EE ngineering Mathematics II ngineering Mathematics II
Prof. Dr. Yong-Su Na g (32-206, Tel. 880-7204)
Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley (2006)
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Integral Theorems Integral Theorems
10.1 Line Integrals
10.2 Path Independence of Line Integralsp g 10.3 Calculus Review: Double Integrals 10 4 Green’s Theorem in the Plane
10.4 Green s Theorem in the Plane 10.5 Surfaces for Surface Integrals 10.6 Surface Integrals
10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 10.9 Stokes’s Theorem
10.9 Stokes s Theorem
2
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Ch. 10 Vector Integral Calculus.
Integral Theorems Integral Theorems
10.1 Line Integrals
10.2 Path Independence of Line Integralsp g 10.3 Calculus Review: Double Integrals 10 4 Green’s Theorem in the Plane
10.4 Green s Theorem in the Plane 10.5 Surfaces for Surface Integrals 10.6 Surface Integrals
10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 10.9 Stokes’s Theorem
10.9 Stokes s Theorem
3
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integralsgg
((이중적분 이중적분))
z 이중적분 : 피적분함수를 평면의 닫힌 유한한 영역에서 적분 z영역 R을 x축과 y축에 평행한 직선을 그어 분할한다.
z ( )
( ) 와같은형태의합을만든다
택하여 을
점 한 내의 직사각형 각
.
ΔA ,y x f J
,y x
n
k k k n
k k
=∑ ( )
면적 직사각형의 번째
는
1
k ΔA
,y f
k
k k k k
n
∗
∑=
z ( )
( ), (DoubleIntegral) .
,
,
한다 이라 이중적분
의 에서의
영역 극한을 수렴
이 수열
가정 한다고 경계로
곡선을 매끄러운
유한개의 이
연속이고 에서
가
y x f R
J
R R
y x f
⇒ n
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integralsgg
((이중적분 이중적분))
z 이중적분의 성질
kfdxdy k fdxdy
R R
=
∗ ∫∫ ∫∫
z 이중적분의 성질
( )
f g dxdy fdxdy gdxdy
R R
R
+
= +
∗ ∫∫ ∫∫ ∫∫
2 1
dxdy f
dxdy f
dxdy f
R R
R
+
=
∗ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Theorem) Value
(Mean
단순연결되었으면 이
대한 이중적분에
R
∗ 평균값 정리
( ), ( , ) ( , ) .
f x y dxdy f x0 y0 A을 만족하는 점 x0 y0 가 적어도하나R에 존재한다
R
∫∫ =
.
R
의면적이다 A는
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integralsgg
((이중적분 이중적분))
z 연속적인 두 적분에 의한 이중적분의 계산
z 연속적인 두 적분에 의한 이중적분의 계산
• ∫∫ f ( )d d ∫ ∫b ⎢⎡h( )x f ( )d ⎥⎤d
• ( ) ( )
( )
dx dy y x f dxdy
y x f
a g x
R ∫ ∫
∫∫ ⎥
⎢ ⎦
= ⎣ ,
,
• ∫∫ f ( )x y dxdy = d∫ ∫⎢⎡q( )yf ( )x y dx⎥⎤dy
• ( ) ( )
( )
dy dx y x f dxdy
y x f
c p y
R ∫ ∫
