E ngineering Mathematics II
Prof. Dr. Yong-Su Na (32-206, Tel. 880-7204)
Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,
9
thEdition , Wiley (2006)
Ch. 16 Laurent Series. Residue Integration
16.1 Laurent Series
16.2 Singularities and Zeros. Infinity 16.3 Residue Integration Method
16.4 Residue Integration of Real Integrals
2
Ch. 16 Laurent Series, Residue Integration (Laurent 급수. 유수적분)
내용: Laurent 급수, 유수적붂
일 때 유효
유효 때
일
1 1
1 1
1 1 1
1 b
1 1
1 a 1 1
2 0
1 1
0
z z z z
z z
z
z z z
z
n
n n
n
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Laurent Series: 음이 아닌 거듭제곱과 음수의 거듭제곱으로 이루어짂 급수
Laurent’s Theorem
• Principal Part (주부)
는 급수로표현가능해석적 영역에서
포함하는 환형을
사이의 동심원
와 동심원
두 인 중심이
Laurent
,
:
0 1 2
z f
C C z
z f
반시계방향 적분방향
경로 닫힌
단순 둘러싸는 를
:
:
*
* 2 *
1
* *,
* 2
1
0
1 1 0
0
2 0 2 0
2 1 0 2
0 1
0
1 0
0
0
z C
dz z f z
i z b
z dz z
z f a i
z z
b z
z z b
z a z
z a z a
z z b
z a z
f
C
n n
C n n
n
n n n
n n
의유일한특이점일때 급수의음의거듭제곱의급수내에서
가 2 , Laurent
0 C f z
z
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Uniqueness (유일성)
• 수렴환형 앆에서의 Laurent 급수는 유일하다.
• 같은 중심을 갖는 두 개의 환형 앆에서 서로 다른 Laurent 급수를 가질 수 잇다.
Laurent 급수의 다른 표현
*
*
0, 1, 2,
2 1
, 1
0
0
n z dz
z z f a i
z z a z
f
C n n
n
n
n
Ex. 1 Use of Maclaurin Series
Find the Laurent series of
z
--5sinz
with center 0.
2 4
2 2
4 4
2 0
5
6 1
:
0
:
0 5040
1 120
1 6
1 1
! 1 2 sin 1
z z
z z z
z z z n
z
nn
n
주부 급수의
에서
복소평면 전
제외한 원점을
환형 수렴
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Ex. 2 Substitution (대입)
Find the Laurent series of
z
2e1/z with center 0.
2 2 2 2
2 1
! 4
1
! 3
1 2 1
! 2
1
! 1 1 1
z z z
z z z z
e
z z
Ex. 3 Development (전개)
Develop 1/(1-
z
) (a) in nonnegative powers ofz
, (b) in negative powers ofz
.
일 때유효
유효 때 일
1
1 1 1
1 1 1
1 b
1
1 1 a
2 0
1 1
0
z z z z
z z z
z z z
n n n
n
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Ex. 4 Laurent Expansions in Different Concentric Annuli (서로 다른 동심환형에서의 Laurent 전개)
Find all Laurent series of 1/(
z
3-z
4) with center 0.
1
1 1
1 1
1 0
1 1
1 1
1
5 4
0
4 4
3
2 3
0
3 4
3
z z z
z z
z
z z z
z z z
z z
n
n n
n
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
Ex. 5 Use of Partical Fractions (부분분수의 이용)
Find all Taylor and Laurent series of with center 0.
2 3
3 2
2
z z
z z
f
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
4 3
2 1
0
2 2
0 1 0
1
2 0
1
0 2 1
0 1 2
1
9 5
3 2 1 1
2
, 2
1 1 8
1 4
1 2 1 1
2 1
, 2 1
8 9 4
5 2 3 2
1 1
, 1
2
2 1
1 2
1
2
2 1 1
2 1 2
1
Laurent 2
1
2 1 1
1
z z
z z z z
f z
z z z
z z z
z f z
z z
z z
f z
z z z
z
z z z
z z
z z z
f
n n
n
n n n
n n
n n
n
n n
n
z
n
n n
때 일
때 일 때 일
구하면 급수를
의
표현하면 부분분수로
Ex. 5 Use of Partical Fractions (부분분수의 이용)
Find all Taylor and Laurent series of with center 0.
