Mathematics 정답과 해설

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3 ^{- 1}

중학교

내신 만점을 위한심화 학습서 상위권 도약을 위한 심화기본서

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Mathematics 정답과 해설

유제1 ㄱ. 제곱근 4는 '4=2이고, 4의 제곱근은

—'4=—2이므로 제곱근 4와 4의 제곱근은 같 지 않다.

ㄴ. "√(-0.6)› ="√{(-0.6)¤ }¤ =(-0.6)¤ =0.36의 양 의 제곱근은

'∂0.36="√(0.6)¤ =0.6

(-'∂0.16 )¤ =0.16의 양의 제곱근은 '∂0.16="√(0.4)¤ =0.4

따라서 두 수의 합은 0.6+0.4=1이다.

ㄷ. a>0일 때, (-'a)¤ =('a)¤ ="√(-a)¤ =a이고, -"≈a¤ =-a이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

유제2 a="√(-3)¤ -(-'ß25 )¤

=3-25=-22 b=(-'ß11)¤ ÷2"√(-2)¤

b=11÷4=:¡4¡:

c='∂400+(-2'3)¤

=20+12=32

∴ a÷b÷c=-22÷:¡4¡:÷32

∴ a÷b÷c=-22_;1¢1;_;3¡2;

∴ a÷b÷c=-;4!;

유제3 ㄱ. xæ5이면 -2x<0, 5-x…0이므로 A=-(-2x)-2{-(5-x)}

=2x+10-2x=10

ㄴ. 0…x<5이면 -2x…0, 5-x>0이므로 A=-(-2x)-2(5-x)

=2x-10+2x

=4x-10

ㄷ. x<0이면 -2x>0, 5-x>0이므로

A=-2x-2(5-x)

=-2x-10+2x

=-10

따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

유제4 2<'5<3이므로 2-'5<0이고 3-'5>0이다.

∴ (주어진 식)=-(2-'5)+(3-'5)

=-2+'5+3-'5

=1

유제5 æ–:¡[™:=æ≠ , æ–;3*;y=æ≠ 이므로

x=3, 2¤ _3이고, y=2_3_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.

따라서 가장 작은 자연수 x=3, y=2_3=6이다.

유제6 æ≠ =æ≠ 이므로

n의 값은 2_3_5=30, 2‹ _3_5=120이다.

유제7 'ƒ180 -3x가 자연수가 되기 위해서는 180-3x가 제 곱수이어야 한다.

180보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, y, 144, 169인데 x의 값이 가장 작으려면 180-3x는 가장 큰 수이어야 하므로

180-3x=169, 3x=11 ∴ x=:¡3¡:

그런데 x는 자연수이므로 부적당하다.

따라서 180-3x=144, 3x=36

∴ x=12

유제8 'ƒ3x+120이 자연수가 되기 위해서는 3x+120이 제 곱수이어야 한다.

120보다 큰 제곱수는 144, 169, 196, y인데 x의 값이 가장 작으려면 3x+120이 가장 작은 수이어야 하므로

3x+120=144, 3x=24

∴ x=8

유제9 a='2, b=2이면

ㄱ. 'b-a='2-'2=0이므로 유리수이다.

ㄴ. a-'b='2-'2=0이므로 유리수이다.

ㄷ. a'b='2_'2=2이므로 유리수이다.

ㄹ. ='2=1이므로 유리수이다.

'2 a 'b

2‹ _3_5 n 120

n

2‹ _y 3 2¤ _3

x 주제별 유형 불러오기 ^7~13쪽

step 1

유제1 ② 유제2 -;4!; 유제3 ④ 유제4 1 유제5 ④ 유제6 30, 120 유제7 ④ 유제8 8 유제9 ① 유제10 ①, ④ 유제11 A>B 유제12 ② 유제13 2 유제14 -2

Ⅰ. 실수와 그 연산

2

1.제곱근과 실수

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3

ㅁ. (무리수)+(유리수)=(무리수)이므로 a+b는 항상 무리수이다.

따라서 항상 무리수인 것은 ㅁ이므로 1개이다.

유제10 ① '9+'2=3+'2(무리수)

② "√'∂16¤ ='ß16='ß4¤ =4(자연수)

③ '∂1.44-0.1='∂1.2¤ -0.1=1.2-0.1=1.1(유리수)

④ - (무리수)

⑤ æ≠ - =æ≠{;2%;}¤ - =;2%;-1=;2#;(유리수)

유제11 A-B=4+'3-('3-2)

=4+'3-'3+2

=6>0

∴ A>B

유제12 ;3¡0;… <;1¡0;의 각 변의 역수를 취하면 30æ'∂2x>10

∴ 10<'∂2x…30

각 변을 제곱하면 100<2x…900

∴ 50<x…450

x는 자연수이므로 x=51, 52, y, 450이다.

따라서 구하는 자연수 x의 개수는 450-51+1=400(개)

유제13 AE”=AC”='2이므로

점 A에 대응하는 수는 3-'2+'2=3 따라서 점 D에 대응하는 수는 3-1=2

유제14 ( ABCD의 넓이)=3_3-4_{;2!;_2_1}=5이므로 AD”=AP”=AB”=AQ”='5

따라서 점 P에 대응하는 수는 a=-1-'5이고, 점 Q에 대응하는 수는 b=-1+'5이다.

∴ a+b=-1-'5+(-1+'5)

=-1-'5-1+'5

=-2 1 '∂2x

"ç3¤

3 '9

3 25

4 p 3

최고 유형 탐험하기 ^14~17쪽 step 2

01 ④ 02 ① 03 ④ 04 ③

05 ⑤ 06 ③ 07 ② 08 ②

09 ① 10 ④ 11 ③ 12 ⑤

13 ② 14 ② 15 ① 16 ①

01 '3-2='3-'4<0, 2-2'5<0, '3+1>0이므로 (주어진 식)=-('3-2)-(2-2'5)+('3+1)

=-'3+2-2+2'5+'3+1

=1+2'5

02 (36의 제곱근)=—'ß36=—6이므로 p=6, q=-6 (∵ p>q)

'ƒp-q+4 ='ƒ6-(-6)+4 ='ß16=4

∴ ('ƒp-q+4의 제곱근)=—'4=—2

03 ㄱ. 6.1='∂37.21이므로 'ß37<6.1이다.

ㄴ. = 이므로 ;3!;< ∴ ;3!;<

ㄷ. '2+3-('5+3)='2-'5<0이므로 '2+3<'5+3

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

04 13(='ß169)<'ß170<14(='ß196)이므로 f(170)=('ß170 이하의 자연수의 개수)=13 8(='ß64)<'ß80<9(='ß81)이므로 f(80)=('ß80 이하의 자연수의 개수)=8

∴ f(170)-f(80)=13-8=5

05 ① x=1, y='2일 때, 2x+y=2+'2이므로 무리수이다.

② y=1+'2일 때, y¤ =(1+'2)¤ =3+2'2이므로 무리 수이다.

③ x=1, y='2일 때, x-y=1-'2이므로 무리수이다.

④ x=2, y='2일 때, y'x='2_'2=2이므로 유리수 이다.

⑤ x¤ 은 유리수이고 (유리수)+(무리수)는 항상 무리수이 므로 x¤ +y는 항상 무리수이다.

06 'ƒ51-3a ='ƒ3(17-a)이므로 17-a는 3_(자연수)¤ 의 꼴, 즉 3_1¤ , 3_2¤ (∵ a<17)이 된다.

17-a=3일 때, a=14 17-a=3_2¤ =12일 때, a=5

따라서 자연수 a의 값의 합은 14+5=19이다.

07 ㄱ. 양수의 제곱근의 개수는 2개이다.

0의 제곱근의 개수는 1개이다.

음수의 제곱근의 개수는 0개이다.

ㄷ. 양수 p의 제곱근은 —'p로 양수와 음수 2개이다.

ㄹ. 64의 제곱근은 —'ß64=—8이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ, ㅂ의 3개이다.

08 a=-;4!;, b=-;2!;을 주어진 식에 각각 대입하면 1 '3 '3

3 '3

3 1 '3

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4

최고 유형 정복하기 ^18~19쪽 step 3

1 1, 2 2 2자리 또는 3자리 또는 4자리 자연수 3 'ƒ1-a >1-'a 4 ㄴ, ㄷ 5 19

6 0 7 7 8 '2p

4

1 주어진 식의 각 변을 제곱하여 x의 값의 범위를 각각 구하면

[

[

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 x의 값의 범위는 ;2!;<x…2이므 로 자연수 x는 1, 2이다.

2 '∂5n이 두 자리 자연수이므로 10…'∂5n<100

각 변을 제곱하면 100…5n<10000

∴ 20…n<2000

따라서 n은 2자리 또는 3자리 또는 4자리 자연수이다.

3 'ƒ1-a >0, 1-'a >0이므로

('ƒ1-a)¤ -(1-'a)¤ =1-a-(1-2'a+a)

=1-a-1+2'a-a

=2'a-2a

=2('a-a)

여기서 0<a<1이므로 'a>a이고 2('a-a)>0

∴ 'ƒ1-a>1-'a

4 ㄱ. a=0, b=0이면 x=0이다.

ㄴ. b=0이면 x=a이므로 유리수이다.

ㄷ, ㅁ. a=0, b+0이면 x=b'∂10이므로 무리수이다.

ㄹ. 어떤 유리수 a, b에 대해서도 x는 '2를 나타낼 수 없으 므로 무리수를 모두 나타낼 수 없다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

;2!;<x…2 yy㉠

;2!;…x…25 yy㉡ 1<2x…4

;6!;…;3{;…:™3∞:

① -æ≠{;4!;}2 =-;4!; ② -æ≠{-;4%;}2 =-;4%;

③ -æ≠{;2!;}2 =-;2!; ④ æ≠{;4#;}2 =;4#;

⑤ æ≠{;2#;}2 =;2#

따라서 가장 작은 수는 -;4%;이므로 ②이다.

