Engineering Mathematics I

(1)

Bong-Kee Lee

School of Mechanical Systems Engineering Chonnam National University

Engineering Mathematics I

7. Linear Algebra: Matrices, Vectors, Determinants.

Linear Systems

Linear Algebra

 Lecture of Prof. Gilbert Strang

– Department of Mathematics, MIT – Course website: web.mit.edu/18.06 – Video lectures through OCW

– Textbook: Introduction to Linear Algebra

(2)

School of Mechanical Systems Engineering Engineering Mathematics I

7.1 Matrices, Vectors

 행렬, 벡터

– 행렬(matrix): 수(혹은 함수)들을 직사각형 모양으로 괄호 안에 배열한 것

• 원소(entry), 요소(element): 행렬에 배열되는 수(혹은 함수)

• 행(row)

• 열(column)

• 정방행렬(square matrix): 같은 수의 행과 열을 가지는 행렬

– 벡터(vector): 한 개의 행이나 열로 구성된 행렬

• 행벡터(row vector): 하나의 행으로 구성

• 열벡터(column vector): 하나의 열로 구성

7.1 Matrices, Vectors

 행렬, 벡터

– 일반적인 표기법과 개념

• 첫 번째 첨자, j: 원소가 속한 행

• 두 번째 첨자, k: 원소가 속한 열

• a_jk: j-행 & k-열의 원소

– 정방행렬(square matrix)

• m = n 인 경우, 정사각형 모양의 정방행렬 A (nn matrix)

• 주대각선(main diagonal, principle diagonal): a₁₁, a₂₂, …, a_nn

 

^: ^matrix

2 1

2 22

21

1 12

11

n m a a

a

a a

a

a a

mn m

m

n n

jk 

























 A

(3)

7.1 Matrices, Vectors

 행렬, 벡터

– 벡터

• 단 하나의 행 만으로 이루어진 행렬: 행벡터(row vector)

• 또는, 단 하나의 열 만으로 이루어진 행렬: 열벡터(column vector)

   

 

^: ¹^(column)^matrix

matrix (row) 1 :

2 1





















m b b b b

n a a a a

m j

n j





b a

7.1 Matrices, Vectors

 행렬, 벡터

– 행렬의 상등(equality)

• 행렬 A와 행렬 B의 크기가 같으며, 대응되는 원소들이 모두 같은 경우. 즉, a₁₁=b₁₁, a₁₂=b₁₂, …, a_jk=b_jk

– 행렬의 합(sum, addition)

• 같은 크기의 행렬에서 정의되며, 대응하는 원소를 각각 더함

– 스칼라 곱(scalar multiplication)

• 행렬의 각 원소에 스칼라 c를 곱함

– 연산법칙

   

ajk bjk



B A



ajkbjk



 AB

 

cajk

cA

 

     

   

 

A 0 A A

A

A A A

0 A

A A A C

B A C B A

B A B A A

B B A

























1 -

ck k c

k c k c

c c c

(4)

7.2 Matrix Multiplication

 행렬과 행렬의 곱(matrix multiplication)

– mn 행렬 A=[a

_jk

]와 rp 행렬 B=[b

_jk

]의 곱 C=AB 가 정의 될 필요충분조건은 r=n 이며, 이 때 결과는

를 원소로 하는 mp 행렬 C=[c

_jk

]로 정의된다.

– 행렬의 곱은 비가환적(not commutative)

nk jn k

j k j n

l lk jl

jk a b a b a b a b

c 



   



2 

2 1 1 1



mn

 

np

 

mp



 C

B A

BA AB

7.2 Matrix Multiplication

 행렬과 행렬의 곱(matrix multiplication)

– 행렬의 곱에 대한 연산법칙

– 벡터 곱을 이용한 표현

     

   

 



A B



CA CB C

BC AC C B A

C AB BC A

B A AB B A













k k

k

결합법칙(associative law) 분배법칙(distributive law)

 

nk jn k

j k j

nk k k

jn j

j k j jk

b a b

a b a

b b b a a

a c





















 

2 2 1 1

2 1

2

b 1

a











































42 41

32 31

22 21

12 11

32 31

22 21

12 11

43 42 41

33 32 31

23 22 21

13 12 11

c c

b b

a a a

(5)

7.2 Matrix Multiplication

 행렬과 벡터의 전치(transposition)

