Engineering Mathematics I

(1)

Bong-Kee Lee

School of Mechanical Systems Engineering Chonnam National University

Engineering Mathematics I

1. First-Order ODEs

1.1 Basic Concepts. Modeling

 용어/개념

– 수학적 모델(mathematical model): 주어진 공학적/물리적 문제에 대한 수학적 표현(변수, 함수, 방정식 등)

– 수학적 모델화(mathematical modeling)

• 모델 정립

• 수학적 해

• 결과의 해석/이해

(2)

School of Mechanical Systems Engineering Engineering Mathematics I

1.1 Basic Concepts. Modeling

 용어/개념

– 미분방정식(differential equation): 미지함수(y)의 도함수 를 포함하는 방정식

• 상미분방정식(ordinary differential equation, ODE): 미지함수가 하나의 변수에만 관여하는 경우

• 편미분방정식(partial differential equation, PDE)

• 계(order): 미분방정식에 포함된 최고계의 도함수 기준



²



²

2 ''' ' 2 '' 2

0 9 ''

cos '

y x y e y y x

y y

x y

x  







 ₂ 0

2 2

2 







 y

u x 1^st order u

2^nd order

3^rd order

ODEs PDE

(3)

1.1 Basic Concepts. Modeling

 용어/개념

– 1계 상미분방정식(1

^st

order ODE)

• 상미분방정식

• 1계

– 음함수 형태(implicit form) – 양함수 형태(explicit form)

 

^x ^y ^y

 

^t

y

y or 

   

dt t dy dx y

x dy

y'  or ' 



x y y



y f

 

x y F , , ' 0 or ' ,



2 3

4 '

0 4 '

y x y

y y x







1.1 Basic Concepts. Modeling

 용어/개념

– 해(solution)

• 일반해(general solution): 임의의 상수 포함

• 특수해(particular solution): 임의의 상수 결정 → 초기값 문제(initial value problem, IVP)

 

  

x C



x

dx C d x y

C x y dx x

dy x y

cos sin

' sin '

sin cos

cos ' example

























(4)

1.1 Basic Concepts. Modeling

 초기값 문제(initial value problem, IVP)

– 일반해의 임의의 상수를 결정하기 위한 하나의 조건 → 초기 조건(initial condition)

   



0 0



0 0

with ,

' or ,

with ,

'

y t y y t f y

y x y y x f y



 

 

x

e y

C Ce y

x

Ce y dx y

dy

y dx y

y dy

3 0

3

7 . 5

7 . 5 , 0 at

3

7 . 5 0 with 3 ' example















1.1 Basic Concepts. Modeling

 모델화(modeling)

– 1단계: 물리적 상황(시스템)에서 수학적 공식(모델)을 도출 – 2단계: 수학적 방법에 의한 해를 구함

– 3단계: 결과에 대한 물리적 해석/이해

ma F

' ' ' ky my cy 





0 0 ' ''

2 2













dt ky cdy dt

y md

ky cy my



t mc k



f y? ; , ,



Newton’s second law damping, spring constants

2^nd order ODE

Solution

(5)

1.1 Basic Concepts. Modeling

– 방사능. 지수적 감쇠(radioactivity. exponential decay)

• 공학적 문제: 초기에 0.5g의 방사능 물질이 시간이 경과하면서 줄 어드는 양은 어떻게 되는가?

• 물리적 정보(실험적 관찰): 방사능 물질은 매순간 현재의 양에 비 례하는 속도로 줄어든다.

 

⁰ ⁰^.⁵

with 5 . 0 0 , 0 at

&

' '













y dt ky

dy y t

dt ky y dy dt y

y dy

 

^kt

kt

e t y

C y t

Ce t y

5 . 0

5 . 0 0 , 0 at







1^st Step 2^nd Step

   

5 . 0 5 . 0

? 5 . 0

0











 k

kt kt

kt

e y

ky e k dt e

d dt dy

e y

1.1 Basic Concepts. Modeling

– 방사능. 지수적 감쇠(radioactivity. exponential decay)

 

t e^kt y 0.5 3^rd Step

0 .

1

 k

5 .

1

 k

0 .

2

 k

(6)

1.2 Geometric Meaning. Directional Fields

 기하하적 의미

– 도함수 ~ 기울기

– 방향장(directional field) or 기울기장(slope field)

• 미분방정식을 양함수 형태로 나타냄

• 한 지점에서의 기울기

• 복잡한 해 공식을 갖거나 혹은 해가 존재하지 않는 경우, 대략적 인 해곡선의 형태를 파악하는데 이용할 수 있음

 

x y f y' ,



0, 0



, '

 

0



0, 0



at x y y x f x y

1.2 Geometric Meaning. Directional Fields

 등경사선(isoclines)을 이용한 방향장

0 .

