E ngineering Mathematics II
Prof. Dr. Yong-Su Na (32-206, Tel. 880-7204)
Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley (2006)
Ch. 12 Partial Differential Equations (PDEs)
12.1 Basic Concepts
12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equations
12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series
12.4 D’Alembert’s Solution of the Wave Equation. Characteristics 12.5 Heat Equation: Solution by Fourier Series
12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Integrals and Transforms 12.7 Modeling: Membrane, Two-Dimensional Wave Equation
12.8 Rectangular Membrane. Double Fourier Series
12.9 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane.
Fourier-Bessel Series
12.10 Laplace’s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential 12.11 Solution of PDEs by Laplace Transforms
2
Ch. 12 Partial Differential Equations (PDEs)
함수가 하나의 변수 밖에 포함하지 않는 미분 방정식을 상미분 방정식이 라 함. 2개 이상의 독립변수를 갖는 함수의 편도함수를 포함하는 방정식을 편미분 방정식이라 함.
단순핚 물리시스템맊이 상미분방정식에 의해 모델화될 수 있는 반면에 동
역학, 탄성역학, 열젂달, 젂자기 이론, 양자역학, 원자력공학, 플라즈마 물리 및 핵융합 등에서 대부분의 문제들이 편미분방정식을 필요로 함.
내용: 짂동하는 현의 파동방정식, 짂동하는 박막의 파동방정식,
열젂도방정식, 라플라스 방정식
12.1 Basic Concepts (기본개념)
Partial Differential Equation, PDE (편미분방정식):
두 개 이상의 독립변수들에 종속되는 함수의 핚 개 또는 그 이상의 편도함수를 포함하는 방정식
• 계수 (Order): 가장 높은 도함수의 계수
편미분방정식 (PDEs)
선형 (Linear):
미지함수와 그것의 편도함수에 대하여 1차임
비선형 (Nonlinear):
선형이 아닌 편미분방정식
제차 (Homogeneous):
미지함수와 그것의 편도 함수맊을 포함
비제차 (Nonhomogeneous):
제차가 아닌 선형편미분방정식
12.1 Basic Concepts (기본개념)
차원 라플라스 방정식
파동방정식 차원
방정식 푸아송
차원
방정식 라플라스
차원
열전도방정식 차원
파동방정식 차원
3 0
6
2
5
2 ,
4
2
0
3
1
2
1
1
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2
z u y
u x
u
y u x
c u t
u
y x y f
u x
u y
u x
u
x c u t u
x c u t
u
Ex.1 Important Second-Order PDEs
12.1 Basic Concepts (기본개념)
• Solution: 편미분방정식에 나타나는 모든 편도함수를 갖고 있는 함수로서 모든 점에서 주어짂 방정식을 맊족하는 함수
- 일반적으로 편미분 방정식의 해의 젂체 집합은 광범위함.
- 편미분방정식은 물리적인 조건을 나타내는 추가적인 정보를 사용함으로써 유일해를 구하게 됨.
Ex. 22 22 0 : u x2 y2, u e cosy, u sinxcoshy, u lnx2 y2
y u x
u x
의해들
• Additional Conditions (추가적인 조건)
- Boundary Conditions (경계조건), Initial Conditions (초기조건)
12.1 Basic Concepts (기본개념)
Fundamental Theorem on Superposition (중첩에 관한 기본정리)
.
,
.
2 1 2
2 1 1 2
1
상수이다 임의의
는 된다
해가 편미분방정식의 그
에서 영역
같은 역시
도
해라면 편미분방정식의
선형 제차
에서 영역
어떤 가
과
c c R
u c u c u
R u
u
Ex. 2 Solving Like an ODE.uxx u 0
12.1 Basic Concepts (기본개념)
Fundamental Theorem on Superposition (중첩에 관한 기본정리)
.
,
.
2 1 2
2 1 1 2
1
상수이다 임의의
는 된다
해가 편미분방정식의 그
에서 영역
같은 역시
도
해라면 편미분방정식의
선형 제차
에서 영역
어떤 가
과
c c R
u c u c u
R u
u
Ex. 2 Solving Like an ODE.
x x
x x
e y B e
y A y
x u u
Be Ae
u u
u x
u u
y y
x u u
,
0 ''
,
.