– 행 벡터 ↔ 열 벡터

– mn 행렬 A=[a

_jk

]의 전치행렬 A

^T

– 전치 연산에 대한 법칙

   















mn n

n

m m

kj T jk T

a a

a

a a

a

a a

a a a











2 1

2 22

12

1 21

11

A

 

^T ^T ^T

T T

T T T

T T

c c

A B AB

A A

B A B A

A A











7.2 Matrix Multiplication

 특수 행렬(special matrices)

– 대칭행렬(symmetric matrix)

– 반대칭행렬(skew-symmetric matrix)

– 삼각행렬(triangular matrix)

• 위삼각행렬(upper triangular), 아래삼각행렬(lower triangular)



kj jk



TA a a A



⁰



  



 _kj _jk _jj

T A a a a

A







































0 2 3

2 0 1

3 1 0 30 150 200

150 10 120

200 120 20

B A





































8 6 7

0 1 8

0 0 2 6 0 0

2 3 0

2 4 1

L U

(6)

7.2 Matrix Multiplication

 특수 행렬(special matrices)

– 대각행렬(diagonal matrix)

• 주대각선 상에만 0이 아닌 원소가 있는 정방행렬

– 스칼라 행렬(scalar matrix)

• 대각행렬 중에서 주대각선 상의 원소가 모두 동일한 경우

– 단위행렬(unit matrix, identity matrix)

• 주대각선 상의 원소가 모두 1인 스칼라 행렬























































1 0 0

0 1 0

0 0 1 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 3 0

0 0 2

I S

D

c c c

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 선형연립방정식

– n개의 미지수 x

₁

, x

₂

, …, x

_n

을 갖는 m개의 선형연립방정식

• 제차 연립방정식(homogeneous simultaneous system) – b_j가 모두 0인 경우

• 비제차 연립방정식(homogeneous simultaneous system) – b_j 중 어느 하나는 0이 아닌 경우

1 2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

1 1

2 2 1 21

1 1 1 11























































m m n n

n mn m m

m

n n

m n mn m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

b x a x a













(7)

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 선형연립방정식

– 선형연립방정식의 행렬표현: 첨가행렬(augmented matrix)

b Ax











































 1

2 1

1 2 1

2 1

2 22 21

1 12

11

m m n n

n mn m m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a













 계수행렬(coefficient matrix)

해벡터(solution vector)

 1

1

2 2 21

1 1 11

~



















n m m mn m

n n

b a a

a a a

b a a











 A

첨가행렬(augmented matrix)

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 Gauss 소거법(Gauss elimination)

– 선형연립방정식의 풀이하는 표준적인 방법

– (1) 소거과정 후, (2) 후치환(back substitution)으로 해를 구함



 







 













30 3 4

2 5 2 30 3 4

2 5 2

2 1

x x



 





 













26 13 0

2 5 2 26 13 0

2 5 2

2 1

x x

 

12 6

2 5 1 2 2 2 1

5 2

13 2 26 26

13

2 1

2 2















 









x x

(1st step)

(2nd step)

(2)’=(2)+(1)2

(8)

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 Gauss 소거법(Gauss elimination)

– 기본 행연산(elementary row operation)

– 행 동치(row-equivalent)

• 선형시스템 S1이 선형시스템 S2에 유한번의 기본 행연산을 가하 여 얻어질 수 있다면 S1을 S2의 행 동치라고 한다.

• 행 동치 연립방정식들은 동일한 해집합을 가진다.

→ Gauss 소거법으로 후치환에 유리(삼각행렬)하며 행 동치인 연립 방정식을 구하여 해집합을 구함.

[행렬에 대한 기본 행연산]

 두 행을 교환하는 것

 한 행의 상수 배를 다른 행에 더하는 것

 한 행에 0이 아닌 상수를 곱하는 것 [방정식에 대한 기본연산]

 두 방정식을 교환하는 것

 한 방정식의 상수 배를 다른 방정식에 더하는 것

 한 방정식에 0이 아닌 상수를 곱하는 것

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 Gauss 소거법(Gauss elimination)

– 유일한 해를 가지는 경우

80 10

20

90 25

10

0 0

2 1

3 2

1

3 2

1























x x

x

x x

x (미지수 3개에 대한 4개의 방정식)