2 k

5 .

1 k

0 .

1 k

5 .

0 k

 

^x ¹^.²¹³^e^x²^/²

y 

   

k xy y

y xy y x f y







 '

2 1 with ,

'

particular solution

(7)

1.3 Separable ODEs. Modeling

 변수분리법(method of separating variable)

– 양변에 각각 하나의 변수만 존재하도록 대수적 조작을 수 행함

– 양변을 한 변수에 대하여 적분하여 일반해를 구함 – 변수분리형 방정식(separable equation)

   

     

   

 

ydy f

 

xdx C g

dx y dy C dx x f dx y y g

x f y y y g g

x y f y x F y





























^' ^'

' '

, '

1.3 Separable ODEs. Modeling

 변수분리법(method of separating variable)

 



x C



y

C x y

C dx y dy dy y dx dy

y y















 



 



 











tan tan

1 1 1 1

'

1 ' example

1 2 2 2

2

(8)

1.3 Separable ODEs. Modeling

 변수분리형 방정식을 이용한 모델화

– 혼합(mixing)

• 공학적 문제

– (초기조건) 소금 100파운드(lb) in 물 1000갤런(gal) – (유입) 소금 5파운드/갤런의 소금물, 10갤런/분 – (유출) 탱크 내의 소금물, 10갤런/분

– 임의의 시간(t)에서 탱크 내부의 소금의 양은?

1.3 Separable ODEs. Modeling

– 혼합(mixing)

 

   

 

0 100asinitialcondition with

5000 01 . 0 01 . 0 50 '

lb/min 01 . 0 gal/min gal 10

1000 : lb rate outflow

lb/min 50 gal/min 10 lb/gal 5 : rate inflow

rate outflow rate

inflow '

at time tank in the salt of amount the :



























y

y y

y

y y dt y dy

t t

y

balance law

   

 

t t

e y

C C

y t

Ce y

C t y

y dt dy

y y

y

01 . 0 01 . 0

4900 5000

4900 100

5000 0 , 0 at

5000

01 . 0 5000 ln 01 . 5000 0

100 0 with 5000 01 . 0 '





































 









general solution

particular solution

(9)

1.3 Separable ODEs. Modeling

– 혼합(mixing)

exponential approach to the limit of 5000lb

1.3 Separable ODEs. Modeling

 확장: 변수분리형 형태로 변환

– 변수분리형이 아닌 미분방정식 → 새로운 미지함수의 도 입 → 변수분리형으로 변환

   

 

x

dx u u f

du

u u f dxx du

u u f x u

u f u x u

u x u u dxx du dx y dy ux x y

u y x

f y y

 





























 



 



 

' '

&

then , let '

(10)

1.3 Separable ODEs. Modeling

 확장: 변수분리형 형태로 변환

 

 

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2

2 2

4 2

1 1 1 1

ln 1

1 ln 1

2

1 1 2 2

1 2

1 ' 2

2 1 ' 2

let 2 2 ' 2

2 by sides both dividing by

2 example

y C x C

Cx y x x

x C y Cx

u

C x u

C xdx u du

u

xdx u du

u u

u u x u

u u u u x u

x u y y x x y xy

x y y

xy x y xyy'



 



 

 









 



 



























 





 

 























 









 

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 전도함수(total derivative)

– 함수 u(x, y)가 연속(continuous)인 편도함수(partial derivative)를 가질 경우

 

0

&

0 const, if

,

 





 











ydy dx u x du u u

ydy dx u x y u x du

   

 

^x ^y

y f x

xy dx

y dy

dy y x dx xy du

y dy y x dx x x

y x du x

C y x x u

3 , 2 ' 1

0 3

2 1

2 2

3 2 2 3

3 2 3

2 3 2

 



































explicit form

(11)

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 완전미분방정식(exact differential equation)

   



or, , , ' 0



0 , ,









y y x N y x M

dy y x N dx y x M

   

dy

y dx u x dy u y x N dx y x

M 





 , ~

,

   

y y u x x N y u x

M 







 , & ,

   

 

x y C u

du ydy dx u x u

dy y x N dx y x M







 











,

0 0 , ,

implicit solution exact ODE

   

x N y M

y x y u x xN x y y u x yM











 



 



  , ² & , ²

necessary & sufficient condition

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 완전미분방정식(exact differential equation) 해법

– M(혹은 N)을 이용하여 x(혹은 y)에 대하여 적분하여 음함 수 해, u를 구할 수 있음

 

   

     

     