∫∫ ⎥⎥
⎢ ⎦
⎢
⎣
= ,
,
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integralsgg
((이중적분 이중적분))
z 이중적분의 응용
•
•
∫∫
=
R
dxdy A
R : 의면적 영역
( ) ( )>
= f x,y xy R
z 0 아래와 평면 영역 위로 이루어지는 체적
∫∫ ( )
=
R
dxdy x,y f V
:
• ( )
∫∫
( )=
∗
=
R
dxdy x,y f M
R
xy y x f
:
)
(
: ,
질량 전체 에서
질량 면적당 단위
밀도 질량분포의 평면에서
( )
∫∫
( )∫∫
==
∗
R R
dxdy x,y M yf
y dxdy x,y M xf
x
R 1
1 ,
: ) Gravity of
(Center
에서질량의무게중심
( ) ( )
( ) ( )
∫∫
∫∫
∫∫
+
= +
=
∗
=
=
∗
y x
R y R
x
dxdy x,y f y x I
I I R
dxdy x,y f x I
dxdy x,y f y I
R
2 2 0
2 2
: Inertia) of
Moments (Polar
,
: Inertia) of
(Moments
극관성모멘트 질량의
에서
관성모멘트 질량의
에서
∫∫
R y10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integralsgg
((이중적분 이중적분))
z
이중적분에서 변수변환. Jacobian
•
( )
∂
,
y x v
u, y
x
에서 로의 변수 변환공식
이중적분에서
x x
∂
∂
( ) ∫∫ ( ( ) ( )) ( )( )
∫∫
= ∂ ∂
*
,
, , , , ,
:
R R
v dudv u
y v x
u y v u x f dxdy
y x f
( )( ) ux yv vx uy
v y u
y v
x u
x v
u y J x
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ =
= ∂
, ,
: Jacobian
•
v u
∂
∂
=
= cos sin
,
r
과
θ로서
x r θ, y r θ극좌표계
( )( )
= − =
∂
= ∂
⇒ sin cos
sin cos
, ,
r
r r r
y J x
θ θ
θ θ
θ
( ) ∫∫ ( )
∫∫
=
⇒
*
sin , cos ,
R R
rdrd θ
r θ r
f dxdy
y x
f θ
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integrals
Ex. 1 정사각형 R에서 아래의 이중적분을 계산하라.
g
((이중적분 이중적분))
g( )
∫∫ +
R
dxdy y
x2 2
( ) 1( )
1
R의 모양으로부터변환
( ) ( )
( ) 1 1
, 2 2
,
:
∂
−
= +
=
⇒
=
−
=
+ y u x y v x u v y u v
x
( )( ) 12
2 1 2
1 2 2 ,
, = −
= −
∂
= ∂
v u
y J x
( ) 1( )1 8
2 0
, 2 0
2 2
2 2 2
2
≤
≤
≤
≤
∫∫
∫∫ d d d d
v u
R 정사각형은
( ) ( )
3 8 2
1 2
1
0 0
2 2 2
2 + = ∫∫ + =
∫∫ x y dxdy u v dudv
R
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integrals
Ex. 1 정사각형 R에서 아래의 이중적분을 계산하라.
g
((이중적분 이중적분))
g( )
∫∫ +
R
dxdy y
x2 2
( ) 1( )
1
R의 모양으로부터변환
( ) ( )
( ) 1 1
, 2 2
,
:
∂
−
= +
=
⇒
=
−
=
+ y u x y v x u v y u v
x
x
x ∂
( ) ∂
( ) 12
2 1 2
12 2 ,
, = −
= −
∂
= ∂
v u
y
J x ( )
( ) ux vy vx uy
v y u
y v
x u x v
u y J x
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ =
= ∂ , ,
( ) 1( )1 8
2 0
, 2 0
2 2
2 2 2
2
≤
≤
≤
≤
∫∫
∫∫ d d d d
v u
R 정사각형은
( ) ( )
3 8 2
1 2
1
0 0
2 2 2
2 + = ∫∫ + =
∫∫ x y dxdy u v dudv
R
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integrals
Ex. 1 정사각형 R에서 아래의 이중적분을 계산하라.