첨가행렬 방정식

80 10

20

90 25

10

0 0

2 1

3 2

1

3 2

1























x x

x

x x

x















80 0 10 20

90 25 10 0

0 1 1 1

0 1 1 1 주축(pivot)

소거 (2)’=(2)+(1) (4)’=(4)+(-20)(1)

(9)

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 Gauss 소거법(Gauss elimination)

– 유일한 해를 가지는 경우

0 0

80 20

30

90 25

10

0

3 2

1















x x

x















0 0 0 0

80 20 30 0

90 25 10 0

0 1 1 1 주축(pivot)

소거

80 20

30

90 25

10

0 0

0

3 2

1















x x

x















80 20 30 0

90 25 10 0

0 0 0 0

0 1 1 1

주축(pivot) (3)’=(3)+(-3)(2)

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 Gauss 소거법(Gauss elimination)

– 유일한 해를 가지는 경우

 

2 , 4 , 2

2 2 0

4 4

25 10 90 90 1

25 10

2 190

95

3 2 1

1 3 2 1 3 2 1

2 3

2

3 3

















































x x x

x x

x x x

x x

x

x x

0 0

190 95

90 25

10

0

3 3 2

3 2

1



















x x x

x x

x















0 0 0 0

190 95 0 0

90 25 10 0

0 1 1 1

solution

(10)

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 Gauss 소거법(Gauss elimination)

– 무한히 많은 해를 가지는 경우: 미지수 수 > 방정식 수

1 . 2 4

. 2 3

. 0 3

. 0 2

. 1

7 . 2 4

. 5 5

. 1 5

. 1 6 . 0

0 . 8 0

. 5 0

. 2 0

. 3

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2 1



















x x

x

x (미지수 4개에 대한 3개의 방정식)

 

































































































4 4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 4 3 2

2 5 2 2 38 8 1

5 2 2 3

4 1 1 4 0

0 0 0 0

1 . 1 4 . 4 1 . 1 1 . 1 0

0 . 8 0 . 5 0 . 2 0 . 2 0 . 3

1 . 1 4 . 4 1 . 1 1 . 1 0

0 . 8 0 . 5 0 . 2 0 . 2 0 . 3

1 . 2 4 . 2 3 . 0 3 . 0 2 . 1

7 . 2 4 . 5 5 . 1 5 . 1 6 . 0

0 . 8 0 . 5 0 . 2 0 . 2 0 . 3

x x x x x

x x x x

x x x x x x

7.3 Linear Systems of Equations. Gauss Elimination

 Gauss 소거법(Gauss elimination)

– 해가 존재하지 않는 경우

6 4

2 6

0 2

3 2

3

3 2

1

3 2

1

3 2 1













x x

x

x x

x

x x x

























































12 0 0 0

3 2 1 3 0 1

3 1 2 3

0 2 2 0

3 2 1 3 0 1

3 1 2 3

6 4 2 6

0 1 1 2

3 1 2 3

0=12: 모순

(11)

7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space

 벡터의 1차 독립과 종속성

– m개의 벡터와 m개의 스칼라를 이용한 일차결합(linear combination)의 경우,

• 1차 독립(linearly independent):

• 1차 종속(linearly dependent):

  a  a  0

a c  c_m _m  c₁ ₁ ₂ ₂ 

2 0

1c  c_m

c 

0 cj

 

     

 1 2  2  



1



2 2 1 1

1

/ 0

of case

c c k k k

c c

j j m m

m m

















a a

a

a a

a



: 벡터 중의 최소한 하나를 다른 벡터들을 이용한 일차결합으로 나타낼 수 있음

7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space

 행렬의 계수(rank)

– 행렬(A)에서 1차 독립인 행벡터의 최대수: rank(A)

• [정리1] 행 동치인 행렬

– 행 동치인 행렬들은 같은 계수를 갖는다

• [정리2] 1차 종속성과 1차 독립성

– 각각 n개의 성분을 갖는 p개의 벡터들은 이 벡터들을 행벡터로 취하 여 구성된 행렬의 계수가 p이면 1차 독립이고, 그 계수가 p보다 작으 면 1차 종속이다

 

 

 

 

 

 

      2

2 6 1 :

15 0 21 21

54 24 42 6

2 2 0 3

15 0 21 21

54 24 42 6

2 2 0 3

3 2 1













































A 0

a a a

a a a A

rank

(행 동치) 주어진 행렬에 유한 번의 기본 행연산을 취함으로써 얻을 수 있는 행렬

(12)