2 3
3 2
2
z z
z z
f
16.1 Laurent Series (Laurent 급수)
PROBLEM SET 16.1
HW: 9, 16, 24 (c)
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
Singular Point (특이점): 주어짂 함수가 해석적이지 않은 점으로 이 점의 모든 귺방은 해석적인 점을 포함핚다.
• Isolated Singular Point (고립특이점): 다른 특이점을 갖지 않는 귺방을 갖고 잇는 특이점
고립특이점은 Laurent급수에 의해 붂류된다.
• Pole (극): 음의 거듭제곱을 포함하는 주부가 유핚개의 항을 가질 때 (z = z0) Order (위수): 주부의 제일 낮은 차수 (
m
)• Simple Order (단순극): 위수가 1인 극
• Isolated Essential Singular Point (고립진성특이점): 주부가 무핚히 많은 항을 가질 때
1 0 .tan
.
2, 3
2,
tan )
갖는다 을
비고립특이점 는
갖는다 등을
고립특이점 는
예제
z
z
0
) ( 0
0
1
m m
m b
z z
b z
z
b
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
Ex. 1 Poles. Essential Singularities
5 ! z 0 .
1
! 3
1 1
! 1 2
1 sin 1
! 2
1 1 1
! 1
.
5
2
,
0
2 3 2
1
5 3
0
1 2
2 0
1
2 5
갖는다 고립진성특이점을
에서 은
과 함수
갖는다 극을
인 위수가 에서
갖고 단순극을
에서 은
함수
z z
z z
n z
z z
z e n
z
z z z
z z f
n
n n n
n z
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
Ex. 2 Behavior Near a Pole
1 0 0
.2은 에서극을 가지며임의의방법으로 일때 이다
함수 z z f z
z z f
Poles (극)
z 가 해석적이고 z z0에서 극을 가지면 임의의 방법으로 z z0일 때 f
z 이다.f
Ex. 3 Behavior Near an Essential Singularity
i 0 0 ..
0
(iii)
.
0 0
ii
.
0
i
.
0
0 1
갖는다 을
상수값 주어진
임의의 함수는
이 근방에서 작은
임의의 의
발산한다 로
무한대 이면
통하여 실수값을
양의
수렴한다 에
이면 통하여
실수값을 음의
않는다 가지지
극한값을 접근시키면
에 따라 허수축을
갖는다 진성특이점을
에서 은
함수
i
z
e c c z
v
z z z
e z f
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
Zeros of Analytic Functions (해석함수의 영점)
• Zero (영점): 해석적인 함수의 함수값이 0인 점
영점은 함수값 뿐만 아니라 도함수의 값도 0일 수 잇다.
위수: 도함수의 값이 0이 되지 않는 가장 조금 미붂핚 횟수
• Simple Zero (단순영점): 위수 1인 영점 Ex. 4 Zeros
iii ..
2
1 1
ii
.
1
i
4 2 2
않는다 갖지
영점을 은
함수
갖는다 영점을
의 위수 에서 과
은 함수
갖는다 단순영점을
에서 은
함수
ez
i z
i z
Picard’s Theorem
.
0
0
갖는다 값을
모든 제외된
값이 개의
한 기껏해야 근방에서
작은 임의의 의
갖는다면 고립진성특이점을
에서 점
해석적이고 가
z
z z
f
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
Zeros (영점)
0 . , . 의영점은고립되어있다 즉 각각은영점을갖지않는근방을갖고있다 해석함수 f z Poles and Zeros (극과 영점)
.0
.
1
0 0
0
0 0
성립된다 사실이
똑같은 대해서도
에 이면
해석적이고 에서
가
갖는다 극을
인 위수 에서
은
가지면 영점을
의 위수 에서
해석적이고 에서
가
z f
z z h
h z
z z h
n z
z z f
n z
z z
z z
f
Taylor Series at a Zero (영점에서의 테일러 급수)
2 0 2
0 1
0 1
0 1
0
1 0
0 1 0
0
0 0
. 0
, , '
.
z z a z z a a z z z
z a z
z a z f
a a
a
z f
z f z
z n
z f
n n
n n n
n n n
n n
n
이므로 이고
급수에서 테일러
이다 는
도함수 갖는다
를 영점
의 위수 가
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
Riemann Sphere:
• Image (상): 지름방향으로 원점의 정반대에 위치핚 북극에서 평면의 임의의 점을 잆는 선붂이 구와 교차하는 점
• 북극을 제외핚 구의 모든 점은 복소수를 나타내고, 북극은 복소평면 내의 어떤 점에도 해당되지 않는다.