g
((이중적분 이중적분))
g( )
∫∫ +
R
dxdy y
x2 2
( ) 1( )
1
R의 모양으로부터변환
( ) ( )
( ) 1 1
, 2 2
,
:
∂
−
= +
=
⇒
=
−
=
+ y u x y v x u v y u v
x
x
x ∂
( ) ∂
( ) 12
2 1 2
12 2 ,
, = −
= −
∂
= ∂
v u
y
J x ( )
( ) ux vy vx uy
v y u
y v
x u x v
u y J x
∂
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ =
= ∂ , ,
( ) 1( )1 8
2 0
, 2 0
2 2
2 2 2
2
≤
≤
≤
≤
∫∫
∫∫ d d d d
v u
R 정사각형은
( ) ( )
3 8 2
1 2
1
0 0
2 2 2
2 + = ∫∫ + =
∫∫ x y dxdy u v dudv
R
10
10.3 Calculus.3 Calculus Review: Double IntegralsReview: Double Integralsgg
((이중적분 이중적분))
PROBLEM SET 10.3
HW 9 12 HW: 9, 12
12
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
z 평면에서 Green의 정리 (이중적분과 선적분 간의 변화) 영역
유계 닫힌
평면에서의
: xy R
( ) ( ) 을 포함하는 어떤영역의모든점에서연속이고
경계 의
영역 곡선으로
매끄러운 유한개의
: , , ,
:
2
1 x y F x y R
F
R C
함수 갖는
를 편도함수
연속인 ,
1 2
F F
x F y
F
⎞
⎛∂ ∂
∂
∂
∂
∂
( )
방향 있는
좌측에 이
때 진행할 따라
를 방향
적분의 :
2 1 1 2
R C
dy F dx F y dxdy
F x
F
R C
∗
+
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
− ∂
∂
⇒ ∫∫ ∂ ∫
z F [F F ] Fi F j ( F) kdxdy F dr
C R
•
=
•
⇒ +
=
= 1, 2 1 2 ∫∫ curl ∫
13
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex. 1 평면에서 Green 정리 검증
, 2 2
,
7
22
1
=
y−
y F=
xy+
xF
1
:
x2+ y
2=
C 원( ) ( )
[ ] π
π 2 2 2 7 9 9
: 2 1⎟⎟⎞ = + − − = =
⎜⎜⎛∂ − ∂
⇒ ∫∫ F F dxdy ∫∫ y y dxdy ∫∫dxdy
R의면적
원판 : π ⇒ ∫∫⎜⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎟⎠ ∫∫[(2 +2) (2 7)] 9∫∫ 9π
R R
R
dxdy dxdy
y y
y dxdy R의면적 x
원판
( )t [ t , t] '( )t [ t , t]
C
2 i
2 2 2
i i
cos sin
, sin cos
:
2 2
−
=
=
⇒ r r
방향 반시계
(F x' F y')dt [( t t)( t) ( t t t)( t)]dt
t t
t x
xy t, F
t y
y F
π C
cos cos
sin cos 2 sin
sin 7 sin
cos 2 sin cos 2 2 2
sin 7 sin
7
2
0
2 2
1
2 2
2 1
+ +
−
−
= +
⇒
+
= +
=
−
=
−
=
⇒
∫
∫
( t t t t t)dt
π
C
cos 2 sin cos 2 sin
7 sin
2
0
2 2
2 3
0
+ +
+
−
= ∫
14
π π π-
= 0+7 0+2 =9
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex. 1 평면에서 Green 정리 검증
, 2 2
,
7
22
1
=
y−
y F=
xy+
xF
1
:
x2+ y
2=
C 원( ) ( )
[ ] π
π 2 2 2 7 9 9
: 2 1⎟⎟⎞ = + − − = =
⎜⎜⎛∂ − ∂
⇒ ∫∫ F F dxdy ∫∫ y y dxdy ∫∫dxdy
R의면적
원판 : π ⇒ ∫∫⎜⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎟⎠ ∫∫[(2 +2) (2 7)] 9∫∫ 9π
R R
R
dxdy dxdy
y y
y dxdy R의면적 x
원판
( )t [ t , t] '( )t [ t , t]
C
2 i
2 2 2
i i
cos sin
, sin cos
:
2 2
−
=
=
⇒ r r
방향 반시계
(F x' F y')dt [( t t)( t) ( t t t)( t)]dt
t t
t x
xy t, F
t y
y F
π C
cos cos
sin cos 2 sin
sin 7 sin
cos 2 sin cos 2 2 2
sin 7 sin
7
2
0
2 2
1
2 2
2 1
+ +
−
−
= +
⇒
+
= +
=
−
=
−
=
⇒
∫
∫