7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space

 행렬의 계수(rank)

– 행렬(A)에서 1차 독립인 행벡터의 최대수: rank(A)

• [정리3] 열벡터에 의한 계수

– 행렬 A의 계수 r은 A의 1차 독립인 열벡터의 최대수와 같다 – 즉, A와 A^T는 같은 계수를 갖는다

• [정리4] 벡터의 1차 종속

– n(n<p)개의 성분을 갖는 p개의 벡터들은 항상 1차 종속이다

2 15

0 21 21

54 24 42 6

2 2 0 3























 A

A rank

(3열)=2/3*(1열)+2/3*(2열) (4열)=2/3*(1열)+29/21*(2열)

 

p rank p n rank

n p











 _

A A

A 

7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space

 벡터 공간(vector space)

– 공집합이 아닌 벡터의 집합 V에 속해 있는 임의의 두 원 소 벡터(a, b)에 대하여 이들의 모든 일차결합 αa+βb가 다시 집합 V의 원소가 되면서, 이 벡터들이 다음 법칙을 만족시킬 경우, 이러한 벡터들의 집합 V를 벡터 공간이라 고 함

– 차원(dimension)

• 벡터 공간 V 내의 1차 독립인 벡터들의 최대수, dim(V)

 

     

   

 

A 0 A A

A

A A A

0 A

A A A C

B A C B A

B A B A A

B B A

























1 -

ck k c

k c k c

c c c

(13)

7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space

 벡터 공간(vector space)

– 기저(basis)

• V 내의 최대로 가능한 수의 1차 독립인 벡터들로 구성된 집합

• V의 기저가 되는 벡터의 수는 V의 차원(dim(V))과 같음

– 생성공간(span): 성분의 수가 같은 벡터들에 관한 일차결 합으로 표현되는 모든 벡터들의 집합

– 부분공간(subspace): 공집합이 아닌 벡터공간 V의 부분집 합으로, 그 자체가 벡터공간이면서 벡터합과 스칼라곱에 관하여 닫혀 있는 공간

7.4 Linear Independence. Rank of a Matrix. Vector Space

 벡터 공간(vector space)

– R

ⁿ

벡터공간

• n개의 실수 성분을 갖는 모든 벡터들로 이루어진 벡터공간

• dim(Rⁿ)=n

– 어떤 행렬 A에 대하여,

• 행공간(row space): 행벡터들의 생성공간

• 열공간(column space): 열벡터들의 생성공간

• 행렬 A의 행공간과 열공간의 차원은 같고, A의 계수(rank)와 동일

• 제차 연립방정식, Ax=0

– A의 영공간(null space): 제차 연립방정식의 해집합 – 퇴화차수(nullity): 영공간의 차원

A의 계수(rank) + A의 퇴화차수(nullity) = A의 행 개수

(14)

7.5 Solutions of Linear Systems

 선형연립방정식의 해: 존재성, 유일성

– 기본 정리(I)

• 존재성(existence): n개의 미지수에 대한 m개의 선형연립방정식이 모순이 없기 위한(consistent), 다시 말해서 해를 가지기 위한 필요 충분조건은 계수행렬 A와 첨가행렬 Ã가 같은 계수 r을 갖는 것이 다.

• 유일성(uniqueness): 선형연립방정식이 유일한 해를 가지기 위한 필요충분조건은 A와 Ã가 같은 계수 r=n을 갖는 것이다.





























































m mn m

n

mn m

n

m n mn m

m

n n

b a a

a a

b x a x a x a



















1

1 1 11

2 2 1 1

2 2 2 22 1 21

1 1 2 12 1 11

& A~ A

r rank

rank  

 A A~

n r rank

rank   

 A A~

7.5 Solutions of Linear Systems

 선형연립방정식의 해: 존재성, 유일성

– 기본 정리(II)

• 무수히 많은 해(infinitely many solutions): 만일 r<n 이면 무수히 많은 해가 존재한다.

