EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9

^th

Edition , Wiley (2006)

Ch 16 Laurent Series Residue Integration Ch 16 Laurent Series Residue Integration Ch. 16 Laurent Series. Residue Integration Ch. 16 Laurent Series. Residue Integration

16 1 Laurent Series 16.1 Laurent Series

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 16.3 Residue Integration Method

16.4 Residue Integration of Real Integrals

2

Ch. 16 Laurent Series, Residue Integration Ch. 16 Laurent Series, Residue Integration , , g g

((Laurent Laurent 급수 급수. . 유수적분 유수적분))

z 내용 : Laurent 급수, 유수적분

( )

( )

1 1 − 1

∞

z

( ) ( )

( ) ( ^{일 때 유효} )

유효 때

일

1 1 1 1

1 b 1

1 1

1 a

0

− >

<

− =

∑

∑

∞

=

z z

z

_n

z

n

( ) ^{b 1} ( ¹ )

0 ²

^{( 1 일 때 유효 )}

1

1

= − = − − − >

= −

− ∑

= +

−

z

z z z

z z

z

_n ⁿ

"

16.1 Laurent Series

16.1 Laurent Series 6 6 au e au e Se es Se es ((Laurent (( Laurent 급수 급수)) 급수 급수))

z Laurent 급수 : 음이 아닌 거듭제곱과 음수의 거듭제곱으로 이루어진 급수

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

^{* 1}

( ) ( )

1 1

2 0 2 0

2 1 0 2

0 1

0

1 0

0

0

z f

z z

b z

z z b

z a z

z a z a

z z b

z a z

f

n

n n

n n

n n

∫

∫

∑

∑

^∞

=

∞

=

− +

− + + +

− +

− +

− = +

−

= " "

( ( ) ) ( ) ( )

경로 닫힌

단순 둘러싸는

를

:

*

* 2 *

1

* *, 2

1

0

1 1 0

0

z C

dz z f z

i z b

z dz z

z f a i

C

n n

C n

n ⁼ _π

∫

₋ ^{+ =} _π

∫

^{− −}

z Laurent의 정리

반시계방향 적분방향 :

( )

( )

^{는 급수로 표현가능}

해석적 영역에서

포함하는 환형을

사이의 동심원

와 동심원

두 인 중심이

Laurent

,

:

_{0 1 2}

z f

C C z

z f

⇒

• 주부(Principal Part)

( )

^{의유일한 특이점일때 급수의음의거듭제곱의급수}

내에서

가 ₂ , Laurent

0 C f z

z_{0 2}

( )

16.1 Laurent Series

16.1 Laurent Series 6 6 au e au e Se es Se es ((Laurent (( Laurent 급수 급수)) 급수 급수))

z 유일성(Uniqueness)

• 수렴환형 안에서의 Laurent 급수는 유일하다

• 수렴환형 안에서의 Laurent 급수는 유일하다.

• 같은 중심을 갖는 두 개의 환형 안에서 서로 다른 Laurent 급수를 가질 수 있다.

급수의 다른 현 z Laurent 급수의 다른 표현

( ) ( ) ( )

(

^*

)

^*

(

^{0, 1, 2, "}

)

2 1

, ₁

0

0 = ± ±

= −

−

=

∑ ∫

+

∞

∞

n z dz

z z f a i

z z a z

f

C n n

n

n

n π

(

₀

)

−∞

= i_C z z

n π

Ex. 1 Maclaurin 급수의 사용

5sin 0 Laurent

− z

z 의중심이 인 급수를 구하라

( ( ) )

^{2 4} _{4 2} ²

( )

0

5 0

5040 1 120

1 6

1 1

! 1 2 sin 1

. Laurent

0

sin

∞ −

=

− = − + − +− >

+

=

∑

−_n ^z _{z z} ^{z z}

z z

z z

n n

n

구하라 급수를

인 중심이 의

"

2 4

6 1

:

0

:

−

− − z z

주부 급수의

에서

복소평면 전

제외한 원점을

환형 수렴

6

16.1 Laurent Series

16.1 Laurent Series 6 6 au e au e Se es Se es ((Laurent (( Laurent 급수 급수)) 급수 급수))

Ex. 2 대입

"

"⎟= + + + + +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

= ² ₂ ² ₂

2 1 2 1

1 1

1 1

1 1

.