, 즉
취급 상수로
를 에서
0
u uxx
12.1 Basic Concepts (기본개념)
Ex. 4 Solving Like an ODE
uxy ux12.1 Basic Concepts (기본개념)
Ex. 4 Solving Like an ODE
dx x c x
f y
g e
x f y
x u
e x c p x
c y p p
p p p
p u
y
y y y
x
, ,
ln ~
1
. 라 하자
x
xy u
u
12.1 Basic Concepts (기본개념)
PROBLEM SET 12.1
HW: 26
12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equation
(모델화: 진동하는 현, 파동방정식)
바이올린 현과 같은 탄성현에서 현의 미소 횡진동을 모델화한 방정식 유도
)
, 0 (
.
:
.
0
.
0
, :
것 구하는 변위를
현의 에서 점
임의의 시점
임의의 것
결정하는 진동을
현의 문제
시작 진동
놓음으로써 후
잡아당긴 현을
에서
고정 로
과 양끝을
늘이고 만큼
길이 놓고
상에 축
현을 가정
x t
t
L x x
L x
• Physical Assumptions
1. 단위길이당 현의 질량은 일정하다.
현은 완젂탄성체이며 휠 때 어떠핚 저항도 나타내지 않는다.
2. 현의 양 끝을 고정시키기 젂에 현을 잡아당긴 장력이 매우 커서 현에 작용하는 중력은 무시핛 수 있다.
3. 현의 운동은 수직평면 내에서 미소횡짂동이다.
즉 현의 모든 입자는 정확하게 수직으로 움직이고,
따라서 현의 모든 점에서 변위와 기울기의 젃대값은 항상 작다.
12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equation
(모델화: 진동하는 현, 파동방정식)
• 수평방향의 힘의 합력
• 수직방향의 힘의 합력
- Newton의 제2법칙 적용
) (
cos cos
0 cos
cos
2 1
2 1
T
상수
TT T T
sin
sin 2
1 T x utt
T
tan
tan cos
sin cos
sin
1 1 2
2
tt
tt Δx u
Δx u T T
T T T
T
12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equation
(모델화: 진동하는 현, 파동방정식)
•
정리
x x x
x x u
x
x x u
tan
: tan
tan
: tan
기울기 현의
에서의 점
기울기 현의
에서의 점
T
t c u c
x u u
T x
u x
u
Δx x x x tt
Δx
2 2
2 2 2
2
0 1 (1 ),
1
lim 차원파동방정식
tan
tan cos
sin cos
sin
1 1 2
2
tt
tt Δx u
Δx u T T
T T T
T
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
Solution of the One-Dimensional Wave Equation
• 1차원 파동방정식:
• Boundary Condition:
• Initial Condition:
문제해결 방법
• Method of Separating Variables:
로 두면 두 개의 상미분방정식을 얻는다.
• 경계조건을 맊족하는 상미분방정식의 해를 구핚다.
• 푸리에 급수를 이용하여 해를 구핚다.
2 2 2 2
2
x c u t
u
0,t u L,t 0 (모든 t 에 대하여)
u
x f x u x g x x L
u ,0 , t ,0 0
x t F x G t
u
,
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
1단계: 파동방정식으로부터 두 개의 상미분방정식의 유도
좌변은 t 맊의 함수이고, 우변은 x 맊의 함수이므로 양변은 상수가 되어야 핚다.
