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E ngineering Mathematics II

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(1)

E ngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na (32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9

th

Edition , Wiley (2006)

(2)

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Integral Theorems

10.1 Line Integrals

10.2 Path Independence of Line Integrals 10.3 Calculus Review: Double Integrals 10.4 Green’s Theorem in the Plane

10.5 Surfaces for Surface Integrals 10.6 Surface Integrals

10.7 Triple Integrals. Divergence Theorem of Gauss 10.8 Further Applications of the Divergence Theorem 10.9 Stokes’s Theorem

2

(3)

 적분을 곡선(선적분), 면(면적분), 고체에 대핚 적분으로 확장:

고체역학, 유체흐름, 열역학에서 공학적 기본 응용으로 홗용

 적분의 변홖은 계산을 갂단히 하거나, 유용핚 일반적인 공식을 얻기 위해 수행

예) 퍼텐셜 이론(Potential Theory)

 적분변홖 공식:

Green의 공식, Gauss 공식, Stokes 공식

Ch. 10 Vector Integral Calculus.

Integral Theorems

(벡터적분법. 적분정리)

(4)

10.1 Line Integrals (선적분)

선적분의 개념: 미적분학에서 공부핚 정적분의 갂단핚 일반화

• Line Integral(선적분) 또는 Curve Integral(곡선적분):

Integrand(피적분함수)를 공갂(혹은 평면)내의 곡선을 따라 적분.

• Path of Integration (적분경로): 곡선

C

General Assumption:

선적분의 모든 적분경로를 구분적으로 매끄럽다 (Piecewise Smooth).

Definition and Evaluation of Line Integrals

 

t

x

     

t , y t , z t

x

 

t y

 

t z

  

t a t b

C

:

r   ijk

 

           

dt dt d

t t

d t

C:

b

a C

r r r

r F r

r F r

F

r 에서 벡터함수 선적분 :      ' '  곡선

       

b

a C

C

dt z F y F x F dz

F dy F dx F

dr 1 2 3 1 ' 2 ' 3 '

r F

(5)

10.1 Line Integrals (선적분)

Ex.1 Evaluation of a Line Integral in the Plane (평면에서 선적분의 계산)

  r   i j

F   y ,  xy   yxy

(6)

10.1 Line Integrals (선적분)

Ex.1 Evaluation of a Line Integral in the Plane (평면에서 선적분의 계산)

  r   i j

F   y ,  xy   yxy

     

   

 

       

   

     

     

0.4521

3 0 1 2 4

cos 2 1

sin 1 cos

sin

cos sin

sin cos sin

cos sin

cos sin

'

sin cos sin

sin

, cos

2 / 0

sin cos

sin cos

0

1 2 2

0 2

0

2 2

2

0

du u

dt t dt

t t t

dt t t, t

t t,

d

t t

t t, t

t t t

t y t x t y t

t t

y t t

x

π t , t t

t t, t

C

C

r r F

j i

r

j i

j i

r F

j i

r 로 표현

(7)

10.1 Line Integrals (선적분)

Ex.1 Evaluation of a Line Integral in the Plane (평면에서 선적분의 계산)

  r   i j

F   y ,  xy   yxy

     

   

 

       

   

     

     

0.4521

3 0 1 2 4

cos 2 1

sin 1 cos

sin

cos sin

sin cos sin

cos sin

cos sin

'

sin cos sin

sin

, cos

2 / 0

sin cos

sin cos

0

1 2 2

0 2

0

2 2

2

0

du u

dt t dt

t t t

dt t t, t

t t,

d

t t

t t, t

t t t

t y t x t y t

t t

y t t

x

π t , t t

t t, t

C

C

r r F

j i

r

j i

j i

r F

j i

r 로 표현

(8)

10.1 Line Integrals (선적분)

Ex.1 Evaluation of a Line Integral in the Plane (평면에서 선적분의 계산)

  r   i j

F   y ,  xy   yxy

     

   

 

       

   

     

     

0.4521

3 0 1 2 4

cos 2 1

sin 1 cos

sin

cos sin

sin cos sin

cos sin

cos sin

'

sin cos sin

sin

, cos

2 / 0

sin cos

sin cos

0

1 2 2

0 2

0

2 2

2

0

du u

dt t dt

t t t

dt t t, t

t t,

d

t t

t t, t

t t t

t y t x t y t

t t

y t t

x

π t , t t

t t, t

C

C

r r F

j i

r

j i

j i

r F

j i

r 로 표현

Ex.2 Line Integral in Space

  r z , x , y, r ( t ) [cos t , sin t , 3 t ] (0 t 2 )

F

(9)

10.1 Line Integrals (선적분)

Simple General Properties of the Line Integral

 

 

2 1

C C

C

C C

C

C C

d d

d

d d

d

k d

k d

k

r F r

F r

F

r G r

F r

G F

r F r

F 는 상수

(10)

10.1 Line Integrals (선적분)

Ex.3 Work Done by a Variable Force

Ex.4 Work Done Equals the Gain in Kinetic Energy.