Laurent

0

z z z

e z

e z

z

z의중심이 인 급수를 구하라

⎟⎠

⎜⎝ 1!z 2!z² 2 3!z 4!z²

Ex. 3 전개

(

₁

)

^을

( )

^{a 의 음수가 아닌 거듭제곱으로,}

( )

^{b 의 음수 거듭제곱으로 전개하라.}

1 −z z z

( ) (

^{일때 유효}

)

1 1 1

1 1

1

1 1 a

0

<

− =

∑

∞

∞

=

z z _n z

n

( )

^{b 11}

(

^{1 1}

)

0 ^{1 1 12}

⁽

^{1일 때 유효}

⁾

1

1 =− =− − − >

−

= −

−

∑

^∞

= +

− z

z z z

z

z z _n ⁿ "

16.1 Laurent Series

16.1 Laurent Series 6 6 au e au e Se es Se es ((Laurent (( Laurent 급수 급수)) 급수 급수))

Ex 4 서로 다른 동심환형(Concentric Annuli)에서의 Laurent 전개 Ex. 4 서로 다른 동심환형(Concentric Annuli)에서의 Laurent 전개

( )

^{0 Laurent .}

1

(

z3 − z4

)

의중심이 인 모든 급수를구하라

(

^{0 1}

)

1 1

1 1 1

2 3 0

3 4

3 = = + + + + + < <

−

∑

^∞

=

− z z

z z z z

z

z _n

n "

(

¹

)

1

1 1

1

5 4 0

4 4

3 = − =− − − >

−

∑

^∞

= + z

z z z

z

z _n ⁿ "

16.1 Laurent Series

16.1 Laurent Series 6 6 au e au e Se es Se es ((Laurent (( Laurent 급수 급수)) 급수 급수))

Ex. 5 부분분수의 이용

( )

^−2z+3

( )

( )

− −

− −

= +

− +

= ₂−

2 1 1 1

. Laurent

0 2

3 3 2

z z z

f z

z z z f

표현하면 부분분수로

구하라 급수를

급수와 테일러

모든 인 중심이 의

(

⁻

)

⁼

⁽

^<

⁾

− =

− −

−

−

−

∞

= +

∑

0 1 2

1 2 2

1 1

2 1 2

1

Laurent 2

1

2 1

z z z

z z

z z

n

n

구하면 n

급수의 의

( ) ^{( )}

⎞

⎛

>

−

− =

−

− =

−

∞

∞

= +

∑

0 2 1

9 5 3 1

2

2 1

1 2

1

z

z z

z _n ⁿ

n

z

( )

( )

^{" "}

"

−

−

− + +

+

=

−

=

<

<

+ +

+

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

<

∴

∞

∞

= +

∑

∑

∑

2 2

1 1

2 0

1

1 1 1

1 1 1 , 1

2 1

8 9 4 5 2 3 2

1 1

, 1

z z z

z f z

z z z

z f z

n n

n n

때 일 때 일

( )

( )

^{= −}

(

⁺

)

^{=− − − − −"}

>

+ +

+

<

<

+

∞

=

= +

= +

∑

∑

∑

4 3 2 1

0

2 0

1 0

1

9 5 3 2 1 1

2

, 1

8 4 2 2

, 2 1

z z z z

z z f z

z z z

z z z

z f z

n n n

n n

n n

때 일

때 일

=0 n

16.1 Laurent Series

16.1 Laurent Series 6 6 au e au e Se es Se es ((Laurent (( Laurent 급수 급수)) 급수 급수))

PROBLEM SET 16.1

HW 9 16 24 ( )

HW: 9, 16, 24 (c)

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

z 특이점(Singular Point):

z 특이점(Singular Point):

주어진 함수가 해석적이지 않은 점으로 이 점의 모든 근방은 해석적인 점을 포함한다.

