15.3 Functions Given by Power Series

(거듭제곱급수로 주어지는 함수)

 Termwise Differentiation of Power Series (거듭제곱급수의 항별미분) 거듭제곱급수의 미분급수는 원래의 급수와 똑같은 수렴반지름을 갖는다.

 Termwise Ingegration of Power Series (거듭제곱급수의 항별적분)

 Power Series Represent Analytic Functions

.

3

2 1

2 3 1 2

0 0

1

2 2 1 0

갖는다 수렴반지름을

동일한 급수와

원래의 은

거듭제곱급수 얻어지는

적분하여 항별로

을 급수











 









^



 a z

a z z a n z

a

z a z a a

n n n

.

.

.

0

표현한다 해석함수를

도함수도

갖는다 수렴반지름을

동일한 급수와

원래의

얻어지며 미분하여

항별로 급수를

원래의 도함수는

함수의 이

표현한다 해석함수를

점에서 모든

있는 안에 수렴원 그것의

거듭제곱급수는 갖는

을 수렴반지름 아닌

이







 R

15.3 Functions Given by Power Series

(거듭제곱급수로 주어지는 함수)

PROBLEM SET 15.3

HW: 12, 13, 20

15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

 Taylor Series:

   

^{ }

   

 

반시계방향 적분방향

경로 닫힌

단순 포함하는

를 :

:

* *

* 2

1

! 1

,

0

1 0 0

1

0

z C

z dz z

z f z i

n f a z

z a z

f

C

n n

n n

n

n









    





15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

   

   

     

 

 

   

   

방향 반시계 방향

적분

경로 닫힌 단순 임의의 안의

있는 속해 에 전체가 내부

둘러싸면서 를

일반적으로

해석적이다 역시

도함수도 그

갖고 도함수를 계의

모든 에서 해석적

에서 영역

가

:

:

, 2 , 1 2 ,

!

2 ,

! '' 2

2 ,

' 1

.

0

1 0 0

3 0 2 0

0 0

D D

z C

n z dz

z z f i z n

f

z dz z

z f z i

f z dz

z z f z i

f

D D

z f

C

n n

C C





 



 

 









 





 Taylor Series:

   

^{ }

   

 

반시계방향 적분방향

경로 닫힌

단순 포함하는

를 :

:

* *

* 2

1

! 1

,

0

1 0 0

1

0

z C

z dz z

z f z i

n f a z

z a z

f

C

n n

n n

n

n









    





15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

 Taylor Series:

 Maclaurin Series:

 Taylor’s Formula

급수 테일러 가지는

을

중심 z₀ 0

           

 

   

     



^*

 

^{* *}



^*

2 : ) Remaninder (

'' !

! ' 2

! 1

1 0 1

0

0 0

0 2

0 0

0 0

z dz z

z z

z f i

z z z

R

z R z

n f z z z

z f z z

z f z z

f z f

C

n n

n

n n

n



_{ }

 

 



 

 









나머지





   

^{ }

   

 

반시계방향 적분방향

경로 닫힌

단순 포함하는

를 :

:

* *

* 2

1

! 1

,

0

1 0 0

1

0

z C

z dz z

z f z i

n f a z

z a z

f

C

n n

n n

n

n









    





15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

 Taylor’s Formula

   

     

     

  ^{dz R}   ^z

z z

z f i

z dz z

z z

z f i

z dz z

z z

z f z i

f

z z

z z z z z

z z z z

z z z z

z z z z

z z z

q q q

q q

q q q q q

q q q

z z

z z z

z z z z

z z z

z dz z

z f z i

f

n C

n n

C C

n n

n n

n n

n C

 

 

 

 

 

 

 









 

 





 





 

 







 

 



 







 



 

 



 







 

 

 

 

 







 

 







 



 



 



 



















* *

*

* 2

*

*

* 2

*

* 2

1

*

* 1

*

* 1 *

* 1

* 1

1 1 1

1

) 1 ( 1

1 1 1

1 1

1 * )

* (

1 )

(

*

1

* 1

* *

* 2

1

1 0 0

2 0 0

0

1

0 0 0

0 2

0 0 0

0 0

1

1 1

0 0 0

0 0

















*

₀

1

0





 z z

z

z

15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

 Taylor’s Theorem

 

   

 

)

( .

.

