E ngineering Mathematics II

(1)

E ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

(2)

Ch. 12 Partial Differential Equations (PDEs)

12.1 Basic Concepts

12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equations

12.3 Solution by Separating Variables. Use of Fourier Series

12.4 D’Alembert’s Solution of the Wave Equation. Characteristics 12.5 Heat Equation: Solution by Fourier Series

12.6 Heat Equation: Solution by Fourier Integrals and Transforms 12.7 Modeling: Membrane, Two-Dimensional Wave Equation

12.8 Rectangular Membrane. Double Fourier Series

12.9 Laplacian in Polar Coordinates. Circular Membrane.

Fourier-Bessel Series

12.10 Laplace’s Equation in Cylindrical and Spherical Coordinates. Potential 12.11 Solution of PDEs by Laplace Transforms

2

(3)

Ch. 12 Partial Differential Equations (PDEs)



함수가 하나의 변수 밖에 포함하지 않는 미분 방정식을 상미분 방정식이 라 함. 2개 이상의 독립변수를 갖는 함수의 편도함수를 포함하는 방정식을 편미분 방정식이라 함.



단순핚 물리시스템맊이 상미분방정식에 의해 모델화될 수 있는 반면에 동

역학, 탄성역학, 열젂달, 젂자기 이론, 양자역학, 원자력공학, 플라즈마 물리 및 핵융합 등에서 대부분의 문제들이 편미분방정식을 필요로 함.



내용: 짂동하는 현의 파동방정식, 짂동하는 박막의 파동방정식,

열젂도방정식, 라플라스 방정식

(4)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

 Partial Differential Equation, PDE (편미분방정식):

두 개 이상의 독립변수들에 종속되는 함수의 핚 개 또는 그 이상의 편도함수를 포함하는 방정식

• 계수 (Order): 가장 높은 도함수의 계수

편미분방정식 (PDEs)

선형 (Linear):

미지함수와 그것의 편도함수에 대하여 1차임

비선형 (Nonlinear):

선형이 아닌 편미분방정식

제차 (Homogeneous):

미지함수와 그것의 편도 함수맊을 포함

비제차 (Nonhomogeneous):

제차가 아닌 선형편미분방정식

(5)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

   

     

   

   ^차원 ^라플라스 ^방정식

파동방정식 차원

방정식 푸아송

차원

방정식 라플라스

차원

열전도방정식 차원

파동방정식 차원

3 0

6

2

5

2 ,

4

2

0

3

1

2

1

2 2 2

2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2 2 2

2

 

 



 





 







 



 



 

 



 

 



 



 



z u y

u x

u

y u x

c u t

u

y x y f

u x

u y

u x

u

x c u t u

x c u t

u

Ex.1 Important Second-Order PDEs

(6)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

• Solution: 편미분방정식에 나타나는 모든 편도함수를 갖고 있는 함수로서 모든 점에서 주어짂 방정식을 맊족하는 함수

- 일반적으로 편미분 방정식의 해의 젂체 집합은 광범위함.

- 편미분방정식은 물리적인 조건을 나타내는 추가적인 정보를 사용함으로써 유일해를 구하게 됨.

Ex. ²₂ ²₂ ⁰ ^:û ^x² ^y²^,û ê ^cos^y^,û ^sin^x^cosh^y^,û ^ln^x² ^y²

y u x

u _x









 

 



 의해들

• Additional Conditions (추가적인 조건)

- Boundary Conditions (경계조건), Initial Conditions (초기조건)

(7)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

 Fundamental Theorem on Superposition (중첩에 관한 기본정리)

.

,

.

2 1 2

2 1 1 2

1

상수이다 임의의

는 된다

해가 편미분방정식의 그

에서 영역

같은 역시

도

해라면 편미분방정식의

선형 제차

에서 영역

어떤 가

과

c c R

u c u c u

R u

u





Ex. 2 Solving Like an ODE.u_xx u 0

(8)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

 Fundamental Theorem on Superposition (중첩에 관한 기본정리)

.

,

.

2 1 2

2 1 1 2

1

상수이다 임의의

는 된다

해가 편미분방정식의 그

에서 영역

같은 역시

도

해라면 편미분방정식의

선형 제차

에서 영역

어떤 가

과

c c R

u c u c u

R u

u





Ex. 2 Solving Like an ODE.

 

    ^x   ^x

x x

e y B e

y A y

x u u

Be Ae

u u

u x

u u

y y

x u u























,

0 ''

,

.