• 고립특이점(Isolated Singular Point):

다른 특이점을 갖지 않는 근방을 갖고 있는 특이점 3

( )

^{1 0 .}

tan

.

2, , 3

tan 2 )

갖는다 을

비고립특이점 는

갖는다 등을

고립특이점 는

예제

z

z _±π _± π "

‹ 고립특이점은 Laurent급수에 의해 분류된다.

• 극(Pole) : 음의 거듭제곱을 포함하는 주부가 유한개의 항을 가질 때 (z=z₀) 위수(Order) : 주부의 제일 낮은 차수 (m)

• 단순극(Simple Order) : 위수가 1인 극

(

0

)

) ( ₀

0

1 ≠

+ −

− + ^{m m}

m b

z z

b z

z

b "

• 고립진성특이점(Isolated Essential Singular Point) : 주부가 무한히 많은 항을 가질 때

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

Ex. 1 극. 진성특이점

3

( ) (

1

) ( )

1 1 1

1

.

5

2 ,

0

2 3 2

1

2 1

2 5

과 함수

갖는다 극을

인 위수가 에서

갖고 단순극을

에서 은

함수

+ +

+

=

=

=

− =

− +

=

∑

^{∞ "}

e

z z z

z z z

f

z

(

²

( )

¹¹

)

^{! 1 3!1 5!1 z 0 .}

sin 1

! 2

!

5 3

0

1 2

2 0

갖는다 고립진성특이점을

에서 은

과 함수

= +

− +

− + =

=

∑

−

∑

∞

= +

=

"

z z

z z

n z

z z

z e n

n n

n

n n

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

Ex.2 극 가까이에서의 거동

( )

^{1 0 0}

( )

^.

₂은 에서극을 가지며임의의방법으로 일때 이다

함수 = z= z→ f z →∞

z z f

z 극

( )

z 가 해석적이고 z = z₀에서 극을 가지면 임의의 방법으로 z → z₀일 때 f

( )

z →∞이다. f

Ex.3 진성특이점 가까이에서의 거동

( ) ( )

( )

^{ii 0 0}

.

0

i

.

0

¹

수렴한다 에

이면 통하여

실수값을 음의

않는다 가지지

극한값을 접근시키면

에 따라 허수축을

갖는다 진성특이점을

에서 은

함수 f z =e ^z z =

( )

( )

^{iii 0 0 .}

. 0

0

ii

0 을 갖는다

상수값 주어진

임의의 함수는

이 근방에서 작은

임의의 의

수렴한다 에

이면 통하여

실수값을 음의

≠

=

−

=

→

ε c c eⁱα

z

z

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

z Picard의 정리 z Picard의 정리

( )

₀

갖는다 값을

모든 제외된

값이 개의

한 기껏해야 근방에서

작은 임의의

의

갖는다면 고립진성특이점을

에서 점

해석적이고 가

ε − z

z z

f

z Zeros of Analytic Functions (해석함수의 영점)

• 영점(Zero): 해석적인 함수의 함수값이 0인 점

.

0의임의의 작은 ε 근방에서기껏해야 한 개의값이제외된모든값을 갖는다

z

• 영점(Zero): 해석적인 함수의 함수값이 0인 점

영점은 함수값 뿐만 아니라 도함수의 값도 0일 수 있다.

위수: 도함수의 값이 0이 되는 가장 많이 미분한 횟수

• 단순영점(Simple Zero): 위수 1인 영점 Ex. 4 영점

( )

( )

ⁱⁱ

(

¹

)

^{1 2 .}

.