 

y y

k

y x N y dyk Mdx d y

y x N y k y Mdx y u

y k Mdx y x u

x y u x M

w.r.t.

g integratin by obtain can we

, , ,

,





 

 



 

 

















 

   

     

     

 

x x

l

y x M x dxl Ndx d x

y x M x l x Ndy x u

x l Ndy y x u

y y u x N

w.r.t.

g integratin by obtain can we

, , ,

,





 

 



 

 

















Case I Case II

(12)

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 완전미분방정식(exact differential equation) 해법

       

     

 

       

   

 

     

 



3rdstep



check whether thesolution gives theoriginalDEor not ! sin

2 3

cos 2 3 cos

sin sin

cos cos

step 2nd

sin

cos 2 3 , cos step 1st

0 cos

2 3 cos

example

2 3

2 3 2

2 2

2

C y y y x u

C y y y k y dy y

dk

y x y y dy N

y dk dy x

y dk y x

y u

y k y x u

y k dx y x u

y x x M

u

x y N y x

M

y x y y N y x M

dy y x y y dx y x































 

 





















 









 















exact ODE

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 적분 인자(integrating factor)

– 주어진 미분방정식이 완전미분방정식이 아닐 때, 새로운

인자(적분 인자)를 곱해주어 완전미분방정식의 형태로 바

꾸어 줄 수 있음

   

 

ODE exact : 0

, function the g multiplyin by

0 , ,

equation, nonexact

a for











 FQdy

FPdx

y x F

dy y x Q dx y x P

   

x x y

yP FP FQ FQ

x F F Q xQ F y F P y P F

x FQ y FP

FQdy FPdx





 

 







 







 



 





or , 0

necessary & sufficient condition

(13)

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 적분 인자(integrating factor)

– 황금 규칙(golden rule): 간단한 경우를 가정하여 적용

 

^ ^

_  

^

 

^

 _   













 





















 





dx x R x

F dx x R F x R R

Q R Q Q P dx dF F Q Q F F Q P FQ

FQ Q F FQ FP

FQ Q F FP FQ Q F FP P F

dx F F dF

&

y F F x F F

y x y x

y x

x y

x x y y

x y

exp ln

if

1 '

'

' 0

then , that

assume

 

^ ^

_  

^

 

^

 _   







dy y R y

F dy y R F y R R

P R P P Q dx dF y F

F

F ^x ^y

exp

*

* ln

*

* if

* *

* then 1 ,

*

* if Or,

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 적분 인자(integrating factor)의 적용

       

     

   

     

     

C e xy e u C e k dk e

e dk x u x

y k xy e u y x e u x

Q y e P x Q y e P

dy e x dx y e dy xe dx ye e F

e F dy R

dF F

y P x Q R P

y x x R Q y P R Q

x e ye Q e y e

P

xe Q ye e P

y dy

xe dx ye e

y x

y y

y

x x

y x

y y

y x

y y y

y y x

y y

y x

y y

y x



























 











 



 















































 











 





 











 

 





 



























1 ,

0 1

*

* 1

* *

* 1

1 1

* but , 1 ,

step 2nd

1 ,

step 1st

1 0 with 0 1

example

nonexact equation

exact equation

(14)

1.4 Exact ODEs. Integrating Factors

 적분 인자(integrating factor)의 적용

       

   



^4th^step



^verificat¹^ion^!

1

1 0 step

3rd

1 0 with 0 1

example

e e xy e

C e

y C e xy e u

y dy

xe dx ye e

y x

y y

y x







































implicit solution

1.5 Linear ODEs

 1계 선형미분방정식(1^st order linear DE)

– 표준 형태(standard form)

• 다수의 공학적 문제에서, r(x)는 입력(input)을 y(x)는 출력(output) 혹은 응답(response)를 나타냄

• 제차(homogeneous) 미분방정식

• 비제차(nonhomogeneous) 미분방정식

 

x y r

 

x p

y' 

   

0 'px yrx  y

   

⁰

'px yrx  y

system

 

0 'px y y

 

x

r y

 

x

(15)

1.5 Linear ODEs

 1계 제차 선형미분방정식

– 변수 분리법을 이용

 

     

   

  

 









































dx x

Ce p

y

C dx x p y dx x p ydy

dx x p ydy y x dx p y dy x dx p dy

y x p y

1 ln

0 1 0 '

general solution

1.5 Linear ODEs

 1계 비제차 선형미분방정식

– 적분인자 이용

   

         

     

 

^{ }

 

^{ }

   

 

^{ }

 

  ^  

 

^ ^{ }















 













 



















 











 



 