09 ( ABCD의 넓이)=3_3-4_{;2!;_1_2}=5이므로 BC”='5

즉, BP”=BC”='5이므로

점 P에 대응하는 수는 a=-4+'5

∴ a+4='5 GQ”=GE”='2이므로

점 Q에 대응하는 수는 b=2-'2

∴ b-2=-'2

∴ (a+4)¤ +(b-2)¤ =('5)¤ +(-'2)¤ =5+2=7 10^ab<0이므로 a와 b는 서로 다른 부호를 갖고, a-b<0,

즉 a<b이므로 a<0, b>0이다.

∴ (주어진 식)=-a-{-(-b)}-2a-b

=-a-b-2a-b=-3a-2b

11지수가 짝수가 되게 하려면 x=2_(자연수)¤ 의 꼴이어 야 한다. 그런데 '2<x<'ß70, 즉 1<x<9인 자연수이 므로 x는 2_1¤ =2, 2_2¤ =8이다.

따라서 x의 값의 총합은 2+8=10이다.

12정사각형의 넓이가 각각 2, 4, 3이므로 한 변의 길이는 각 각 '2, '4=2, '3이다.

따라서 점 C에 대응하는 수는 1+'3 점 B에 대응하는 수는 1-2=-1

점 A에 대응하는 수는 1-2-'2=-1-'2

∴ A(-1-'2), B(-1), C(1+'3) 131<'x…2의 각 변을 제곱하면

1<x…4 yy㉠

0…'ƒ2x-1…3의 각 변을 제곱하면

0…2x-1…9, 1…2x…10 ∴ ;2!;…x…5 yy㉡

㉠과 ㉡을 동시에 만족하는 x의 값의 범위는 1<x…4이 고, x는 자연수이므로 2, 3, 4의 3개이다.

141.3>'x<2.5의 각 변을 제곱하면 1.69<x<6.25이므로 m=2, n=6

æ≠ _k =æ≠;2^;_k='ß3k가 자연수가 되게 하려면 k=3_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.

따라서 k의 최솟값은 3_1¤ =3이다.

n m

15 =1, x+2y=2x-y

∴ x=3y

æ≠ =æ≠ =æ– ='2

1<'2<2이므로 æ≠ 의 정수 부분은 1이다.

16æ– =æ≠ 이 유리수가 되려면 n=3_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.

따라서 a=3_1¤ =3, b=3_2¤ =12이므로 a+b=3+12=15

n 2¤ _3 n

12

x+y x-y

4y 2y 3y+y

3y-y x+y

x-y x+2y 2x-y

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5

5 '1=1, '4=2, '9=3, 'ß16=4 x=1, 2, 3일 때, P(x)=1이므로 P(1)+P(2)+P(3)=1_3=3 x=4, 5, 6, 7, 8일 때, P(x)=2이므로 P(4)+P(5)+y+P(8)=2_5=10 x=9, 10일 때, P(x)=3이므로 P(9)+P(10)=3_2=6

∴ P(1)+P(2)+P(3)+y+P(10)

=3+10+6=19

6 ^ab<0이므로 a와 b는 서로 다른 부호이고 a+b>0,

|a|<|b|이므로 a<0, b>0이다.

|a|<|b|이므로 a¤ -b¤ <0

∴ A=a(-a)-{-(a¤ -b¤ )}+b_b

=-a¤ +a¤ -b¤ +b¤

=0

7 æ≠ =æ≠ 가 정수가 되도록 하는 자연수 a, b 는 다음과 같다.

분모 b는 분자 2_5_a의 약수가 되어야 하므로

⁄ b=1일 때, a=2_5_(자연수)¤ 의 꼴이므로 최솟값은 2_5_1¤ =10이다.

∴ a+b=11

¤ b=2일 때, a=5_(자연수)¤ 의 꼴이므로 최솟값은 5_1¤ =5이다.

∴ a+b=7

‹ b=5일 때, a=2_(자연수)¤ 의 꼴이므로 최솟값은 2_1¤ =2이다.

∴ a+b=7

› b=2_5=10일 때, a=(자연수)¤``의 꼴이므로 최솟값 은 1¤ =1이다.

∴ a+b=11

fi b가 1, 2, 5 이외의 자연수일 때, a=2_5_b_(자연수)¤ 의 꼴이므로 a+bæ14(b=4일 때 a=10)이다.

따라서 a+b의 최솟값은 7이다.

8 원의 중심 O에서 AD”에 내린 수선의 발을 G라 하면,

ABOG와 GOCD는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로 OA”=OE”=OD”=OF”='2

따라서 원 O는 반지름의 길이가 '2인 원이다.

∠AOD=90˘, ∠AOE=∠DOF=45˘이므로 μAE=2p_'2_ =2'2p_;8!;= p'2

4 45˘

360˘

O G

C B

E F

D A

2_5_a b 10a

b

유제1 ㄱ. '∂300="√3_10¤ =10'3=5_2'3=5a ㄴ. a=2'3="√2¤ _3='ß12이므로

'∂1.44=æ–;1!0$0$; = = = ㄷ. a=2'3이므로 '3=;2A;

∴ '∂0.27=æ–;1™0¶0;= =

∴ '∂0.27=;1£0;_;2A;=;2£0;a ㄹ. 'ß84="√2¤ _3_7=2'3_'7='7a 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

유제2 '∂280="√2‹ _5_7="≈2‹ _'5_'7에서

"√2‹ _'5_'7=2'2_'5_'7=2c_;2A;_3b=3abc

"√2‹ _'5_'7=('2)‹ _'5_'7=c‹ _;2A;_3b=;2#;abc‹

따라서 '∂280을 a, b, c를 모두 사용하여 나타내면 3abc또는 ;2#;abc‹ 이다.

유제3 ÷ _{- }= _ _{- }

=-

=-

=- 따라서 m=10, n=-;2£0;이므로 mn=10_{-;2£0;}=-;2#;

유제4 x+ ='3+

x+ ='3+ ('3-1)_'3 '3_'3 '3-1

'3 x-1

x

3'ß10 20 3_'ß10 2'ß10_'ß10

3 2'ß10

3 '2 '310

5 'ß15 3

'2 10

'3 5 'ß15

3'3 10

"≈3‹

"ç10¤

a¤

10

"ç12¤

10

"ç12¤

"ç10¤

주제별 유형 불러오기 ^21~29쪽 step 1

유제1 ④ 유제2 3abc 또는 ;2#;abc‹ 유제3 ②

유제4 유제5 ③

유제6 유제7 ③ 유제8 5 유제9 유제10 -4 유제11 ⑤ 유제12 x=6, y=-1 유제13 9'3 cm

유제14 ④ 유제15 ②, ③ 유제16 ③ 유제17 ③ 유제18 '5

-'6-2 2 '2+2-'6

4 2'3+3

3

2.근호를 포함한 식의 계산

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6

x+ ='3+

x+ = =

유제5 +

= +

= +

=2('3-1)+'3+1

=-1+3'3

유제6 =

= =

= =

=

유제7 (주어진 식)={ - }_'2-2'6 (주어진 식)=(7'3-2'5)_'2-2'6

=7'6-2'ß10-2'6=5'6-2'ß10

유제8 (주어진 식)= -5- _

(주어진 식)= -5- (주어진 식)=-5-'3

따라서 a=-5, b=-1이므로 ab=5

유제9 - = -

- = -

- = -

- = -

- = =

유제10 aæ– -bæ– =æ≠a¤ _ -æ≠b¤ _

='∂4ab-'∂9ab=2'ßab-3'ßab

=-'ßab=-'ß16=-"≈4¤ =-4 유제11 a+3-'ß20=2b-1-'ƒ5-3b에서 a, b가 유리수이

므로 a+3=2b-1, 20=5-3b

두 식을 연립하여 풀면 a=-14, b=-5 9a

b 4b

a 9a

b 4b

a

-'6-2 2 -3'6-6

6

6'6-6 6 3'6-12

6

3'6-3 3 '6-4

2

'3(3'2-'3) 3 '2('3-2'2)

2 b'3

3 a'2

2 b '3 a '2

3'32 '32

6 '5 'ß154 2'34

10'5 5 21'3

3 '2+2-'6

4

(1+'2-'3)_'2 2'2_'2 1+'2-'3

2'2

1+'2-'3 1+2'2+2-3 (1+'2)-'3

(1+'2)¤ -('3)¤

(1+'2)-'3 {(1+'2)+'3}{(1+'2)-'3}

1 1+'2+'3

2('3+1) 2 4('3-1)

2

2('3+1) ('3-1)('3+1) 4('3-1)

('3+1)('3-1) 2 '3-1 4

'3+1

2'3+3 3 3'3+3-'3

3 3-'3

3 ^유제12 5'2-7'3='2y+'3y-'3x+'2x

=(y+x)'2+(y-x)'3

y+x=5, y-x=-7이므로 두 식을 연립하여 풀면 x=6, y=-1

유제13 (가)의 넓이가 75 cm¤ 이므로 AB”='∂75=5'3(cm) (나)의 넓이가 27 cm¤ 이므로 BC”='∂27=3'3(cm)

(다)의 넓이가 3 cm¤ 이므로 CD”='3(cm)

∴ AD”=AB”+BC”+CD”

=5'3+3'3+'3=9'3(cm)

유제14 세 정사각형의 넓이가 각각 2 cm¤ , 6 cm¤ , 24 cm¤ 이므 로 한 변의 길이는 각각 '2 cm, '6 cm, 2'6 cm이다.