:

:

0 0

0 0

최대값 의

위에서의 원

만족한다 을

부등식 은

계수

유효하다 원판에서

열린 최대의 인

중심이 되는

해석적이 가

존재하며 개가

한 정확히 거듭제곱급수는

표현하는 를

이고 중심이

점 임의의 에서의

해석적 에서

정의역

z f r

z-z r M

a M a

z z

f

z f z

D z z

D z

f

n n

n   





 Power Series as Taylor Series (테일러 급수로서의 거듭제곱급수) 0이 아닌 수렴반지름을 갖는 거듭제곱급수는 그 합의 테일러 급수이다.

 Singularity, Radius of Convergence (특이성, 수렴반지름)

• 테일러 급수의 수렴원은 적어도 하나의

f

(

z

)의 특이점(미분가능하지 않은 점)이 존재

• 테일러 급수의 수렴반지름은 중심에서부터

f

(

z

)의 가장 가까운 특이점까지의 거리와 일치 (때때로 수렴반지름이 거리보다 더 커질 수 있음)

Cauchy의 부등식 (14.4)

 

 

_n

C n

n

r M dz n

z z

z f z n

f !

) (

) ( 2

!

1 0

0



 _  

^

15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

 Important Special Taylor Series (주요한 테일러 급수) Ex. 1 Geometric Series

 ¹ 

1 1

1

₂

0











  

^



z z

z z

_n

z

n



Ex. 2 Exponential Function

 







 

^



1 2 !

!

2

0

z z n

e z

n

n z

15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

Ex. 3 Trigonometric and Hyperbolic Functions

   

 

   

  ^













 











 

























































! 5

! 3

! 1 sinh 2

! 5

! 3

! 1 1 2

sin

! 4

! 1 2

! cosh 2

! 4

! 1 2

! 1 2

cos

5 3

0

1 2

5 3

0

1 2

4 2

0 2

4 2

0

2

z z z

n z z

z z z

n z z

z z n

z z

z z n

z z

n

n n

n n

n

n n

n n

Ex. 4 Logarithm

        ^ 3

1 2 Ln

3

2

z

z z z



^{iz iz}

  ^e

^iz

^e

^iz



z i e

e

z  

^

 

^

2 sin 1

2 ,

cos 1

 ^e

^z

^e

^z

 ^z  ^e

^z

^e

^z



z  

^

 

^

2 sinh 1

2 ,

cosh 1

y i

y

e

^iy

 cos  sin

15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

 Practical Methods (실제적인 방법) Ex. 5 Substitution (대입법)

 

      ^{ }

^{1 1}



¹



1 1 1

1

. Maclaurin

1 1

6 4 2 2

0 0

2 2

2 2



















 

 

 

 





^







z z

z z z

z z z z

f z z f

n n

n n

n 

구하라 급수를

의

Ex. 6 Integration (적분)

 

     



¹



5 3 1

2 arctan 1

0 0 1

' 1

. Maclaurin

arctan

5 3

0

1 2

2     



 



 







^



 z z z

z n z

z z f

z f

z z

f

n

n n

 이고

구하라 급수를

의

Ex. 7 Development by Using the Geometric Series (기하급수를 이용한 전개)

      ^{   }

^_^{ } ^{ }_^

 







 



 

 



 









 



 





 



 







^

 

 

2

0 0 0

0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

1 1 1

1 1 1

1

.

1

, 0

0

0 c z

z z z

c z z z

c z

c z z z

z c z c

z z c z c

z z z

z c c

n

z n c

z z

전개하라 거듭제곱으로

의 을

때 일

 ¹ 

1 1

1

₂

0











  

^



z z

z z

_n

z

n



15.4 Taylor and Maclaurin Series

(테일러급수와 Maclaurin 급수)

 Binomial Series (이항급수)

          

^















 

 

 

 



 



 



 



  0

3 2

0 ( 1)! !

)!

1 (

) 1 (

! 3

2 1

! 2 1 1

1 1 1

n

n n

n n

m

m z

n m

n z m

m m

z m m

mz m n z

z m

z 

Ex. 8 Binomial Series, Reduction by Partial Fractions (부분분수에 의한 분해)

 

        ^{ }

 

  ^{       }























^







 









   

 



 



  



 



 



 



 



 















 



 



 

 

 









 









^

 







 3 2

0

2 0

2 0 2 1

3 1

2 2

2 3

2 0

1944 1 1 275

108 1 23 54

31 9 8

2 1 1 3

1 1

2 1 3

2 1 9

1 1 1

1 1

1 1 9

1

1 2

2 1

3 1 3

2 2

1

.

12

8 5 9 2

1

z z

z

n z z

z z n

z

z z z z

z f

z z

z

z z z

f z

n

n n

n n

n

n n

n

구하라 급수를

테일러 의

함수 다음 하여 중심으로

을