 

같다.

것과 정하는

선적분으로

있다.

정의할 극한으로

합의 일의 행해진

변위에서 따른

현을 작은 행해진 때,

변할 변위에서 따르는

곡선

이다.

의한 일정한 변위에서

따른 직선분

W

C W F

t C:

d F W F

d

r

 

   

       

t b

a t b

a b

a b

a C

dt m m

dt t t

' m W

t ' m t '' m Newton

dt t t

d W

d dt t

 

 

  

2

' 2 2

v v v

v v

v r

F v r

F r

F

r v F

제2법칙 의

속도이다.

는 하면

시간이라 를

일이다.

선적분은 힘이면

(11)

10.1 Line Integrals (선적분)

Ex.3 Work Done by a Variable Force

Ex.4 Work Done Equals the Gain in Kinetic Energy.

 

같다.

것과 정하는

선적분으로

있다.

정의할 극한으로

합의 일의 행해진

변위에서 따른

현을 작은 행해진 때,

변할 변위에서 따르는

곡선

이다.

의한 일정한 변위에서

따른 직선분

W

C W F

t C:

d F W F

d

r

 

   

       

t b

a t b

a b

a b

a C

dt m m

dt t t

' m W

t ' m t '' m Newton

dt t t

d W

d dt t

 

 

  

2

' 2 2

v v v

v v

v r

F v r

F r

F

r v F

제2법칙 의

속도이다.

는 하면

시간이라 를

일이다.

선적분은 힘이면

(12)

10.1 Line Integrals (선적분)

Other Forms of Line Integrals

Path Dependence

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

                     

b

a b

a C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F 1 , 2 , 3

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 Integrate along the helix. F

 

r

xy, yz,z

Example: 0t 1, C1:r1

 

t

t, t, 0

, C2:r2

 

t

t, t2, 0

, F

0, xy, 0

 

     

 

      

2 1

5 2

2 '

3 1

'

2 2

4 2

2

1 1 2

1 1

C C

d t

t t

d t

t t

r r

F r

r F

r r F r

r F

(13)

10.1 Line Integrals (선적분)

Other Forms of Line Integrals

Path Dependence

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

                     

b

a b

a C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F 1 , 2 , 3

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 Integrate along the helix. F

 

r

xy, yz,z

 

 

2

2

0 2 2

2

0

6 , 6 , 2 0

3 , cos 3 sin 3 , 2cos

1  

 

 

 

F r t dtt t t t t

Example: 0t 1, C1:r1

 

t

t, t, 0

, C2:r2

 

t

t, t2, 0

, F

0, xy, 0

 

     

 

      

2 1

5 2

2 '

3 1

'

2 2

4 2

2

1 1 2

1 1

C C

d t

t t

d t

t t

r r

F r

r F

r r F r

r F

(14)

10.1 Line Integrals (선적분)

Other Forms of Line Integrals

Path Dependence

선적분은 일반적으로 피적분함수와 경로의 끝점과 관련이 있을 뿐 아니라 적분이 취해지는 경로 그 자체와도 관련이 있다.

                     

b

a b

a C

dt t F t F t F dt

t

dt F r r r r

r

F 1 , 2 , 3

: 선적분 벡터인

값이

Ex.5 Integrate along the helix. F

 

r

xy, yz,z

 

 

2

2

0 2 2

2

0

6 , 6 , 2 0

3 , cos 3 sin 3 , 2cos

1  

 

 

 

F r t dtt t t t t

Example: 0t 1, C1:r1

 

t

t, t, 0

, C2:r2

 

t

t, t2, 0

, F

0, xy, 0

 

     

 

      

2 1

5 2

2 '

3 1

'

2 2

4 2

2

1 1 2

1 1

C C

d t

t t

d t

t t

r r

F r

r F

r r F r

r F

(15)

PROBLEM SET 10.1

HW: 19, 20

15

10.1 Line Integrals (선적분)

(16)

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

Path Independence (경로 무관성)

Exact (완전)

 

     





B

3 2

1 3

2 1

3 2 1 3

2 1

,

,

grad

.