④ AD”=AB”+BD”=('2+'6)cm

유제15 ① '∂6.06=2.462이므로

'ƒ0.0606 =æ≠ = = =0.2462

∴ -'ƒ0.0606=-0.2462

② '∂24.6=4.960이므로

'∂0.246=æ≠ = = =0.4960

③ '∂62.4=7.899이므로 'ƒ0.00624=æ≠ = 'ƒ0.00624= =0.07899

④ '∂61.2=7.823이므로 'ƒ612000='ƒ61.2_10000

='ƒ61.2_10› ='∂61.2_100

=7.823_100=782.3

⑤ '∂25.3=5.030이므로

'∂2530='ƒ25.3_100='∂25.3_10¤

='∂25.3_10=5.030_10=50.30

∴ 2'∂2530=100.60 유제16 'ß520='∂2¤ _130=2'ß130

'ß130='ƒ1.3_100='∂1.3_10¤ ='ß1.3_10

=1.140_10=11.40 이므로 2'ß130=2_11.40=22.80 유제17 1<'3<2이므로 -2<-'3<-1

∴ 5<7-'3<6

따라서 7-'3의 소수 부분인 a는 a=(7-'3)-5=2-'3

∴ a+ =2-'3+ 3

2-'3-2 3

a-2 7.899

100

'∂62.4 100 62.4

10000

4.960 '∂24.6 10

10 24.6

100

2.462 '∂6.06 10

10 6.06

100

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7

∴ a+ =2-'3- =2-'3-'3

∴ a+ =2-2'3

유제18 ( ABCD의 넓이)=3_3-4_{;2!;_2_1}=5이므로 BP”=BA”='5

점 P에 대응하는 수는 6-'5

2<'5<3에서 -3<-'5<-2, 3<6-'5<4이므로 a=3, b=(6-'5)-3=3-'5

∴ a-b=3-(3-'5)='5 3 '3

최고 유형 탐험하기 ^30~32쪽 step 2

01 ④ 02 ③ 03 ③ 04 ①

05 ② 06 ⑤ 07 ③ 08 ④

09 ③ 10 ② 11 ④ 12 ③

01 ^{a= = =}

b= = =

a+b= = =4'2

a-b= = ='ß10

∴ = = =

∴ = =

02 -7'3+'2=2'3x+'2x-'2y+'3y

=(2x+y)'3+(x-y)'2 2x+y=-7 yy㉠

x-y=1 yy㉡

㉠과 ㉡을 연립하여 풀면 x=-2, y=-3

∴ x+y=-2-3=-5

03 ㄱ. 10a'∂10b="√(10a)¤ 10b="√1000a¤ b ㄴ. 'a-'ß2b+'ß3c+'ƒa-2b+3c ㄷ. a¤ "≈b‡ "≈cfi =a¤ _"√(b‹ )¤ _b_"√(c¤ )¤ _c

=a¤ _b‹ 'b_c¤ 'c

=a¤ b‹ c¤ 'ßbc

ㄹ. "√8(-a)¤ bc‹ ="√2‹ a¤ bc‹ =2'2_a_'b_c'c

=2ac'∂2bc 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

04 ㈎ æ;4#;- +'3

㈎= - +'3= -'3+'3 '3 6

2 1

2'3 '32

1 'ß12

4'5 5 8'5

10

4'ß20 10 4'2_'ß10 'ß10_'ß10 4'2

'ß10 a+b a-b

2'ß10 2 4'2+'ß10-4'2+'ß10

2

8'2 2 4'2+'ß10+4'2-'ß10

2

4'2-'ß10 2 (4-'5)_'2

'2_'2 4-'5

'2

4'2+'ß10 2 (4+'5)_'2

'2_'2 4+'5

'2

㈎= = =;3$;'3

㈎∴ a=3

㈏ 4'3(2-'3)+ -'∂108

㈏=8'3-12+3'3-6'3=5'3-12

㈏∴ b=5, c=-12

∴ a+b+c=3+5-12=-4

05 ^f(x)=

f(x)=

f(x)=

f(x)='ƒx+3-'ƒx+2

∴ f(0)+f(1)+f(2)+y+f(14)+f(15) =('3-'2)+('4-'3)+('5-'4)+y

+('ß17-'ß16)+('ß18-'ß17) =-'2+'ß18=-'2+3'2 =2'2

06 ^2197=13‹이므로

'ƒ0.02197=æ≠ =æ≠ = 'ƒ0.02197= =

07 ^f(x)=8이므로 'x의 정수 부분이 8이다.

∴ 8…'x<9

각 변을 제곱하면 64…x<81 x는 자연수이므로 x의 개수는 80-64+1=17(개)

08 (주어진 식)=æ≠ _p¤ +æ≠ _q¤ -æ≠ _ (주어진 식)='∂3pq+'∂12pq-æ–

(주어진 식)='9+'ß36-'9=6

09 ^{x= =}

x= =3-2'6+2=5-2'6

y= =

x= =3+2'6+2=5+2'6

x+y=10, x-y=-4'6

xy=(5-2'6)(5+2'6)=25-24=1 ㄱ. x+y=10

('3+'2)¤

('3)¤ -('2)¤

('3+'2)('3+'2) ('3-'2)('3+'2) '3+'2

'3-'2 ('3-'2)¤

('3)¤ -('2)¤

('3-'2)('3-'2) ('3+'2)('3-'2) '3-'2

'3+'2

27 pq

1 p¤

27p q 12p

q 3q

p

13ab 1000 13'ß13_'ß10

1000

"√13‹ _10 1000 21970

1000000 2197

100000 'ƒx+3-'ƒx+2

x+3-(x+2)

'ƒx+3-'ƒx+2

('ƒx+3+'ƒx+2)('ƒx+3-'ƒx+2) 1

'ƒx+3+'ƒx+2 9 '3

8'3 6 3'3-'3+6'3

6

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8

ㄴ. x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=10¤ -2_1=100-2=98 ㄷ. x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)=10_(-4'6)=-40'6 따라서 옳지 않은 것은 ㄷ이다.

10'∂0.12+'∂ƒ0.0018

=æ≠ +æ≠ = +

= + = +

=0.3464+0.04242=0.38882?0.39

11'2△(1-'3)='2-'2(1-'3)

='2-'2+'6='6 2<'6<3이므로 a=2, b='6-2

∴ a-b=2-('6-2)=2-'6+2=4-'6 12㈎의 넓이가 3cm¤ 이므로

㈏의 넓이는 3_2=6 (cm¤ ),

㈐의 넓이는 6_3=18 (cm¤ ),

㈑의 넓이는 18_4=72 (cm¤ )이다.

따라서 정사각형 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑의 한 변의 길이는 각각 '3 cm, '6 cm, 'ß18 =3'2 cm, 'ß72=6'2 cm이므로 AB”='3 cm, AC”='6 cm, AD”=3'2 cm, AE”=6'2 cm

① BC”=AC”-AB”=('6-'3)cm

② BD”=AD”-AB”=(3'2-'3)cm

③ BE”=AE”-AB”=(6'2-'3)cm

④ CD”=AD”-AC”=(3'2-'6)cm

⑤ DE”=AE”-AD”=6'2-3'2=3'2(cm) 4.242 100 3.464

10 3_1.414

100 2_1.732

10

3'2 100 2'3

10 2_3¤

10000 2¤ _3

100

최고 유형 정복하기 ^33~35쪽 step 3

1 9'3-5'6 2 5a-3 3 26 4 56-7'2

5 -;2%; 6 7 ㄱ, ㄹ 8 -3'5+7

9 ;2#; 10 24'5 11 1.15 12 -8 5

4+'3 3

1 (주어진 식)

= ('6-'3)+ -

=2'2('6-'3)+ -2'6

=4'3-2'6+5'3-'6-2'6

=9'3-5'6

2 1<'3<2이므로 a='3-1

8<'ß75<9이므로 'ß75의 소수 부분은

'ß75 -8=5'3-8=5'3-5-3=5('3-1)-3

=5a-3

15'3-3'6 3

12_'6 '6_'6 (15-3'2)_'3

'3_'3 4_'2

'2_'2

3 (주어진 식)=3'3-2'2- -

(주어진 식)=3'3-2'2- -

(주어진 식)=3'3-2'2-3'2-4'3=-5'2-'3 -5'2-'3=a'2+b'3이므로 a=-5, b=-1

∴ a¤ +b¤ =(-5)¤ +(-1)¤ =25+1=26

4 ^{f(x)= = =}

f(x)=x-'x

∴ f(2)+f(4)+f(8)+f(16)+f(32)

=(2-'2)+(4-'4)+(8-'8)+(16-'ß16) +(32-'ß32)

=(2+4+8+16+32)-('2+'4+'8+'ß16+'ß32 )

=62-('2+2+2'2+4+4'2)

=62-(7'2+6)=62-7'2-6

=56-7'2

5 ^{22x= =}

2^2x=

2^2x= =

2^2y= =

2^2x=

2^2y= = 2^2x_2^2y=2^2x+2y=2^2(x+y) 2^2x_2^2y= _ = 2^2x_2^2y=;3¡2;=2^-5

2^2(x+y)=2^-5이므로 2(x+y)=-5

∴ x+y=-;2%;

6 S¡=1, S™=;3!;S¡=;3!;, S£=;3!;S™=;9!;이므로 OB”=1, B’B¡”=Æ;3!;= , B’¡B™”=;3!;

∴ O’B™”=OB”+B’B¡”+B’¡B™”

∴ O’B™”=1+ +;3!;=

7 ㄱ. '∂0.72=æ≠ = =;5#;'2=;5#;a ㄴ. '∂2.42=æ≠2_11¤ =;1!0!;'2=;1!0!;a

100 6'2

10 2_6¤

100

4+'3 '3 3

3 '33

4-2 64 2-'2

8 2+'2

8

2-'2 8 8-4'2

32 8-4'2 64-32

8-4'2 (8+4'2)(8-4'2) 1

8+4'2

2+'2 8 8+4'2

32 8+4'2 64-32

8+4'2 (8-4'2)(8+4'2) 1

8-4'2

x('x-1)'x x x('x-1)_'x

'x_'x x('x-1)