• Gauss 소거법(Gauss elimination): 만일 해가 존재하면 Gauss 소거 법에 의해 모두 구할 수 있다. (해의 존재 여부를 자동적으로 드러 냄.)

n r rank

rank   

 A A~

(15)

7.5 Solutions of Linear Systems

 선형연립방정식의 해: 존재성, 유일성

– 기본 정리의 적용 예

n rank rank

x x

x x x







































































~ 3

80 0 10 20

90 25 10 0

0 1 1 1

&~

0 10 20

25 10 0

1 1 1

80 10 20

90 25 10

0 0

2 1

3 2

3 2 1

A A

4

~ 2

1 . 2 4 . 2 3 . 0 3 . 0 2 . 1

7 . 2 4 . 5 5 . 1 5 . 1 6 . 0

0 . 8 0 . 5 0 . 2 0 . 2 0 . 3

&~ 4 . 2 3 . 0 3 . 0 2 . 1

4 . 5 5 . 1 5 . 1 6 . 0

0 . 5 0 . 2 0 . 2 0 . 3

1 . 2 4 . 2 3 . 0 3 . 0 2 . 1

7 . 2 4 . 5 5 . 1 5 . 1 6 . 0

0 . 8 0 . 5 0 . 2 0 . 2 0 . 3

4 3 2 1

















































 

























n rank rank

x x x x

A A

~ 3 2

6 4 2 6

0 1 1 2

3 1 2 3

&~ 4 2 6

1 1 2

1 2 3

6 4 2 6

0 2

3 2 3

3 2 1











































 



















A A

rank rank

x x x

7.5 Solutions of Linear Systems

 선형연립방정식의 해: 존재성, 유일성

– 제차연립방정식

• 항상 자명한 해(trivial solution)을 가진다. 즉, x₁=x₂=…=x_n=0 (자명한 해가 유일한 해일 조건: rank(A)=n)

• 자명하지 않은 해가 존재할 필요충분조건: rank(A)=r<n

(그 해들은 x=0와 함께 (n-r)차원의 해 공간(solution space)을 이 룸.)

• 제차연립방정식의 두 해 벡터의 일차결합도 제차연립방정식의 해 가 된다.























0 0 0

2 2 1 1

2 2 22 1 21

1 2 12 1 11

n mn m

m

n n

x a x a x a



(16)

7.5 Solutions of Linear Systems

 선형연립방정식의 해: 존재성, 유일성

– 제차연립방정식

• 제자연립방정식의 해공간을 행렬 A의 영공간(null space)라고 한 다.

• 영공간의 차원수 → 행렬 A의 퇴화차수(nullity)

• 미지수보다 방정식의 수가 적은 제차 선형연립방정식 : 항상 자명하지 않은 해(nontrivial solution)을 가진다.

– 비제차 연립방정식

• 비제차 연립방정식이 해를 가진다면 모든 해는 x=x₀+x_h 와 같은 형태가 된다. (x₀은 고정된 임의의 해이고, x_h는 대응하는 제차연 립방정식의 모든 해를 대표한다.)

A의 계수(rank) + A의 퇴화차수(nullity) = A의 행 개수(n)

7.6 Second- and Third-Order Determinants

 2차 행렬식(second-order determinant)

– 연립방정식의 풀이

 

11 22 12 21

22 21

12 11 22

21 12

11 det a a a a

a a

a D a

a a

a

a     



 



 A

A



 







 



 







 







 



 



 



 







 









 



 







 







 



















21 2 11 1

12 2 22 1 2 1 11 21

12 22 2

1 1

22 21

12 11 2 1 1

2 1 2 1 22 21

12 11 2 2 22 1 21

1 2 12 1 11

1 1

or

a b a b

a b a b b D b a a

a a b D

b a a

a a x x

b b x x a a

a a b x a x a

b x a x a

b A x

b Ax

(17)

7.6 Second- and Third-Order Determinants

 3차 행렬식(third-order determinant)

– 연립방정식의 풀이(미지수 3개, 방정식 3개)

 

?

det

33 32 31

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11























a a a

a a a D

a a a

A A





































































































































































3 2 1

3 2 1 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3 2 1 1

3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

1 ?

or

b b b b D

b b

a a a

x x x

b b b

x x x

a a a

b x a x a x a

b A x

b Ax

7.7 Determinants. Cramer’s Rule

 여인수 전개(cofactor expansion)

– n차 행렬식의 계산: nn 정방 행렬

 