1

i

4 2 2

갖는다 영점을

의 위수 에서 과

은 함수

갖는다 단순영점을

에서 은

함수

i z

i z

±

±

−

± +

( )

^{iii 함수 ez은 영점을 갖지 않는다.}

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

z 영점에서의 테일러 급수

( )

z n z = z₀ . ⇔ f '

( )

z₀ , ^", f ^{( −1)}

( )

z₀ 0 .

f 가 위수 의영점 를 갖는다 도함수 ⁿ 는 이다

( ) ( ) ( )

^"

( ) [ ( ) ( )

^"

]

"

+

− +

− +

−

= +

− +

−

=

≠

=

=

=

∴

+ +

+ +

−

2 0 2

0 1

0 1

0 1

0

1 0

0 0

z z a z z a a z z z

z a z

z a z f

a a

a

n n

n n n

n n n

n

n 이고 이므로

급수에서 테일러

z 영점

( )( )

0 . , .

의영점은 고립되어있다 즉 각각은 영점을 갖지않는 근방을 갖고 있다

해석함수 f z ≠

z 극과 영점

( )

^{z 가 z z}₀^{에서해석적이고 z z}₀^{에서위수 n의 영점을 가지면}

f

( )

= =

( )

( ) ( ) ( )

0

.

1

₀

0 0

성립된다 사실이

똑같은 대해서도

에 이면

해석적이고 에서

가

갖는다 극을

인 위수 에서

은

가지 영점

의 위수 에서

해석적이 에서

가

z h h

h

n z

z z f f

=

⇒

( ) ( ) ( )

( )

^.

0

₀에서해석적이고 ₀ 이면 에대해서도 똑같은 사실이 성립된다

가 f z

z h h z

z z

h = ≠

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

z Ri 구(Ri S h ) ^{0인지점에서복소평면에닿아 있는 지름 1인구이다} z Riemann 구(Riemann Sphere):

• 상(Image): 지름방향으로 원점의 정반대에 위치한 북극에서 평면의 임의의 점을 잇는 선분이 구와 교차하는 점

. 1

0인지점에서복소평면에닿아 있는 지름 인구이다

= z

잇 선분이 구와 차하 점

• 북극을 제외한 구의 모든 점은 복소수를 나타내고, 북극은 복소평면 내의 어떤 점에도 해당되지 않는다.

• 무한대 점(Point at Infinity) : 북극의 상으로 설정된 점

• 확장복소평면(Extended Complex Plane) : 무한대 점이 포함된 복소평면

• 유한복소평면(Finite Complex Plane) : 무한대 점이 포함되지 않은 단순한 복소평면

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

z 무한대에서 해석적이거나 특이한 함수

( )

^{에서 로놓고 의근방에서}

( ) ( )

^{를 조사}

함수 대하여 에

큰 1

0 1

g w

f w z f w w

z z

f

z ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

•

•

w

w ⎝ ⎠

( )

^{w가 w 0에서 해석적 f}

( )

^{z 가 무한대에서 해석적}

g = ⇔

( )

w^가 w 0^{에서 특이하다} f

( )

z^{가 무한대에서특이하다}

g = ⇔

•

( )

^{가 에서특이하다} f

( )

^{가 무 대에서특이하다}

g

( )

^g

( )

^w

g 0 limw 0

존재 ⇔ = →

극한값이

( )

0에서 f⎜⎛ 1⎟⎞가 영점을 갖는다 f 가 무한대에서위수 의영점을 갖는다

• 0에서 가 영점을 갖는다 f

( )

z 가 무한대에서위수 n의영점을 갖는다. f w

w ⎟ ⇔

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

16.2 Singularities and Zeros.

16.2 Singularities and Zeros. Infinity 6 6 S gu a S gu a es a d e os es a d e os Infinity y y

((특이점과 특이점과 영점 영점. . 무한대 무한대))

PROBLEM SET 16.2

HW 9 18

HW: 9, 18

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

z

( ) ( )

( ) ( )

( )

2 1 0 2 0

1 0

0 .