'x

12_'3 '3_'3 6_'2

'2_'2 24 2'3 24

4'2

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9

ㄷ. a'∂0.05='2_æ–;10%0;=æ≠2_;10%0;=æ–;1¡0;=

ㄹ. 'ß50- ="√2_5¤ - =5'2-2'2=3'2=3a 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

8 2'5="√2¤ _5='ß20, 4<_'ß20<5이므로 a=2'5-4 2<'5<3이므로 1<4-'5<2

b=(4-'5)-1=3-'5

∴ a-b=2'5-4-(3-'5)

=2'5-4-3+'5

=3'5-7="√3¤ _5-"≈7¤

=_'ß45-_'ß49<0 따라서 a-b<0이므로

"√(a-b)¤ =-(a-b)=-(3'5-7)=-3'5+7

9 (주어진 식)= =

(주어진 식)= =

(주어진 식)= = =

(주어진 식)= = =;2#;

10 정사각형의 한 변의 길이를 x라 하면 x¤ =180이므로 x=6'5

즉, 사다리꼴의 높이가 6'5이고 윗변의 길이를 3a, 아랫 변의 길이를 7a라 하면

=180, 30'5a=180, '5a=6

∴ a= =

따라서 사다리꼴의 윗변의 길이와 아랫변의 길이의 차는 7a-3a=4a이므로 4_ =

11 '∂148 ='ƒ1.48_100 ='∂1.48_10=1.217_10=12.17 '∂148-'x=11.098에서

'x='∂148-11.098=12.17-11.098=1.072이므로 제 곱근표에서 1.072의 값을 가지고 있는 수는 1.15이다.

∴ x=1.15

12 ⁼⁵에서 6a+7b=10a-5b, 4a=12b

∴ a=3b 6a+7b

2a-b

24'5 5 6'5

5 6'5

5 6 '5 (3a+7a)_6'5

2

12'2 8'2 4'21

8'23

8'2 3 4'2 '2

3 4'2 2'2 3'2-

3'2_'2 4'2 3'2-

2 3'2 4'2 3'2- 4'2

3'2- 1 3'22

4'2 3'2- 1

2'2- '2 2 4'2

3'2- 1 2'2- 1

'2 4'2 '2'2 4

'2

1

'ß10 æ≠ =æ≠ =æ≠ ='6

'4(=2)<'6<'9(=3)이므로 p=2

-æ≠ =-æ≠ =-æ≠ =-'ß10

-'ß16(=-4)<-'ß10<-'9(=-3)이므로 q=-4

∴ pq=2_(-4)=-8

30b 3b 21b+9b

6b-3b 7a+9b

2a-3b

24b 4b 15b+9b

3b+b 5a+9b

a+b

36~38쪽

대단원마무리하기

01⑤ 02③ 03③, ④ 04① 05④ 06② 07⑤ 08② 09① 10④

11① 12③ 13① 14③ 15①

16④

17^-3a+4 18⁵ 19a=8, b=-2 20(1) 4 (2) 14 21-3'2-1 22¹⁸

233'2 24^1.67

주관식 문제

01 ① "√(-3)¤ a=3'a

② 'a+'b+'ƒa+b

③ a>0, b>0이라는 조건이 없으므로 '∂ab+'a'b

④ a<0, b>0일 때, =-

02 ㄱ. 제곱근 0.25는 '∂0.25="ç(0.5)¤ =0.5이다.

ㄴ. (-4)¤ =16이므로 16의 제곱근은 —'ß16=—4이다.

ㄷ. [반례] 0_'2=0으로 유리수이다.

ㄹ. 정사각형의 한 변의 길이를 a라 하면 a¤ =3이므로 a='3(∵ a>0)

ㅁ. a<0일 때, "ç(-a)¤ +"≈a¤ =-a-a=-2a 따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄷ, ㅁ으로 3개이다.

03 b<a<0에 속하는 적당한 a, b의 값을 대입하여 크기를 비교해 본다.

a=-1, b=-2이면

① a¤ =1, b¤ =4이므로 a¤ <b¤ 이다.

② ;a#;=-3, ;b#;=-;2#;이므로 ;a#;<;b#;이다.

③ a¤ =1, ab=2이므로 a¤ <ab이다.

④ a¤ b=-2, ab¤ =-4이므로 a¤ b>ab¤ 이다.

⑤ |a|=1, |b|=2이므로 |a|<|b|이다.

04 ^ab<0에서 a와 b는 서로 다른 부호이고, a-b>0, 즉 a>b이므로 a>0, b<0이다.

∴ (주어진 식)=-3a-(a-b)+4(-b)

=-3a-a+b-4b=-4a-3b 1

a'b 1

"≈a¤ b

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10

05 æ≠ =æ≠ 가 자연수가 되려면 n의 값은 5, 2¤ _5, 3¤ _5, 2¤ _3¤ _5이어야 한다.

'∂45n="√3¤ _5_n 이 자연수가 되려면 n=5_(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다.

따라서 n의 값은 5, 2¤ _5=20, 3¤ _5=45, 2¤ _3¤ _5=180이다.

06 -3.3<-'∂3x…-2.1의 각 변을 제곱하면 (-3.3)¤ >(-'∂3x)¤ æ(-2.1)¤

10.89>3xæ4.41 ∴ 1.47…x<3.63 따라서 정수 x의 개수는 2개이다.

07 AC”=AQ”=BD”=BP”='2이므로 점 B에 대응하는 수는 점 P에서 오른쪽으로 '2만큼 떨어져 있으므로

(8-5'2)+'2=8-4'2이다.

AB”=1이고, 점 A는 점 B에서 왼쪽으로 1만큼 떨어져 있 으므로 (8-4'2)-1=7-4'2이다.

따라서 점 Q는 점 A에서 오른쪽으로 '2만큼 떨어져 있으 므로 (7-4'2)+'2=7-3'2이다.

08 p='ß32+2=4'2+2 q='∂121-'8=11-2'2 r=1+'ß50=1+5'2

p-q=4'2+2-(11-2'2)=4'2+2-11+2'2

=6'2-9='ß72-'ß81<0

∴ p<q yy㉠

q-r=11-2'2-(1+5'2)=11-2'2-1-5'2

=10-7'2='ß100-'ß98>0

∴ q>r yy㉡

p-r=4'2+2-(1+5'2)=4'2+2-1-5'2

=1-'2<0

∴ p<r yy㉢

따라서 ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 p<r<q이다.

09 (주어진 식)= + _ -3_2

(주어진 식)= + -6

(주어진 식)= + -6

(주어진 식)= + -6

(주어진 식)= -6=2'6-6

10(주어진 식)=5æ≠ -2æ≠ + (주어진 식)=5'ßab-2'ßab+'ßab=4'ßab (주어진 식)=4_25=100

a'ßab a ab¤

b a¤ b

a 12'6

6 '66 11'6

6 1 '6 11'6

6

1 '3_'2 11'6

6

'7 'ß10 '5 'ß21 11'6

'6_'6 2¤ _3¤ _5

n 180

n 11^{x= = =}

x= =-9-4'5

∴ x-;[!;=-9-4'5-

∴ x-;[!;=-9-4'5+

∴ x-;[!;=-9-4'5+

∴ x-;[!;=-9-4'5+

∴ x-;[!;=-9-4'5+9-4'5=-8'5

12'ß0.27 -'ƒ0.002

=æ–;1™0¶0;-æ≠;10™0º00;= -

= - = -

=0.5196-0.04472=0.47488

?0.475

13'∂5.8의 값과 숫자의 배열 순서는 같고, 소수점의 위치만 다 르기 위해서는 '∂5.8_10« 또는 '∂5.8_ 의 꼴이어야 한다. (단, n은 자연수)

ㄱ. 'ƒ0.058=æ– = (◯)

ㄴ. 'ƒ0.0058=æ≠ = (_) ㄷ. 'ƒ580000="√58_10› =100'∂58 (_) ㄹ. 'ƒ58000="√5.8_10› =100'∂5.8 (◯)

ㅁ. '∂2320="√2¤ _580="√2¤ _5.8_10¤ =20'∂5.8 (_) ㅂ. = =10'∂5.8 (◯)

따라서 ㄱ, ㄹ, ㅂ이다.

14① '∂0.81-æ;4!; =0.9-;2!;=0.9-0.5

⑤ '∂0.81-æ;4!;=0.4(정수가 아닌 유리수)

② (무리수)

③ 'ƒ9+16='ß25=5(자연수)

④ 0.1H2H3(유리수)

⑤ (-'3)¤ -"√(-5)¤ =3-5=-2(정수)

15(주어진 식)=æ≠

(주어진 식)=æ≠ =æ≠

(주어진 식)=æ;2!; = = '2 2 1 '2

2⁄ ¤ (1+2⁄ ¤ ) 2⁄ ‹ (2⁄ ¤ +1) 2⁄ ¤ +2¤ ›

2¤ fi +2⁄ ‹ (2¤ )fl +(2‹ )°

(2fi )fi +2_(2› )‹

1-'3 '2

20'∂5.8 '∂2320 2

2

'∂58100 58

10000 '∂5.8

10 5.8 100

1 10«

4.472 100 5.196

10 2_2.236

100 3_1.732

10

2'5 100 3'3

10 9-4'5 81-80

9-4'5 (9+4'5)(9-4'5)

1 9+4'5

1 -9-4'5 9+4'5

-1

4+4'5+5 4-5 (2+'5)¤

(2-'5)(2+'5) 2+'5

2-'5

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11

16 =;3!;이므로

3(5x-2y)=4x+7y 15x-6y=4x+7y 11x=13y

∴ x=;1!1#;y

æ≠ =

» Ú

«… =

» Ú

«… ='ß12

3<'ß12<4이므로

a=3, b='ß12-3=2'3-3

∴ = = = =

17 -2<a<3이므로 a-3<0, 2+a>0, 3-a>0

∴ (주어진 식)=-(a-3)-(2+a)+(3-a)

=-a+3-2-a+3-a

=-3a+4

18 'ƒ600 -x -'ƒ150+y 가 가장 큰 정수가 되려면 'ƒ600 -x 는 최댓값, 'ƒ150+y는 최솟값을 가져야 한다.