• Point at Infinity (무한대 점): 북극의 상으로 설정된 점
• Extended Complex Plane (확장복소평면): 무핚대 점이 포함된 복소평면
• Finite Complex Plane (유한복소평면): 무핚대 점이 포함되지 않은 단순핚 복소평면 .
1
0인지점에서복소평면에닿아있는지름 인구이다
z
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
Analytic or Singular at Infinity (무한대에서 해석적이거나 특이한 함수)
•
•
•
•
에서 로놓고 의근방에서
를 조사함수 대하여 에
큰 1
0 1
g w
f w z f w w
z z
f
z
w가 w 0에서 해석적 f
z가 무한대에서 해석적g
w가 w 0에서 특이하다 f
z 가 무한대에서 특이하다g
g
wg 0 limw 0
존재
극한값이
.
1
0에서 가영점을갖는다 f z가 무한대에서위수 n의영점을갖는다
f w
w
16.2 Singularities and Zeros. Infinity
(특이점과 영점. 무한대)
PROBLEM SET 16.2
HW: 9, 18
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
Residue (유수): z = z0에서의 유수
b f z
z z 0 1
Res
12 1 0 2 0
1 0
0
2
2 . 1
ib dz
z f
dz z i f
z b z
b z
z z b
z a z
f
C n C
n n
이다
에서
Ex. 1 Evaluation of an Integral by Means of a Residue
Integrate the function
f
(z
)=z
-4sinz
counterclockwise around the unit circleC
.
2 3 sin
! . 3
1
! 7
! 5
! 3
1 1
sin
4 1
1 3
3 4
ib i z dz
z
z b z z z
z z z
f
C
이다
이므로
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
Ex. 2 CAUTION! Use the Right Laurent Series!
Integrate
f
(z
) = 1/(z
3-z
4) clockwise around the circleC
: |z
|=1/2.CAUTION!
z i
f i
z dz z
z z
z z z
z z
z
C z
z z
z f z
z z
z
C z
Res 2
1 2
. 1
0
1 0
1 1 1 1
1
.
1
1 0
:
1
4 0 3
2 3
4 3
3 4
3
이다 유수는
에서의 이므로
않는다 고려하지
존재하므로 외부에
의 원
은
과 특이점
의 이므로
1
1 0 .1 1 1 1
급수인 3 4 4 5 6 에서 항이존재하지않으므로 오답인 이얻어진다
다른 z z
z z z z
z
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
Formulas for Residues (유수에 대한 공식)
• Simple Poles (단순극)
• Poles of Any Order (임의 위수의 극)
000 0
0 1
0
Res ' Res
:
0
ii
lim Res
:
i
0 0
0 0
z q
z p z
q z z p
f
z z
q z
z p q
z z p
f
z f z z b
z f z
z f
z z z
z
z z z
z
경우 가지는
단순영을 에서
는 이고
에서
경우 가지는
단순극을 에서
가 함수
2 : Res lim '
2
! lim 1 Res 1
:
2 0
1 0 1 0
0 0
0 0
z f z z z
f m
z f z dz z
d z m
f m
z z f
z z z
z
m m
m
z z z
z
극 인 위수
경우 가지는
극을 의
위수 에서
가
함수
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
Ex. 3 Residue at a Simple Pole
i i z
i z z
z i z
z z q z
z z q i z z p
i i i
z z
i z i
z i z z
i i z
z z z
i z
z i z
i z z
f i
z i z z
i i z
z
i i z
z i
z
2 5 10 1
3 9 Res9
1 3 '
, 9
ii
2 5 10 9
lim 9 Res9
i
,
9
1
2 3
2 3
3
3 2
가지며 단순극을
에서 는
이므로
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
i i z
i z z
z i z
z z q z
z z q i z z p
i i i
z z
i z i
z i z z
i i z
z z z
i z
z i z
i z z
f i
z i z z
i i z
z
i i z
z i
z
2 5 10 1
3 9 Res9
1 3 '
, 9
ii
2 5 10 9
lim 9 Res9
i
,
9
1
2 3
2 3
3
3 2
가지며 단순극을
에서 는
이므로
Ex. 3 Residue at a Simple Pole
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
i i z
i z z
z i z
z z q z
z z q i z z p
i i i
z z
i z i
z i z z
i i z
z z z
i z
z i z
i z z
f i
z i z z
i i z
z
i i z
z i
z
2 5 10 1
3 9 Res9
1 3 '
, 9
ii
2 5 10 9
lim 9 Res9
i
,
9
1
2 3
2 3
3
3 2
가지며 단순극을
에서 는
이므로
Ex. 4 Residue at a Pole of Higher Order
85 200 4
lim 50 1
lim Res
.