( t t t t t)dt
π
C
cos 2 sin cos 2 sin
7 sin
2
0
2 2
2 3
0
+ +
+
−
= ∫
15
π π π-
= 0+7 0+2 =9
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex. 1 평면에서 Green 정리 검증
, 2 2
,
7
22
1
=
y−
y F=
xy+
xF
1
:
x2+ y
2=
C 원( ) ( )
[ ] π
π 2 2 2 7 9 9
: 2 1⎟⎟⎞ = + − − = =
⎜⎜⎛∂ − ∂
⇒ ∫∫ F F dxdy ∫∫ y y dxdy ∫∫dxdy
R의면적
원판 : π ⇒ ∫∫⎜⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎟⎠ ∫∫[(2 +2) (2 7)] 9∫∫ 9π
R R
R
dxdy dxdy
y y
y dxdy R의면적 x
원판
( )t [ t , t] '( )t [ t , t]
C
2 i
2 2 2
i i
cos sin
, sin cos
:
2 2
−
=
=
⇒ r r
방향 반시계
(F x' F y')dt [( t t)( t) ( t t t)( t)]dt
t t
t x
xy t, F
t y
y F
π C
cos cos
sin cos 2 sin
sin 7 sin
cos 2 sin cos 2 2 2
sin 7 sin
7
2
0
2 2
1
2 2
2 1
+ +
−
−
= +
⇒
+
= +
=
−
=
−
=
⇒
∫
∫
( t t t t t)dt
π
C
cos 2 sin cos 2 sin
7 sin
2
0
2 2
2 3
0
+ +
+
−
= ∫
16
π π π-
= 0+7 0+2 =9
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex. 2 경계에서 선적분으로서의 평면 영역의 면적
zGreen 정리 응용
∫∫ ∫
∫∫ ∫
⇒
=
⇒
=
=
R C
ydx dxdy
F y F
xdy dxdy
x F F
0
, 0 2
1 = ∫( − )
C
ydx xdy
A 2 1
∫∫ = −∫
⇒
=
−
=
R C
ydx dxdy
F y
F1 , 2 0 C
Ex 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적 Ex. 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적
+
=
−
=
⇒
=
= r y r dx dr r d dy dr r d
x cosθ, sinθ cosθ sinθ θ, sinθ cosθ θ
( ) ∫[( )( ) ( )( )] ∫
∫ − = + − − =
=
⇒
C C
C
dθ r d
r dr r
d r
dr r
ydx xdy
A 2
2 sin 1
cos sin
cos sin
2 cos 1 2
1
θ θ θ θ θ θ θ θ
17
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex. 2 경계에서 선적분으로서의 평면 영역의 면적
zGreen 정리 응용
∫∫ ∫
∫∫ ∫
⇒
=
⇒
=
=
R C
ydx dxdy
F y F
xdy dxdy
x F F
0
, 0 2
1 = ∫( − )
C
ydx xdy
A 2 1
∫∫ = −∫
⇒
=
−
=
R C
ydx dxdy
F y
F1 , 2 0 C
Ex 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적 ∫∫
⎜⎛ ∂F ∂F ⎟⎞∫
( )Ex. 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적
+
=
−
=
⇒
=
= r y r dx dr r d dy dr r d
x cosθ, sinθ cosθ sinθ θ, sinθ cosθ θ
( )
∫∫
⎜⎜⎝⎛ ∂∂ − ∂∂ ⎟⎟⎠⎞ =∫
+R C
dy F dx
F y dxdy
F x
F
2 1
1 2
( ) ∫[( )( ) ( )( )] ∫
∫ − = + − − =
=
⇒
C C
C
dθ r d
r dr r
d r
dr r
ydx xdy
A 2
2 sin 1
cos sin
cos sin
2 cos 1 2
1
θ θ θ θ θ θ θ θ
18
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex. 2 경계에서 선적분으로서의 평면 영역의 면적
zGreen 정리 응용
∫∫ ∫
∫∫ ∫
⇒
=
⇒
=
=
R C
ydx dxdy
F y F
xdy dxdy
x F F
0
, 0 2
1 = ∫( − )
C
ydx xdy
A 2 1
∫∫ = −∫
⇒
=
−
=
R C
ydx dxdy
F y
F1 , 2 0 C
Ex 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적 Ex. 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적
+
=
−
=
⇒
=
= r y r dx dr r d dy dr r d