'ƒ600 -x 가 자연수가 되기 위하여 600-x는 (자연수)¤ 의 꼴이어야 하므로 600보다 작은 제곱수는 1¤ , 2¤ , y, 24¤ =576이다.

600-x는 최댓값을 가져야 하므로 600-x=576 ∴ x=24

'ƒ150+y 가 자연수가 되기 위하여 150+y는 (자연수)¤ 의 꼴이어야 하므로 150보다 큰 제곱수는 13¤ =169, 14¤ , y이다.

150+y는 최솟값을 가져야 하므로 150+y=169 ∴ y=19

∴ x-y=24-19=5

19 주어진 식의 좌변과 우변을 (유리수)+(무리수)의 형태로 정리하면

(-1+2b)+'ƒ7a-6=(3-a)+

(-1+2b)+'ƒ7a-6=(3-a)+5'2

따라서 -1+2b=3-a이고, 'ƒ7a-6=5'2='ß50이므로 a+2b=4, 7a-6=50

따라서 두 식을 연립하여 풀면 a=8, b=-2

20 ^{x, y}를 각각 분모의 유리화를 하면

x= =

x= 2+'3 =2+'3 2¤ -('3)¤

2+'3 (2-'3)(2+'3) 1

2-'3

10_'2 '2_'2

'3 2 3'3

6 3 2'3 3

2'3-3+3 a

b+3

;1@1$;y

;1™1;y

;1!1#;y+y

;1!1#;y-y x+y

x-y 5x-2y

4x+7y y= =

y= =2-'3

이므로

x+y=2+'3+(2-'3)=4

xy=(2+'3)(2-'3)=2¤ -('3)¤ =4-3=1 (1) ;[!;+;]!;= =;1$;=4

(2) ;]{;+;[};= =

(2) ;]{;+;[};= =16-2=14

21AE”=AC”='2이므로

점 A에 대응하는 수는 점 E에서 오른쪽으로 '2만큼 떨어 져 있으므로 -4'2+'2=-3'2이고, 점 D에 대응하는 수는 점 A에서 왼쪽으로 1만큼 떨어져 있으므로

-3'2-1이다.

22'1=1, '4=2, '9=3, 'ß16 =4, y이므로 n=1일 때, f(n)=0이므로 f(1)=0 n=2, 3, 4일 때, f(n)=1이므로 f(2)+f(3)+f(4)=1_3=3

n=5, 6, 7, 8, 9일 때, f(n)=2이므로 f(5)+f(6)+y+f(9)=2_5=10 n=10, 11, y, 16일 때, f(n)=3이므로 f(10)+f(11)+y+f(16)=3_7=21 n=17, 18, y, 25일 때, f(n)=4이므로 f(17)+f(18)+y+f(25)=4_9=36

따라서 f(1)+f(2)+y+f(n)=42가 성립하는 n의 값은 f(1)+f(2)+y+f(16)=3+10+21=34이고, f(17)+f(18)=4+4=8이므로

f(1)+f(2)+y+f(17)+f(18)=34+8=42

∴ n=18

233'2='ß18, 4<'ß18<5이므로 m=3'2-4

5'2='ß50, 7<'ß50<8이므로 2<10-5'2<3 ∴ n=2

∴ m+n¤ =3'2-4+2¤

=3'2-4+4=3'2

24'∂117 ='ƒ1.17_100 =10'∂1.17 =10_1.082=10.82이므로 '∂117 -2x=7.48에서

10.82-2x=7.48 2x=10.82-7.48=3.34

∴ x=1.67

4¤ -2_1 1

(x+y)¤ -2xy xy x¤ +y¤

xy x+y xy 2-'3 2¤ -('3)¤

2-'3 (2+'3)(2-'3) 1

2+'3

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12

유제3 (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=3¤ -4_1=9-4=5

∴ a¤ (a-b)+b¤ (b-a)-10

=a¤ (a-b)-b¤ (a-b)-10

=(a-b)(a¤ -b¤ )-10

=(a-b)(a-b)(a+b)-10

=(a-b)¤ (a+b)-10

=5_3-10

=15-10=5

유제4 ㄱ. (3x+2)¤ -(5x-1)¤

={(3x+2)+(5x-1)} {(3x+2)-(5x-1)}

=(8x+1)(-2x+3)

=-(2x-3)(8x+1)

ㄴ. 4x¤ -xy-3y¤ =(x-y)(4x+3y) ㄷ. 15x¤ +x-6=(3x+2)(5x-3) ㄹ. ;[!;=X로 치환하면

-;[%;-6=X¤ -5X-6=(X-6)(X+1) -;[%;-6={;[!;-6} {;[!;+1}

따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

유제5 선영이는 x의 계수를 잘못 보고 x¤ 의 계수와 상수항 은 제대로 보았으므로

(2x-1)(3x+3)=6x¤ +3x-3 6x¤ +ax+b에서 b=-3

유진이는 상수항을 잘못 보고 x¤ 의 계수와 x의 계수 는 제대로 보았으므로

(2x-1)(3x-2)=6x¤ -7x+2 6x¤ +ax+b에서 a=-7

∴ 6x¤ +ax+b=6x¤ -7x-3=(2x-3)(3x+1) 유제6 ① 2x¤ -9x-5=(x-5)(2x+1)

② 4x¤ -1=(2x-1)(2x+1)

③ 6x¤¤ -x-1=(2x-1)(3x+1)

④ 2x‹ +3x¤ +x=x(2x¤ +3x+1)

=x(x+1)(2x+1)

⑤ 2xy+4x+y+2=2x(y+2)+(y+2)

=(2x+1)(y+2)

따라서 ①, ②, ④, ⑤는 공통인수 2x+1을 갖지만 ③ 은 이와 같은 공통인수를 갖지 않는다.

유제7 두 다항식 x¤ -2x+m과 2x¤ +5nx-4m이 공통인 수 x-3을 가지므로

x¤ -2x+m=(x-3)(x+a) yy㉠ 2x¤ +5nx-4m=(x-3)(2x+b) yy㉡ 로 놓을 수 있다.

㉠에 x=3을 대입하면 9-6+m=0 ∴ m=-3 1

x¤

유제1 0<4a<1에서 0<2a<;2!;, 0<a<;4!;이므로 2a-;2!;<0, a-;4!;<0

∴ æ≠4a¤ -2a+;4!; -æ≠a¤ -;2!;a+;1¡6;

∴ =æ≠{2a-;2!;}2 -æ≠{a-;4!;}2

∴ =-{2a-;2!;}-[-{a-;4!;}]

∴ =-2a+;2!;+a-;4!;=-a+;4!;

유제2 ① A¤ = 라 하면

6x¤ +3x+ =6x¤ +3x+A¤

=('6x)¤ +2_'6x_A+A¤

에서 3x=2'6x_A이므로

A= = = =

∴ =A¤ ={ }2 =;1§6;=;8#;

② =A¤이라 하면

+ab+;4(;b¤ =A¤ +ab+;4(;b¤

+ab+;4(;b¤=A¤ +2_A_{;2#;b}+{;2#;b}2 에서 ab=2_A_{;2#;b}이므로

a=3A, A=;3!;a

∴ =A¤ ={;3!;a}2 =

③ ;9!;x¤ - +4y¤ ={;3!;x}2 - +(2y)¤ 이므로

=—{2_;3!;x_2y}=—;3$;xy

④ 16x¤ + x+25=(4x)¤ + x+5¤이므로 x=—(2_4x_5)=—40x ∴ =—40

⑤ =A¤이라 하면 {;bA;}2 -2+ ={;bA;}2 -2+A¤

이므로 -2=—2_;bA;_A, A=—;aB;

∴ =A¤ ={—;aB;}2 =b¤

a¤

a¤

9 '6

4

'6 4 3'6

12 3'6

2'6_'6 3

2'6

주제별 유형 불러오기 ^41~43쪽 step 1

유제1 -a+;4!; 유제2 ④, ⑤ 유제3 5 유제4 ③ 유제5 (2x-3)(3x+1) 유제6 ③ 유제7 -1

Ⅱ. 인수분해

1.인수분해와 그 공식

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13

㉡에 x=3을 대입하면 18+15n-4m=0 18+15n+12=0 ∴ n=-2

∴ m-n=-3+2=-1

최고 유형 탐험하기 ^44~45쪽 step 2

01 ① 02 ③ 03 ③ 04 ②

05 ④ 06 ② 07 ⑤ 08 ③

01 ^256=2°이므로

x° -2° =(x› +2› )(x› -2› )

=(x› +16)(x¤ +2¤ )(x¤ -2¤ )

=(x› +16)(x¤ +4)(x+2)(x-2) 따라서 인수가 아닌 것은 ①이다.

02 3x¤ +mx-10=(3x+a)(x+b)에서 a+3b=m, ab=-10이므로 ab=-10(a, b는 정수)이 되는 a, b의 값과 그 때의 m의 값은 다음 표와 같다.

따라서 m의 값은 -29, -13, -7, -1, 1, 7, 13, 29 이다.