2

1 f z dz b i

z z

b z

z z b

z a z

f

n C

n

n − + − ⁺ ₋ ^{+ =}

π

=

∫

∑

^∞

∫

=

이다

"에서

z 유수(Residue): z = z₀에서의 유수

b f ( ) z

z z ₀ 1

= Res

=

( )

z dz 2 ib₁ f

C

π

=

∴

∫

Ex. 1 유수에 의한 적분 계산

( )

^{sin .}

, f z z ⁴ z

C를 회전할 때 함수 = ⁻ 를 적분하라

단위원 방향으로

반시계

( )

( )

^.

! 3

1

! 7

! 5

! 3

1 1 sin

. sin

,

1 3

3

4 z z b

z z z

z z f

z z

z f C

−

=

− +

− +

−

=

= 이므로 이다

적분하라 를

함수 때

회전할 를

단위원 방향으로

반시계

"

2 3

sin ₁

4

ib i z dz

z

C

π = −π

=

∴

∫

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

Ex. 2 정확한 Laurent 급수 사용

( )

z z z f

C

z 1 .

2

1 _{3 4}

= −

= 인 원 를 따라서함수 을 적분하라

시계방향으로

( ) ( )

C z

z z

z f z

z z z

.

1

1 0 :

3 1

4 3

=

=

=

−

=

−

않는다 고려하지

존재하므로 외부에

의 원 은

과 특이점

의 이므로

( )

( )

z i f

i dz

z z

z z z z z z

π

π Res 2

1 2

. 1

0 1

0 1 1

1 1 1

2 3 4 3

−

=

−

=

∴

=

<

<

+ + + + +

− =

∫

이다 유수는

에서의

" 이므로

주의

( )

z i f

i z dz

z ^z

C

π

π Res 2

2

4 0

3 =− =−

∴ −

∫

=

(

¹

)

^{1 0 .}

1 1 1 1

급수인 _{3 4 4 5 6} 에서 항이존재하지않으므로 오답인 이얻어진다

다른 z z

z z z z

z =− − − − >

− "

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

유수에 대한 공식 z 유수에 대한 공식

• 단순극

( )

i 함수 f

( )

가 에서단순극을 가지는 경우

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

0 1

0

lim Res

:

i

0 0

z f z z b

z f z

z f

z z z

z = = −

→

=

경우 가지는

단순극을 에서

가 함수

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

₀

0 0

R R

0

ii

z p z

f p

z z

q z

z p q

z z p

f = 에서 ≠ 이고 는 에서단순영을 가지는 경우

• 임의 위수(Order)의 극

( ) ( )

( ) ( ) ( )

⁰₀

Res ' Res

:

0

0 q z

p z

q z p

f z z

z

z = =

=

=

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]

( ) ( ) [ ( ) ( ) ]

!lim 1 Res 1

:

2

1 0 1 0

0 0

z f z dz z

d z m

f m

z z

f _m ^m

m

z z z

z ⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧ −

= − ⁻₋

= →

경우 가지는

극을 의

위수 에서

가 함수

(

²

)

^{: Res}

( )

^lim

[ ( ) ( ) ]

^'

2 ₀ ²

0 0

z f z z z

f

m = z z = z z −

= →

극 인 위수

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

Ex. 3 단순극에서의 유수

( )( ) ( )

i

z z

i z z

f i

z i z

z 9 ,

1 ₃

2

+

= +

− +

=

+ 이므로 는 에서단순극을 가지며

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

i

( ) ( )

i i i

z z

i z i

z i z z

i i z

z z z

i z

i i z

i z z

1 3 '

9 ii

2 5 10 9

lim 9 Res9

i

2 3

3

+

⇒ +

+

−

− =

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= +

− +

− + + =

+

→ =

=

( ) ( ) ( ) ( )

i i z

i z z

z i z

z z q z

z z q i z z

p

i i z

z 5

2 10 1

3 9 Res9

1 3 '