, 즉

취급 상수로

를 에서

0

u u_xx

(9)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

Ex. 4 Solving Like an ODE

u_xy  u_x

(10)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

Ex. 4 Solving Like an ODE

   

 ^   ^    ^   

























dx x c x

f y

g e

x f y

x u

e x c p x

c y p p

p p p

p u

y

y y y

x

, ,

ln ~

1

. 라 하자

x

xy u

u  

(11)

12.1 Basic Concepts (기본개념)

PROBLEM SET 12.1

HW: 26

(12)

12.2 Modeling: Vibrating String, Wave Equation

(모델화: 진동하는 현, 파동방정식)

 바이올린 현과 같은 탄성현에서 현의 미소 횡진동을 모델화한 방정식 유도

)

, 0 (

.

:

.

0

.

0

, :

것 구하는 변위를

현의 에서 점

임의의 시점

임의의 것

결정하는 진동을

현의 문제

시작 진동

놓음으로써 후

잡아당긴 현을

에서

고정 로

과 양끝을

늘이고 만큼

길이 놓고

상에 축

현을 가정

x t

t

L x x

L x











• Physical Assumptions

1. 단위길이당 현의 질량은 일정하다.

현은 완젂탄성체이며 휠 때 어떠핚 저항도 나타내지 않는다.

2. 현의 양 끝을 고정시키기 젂에 현을 잡아당긴 장력이 매우 커서 현에 작용하는 중력은 무시핛 수 있다.

3. 현의 운동은 수직평면 내에서 미소횡짂동이다.

즉 현의 모든 입자는 정확하게 수직으로 움직이고,

따라서 현의 모든 점에서 변위와 기울기의 젃대값은 항상 작다.

(13)

(모델화: 진동하는 현, 파동방정식)

• 수평방향의 힘의 합력

• 수직방향의 힘의 합력

- Newton의 제2법칙 적용

) (

cos cos

0 cos

cos

2 1

T

상수

T

T T T





















sin

sin ₂

1 T x utt

T   

   

tan

tan cos

sin cos

sin

1 1 2

2

tt

tt Δx u

Δx u T T

T T T

T    





     



(14)

(모델화: 진동하는 현, 파동방정식)

•

정리

x x x

x x u

x

x x u







 







 









 







 







tan

: tan

tan

: tan

기울기 현의

에서의 점

기울기 현의

에서의 점



 T

t c u c

x u u

T x

u x

u

Δx _x _x _x ^tt

Δx 



 



 

 



 



 



 







 



 









 

2 2

2 2 2

2

0 1 (1 ),

1

lim 차원파동방정식

tan

tan cos

sin cos

sin

1 1 2

2

tt

tt Δx u

Δx u T T

T T T

T    





 _ _ _ _ _



(15)

12.3 Solution by Separating Variables.

Use of Fourier Series

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

 Solution of the One-Dimensional Wave Equation

• 1차원 파동방정식:

• Boundary Condition:

• Initial Condition:

 문제해결 방법

• Method of Separating Variables:

로 두면 두 개의 상미분방정식을 얻는다.

• 경계조건을 맊족하는 상미분방정식의 해를 구핚다.

• 푸리에 급수를 이용하여 해를 구핚다.

2 2 2 2

2

x c u t

u



 



   ⁰^,t u L^,t ⁰⁽모든 t^에^대하여⁾

u  

 ^x ^f  ^x ^u     ^x ^g ^x ^x ^L

u ,0  , _t ,0  0  

 ^x ^t ^F   ^x ^G ^t

u

,



(16)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

 1단계: 파동방정식으로부터 두 개의 상미분방정식의 유도

 좌변은 t 맊의 함수이고, 우변은 x 맊의 함수이므로 양변은 상수가 되어야 핚다.

             

         

   

 ^x ^k

F x F t

G c

t t G

G x F c t G x F

t G x x F

t u G x t F

t u G x F t

x u









 

 



 



''

,

2 2

2 2 2

2



 



    ⁰^,     ⁰

''

   ² 

 F x kF x G t c kG t

(17)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

 2단계: 경계조건의 맊족

           

   

       

     

 

     

   

     

) (

0

0 0

0

, 0 0

0 ''

0

) (

0

, 1 0

0 1

0

0 0

0 ''

0

0 0

, 0 ''

0 0

0 ,

, 0 0

, 0

2 2

해 무의미한

적용 을

경계조건































































































u F

L A

B AL L

F B

F

B Ax x

F x

F k

u F

B e

A e

A Be

Ae L

F

A B

B A F

Be Ae

x F x

F p x F

p k

L F F

x kF x

F

L F F

t G L F t L u t

G F t u

pL pL

px px

2 Case

1 Case

    ⁰^,     ⁰

'

' x kF x  G t c²kG t 

F 

(18)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

     

   

 

    ^sin  ¹^,²^,³^,^

:

0 sin

) (

0

0 sin

cos

, 0 0

sin cos

0 ''

0

2 2













































n L x

x n F x

F

L n p n

pL

u F

B

pL B

pL A

L F A

F

px B

px A

x F x

F p x F

p k

n



 정수

해 무의미한 3

Case

    ^G  ^t ^B ^t ^B ^t

L cp cn

t G t

G _n²  0, _n     _n  _n cos_n  _n sin _n

  ,  cos  sin sin x n 1, 2, 3, ^

L t n

B t B

t x

u_n _n _n _n _n 

    0,     0 '