03 ^{9x¤ -2x+A}가 완전제곱식이 되려면 {-;2@;}2 =9A ∴ A=;9!;

04 'x=a+2의 양변을 제곱하면 x=a¤ +4a+4 yy㉠

㉠을 주어진 식에 대입하면

(주어진 식)="√a¤ +4a+4-8a-"√a¤ +4a+4-6a-3

="√a¤ -4a+4-"√a¤ -2a+1

="√(a-2)¤ -"√(a-1)¤

1<a<2에서 a-1>0, a-2<0이므로 (주어진 식)=-(a-2)-(a-1)

=-a+2-a+1=-2a+3

05 두 다항식 x¤ -mx-5, 3x¤ +nx+m이 공통인수 x+1을 가지므로

x¤ -mx-5=(x+1)(x+a)로 놓고 양변에 x=-1을 대입하면

1+m-5=0 ∴ m=4

3x¤ +nx+m=3x¤ +nx+4=3(x+1)(x+b)로 놓고 양변에 x=-1을 대입하면

3-n+4=0 ∴ n=7

∴ m+n=4+7=11

06 (꽃밭의 넓이)=(가로)_(세로)이므로 2x¤ -;6!;x+A=(가로)_{x-;3!;}

x¤의 계수가 2이므로 가로의 길이를 2x+a라 하면 2x¤ -;6!;x+A=(2x+a){x-;3!;}

2x¤ -;6!;x+A=2x¤ +{a-;3@;}x-;3A;

이므로

a-;3@;=-;6!;, a=;2!;

∴ (가로의 길이)=2x+;2!;

따라서 (울타리의 길이)=(가로)+(세로)_2이므로 {2x+;2!;}+{x-;3!;}_2=2x+;2!;+2x-;3@;

{2x+;2!;}+{x-;3!;}_2=4x-;6!;

07 x¤ +3x-10=(x-2)(x+5)

⁄ x-2가 공통인수인 경우

2x¤ -ax-30=(x-2)(2x+k)로 놓으면 2x¤ -ax-30=2x¤ +(k-4)x-2k 이므로 -a=k-4, -30=-2k

∴ k=15, a=-11

¤ x+5가 공통인수인 경우

2x¤ -ax-30=(x+5)(2x+l)로 놓으면 2x¤ -ax-30=2x¤ +(l+10)x+5l 이므로 -a=l+10, -30=5l

∴ l=-6, a=-4

따라서 ⁄, ¤에 의하여 모든 a의 값의 합은 -11-4=-15이다.

08 (x-1)(ax+4)=ax¤ +(4-a)x-4에서 처음에 주어진 이차식은 (4-a)x¤ +ax-4 yy㉠

(x+b)(x-3)=x¤ +(b-3)x-3b에서 처음에 주어진 이차식은 x¤ -3bx+b-3 yy㉡

㉠=㉡이므로 4-a=1, b-3=-4

∴ a=3, b=-1

따라서 처음에 주어진 이차식은 x¤ +3x-4=(x-1)(x+4) a

1 2 5 10 -1 -2 -5 -10

b -10

-5 -2 -1 10

5 2 1

m -29 -13 -1

7 29 13 1 -7

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14

1 ‖x¤ , 16, x‖-‖-x¤ , 4x, 16‖

=(x¤ -16)(16-x)-(-x¤ -4x)(4x-16)

=(x+4)(x-4)(16-x)+4x(x+4)(x-4)

=(x+4)(x-4)(16-x+4x)

=(x+4)(x-4)(3x+16)

2 -(4x+1)(9x+1)+kx=-{36x¤ +(13-k)x+1}이 완전제곱식이 되려면 13-k=—2_6_1=—12 13-k=12에서 k=1

13-k=-12에서 k=25

따라서 구하는 합은 1+25=26이다.

3 x¤ +(k-5)x-2(k-3)=(x-2)(x+k-3) x¤ -5kx+4k¤ =(x-k)(x-4k)

⁄ x-2를 공통인수로 가질 때,

x-2=x-k또는 x-2=x-4k이므로

⁄ k=2또는 k=;2!;

¤ x+k-3을 공통인수로 가질 때,

x+k-3=x-k또는 x+k-3=x-4k이므로

⁄ k=;2#; 또는 k=;5#;

따라서 모든 k의 값을 더하면 2+;2!;+;2#;+;5#;=:™5£:이다.

4 n¤ +4n-32=(n-4)(n+8)이 소수이므로 n-4=1 ∴ n=5

따라서 이 소수는 5+8=13이다.

5 xy-3x-y+3=(x-1)(y-3)=k¤이므로 (x-1)(y-3)=1⇨ (x, y)=(2, 4) (x-1)(y-3)=4⇨ (x, y)=(3, 5), (5, 4) (x-1)(y-3)=9⇨ (x, y)=(4, 6)

주사위 2개를 동시에 던져 나올 수 있는 모든 경우의 수는 6_6=36(가지)이므로 구하는 확률은 ;3¢6;=;9!;이다.

6 (도형 ㈎의 넓이)=(3x-4)¤ -5¤

=(3x-4+5)(3x-4-5)

=(3x+1)(3x-9) 따라서

(도형 ㈎의 넓이)=(도형 ㈏의 넓이)=(3x+1)(3x-9)이 므로 도형 ㈏의 가로의 길이는 3x-9이다.

최고 유형 정복하기 ^46~47쪽 step 3

1 (x+4)(x-4)(3x+16) 2 26 3 :™5£:

4 13, n=5 5 ;9!; 6 3x-9 7 -a¤ + 8 29개

1 a¤

7 x={a+;a!;}¤ 이고,

"√x¤ -4x='ƒx(x-4)=Æ…{a+;a!;}¤

[{a+…;a!;}¤ -4]

"√x¤ -4x=Æ…{a+;a!;}¤

{a-;a!;}¤ =Æ…{a¤ - }¤ 0<a<1이므로 a¤ - <0이다.

∴ "√x¤ -4x=-a¤ +

8 ^(x+a)(x+b)로 인수분해된다고 하면

a+b=-4, abæ-1000이므로 만족하는 a, b를 순서쌍 으로 나타내면 (1, -5), (2, -6), (3, -7), y, (29, -33)이다.

따라서 모두 29개이다.

1 a¤

1 a¤

1 a¤

유제1 (주어진 식)

={(x-1)(x+3)}{(x-2)(x+4)}-84

=(x¤ +2x-3)(x¤ +2x-8)-84

=(A-3)(A-8)-84

=A¤ -11A+24-84

=A¤ -11A-60

=(A-15)(A+4)

=(x¤ +2x-15)(x¤ +2x+4)

=(x-3)(x+5)(x¤ +2x+4)

유제2 f(x)=(x¤ -4x)¤ -x¤ +4x-12

=(x¤ -4x)¤ -(x¤ -4x)-12

f(x)=A¤ -A-12

=(A-4)(A+3)

=(x¤ -4x-4)(x¤ -4x+3)

=

=x¤ -4x-4=ax¤ +bx+c 이므로 a=1, b=-4, c=-4

∴ a+b+c=1-4-4=-7 (x¤ -4x-4)(x¤ -4x+3)

x¤ -4x+3 f(x)

g(x)

주제별 유형 불러오기 ^49~53쪽 step 1

유제1 ③ 유제2 -7 유제3 ①, ④ 유제4 4 유제5 4x+y-1 유제6 ② 유제7 1371 유제8 -55 유제9 2'3-1

유제10 10-7'3

2.여러 가지 인수분해

[A [_A

[A [

A

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15

유제3 a¤ -25b¤ -2a+1=(a¤ -2a+1)-25b¤

=(a-1)¤ -(5b)¤

=(a-1+5b)(a-1-5b)

=(a+5b-1)(a-5b-1) 따라서 a¤ -25b¤ -2a+1의 인수는 1, a+5b-1, a-5b-1, (a+5b-1)(a-5b-1)이다.

유제4 9x¤ -y¤ +4+12x=(9x¤ +12x+4)-y¤

=(3x+2)¤ -y¤

=(3x+2+y)(3x+2-y)

=(3x+y+2)(3x-y+2)

=(3x+A)(3x+B)

따라서 A=y+2, B=-y+2(또는 A=-y+2, B=y+2)이므로 A+B=4

유제5 3x¤ -2y¤ -3x-2y-xy

=3x¤ -(3+y)x-2y¤ -2y

=3x¤ -(3+y)x-2y(y+1)

=(3x+2y)(x-y-1) 따라서 두 일차식의 합은

(3x+2y)+(x-y-1)=4x+y-1

유제6 A=2x¤ -x+3y-xy-15

=2x¤ -(1+y)x+3(y-5)

=(x-3)(2x-y+5)

= =

=x-;2!;y+;2%;

따라서 a=1, b=-;2!;, c=;2%;이므로 a+b+c=1-;2!;+;2%;=3

유제7 1371=t로 치환하면

1369=t-2, 1373=t+2이므로

=

= =

=t=1371

유제8 1¤ -2¤ +3¤ -4¤ +5¤ -y+9¤ -10¤

=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+y +(9-10)(9+10)

=-3-7-11-15-19=-55

유제9 a= = =

a='3+1

2('3+1) 3-1 2('3+1)

('3-1)('3+1) 2

'3-1

t¤

t t¤ -4+4

t

(t-2)(t+2)+4 t 1369_1373+4

1371

2x-y+5 2 (x-3)(2x-y+5)

2(x-3) A

2x-6

b= = =

b=

∴ a¤ -2a+1-4b¤

=(a¤ -2a+1)-4b¤

=(a-1)¤ -(2b)¤

∴ =('3+1-1)¤ -{2_ }2

∴ =('3)¤ -('3-1)¤

=('3+'3-1)('3-'3+1)

=2'3-1

유제10 x+1='3의 양변을 제곱하면

x¤ +2x+1=3에서 x¤ =-2x+2이므로 2x¤ -3x-1=2(-2x+2)-3x-1

=-7x+3

=-7(-1+'3)+3

=10-7'3

'3-12 '3-12

'3-13-1 '3-1

('3+1)('3-1) 1

'3+1

최고 유형 탐험하기 ^54~55쪽 step 2

01 ⑤ 02 ② 03 ② 04 ②

05 ①, ④ 06 ④ 07 ① 08 ③

01 x-2y=A, x+2y=B로 치환하면 (주어진 식)=2A¤ -3AB-5B¤

=(A+B)(2A-5B)