,

9

ii

2 3

2 3

−

− =

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= + +

∴ +

+

=

⇒ +

= +

=

= =

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

Ex. 3 단순극에서의 유수

( )( ) ( )

i

z z

i z z

f i

z i z

z 9 ,

1 ₃

2

+

= +

− +

=

+ 이므로 는 에서단순극을 가지며

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

i

( ) ( )

i i i

z z

i z i

z i z z

i i z

z z z

i z

i i z

i z z

1 3 '

9 ii

2 5 10 9

lim 9 Res9

i

2 3

3

+

⇒ +

+

−

− =

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= +

− +

− + + =

+

→ =

=

( ) ( ) ( ) ( )

i i z

i z z

z i z

z z q z

z z q i z z

p

i i z

z 5

2 10 1

3 9 Res9

1 3 '

,

9

ii

2 3

2 3

−

− =

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= + +

∴ +

+

=

⇒ +

= +

=

= =

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

Ex. 3 단순극에서의 유수

( )( ) ( )

i

z z

i z z

f i

z i z

z 9 ,

1 ₃

2

+

= +

− +

=

+ 이므로 는 에서단순극을 가지며

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

i

( ) ( )

i i i

z z

i z i

z i z z

i i z

z z z

i z

i i z

i z z

1 3 '

9 ii

2 5 10 9

lim 9 Res9

i

2 3

3

+

⇒ +

+

−

− =

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= +

− +

− + + =

+

→ =

=

( ) ( ) ( ) ( )

i i z

i z z

z i z

z z q z

z z q i z z

p

i i z

z 5

2 10 1

3 9 Res9

1 3 '

,

9

ii

2 3

2 3

−

− =

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= + +

∴ +

+

=

⇒ +

= +

=

= =

Ex. 4 고위의 극에서의 유수

( )

50z

(

+4

)(

1

)

2 1 2

f

( )

는 분모가

( )( )

과 같기때문에 에서 위수 의극을 갖는다

( ) [ ( ) ( ) ]

⁸

5 200 4

lim 50 1

lim Res

. 2

1

1 4 4

7 2

1 2 2

1

2 2

3

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

−

=

∴

=

− + +

−

= +

→

→

= z

z dz

z d f dz z

z d f

z z

z z z

z z f

z z

i z

갖는다 극을

의 위수 에서 때문에

같기 과

분모가 는

4⎠ 5

⎝ +z dz dz

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

Ex. 3 단순극에서의 유수

( )( ) ( )

i

z z

i z z

f i

z i z

z 9 ,

1 ₃

2

+

= +

− +

=

+ 이므로 는 에서단순극을 가지며

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

i

( ) ( )

i i i

z z

i z i

z i z z

i i z

z z z

i z

i i z

i z z

1 3 '

9 ii

2 5 10 9

lim 9 Res9

i

2 3

3

+

⇒ +

+

−

− =

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

= +

− +

− + + =

+

→ =

=

( ) ( ) ( ) ( )

i i z

i z z

z i z

z z q z

z z q i z z

p

i i z

z 5

2 10 1

3 9 Res9

1 3 '

,

9

ii

2 3

2 3

−

− =

⎥⎦ =

⎢⎣ ⎤

⎡ +

= + +

∴ +

+

=

⇒ +

= +

=

= =

Ex. 4 고위의 극에서의 유수

( )

50z

(

+4

)(

1

)

2 1 2

f

( )

는 분모가

( )( )

과 같기때문에 에서 위수 의극을 갖는다

( ) [ ( ) ( ) ]

⁸

5 200 4

lim 50 1

lim Res

. 2

1

1 4 4

7 2

1 2 2

1

2 2

3

=

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

−

=

∴

=

− + +

−

= +

→

→

= z

z dz

z d f dz z

z d f

z z

z z z

z z f

z z

i z

갖는다 극을

의 위수 에서 때문에

같기 과

분모가 는

4⎠ 5

⎝ +z dz dz

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

z 유수정리 z 유수정리

C z z

z C

k 2

1, , , :

:

특이점 유한개의

있는 내부에

경로 닫힌 단순

"

( )

( )

^{z dz i f}

( )

^z

f

C C

z f

∑

k

∫

⁼

⇒ 2 Res

:

π

함수 해석적인

상에서 내부와

제외한 특이점을

( )

^f

( )

f

j z z

C

∫ ∑

^j

=1 =

Ex. 6 유수정리의 또 다른 응용

z tan 3

C z

z z z

C

.