x cosθ, sinθ cosθ sinθ θ, sinθ cosθ θ
( ) ∫[( )( ) ( )( )] ∫
∫ − = + − − =
=
⇒
C C
C
dθ r d
r dr r
d r
dr r
ydx xdy
A 2
2 sin 1
cos sin
cos sin
2 cos 1 2
1
θ θ θ θ θ θ θ θ
19
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex. 2 경계에서 선적분으로서의 평면 영역의 면적
zGreen 정리 응용
∫∫ ∫
∫∫ ∫
⇒
=
⇒
=
=
R C
ydx dxdy
F y F
xdy dxdy
x F F
0
, 0 2
1 = ∫( − )
C
ydx xdy
A 2 1
∫∫ = −∫
⇒
=
−
=
R C
ydx dxdy
F y
F1 , 2 0 C
Ex 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적 Ex. 3 극좌표계에서 평면 영역의 면적
+
=
−
=
⇒
=
= r y r dx dr r d dy dr r d
x cosθ, sinθ cosθ sinθ θ, sinθ cosθ θ
( ) ∫[( )( ) ( )( )] ∫
∫ − = + − − =
=
⇒
C C
C
dθ r d
r dr r
d r
dr r
ydx xdy
A 2
2 sin 1
cos sin
cos sin
2 cos 1 2
1
θ θ θ θ θ θ θ θ
20
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
Ex 4 함수의 라플라스 작용소(Laplacian)인 이중적분의 법선도함수 선적분으로 변환 Ex. 4 함수의 라플라스 작용소(Laplacian)인 이중적분의 법선도함수 선적분으로 변환
( )x y
w , : 연속적이고 1차와 2차의 연속적인 도함수를 가지는 함수 x
F w y
F w
⇒
∂
= ∂
∂
−∂
= 2
1
,
w dy
w dx
w dy
dx
wdxdy y dxdy
F x
w F y
w x
w y
F x
F
R
R ∫∫
∫∫
∂
⎞
⎛ ∂ ∂
⎞
⎛
∇
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
−∂
∂
⇒ ∂
∇
∂ = + ∂
∂
= ∂
∂
− ∂
∂
∗ ∂ 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2
( )
( w) w
dx dy
w w dx
w dy
w
nds ds w
ds dy x w ds
dx y ds w
ds F dy ds F dx dy
F dx F
C C
C
C ∫ ∫ ∫
∫
= ∂
•
⎥ =
⎢ ⎤
⎡ −
⎥⎤
⎢⎡∂ ∂
∂ =
∂ −
⇐
∂
= ∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ + ∂
∂
−∂
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= +
∗ 1 2 1 2
grad
( ) n nds
wdxdy w
w n ds
ds y
x ds
y ds
x
C
R ∫
∫∫∇ = ∂∂
∴
= ∂
•
⎥⎦ =
⎢ ⎢⎣⎥⎦
⎣∂ ∂
∂ =
⇐ ∂ 2
grad ,
,
n
21 C
R
10
10.4 .4 Green’s Theorem in the Plane Green’s Theorem in the Plane
((평면에서의 평면에서의 Green Green의 의 정리 정리))
PROBLEM SET 10.4
HW 5 20 HW: 5, 20
22
10
10.5 .5 Surfaces for Surface IntegralsSurfaces for Surface Integralsgg
((면적분에서의 면적분에서의 곡면 곡면))
z 곡면의 표현식 : z = f( )x,y 또는 g(x,y,z)=0
z
( )u v [x( ) ( ) ( )u v y u v z u v ]
S
= , , , , , ,
r
표현식 매개변수
의 곡면
( ) ( ) ( )
( )u v R
v u z v u y v u x
∈
+ +
= ,
,
, ,
i j k
23
10
10.5 .5 Surfaces for Surface IntegralsSurfaces for Surface Integralsgg
((면적분에서의 면적분에서의 곡면 곡면))
Ex. 1 원기둥의 매개변수 표현
1 1
:
2
a이고 높이는 이며 z축을 축으로 하는 원기둥 x2 + y2 = a2, − ≤ z ≤ 반지름이
( ) [ ] i j k
r u,v = acosu,asinu,v = acosu +asinu +v
: 매개변수표현식
( )
성분 의
변함 에서
직사각형 평면의
는 와 매개변수
i
1 1
, 2 0
:
∗
≤
≤
−
≤
≤
∗ u v uv R u π v
직선들 수직인
상수 곡선
원들 평행한
상수 곡선
성분 의
:
:
sin cos
:
=
=
∗
=
=
=
∗
u v
v u, z a
u, y a
x r
24