=(x-2y+x+2y){2(x-2y)-5(x+2y)}

=2x(-3x-14y)

=-2x(3x+14y)

=-2x(ax+by) 이므로 a=3, b=14

∴ a+b=17

02 ㄱ. ;4(;x¤ -;3$;xy+;8!1^;y¤ ={;2#;x}2 -2_;2#;x_;9$;y+{;9$;y}2 ㄱ. ;4(;x¤ -;3$;xy+;8!1^;y¤={;2#;x-;9$;y}2

ㄴ. 4a¤ -b¤ -c¤ +2bc=4a¤ -(b¤ -2bc+c¤ )

=4a¤ -(b-c)¤

=(2a)¤ -(b-c)¤

=(2a+b-c)(2a-b+c) ㄷ. (x+1)¤ -(x¤ -1)¤

=(x+1+x¤ -1)(x+1-x¤ +1)

=(x¤ +x){-(x¤ -x-2)}

=-x(x+1)(x-2)(x+1)

=-x(x+1)¤ (x-2)

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16

ㄹ. a+b=X로 치환하면 2(a+b)¤ -3(a+b)-5

=2X¤ -3X-5

=(X+1)(2X-5)

=(a+b+1){2(a+b)-5}

=(a+b+1)(2a+2b-5) 따라서 옳지 않은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

03 x-x¤ y¤ +y-x‹ y

=(x+y)-(x¤ y¤ +x‹ y)

=(x+y)-x¤ y(y+x)=(x+y)(1-x¤ y) xy-yz-xz+y¤

=(xy+y¤ )-(yz+xz)

=y(x+y)-z(y+x)=(x+y)(y-z) 따라서 두 다항식의 공통인수는 x+y이다.

04 주어진 식을 x에 대하여 내림차순으로 정리하면 9x¤ -12xy+4y¤ -6x+4y-15

=9x¤ -12xy-6x+(4y¤ +4y-15)

=9x¤ -6x(2y+1)+(2y-3)(2y+5) 3x -(2y-3) ⁄ -3x(2y-3) 3x -(2y+5) ⁄ -3x(2y+5)

-12xy-6x=-6x(2y+1)

=(3x-2y+3)(3x-2y-5)

즉, (3x-2y+3)(3x-2y-5)=(3x+Ay+3)(Bx-2y+C) 이므로 A=-2, B=3, C=-5

∴ A+B+C=-2+3-5=-4

05 ^{x¤ =t}로 치환하면

x› -2x¤ +1=t¤ -2t+1=(t-1)¤ =(x¤ -1)¤

={(x+1)(x-1)}¤

=(x+1)¤ (x-1)¤

x› -2x¤ +1의 인수 중에서

삼차식은 (x+1)¤ (x-1), (x+1)(x-1)¤ 이고, 사차식은 (x+1)¤ (x-1)¤ 이므로

A=(x+1)¤ (x-1)+(x+1)(x-1)¤ +(x+1)¤ (x-1)¤

A=(x+1)(x-1){x+1+x-1+(x+1)(x-1)}

=(x+1)(x-1)(x¤ +2x-1)

따라서 A의 인수는 1, x+1, x-1, x¤ +2x-1, (x+1)(x-1), (x+1)(x¤ +2x-1), (x-1)(x¤ +2x-1) (x+1)(x-1)(x¤ +2x-1)이다.

06 x+y=3'2 yy㉠ x-y=-4 yy㉡

㉠+㉡을 하면

2x=3'2-4 ∴ x=3'2-4 2

1 ㄱ. xy-y+3x-3=xy+3x-y-3

=x(y+3)-(y+3)

=(x-1)(y+3) ㄴ. 4(2x-5)¤ -9(x-3)¤

={2(2x-5)}¤ -{3(x-3)}¤

={2(2x-5)+3(x-3)}{2(2x-5)-3(x-3)}

=(4x-10+3x-9)(4x-10-3x+9)

=(7x-19)(x-1)

㉠-㉡을 하면

2y=3'2+4 ∴ y=

xy= _

xy=

xy= =;4@;=;2!;

x¤ +y¤ =(x-y)¤ +2xy x¤ +y¤=(-4)¤ +2_;2!;

x¤ +y¤=16+1=17

∴ x‹ y+xy‹ =xy(x¤ +y¤ )

∴ x‹ y+xy‹=;2!;_17=:¡2¶:

07^{2160-1=(280+1)(280-1)}

=(2⁸⁰+1)(2⁴⁰+1)(2⁴⁰-1)

=(2⁸⁰+1)(2⁴⁰+1)(2²⁰+1)(2²⁰-1)

=(2⁸⁰+1)(2⁴⁰+1)(2²⁰+1)(2¹⁰+1)(2¹⁰-1)

=(2⁸⁰+1)(2⁴⁰+1)(2²⁰+1)(2¹⁰+1)(2⁵+1)(2⁵-1) 따라서 30과 40 사이의 두 자연수는

2⁵+1=32+1=33, 2⁵-1=32-1=31이다.

08^2010=t로 치환하면

=

= = =t

=2010

t‹

t¤

t‹

t¤ -1+1 t‹

(t-1)(t+1)+1 2010‹

2009_2011+1 18-16

4 (3'2)¤ -4¤

4

3'2+4 2 3'2-4

2

3'2+4 2

최고 유형 정복하기 ^56~57쪽 step 3

1 ㄱ, ㄴ, ㅁ 2 2x-7

3 (1) (x+1)(x+6)(x¤ +7x-9)

(2) (ab-a-1)(ab+b-1) (3) -5m(7m-8) 4 ;2&; 5 55 6 (4, 2) 7 20+2'5 8 0 9 3fl ‹

+>≤

≤

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17

ㄷ. 6xy+1-9x¤ -y¤ =1-(9x¤ -6xy+y¤ )

=1¤ -(3x-y)¤

=(1+3x-y)(1-3x+y)

=-(3x-y+1)(3x-y-1) ㄹ. 2xy-4+x¤ +y¤ =(x¤ +2xy+y¤ )-4

=(x+y)¤ -2¤

=(x+y+2)(x+y-2) ㅁ. x¤ y¤ -x¤ -y¤ +1=x¤ (y¤ -1)-(y¤ -1)

=(x¤ -1)(y¤ -1)

=(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) 따라서 x-1을 인수로 갖는 다항식은 ㄱ, ㄴ, ㅁ이다.

2 x¤ -y¤ -7x+3y+10

=x¤ -7x-(y¤ -3y-10)

=x¤ -7x-(y-5)(y+2)

=(x+y-5)(x-y-2) 따라서 두 일차식의 합은

(x+y-5)+(x-y-2)=2x-7 3 (1) x¤ +7x=A로 치환하면

(주어진 식)=(A+1)(A-4)-50

=A¤ -3A-54 (주어진 식)=(A-9)(A+6)

=(x¤ +7x-9)(x¤ +7x+6)

=(x+1)(x+6)(x¤ +7x-9) (2) (주어진 식)=(ab-a+b-1)(ab-1)-ab

=(A-a+b)A-ab

=A¤ -aA+bA-ab

=A¤ -(a-b)A-ab

=(A-a)(A+b)

=(ab-1-a)(ab-1+b)

=(ab-a-1)(ab+b-1) (3) m+1=A, 3m-2=B로 치환하면

(주어진 식)

=4A¤ -4AB-3B¤

=(2A+B)(2A-3B)

={2(m+1)+3m-2}{2(m+1)-3(3m-2)}

=5m(-7m+8)

=-5m(7m-8) 4 4x¤ -4xy+y¤ =0에서

(2x-y)¤ =0, 2x-y=0 ∴ y=2x

∴ =

∴ =

∴ = 7x¤ =;2&;

2x¤

x¤ +2x¤ +4x¤

2x¤

x¤ +x_(2x)+(2x)¤

x_(2x) x¤ +xy+y¤

xy

5 (주어진 식)

=-100[{;2!;-1}{;2!;+1}][{;3!;-1}{;3!;+1}]

=y[{;9!;-1}{;9!;+1}][{;1¡0;-1}{;1¡0;+1}]

=-100{-;2!;_;2#;}{-;3@;_;3$;}

=y{-;9*;_:¡9º:}{-;1ª0;_;1!0!;}

=100{;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_;4#;_

=y_;8(;_;9*;_:¡9º:_;1ª0;_;1!0!;}

=100_;2!;_;1!0!;=55

6 x¤ -y¤ +1-2x=5에서

(x¤ -2x+1)-y¤ =5, (x-1)¤ -y¤ =5

∴ (x+y-1)(x-y-1)=5

다항식 x+y-1과 x-y-1의 곱이 5가 되는 경우는 다 음과 같다.

각각의 경우에 대하여 x, y에 관한 연립방정식을 풀면

①에서 x=4, y=-2, ②에서 x=4, y=2

③에서 x=-2, y=2, ④에서 x=-2, y=-2 따라서 양의 정수 x, y의 순서쌍은 (4, 2)이다.