2 , 3 2,

tan

1 . tan

2

: 3 ₂

±

±

= −

π

π _{는 윤곽선 의바깥에놓여있다}

특이점 의

적분하라 을

반시계방향으로 따라

를 원

"

( )( )

i z i

i z z

i z zd

z z

z

7855 9

1 t tan 2

2 tan R tan

R tan tan 2

.

1 1 1

1

2 2

2

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟ +

⎜ ⎞

⎛ +

±

− +

=

−

∫

갖는다 단순극을

에서 은

분모 함수의 주어진

i z i

i z z

i z

z dz ^{z z} _{z z}

C

7855 . 9 1 tan 2 2

2 2 Res 1

Res 1

1 2 ^{1 2 1 2} _{1 1}

2 ⎟= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠= =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ −

= −

− ^{= =−} _{= =−}

∫

^{π π π}

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

Ex. 7 극과 진성특이점

dz z ze

y ze x

C

C

z z

) (

. 16

9 9

^{2 2} ₄ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= −

+ ^일때적분

∫

^{π π 을 수행하여라 반시계방향}

타원 가

i z C

ze ^z

C

.

2

16

4 ±

−

⎠

⎝

π

갖는다 단순극을

에서 존재하는

내부에 는

( )

z ze z

ze z

ze z

ze

i z z z

i i z

z z z

i

z 16

1 4

Res 16 16,

1 4

Res 16

3 2

3 2

2 3 2 4

2 3 2 4

⎟⎞

⎜⎛

−

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

=⎡

− −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⇒ −

−

− =

= =

=

π π

π π

π

π π

π π

π π

( )

ze

z z z z

z z z

z ze

ze

z

z z

Res

! 0

! 3

! 2 3

! 1 2

0

2

2 3

2

=

⇒

>

+ +

+ +

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + + +

=

π

π π π

π π

π

π

π

π 는 에서진성특이점을 가지며 " "

i i

i dz

z ze ze

ze

C

z z

z

221 . 4 30

1 2

16 1 16 2 1

16

! Res 2

2 2

4 0

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− − +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∴ −

⇒

∫

=

π π π

π π

π

C⎝ ⎠ ⎝ ⎠

16.3 Residue Integration Method 16.3 Residue Integration Method 6 3 es due 6 3 es due eg a o eg a o e od e od

((유수적분법 유수적분법))

PROBLEM SET 16.3

HW 8 25

HW: 8, 25

16.4 Residue Integration of

16.4 Residue Integration of Real Integrals g g Real Integrals g g ((실적분의 실적분의 유수적분 유수적분))

z

^{θ θ J =}

²

_∫

^π

^F ( ^{θ θ} ) ^{d θ}

0

sin , cos

:

sin

cos 와 의 유리함수의 적분

( ) ^{1 1 1} ( ) ^{1 1}

1 ( ) ⎛ ⎞ ( ) ⎛ ⎞

( ^{cos sin} ) ( )

1 2

1 2

sin 1 1 , 2

1 2

cos 1 치환하면 라

⇒

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

=

−

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

= +

=

=

^{− −}

d dz z

f F

z z e i

i e z z

e e

z

e

^{i i i i i}

θ θ

θ

θ

θ

^{θ θ θ θ}

θ

( ) ( )

( ) ^{, : 1 ( )}

, sin

, cos

반시계방향

=

=

⇒

=

=

⇒

∫ ^{f z dz} _iz ^{C z}

J

d iz z f

F θ θ θ

∫ _iz

C