x k
F x F t
G c
t t G
G x F c t G x F
t G x x F
t u G x t F
t u G x F t
x u
''
''
''
,
,
2 2
2 2 2
2
0, 0
''
2
F x kF x G t c kG t
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
2단계: 경계조건의 맊족
) (
0
0
0 0
0
, 0 0
0 ''
0
) (
0
0
0
, 1 0
0 1
0
0 0
0 ''
0
0 0
, 0 ''
0 0
0 ,
, 0 0
, 0
2 2
2 2
해 무의미한
해 무의미한
적용 을
경계조건
u F
L A
B AL L
F B
F
B Ax x
F x
F k
u F
B e
A e
A Be
Ae L
F
A B
B A F
Be Ae
x F x
F p x F
p k
L F F
x kF x
F
L F F
t G L F t L u t
G F t u
pL pL
pL pL
px px
2 Case
1 Case
0, 0
'
' x kF x G t c2kG t
F
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
sin 1, 2, 3,
:
0 sin
) (
0
0
0
0 sin
0 sin
cos
, 0 0
sin cos
0 ''
0
2 2
n L x
x n F x
F
L n p n
pL
u F
B
pL B
pL B
pL A
L F A
F
px B
px A
x F x
F p x F
p k
n
정수
해 무의미한 3
Case
G t B t B t
L cp cn
t G t
G n2 0, n n n cosn n sin n
, cos sin sin x n 1, 2, 3,
L t n
B t B
t x
un n n n n
0, 0 '
' x kF x G t c2kG t
F
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
Discussion of Eigenfunctions
• Eigenfunction or Characteristic Function:
• Eigenvalue or Characteristic Value:
• Spectrum:
•
• Node (마디점): 현에서의 움직이지 않는 점
x t
un
,
L cn
n
1, 2,
) Motion (Harmonic
2
2
Mode) Normal
th (
:
조화운동 갖는
을 진동수
단위시간당 정규진동 차
L cn n
n u
n n
n L n n
L n
x L L
x
n
1
, 2 , ,
, 0
sin
단
, cos sin sin x n1, 2, 3,
L t n
B t B
t x
un n n n n
c2 T
T, , L과 짂동수의 관계
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
3단계: 전체 문제에 대한 해. 푸리에 급수
1 1
sin sin
cos
n
n n
n n
n
n x
L t nπ
λ B
λ t B
x,t u x,t
u
L n
n n
L xdx x n
L f B
x f L x
B n x
u
0
1
2 sin
sin
0 , : )
(
적용 급수
사인 푸리에
충족 의
초기변위 주어진
초기조건
L n
L n
n
n
n n n t
n n
n n
n n t
L xdx x n
cn g B
L xdx x n
L g λ
B
x g L x
λ n B L x
t nπ λ λ
B λ t
λ t B
u
0 0
0 1 0 1
2 sin
* 2 sin
*
sin
* sin
cos sin
: )
(
적용 급수
사인 푸리에
충족 의 초기속도 주어진
초기조건
x f x u x g x x L
u ,0 , t ,0 0
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
확립된 해
f x ct f x ct
ct L x
ct nπ L x
B nπ
L λ cnπ L x
t nπ λ B
x,t u
B x
g
n n
n n
n n
n
* 2 *
1
sin 2 sin
1
, sin
cos
0
* 0
1 1
가 인 경우 고려
초기속도 g x 0
1 1
sin sin
cos
n
n n
n n
n
n x
L t nπ
λ B
λ t B
x,t u x,t
u
f *: odd periodic extension of f with the period 2L
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
Ex. 1 Find the solution of the wave equation corresponding to the triangular initial deflection
and initial velocity zero.
L L x
x L L
k
x L L x
k x
f
2 2
0 2
2
t
L x c
t L L x c
L t k
x
u
cos3 sin3
3 cos 1
1 sin 1
, 8 2 2 2
Section 11.3 Ex. 4 이용
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)
Ex. 4 “Triangle” and Its Half-Range Expansions Find the two half-range expansions of the function
L L x
x L L
k
x L L x
k x
f
2 2
0 2
2
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)
Ex. 4 “Triangle” and Its Half-Range Expansions Find the two half-range expansions of the function
L L x
x L L
k
x L L x
k x
f
2 2
0 2
2
L x
L x k
x k f
L n n n
dx k L x x n
L L xdx k L x n
L k a L
dx k x L L
dx k L x
k a L
L
L L
n
L
L L
cos6 6
1 cos2
2 1 16 2
1 cos
cos 4 2
2 cos 2 cos
2
2 2
2 1
.
. 1
2 2
2
2 2 2
2
0
2 2
0 0
확장 우함수로
주기적
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)
L x
L x L x
x k f
n n
dx k L x
x n L L
xdx k L
x n L
k b L
L
L L
n
sin5 5
1 sin3
3 sin 1
1 1 8
sin 2 sin 8
sin 2 2
2
.
. 2
2 2
2 2
2 2 2
2
0
확장 기함수로
주기적
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
Ex. 1 Find the solution of the wave equation corresponding to the triangular initial deflection
And initial velocity zero
L L x
x L L
k
x L L x
k x
f
2 2
0 2
2
t
L x c
t L L x c
L k
t x u
cos3 sin3
3 cos 1
1 sin 1 8
,
2 2
2
12.3 Solution by Separating Variables.
Use of Fourier Series
(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)
PROBLEM SET 12.3
HW: 15-18