7 x¤ -x+y-2xy+y¤ =(x¤ -2xy+y¤ )-(x-y)

=(x-y)¤ -(x-y)

=(x-y)(x-y-1)

x= = = =-2-'5

y= = = =-2+'5

x-y=-2-'5-(-2+'5)

=-2-'5+2-'5=-2'5

∴ (주어진 식)=-2'5_(-2'5-1)=20+2'5

8 ^{x¤ =t}로 치환하면

(주어진 식)=(x¤ )¤ -13x¤ +36=t¤ -13t+36

=(t¤ -12t+36)-t

=(t-6)¤ -t

=(x¤ -6)¤ -x¤

=(x¤ +x-6)(x¤ -x-6)

=(x-2)(x+3)(x+2)(x-3)

=(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

∴ a+b+c+d=-2+3+2-3=0 2-'5

4-5 2-'5

(2+'5)(2-'5) 1

2+'5

2+'5 4-5 2+'5

(2-'5)(2+'5) 1

2-'5 ab-1=A

로 치환

x+y-1 x-y-1

① 1 5

② 5 1

③ -1 -5

④ -5 -1

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18

9 주어진 등식의 양변에 (9-6)을 곱하면

3A=(9-6)(9+6)(9¤ +6¤ )(9› +6› )(9° +6° )(9⁄ fl +6⁄ fl ) 3A=(9¤ -6¤ )(9¤ +6¤ )(9› +6› )(9° +6° )(9⁄ fl +6⁄ fl ) 3A=(9› -6› )(9› +6› )(9° +6° )(9⁄ fl +6⁄ fl ) 3A=(9° -6° )(9° +6° )(9⁄ fl +6⁄ fl ) 3A=(9⁄ fl -6⁄ fl )(9⁄ fl +6⁄ fl ) 3A=9‹ ¤ -6‹ ¤

∴ A= =

∴ A= =3fl ‹ -2‹ ¤ _3‹ ⁄

∴ A+2‹ ¤ _3‹ ⁄ =(3fl ‹ -2‹ ¤ _3‹ ⁄ )+2‹ ¤ _3‹ ⁄ =3fl ‹ 3fl › -2‹ ¤ _3‹ ¤

3

(3¤ )‹ ¤ -(2_3)‹ ¤ 3 9‹ ¤ -6‹ ¤

3

58~60쪽

대단원마무리하기

01^{①, ③} 02^{①, ④} 03^④ 04^② 05^② 06^② 07^④ 08^③ 09^② 10^⑤

11^⑤ 12^④ 13^④ 14^② 15^③

16^④

17;4%; 18^{a=39, b=19}또는 a=9, b=1 19a=4, b=1 또는 a=6, b=2 또는 a=8, b=3 또는 a=10, b=4 20(2x+1)(x-3)

21;1∞0¡0; 22'3-2 23㉠ 2y ㉡ 6xy 24(x¤ +2x-1)(x¤ -2x-1)

주관식 문제

01 -3a¤ xy‹ +12a¤ xy¤ =-3a¤ xy¤ (y-4)이므로 인수인 것 은 ①, ③이다.

02 4x¤ -(2k+1)x+25=(2x)¤ -(2k+1)x+(—5)¤에서 -(2k+1)=—2_2_5=—20

-2k-1=—20

∴ k=-:™2¡: 또는 k=:¡2ª:

03 -2ax¤ +bx+30은 x+2와 2x-5를 인수로 가지므로 -2ax¤ +bx+30=k(x+2)(2x-5)로 놓으면 -2ax¤ +bx+30=k(2x¤ -5x+4x-10)

=k(2x¤ -x-10)

=2kx¤ -kx-10k 30=-10k이므로 k=-3

-2a=2k=-6이므로 a=3이고, b=-k=3

∴ a+b=3+3=6

04 ㄱ. (주어진 식)=(2x¤ -xy-y¤ )-(x-y)

=(x-y)(2x+y)-(x-y)

=(x-y)(2x+y-1)

ㄴ. (주어진 식)=(x¤ -y¤ )+2(x+y)

=(x+y)(x-y)+2(x+y)

=(x+y)(x-y+2) ㄷ. x-y=A로 치환하면

(주어진 식)=A(A-4)+3=A¤ -4A+3

=(A-1)(A-3)

=(x-y-1)(x-y-3) ㄹ. (주어진 식)=xy¤ -x¤ y+2x¤ z-2y¤ z

=xy(y-x)+2z(x¤ -y¤ )

=-xy(x-y)+2z(x+y)(x-y)

=(x-y){-xy+2z(x+y)}

=(x-y)(-xy+2yz+2zx)

=-(x-y)(xy-2yz-2zx) 따라서 공통인수가 x-y인 것은 ㄱ, ㄹ이다.

05

=

=

=

=

=

=-4(4x-3y)

=-16x+12y

따라서 a=-16, b=12이므로 a+b=-16+12=-4

06'x=a+1의 양변을 제곱하면 x=(a+1)¤

∴ (주어진 식)="√(a+1)¤ -6a+3-"√(a+1)¤ -8a+8

="√a¤ -4a+4-"√a¤ -6a+9

="√(a-2)¤ -"√(a-3)¤

=a-2-{-(a-3)} (∵ 2<a<3)

=a-2+a-3

=2a-5

07두 밭의 둘레의 길이의 합이 520 m이므로 4a+4b=520 ∴ a+b=130

두 밭의 넓이의 차가 910 m¤ 이고, a>b이므로 a¤ -b¤ =910, (a-b)(a+b)=910 ∴ a-b=7 따라서 둘레의 길이의 차는

4a-4b=4(a-b)=28(m)이다.

08x¤ +x-n=x¤ +(a+b)x+ab에서 a+b=1, ab=-n, 1<n<30이므로

2(8x-5y)_{-2(4x-3y)}

8x-5y (16x-10y)(-8x+6y)

8x-5y

(4x-2y+12x-8y)(4x-2y-12x+8y) 8x-5y

(4x-2y)¤ -(12x-8y)¤

8x-5y

{2(2x-y)}¤ -{4(3x-2y)}¤

8x-5y 4(2x-y)¤ -16(3x-2y)¤

8x-5y

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19

정수 a, b를 각각 순서쌍으로 나타내어 보면

(a, b)=(-1, 2), (-2, 3), (-3, 4), (-4, 5) 따라서 n=2, 6, 12, 20의 4개이다.

09 g(x)=12x¤ -17xy-5y¤ =(3x-5y)(4x+y)이므로

= =3x-5y

∴ a=3, b=-5

(a+b)x¤ +(4a-1)xy+aby¤

=-2x¤ +11xy-15y¤

=(x-3y)(-2x+5y) 따라서 두 일차식의 합은

(x-3y)+(-2x+5y)=-x+2y

10 x+;[!;=5에서

{x-;[!;}2 ={x+;[!;}2 -4=25-4=21

∴ x-;[!;=—'ß21

∴ x¤ -x+;[!;- =x¤ - -{x-;[!;}

∴ x¤ -x+;[!;- ={x+;[!;}{x-;[!;}-{x-;[!;}

∴ x¤ -x+;[!;- ={x-;[!;}{x+;[!;-1}

∴ x¤ -x+;[!;- =(—'ß21)(5-1)=—4'ß21

11 Æ…51+;4¡9; =

=

=

=

=

12 25° -1=(5¤ )° -1=5⁄ fl -1

=(5° +1)(5° -1)=(5° +1)(5› +1)(5› -1)

=(5° +1)(5› +1)(5¤ +1)(5¤ -1)

=(5° +1)(5› +1)(5¤ +1)(5+1)(5-1) 25° -1을 나누어 떨어지게 하는 수는 이 수의 인수와 그것 의 약수들이다.

① 2(5-1=4 또는 5+1=6의 약수)

② 6(5+1)

③ 13(5¤ +1=26의 약수)

⑤ 26(5¤ +1)

따라서 인수가 아닌 것은 ④이다.

7

( +1)¤

49

¤ +2_ +1 49

( +2)_ +1

49 51_ +1

49 1 x¤

1 x¤

(3x-5y)(4x+y) 4x+y g(x)

f(x)

13x+y='3, x-y='2-1

∴ (주어진 식)=x¤ +4x-(y¤ +2y-3)

=x¤ +4x-(y-1)(y+3)

=(x-y+1)(x+y+3)

=('2-1+1)('3+3)

='6+3'2 14^20=t로 치환하면

(주어진 식)='ƒ(t-3)(t-1)(ƒt+1)(t+3)+16

="√(t¤ -1)(t¤ -9)+16="√t› -10t¤ +9+16

="√(t¤ -5)¤ =t¤ -5=395

15주어진 등식의 양변에 {1-;7!;}을 곱하면

;7^;X={1-;7!;} {1+;7!;} {1+ } {1+ } {1+ }

;7^;X={1- } {1+ } {1+ } {1+ }

;7^;X={1- } {1+ } {1+ }

;7^;X={1- } {1+ }=1- 따라서 ;7^;X=1- 이므로 1-;7^;X=

16(주어진 식)=x(yz-y+z-1)-(yz-y+z-1)

=(x-1)(yz-y+z-1)

=(x-1){ y(z-1)+(z-1)}

=(x-1)(y+1)(z-1) 17{(x-2)(x+4)}{(x-1)(x+3)}+5k

=(x¤ +2x-8)(x¤ +2x-3)+5k에서 x¤ +2x=A로 치환하면

(주어진 식)=(A-8)(A-3)+5k

=A¤ -11A+24+5k 이것이 완전제곱식이 되려면 {-:¡2¡:}¤ =24+5k이므로 k=;4%;

18"√4b¤ +77 =a의 양변을 제곱하면

4b¤ +77=a¤ , a¤ -4b¤ =77, (a+2b)(a-2b)=77 77=1_77=7_11이고 a+2b>a-2b이므로

⁄ [ 또는 ¤ [

⁄과 ¤의 연립방정식을 각각 풀면 a=39, b=19또는 a=9, b=1

19a¤ x-4b¤ x-ay+2by=x(a¤ -4b¤ )-y(a-2b)

=x(a+2b)(a-2b)-y(a-2b)

=(a-2b){x(a+2b)-y}

=(a-2b)(ax+2bx-y) a+2b=11 a-2b=7 a+2b=77

a-2b=1

1 7⁄ fl 1

7⁄ fl

1 7⁄ fl 1

7°

1 7°

1 7°

1 7›

1 7›

1 7°

1 7›

1 7¤

1 7¤

1 7°

1 7›

1 7¤

Æ…

Æ…

Æ… …

Æ… …

49

49 49

49

49

50

49

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