A

A f B f dz F dy F dx z F

F f y F f x F f f

f , F

, F F , F

, F F D

F

F 무관하다

경로에 영역에서

기울기이면

함수 어떤 만약

선적분은 연속인

에서

영역 공간의

경로무관하다.

에서 영역

적분은 이면,

적분값이 선적분의

곡선에서 닫힌

모든

영역 D 0 D

무관하다.

경로 에서 영역

선적분은 완전하면,

가지고

, , 계수함수 연속적인

에서 영역

미분형식

D

F F F D

dz F dy F dx F

d 1 2 3 1 2 3

r F

성립 관계가

존재하여

함수 미분가능한

곳에서 모든

영역 D f Fdrdf

(17)

Ex.1 Path Independence

2 xdx 2 ydy 4 zdzA:0 , 0 , 0B:2 , 2 , 2

dr F

C C

to

 ,

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

(18)

Ex.1 Path Independence

2 xdx 2 ydy 4 zdzA:0 , 0 , 0B:2 , 2 , 2

dr F

C C

to

 ,

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

 

2 2 4       2 , 2 , 2   0 , 0 , 04 4 8 16

2

4

, 2

, 2

grad z

4 , 2 2

2 2

2

3 2

1

 

 

 

 

 

 

xdx ydy zdz f B f A f f

z y

x f

F z z

F f y y

F f x x

f

f y

x,

C

무관하다.

경로와 적분은

F

(19)

Criterion for Exactness and Path Independence (완전성과 경로 무관성에 대한 판별기준)

   

3 .

2 1

3 2

1

하자 가진다고 일차편미분도함수를

연속적인 연속적이고,

에서 영역

에서 선적분

, F , F F

dz F dy F dx F d

C C

F r r





y F x

, F x F z

, F z F y

F dz F dy F dx F d

1 3 2

1 3 2

3 2

1

curl

즉,

완전 미분형식

0 F r F

무관하다.

경로 선적분은

완전 단순연결

성립하고

curl 1 2 3

0 D F dr Fdx F dy F dz

F

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

0 ) (  

F f

(20)

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

A torus is not simply connected.

Neither of the colored loops can be contracted to a point without leaving the surface.

A sphere is simply connected because every loop can be contracted (on the surface) to a point.

(21)

Ex.3 Exactness and Independence of Path. Determination of a Potential Show that the differential form is exact. Find the value of

I

from A: (0, 0, 1) to B (1, π/4, 2)

완전성 :

   

 

C

dz yz y

yz x dy

yz z

z x dx xyz

I

2

2 2 2

cos 2

2

cos

 

F3 y 2x2zcos yzyzsin yz

   

F2 z, F1 z 4xyz

   

F3 x, F2 x  2xz2

 

F1 y

   

 

   

0 1

sin 2 4 4

1

, sin

0 ' cos

2 '

cos 2

0

2

2

, sin

cos

2 2

2 3 2

2 1

2

2 2 2

2 2

 

A

f B f yz yz

x f

h h

yz y yz x F h yz y yz x f

z h g g

xyz F

g xyz f

z x g yz yz

x dy yz z

z x dy F f f

z

x x

x

상수 구하기

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

(22)

Ex.3 Exactness and Independence of Path. Determination of a Potential Show that the differential form is exact. Find the value of

I

from A: (0, 0, 1) to B (1, π/4, 2)

완전성 :

   

 

C

dz yz y

yz x dy

yz z

z x dx xyz

I

2

2 2 2

cos 2

2

cos

 

F3 y 2x2zcos yzyzsin yz

   

F2 z, F1 z 4xyz

   

F3 x, F2 x  2xz2

 

F1 y

   

 

   

0 1

sin 2 4 4

1

, sin

0 ' cos

2 '

cos 2

0

2

2

, sin

cos

2 2

2 3 2

2 1

2

2 2 2

2 2

 

A

f B f yz yz

x f

h h

yz y yz x F h yz y yz x f

z h g g

xyz F

g xyz f

z x g yz yz

x dy yz z

z x dy F f f

z

x x

x

상수 구하기

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

(23)

Ex.4 On the Assumption of Simple Connectedness

  

 

 

C

C x y

xdy dy ydx

F dx F I

y F x

F x y

x F y

2 2 2

1

2 3 2 2

2

1 2 , , 0,

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

(24)

Ex.4 On the Assumption of Simple Connectedness

  

 

 

C

C x y

xdy dy ydx

F dx F I

y F x

F x y

x F y

2 2 2

1

2 3 2 2

2

1 2 , , 0,

 

2

 

,

 

2

2 2

2 .