 































dx x p dx

x p dx

x p

dx x p dx

x p dx

x p

dx x p dx

x p

dx x p

dl re r py dl e

u pye

x l ye x l dy e u y e

u

dy e dx r py e

e F x x p Q y P R Q dx dF F

x x Q y p Q P

x r y x p P

dy dx x r y x p x r y x dx p dy

x r y x p y

0 1

1

0 1

&

0 '

nonexact

integrating factor

(16)

1.5 Linear ODEs

– 적분인자 이용

   

 



 



 

^h ^h ^h

dx x p dx x p

dx x p dx

x p

Ce dx re e y dx x p h

C dx re e

y

C dx re ye

u

C dx re l dx re

dl













 































or ,

general solution

response to

input response to

initial condition

1.5 Linear ODEs

– 적분인자 이용

 

 

x x

x x x

x

x x x

x x

x x x

x x

x

Ce e y

C e ye u C e l dx e dl

ye dx e

ye dl x x u l ye u y e

u

dy e dx ye e

e x F

Q y P R Q dx dF F

x Q y

dy P dx y e

e y y'

































 













 





















 











 





 



 















2 2

2

0 1 1

1

0 1

0

example

(17)

1.5 Linear ODEs

 Bernoulli 방정식

– 비선형(nonlinear) 상미분방정식

– 비선형 Bernoulli 방정식을 선형으로 변환

 

^x^y ^g

 

^x^y^a

p y' 

linear ODE nonlinear ODE

   

 

 

x y g

 

x y^a p

y

y x g x p y a

x g y x p y a

















' otherwise

0 '

1 ' 0

           

         



a



pu



a



g u

pu g a u pu g a py

g a u

py gy y a y y a u x y x u

a

a a a a









































 

1 1

'

1 ' 1

1 '

1 ' 1 '

1 1

linear ODE

1.5 Linear ODEs

 Bernoulli 방정식

– 논리적 방정식(logistic equation) or Verhulst 방정식

 

 

   

A B Ce y u

A Ce C B Ae e B C Bdx e e C rdx e e u

Ax pdx h B r A p

B Au u B Au u

B Au B Ay By Ay y y y u y u

By Ay y By Ay y

Ax

Ax Ax

Ax h

h

 











 



 



































































1 1

,

' '

example

1 2 2

2 1

2 2

linear ODE

general solution

(18)

1.6 Orthogonal Trajectories

 직교 궤적(orthogonal trajectory)

– 주어진 곡선에 직각으로 교차하는 곡선

potential flow

conduction heat transfer electric field

1.6 Orthogonal Trajectories

 직교 궤적(orthogonal trajectory)

– 곡선에 수직하게 교차하는 직교 궤적 구하는 방법

• 주어진 곡선의 모임을 해곡선으로 하는 상미분방정식을 구한다.

• 직교궤적의 미분방정식은 다음과 같다.

• 직교궤적의 미분방정식의 해를 구한다.

 

^x

g y

 

x y f y' ,

 

^x ^y

y f ,~ ' 1

~

 

x g y

~

(19)

1.7 Existence and Uniqueness of Solutions

 존재성(existence), 유일성(uniqueness)

– 주어진 초기값 문제(IVP)의 해가 없을 수도 있고, 정확하 게 한 개의 가질 수도 있으며, 혹은 다수의 해를 가질 수도 있음

– 모델화 후 얻게 되는 수학적 모델이 수학적으로 (적어도 하나의) 해를 가질 수 있는가? 그렇다면 그 해는 유일한가?

   

 

y Cx

y y

xy

x y y

x y

y y

y



























1 1

0 with 1 '

1 1

0 with 2

'

solution no 1

0 with 0 '

2

1.7 Existence and Uniqueness of Solutions

– 존재 정리(existence theorem)

     

 

   

 

. and numbers two the of smaller the is

here,

; interval

the of l

subinterva in the

all for least at

exists solution This . solution one least at has problem value initial Then the

. in , all for ,

such that number

a is there is, that

; in bounded and

, :

rectangle some

in , points all at continuous be

, , '

problem, value initial in the ODE the of , side right Let the

0 0

b/K α a

a x x x

x x

x y R

y x K

y x f

K R

b y y a x x R

y x y x y y x f y

y x f























(20)

1.7 Existence and Uniqueness of Solutions

– 유일성 정리(uniqueness theorem)

 

     

 

. l

subinterva in that

all for least at exists solution The solution.

one precisely has

problem the theorem,

existence by the Thus . solution one most at has problem value initial Then the

. in , all for ,

, ,

say, bounded, and

rectangle in the , all for continuous be

derivative partial

its and Let

0 









x x x

x y R y x M

y x f K y x f R

y y x

f f f

y