. of column and row deleting by formed is

. det 1

: sign correct with the of

t determinan the

is The

. , , 2 , 1 det

or , , 2 , 1 det

: column row

of

cofactors the and column row

of n combinatio a

is of t determinan The

2 2 1 1

A M

M

M A

A

k j

C

C cofactor

n k

C a C

a C a D

n j

C a C

a C a D

k j

jk

jk k j jk

jk jk

nk nk k

k k k

jn jn j

j j j

 













 

nn n

n

n n

n nn n n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a D

a a

a

a a

a

a a

a



















2 1

2 22 21

1 12 11

2 1

2 22 21

1 12 11

det 





















A A

여인수 a_jk의 소행렬식(minor)

(18)

7.7 Determinants. Cramer’s Rule

 여인수 전개(cofactor expansion)

– n차 행렬식의 계산

32 31

22 21 13 33 31

23 21 12 33 32

23 22 11 33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a a a a a

a a a a a a

a a a





 +

+

+ - -

 

12 0 12 4 24

2 0 0 1 2 1

0 6 1 2 1

4 3 2 or

12 0 24 0 12 1

6 0 2 2 1

4 3 2 2 0

4 1 6 2 0 1

4 6 2

0 3 1 example















 



 















 



 













D D

7.7 Determinants. Cramer’s Rule

 여인수 전개(cofactor expansion)

– 삼각행렬의 행렬식

33 22 11 33 32 22 11 32 31

22 21 33 31 21 33 32 22 11 33 32 31

22 21

11 0

0 0 0 0

0 0 0

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

D       

   

a a ann

Ddet or det  ₁₁ ₂₂

 L U

(19)

7.7 Determinants. Cramer’s Rule

 행렬식의 일반적인 성질

• 두 행을 바꾸는 것은 행렬식의 값에 -1 을 곱하는 것이다.

• 한 행의 상수배를 다른 행에 더하는 것은 행렬식의 값에 변화를 주지 않는다.

• 한 행에 c 를 곱하는 것은 행렬식의 값에 c 를 곱하는 것이다.

• (위의 세 정리는 열에 대해서도 성립한다.)

• 전치는 행렬식의 값에 변화를 주지 않는다.

• 0 행 또는 0 열은 행렬식의 값을 0 으로 만든다.

• 같은 비의 행 또는 열은 행렬식의 값을 0 으로 만든다. 특히 같은 두 행이나 두 열을 가진 행렬식의 값은 0 이다.

7.7 Determinants. Cramer’s Rule

 행렬식에 의한 계수(rank)

– 계수(행렬의 1차 독립인 행벡터 또는 열벡터의 최대수)와 행렬식 사이의 관계

– mn 행렬 A=[a

_jk

]가 계수 r (≥1)을 가지기 위한 필요충분 조건은 A의 rr 부분 행렬의 행렬식은 0이 되지 않는 반면, A의 (r+1)(r+1) 또는 그 이상의 행을 가지는 모든 정방 부분행렬의 행렬식은 0이 되는 것이다.

특히, A가 정방행렬 nn 일 때, 계수가 n 일 필요충분조건

은 det(A)≠0 이다.

(20)

7.7 Determinants. Cramer’s Rule

 Cramer의 정리(Cramer’s rule)

– 행렬식에 의한 선형연립방정식의 해

1 2 1

2 1

2 22 21

1 12 11

1 1

2 2 1 21

1 1 1 11

































































n n n n n nn n n

n

n n

n n nn n

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

b x a x a













 

D x D D x D D x D D

n n









, , ,

0 det

2 2 1

1 

A

단, D_k는 D의 k번째 열을 b₁, …, b_n을 원소로 가지는 열로 대치하여 계산한 행렬식

7.7 Determinants. Cramer’s Rule

 Cramer의 정리(Cramer’s rule)

– 행렬식에 의한 선형연립방정식의 해

3 32 31

2 22 21

1 12 11 3 33 3 31

23 2 21

13 1 11 2 33 32 3

23 22 2

13 12 1 1

3 3 2 2 1 1

3 2 1

33 32 31

23 22 21

13 12 11

3 3 33 2 32 1 31

2 3 23 2 22 1 21

1 3 13 2 12 1 11

, ,

&

, ,

or

b a a

b a a D a b a

a b a

a b a D a a b

a a b

a a b D

D x D D x D D x D

b b b

x x x

a a a

b x a x a x a

























































 



















b Ax