2 2 2 2

2 2 2 1

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 이므로 미분형식이 D에서완전하다

y x

x y y

x

y y y x y

F y

x x y y

x

x x y x x F

. 0

적분 에서경로에무관하면 임의닫힌곡선에서 이다

만약 I D D I

 

2

0 2

2 2

1

cos sin

cos

, sin

1 , sin

, cos

,

I d d

d d

xdy ydx

d dy

d dx

r r

y r

x

적분 방향

반시계 그러나

.

I D

,

D가 단순연결이 아니므로 에서 가 경로무관하다고 결론을 내릴 수 없다

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

(25)

PROBLEM SET 10.2

HW: 10, 16

25

10.2 Path Independence of Line Integrals

(선적분의 경로 무관성)

(26)

10.3 Calculus Review: Double Integrals

(이중적분)

Double Integrals: 피적분함수를 평면의 닫힌 유핚핚 영역에서 적분

.

을 축과 축에평행한직선을그어분할한다

영역 R x y

 

 

면적 직사각형의 번째

만든다 합을

형태의 같은

택하여 을

점 한 내의 직사각형 각

.

1

ΔA k

ΔA ,y x f J

,y x

k

n

k

k k k n

k k

 

 

, (Double Integral) .

,

,

한다 이라 이중적분

의 에서의

영역 극한을 수렴

이 수열

가정 한다고 경계로

곡선을 매끄러운

유한개의 이

연속이고 에서

y x f R

J

R R

y x f

n

(27)

10.3 Calculus Review: Double Integrals

(이중적분)

 

     

.

R

.

,

, ,

Theorem) Value

(Mean

0 0 0

0

2 1

면적이다 의

존재한다 에

하나 적어도

가 점

만족하는 을

단순연결되었으면 이

대한 이중적분에

A

R y

x A

y x f dxdy y

x f R

dxdy f

dxdy f

dxdy f

dxdy g

dxdy f

dxdy g

f

dxdy f

k dxdy kf

R

R R

R

R R

R

R R



















정리

평균값

이중적분의 성질

(28)

10.3 Calculus Review: Double Integrals

(이중적분)

Evaluation of Double Integrals by Two Successive Integrations (연속적인 두 적분에 의한 이중적분의 계산)

   

 

 

dx dy y x f dxdy

y x f

b

a

x h

x g

R

 



 

  ,

,

   

 

 

dy dx y x f dxdy

y x f

d

c

y q

y p R

 



 

  ,

,

(29)

10.3 Calculus Review: Double Integrals

(이중적분)

Applications of Double Integrals



R

dxdy A

R : 의면적 영역

   

  

R

dxdy x,y f V

R xy

x,y f z

:

0

아래와 평면영역 위로이루어지는체적

 

 

   

   

   













R y x

R y R

x

R R

R

dxdy x,y f y x I

I I R

dxdy x,y f x I

dxdy x,y f y I

R

dxdy x,y M yf

y dxdy x,y M xf

x R

dxdy x,y f M

R

xy y x f

2 2 0

2 2

: Inertia) of

Moments (Polar

,

: Inertia) of

(Moments

1 1 ,

: ) Gravity of

(Center

:

)

(

: ,

극관성모멘트 질량의

에서

관성모멘트 질량의

에서

무게중심 질량의

에서

질량 전체 에서

질량 면적당 단위

밀도 질량분포의 평면에서

(30)

10.3 Calculus Review: Double Integrals

(이중적분)

Change of Variables in Double Integrals (이중적분에서 변수변환). Jacobian

    u x v y v x u y

v y u

y

v x u

x v

u y J x

 

 

 

 

 

, ,

: Jacobian

            



*

,

, , , , ,

:

,

R R

v dudv u

y v x

u y v u x f dxdy

y x f

v u, y

x 에서 로의 변수 변환공식

이중적분에서

   

    



 

 

 

*

sin ,

cos ,

cos sin

sin cos

, ,

sin cos

,

R R

θ rdrd θ r

r f dxdy

y x f

r r r r

y J x

r θ θ, y r

x r

로서

극좌표계

(31)

10.3 Calculus Review: Double Integrals

(이중적분)

Ex. 1 Evaluate the following double integral over the square

R.

 



R

dxdy y

x2 2

참조

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