' x kF x  G t c²kG t 

F 

(19)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

 Discussion of Eigenfunctions

• Eigenfunction or Characteristic Function:

• Eigenvalue or Characteristic Value:

• Spectrum:

•

• Node (마디점): 현에서의 움직이지 않는 점

 ^x ^t

u_n

,

L cn

n

  

₁, ₂, ^

) Motion (Harmonic

2

Mode) Normal

th (

:

조화운동 갖는

을 진동수

단위시간당 정규진동 차

L cn n

n u

n n

 



n L n n

L n

x L L

x

n

1 , 2 , ,

, 0

sin

 

단







  ^, ^ ^cos ^ ^^sin ^sin ^xⁿ^¹^,²^,³^,^

L t n

B t B

t x

u_n _n _n _n _n 

 c²  T

T, , L과 짂동수의 관계

(20)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

 3단계: 전체 문제에 대한 해. 푸리에 급수

  _   _^  













1 1

sin sin

cos

n

n n

n

n x

L t nπ

λ B

λ t B

x,t u x,t

u

   

  









 ^



L n

n n

L xdx x n

L f B

x f L x

B n x

u

0

1

2 sin

sin

0 , : )

(



적용 급수

사인 푸리에

충족 의

초기변위 주어진

초기조건

   

    















 

 

   

 

 ^

 



 

L n

n

n n n t

n n

n n t

L xdx x n

cn g B

L xdx x n

L g λ

B

x g L x

λ n B L x

t nπ λ λ

B λ t

λ t B

u

0 0

0 1 0 1

2 sin

* 2 sin

*

sin

* sin

cos sin

: )

(



적용 급수

사인 푸리에

충족 의 초기속도 주어진

초기조건

 x f x u     x g x x L

u ,0  , _t ,0  0 

(21)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

 확립된 해

 

   

^f ^x ^ct ^f ^x ^ct 

ct L x

ct nπ L x

B nπ

L λ cnπ L x

t nπ λ B

x,t u

B x

g

n n

n

















 







 

















* 2 *

1

sin 2 sin

1

, sin

cos

0

* 0

1 1

 ^가 ^인 ^경우 ^고려

초기속도 g x 0

  _   _^  













1 1

sin sin

cos

n

n n

n

n x

L t nπ

λ B

λ t B

x,t u x,t

u

f *: odd periodic extension of f with the period 2L

(22)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

Ex. 1 Find the solution of the wave equation corresponding to the triangular initial deflection

and initial velocity zero.

  _^  









 



  





 



  



L L x

x L L

k

x L L x

k x

f

2 2

0 2

2

 ^ _^ ^ ^t ^^_^

L x c

t L L x c

L t k

x

u    



cos3 sin3

3 cos 1

1 sin 1

, 8 ₂ ₂ ₂

Section 11.3 Ex. 4 이용

(23)

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

Ex. 4 “Triangle” and Its Half-Range Expansions Find the two half-range expansions of the function

  _^  









 



  





 



  



L L x

x L L

k

x L L x

k x

f

2 2

0 2

2

(24)

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

Ex. 4 “Triangle” and Its Half-Range Expansions Find the two half-range expansions of the function

  _^  









 



  





 



  



L L x

x L L

k

x L L x

k x

f

2 2

0 2

2

 

  



 



  









 



  

 











  



 











  





 L x

L x k

x k f

L n n n

dx k L x x n

L L xdx k L x n

L k a L

dx k x L L

dx k L x

k a L

L

L L

n

L

L L



 



cos6 6

1 cos2

2 1 16 2

1 cos

cos 4 2

2 cos 2 cos

2

2 2

2 1

.

. 1

2 2

2

2 2 2

2

0

2 2

0 0

확장 우함수로

주기적

(25)

11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions (우함수와 기함수. 반구갂 전개)

 

  



 



    





 











  

  

 L x

L x L x

x k f

n n

dx k L x

x n L L

xdx k L

x n L

k b L

L

L L

n



sin5 5

1 sin3

3 sin 1

1 1 8

sin 2 sin 8

sin 2 2

2

.

. 2

2 2

2 2 2

2

0

확장 기함수로

주기적

(26)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

Ex. 1 Find the solution of the wave equation corresponding to the triangular initial deflection

And initial velocity zero

  _^  









 



  





 



  



L L x

x L L

k

x L L x

k x

f

2 2

0 2

2

 



  

 t 

L x c

t L L x c

L k

t x u



cos3 sin3

3 cos 1

1 sin 1 8

,

2 2

2

(27)

(변수 분리에 의한 해. 푸리에급수의 사용)

PROBLEM SET 12.3

HW: 15-18