2
1
1 4
4
7 2
50
1 2 2
1
2 2
3
z
z dz
z d f dz z
z d f
z z
z z z
z z z f
z z
i z
갖는다 극을
의 위수 에서 때문에
같기 과 분모가
는
Ex. 3 Residue at a Simple Pole
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
i i z
i z z
z i z
z z q z
z z q i z z p
i i i
z z
i z i
z i z z
i i z
z z z
i z
z i z
i z z
f i
z i z z
i i z
z
i i z
z i
z
2 5 10 1
3 9 Res9
1 3 '
, 9
ii
2 5 10 9
lim 9 Res9
i
,
9
1
2 3
2 3
3
3 2
가지며 단순극을
에서 는
이므로
Ex. 4 Residue at a Pole of Higher Order Ex. 3 Residue at a Simple Pole
85 200 4
lim 50 1
lim Res
.
2
1
1 4
4
7 2
50
1 2 2
1
2 2
3
z
z dz
z d f dz z
z d f
z z
z z z
z z z f
z z
i z
갖는다 극을
의 위수 에서 때문에
같기 과 분모가
는
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
Residue Theorem (유수정리)
z dz i f
zf
C C
z f
C z z
z C
k
j z z
C
k
j
1 2
1
Res 2
:
: , , ,
:
함수 해석적인
상에서 내부와
제외한 특이점을
특이점 유한개의
있는 내부에
경로 닫힌 단순
Ex. 6 Another Application of the Residue Theorem
Integrate (tan
z
)/(z
2-1) counterclockwise around the circleC
: |z
|=3/2.
i z i
z z
i z z
z z
i z z dz
z
z z
z
C z
z z z
C z
7855 .
9 1 tan 2 2
tan 2
2 tan 1
Res tan 1
Res tan 1 2
tan
.
1
1 1
1
.
2 , 3 2 ,
tan
1 1
1 2 1 2
2
2
갖는다 단순극을
에서 은
분모 함수의
주어진
있다 놓여
바깥에 의
윤곽선 는
특이점
의
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
Ex. 7 Poles and Essential Singularities
Evaluate the following integral, where
C
is the ellipse 9x
2+y
2 = 9 (counterclockwise).dz z ze
ze
C
z
4
16
z
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
i i
i dz
z ze ze
ze
z z z z
z z
z z ze
ze
z ze z
ze z
ze z
ze
i z C
ze
C
z z
z z
z z
i z z z
i z i
z z z
i z
z
221 . 4 30
1 2
16 1 16 2 1
16
! Res 2
! 0 3
! 2
! 3
! 1 2
0
16 1 4
Res 16 16,
1 4
Res 16
.
2
16
2 2
4
2 0
2 3 2
3 3 2
2 2 3 2 4
2 3 2 4
4
가지며
진성특이점을 에서
는
갖는다 단순극을
에서 존재하는
내부에 는
Ex. 7 Poles and Essential Singularities
Evaluate the following integral, where
C
is the ellipse 9x
2+y
2 = 9 (counterclockwise).dz z ze
ze
C
z
4
16
z
16.3 Residue Integration Method
(유수적분법)
PROBLEM SET 16.3
HW: 8, 25
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
cos
θ
와 sinθ
의 유리함수의 적분:J
2
F d
0
sin , cos
, : 1 ( )
, sin
, cos
1 2
1 2
sin 1 1 , 2
1 2
cos 1
반시계방향 치환하면
라
z iz C
z dz f J
iz d dz
z f F
z z e i
i e z z
e e
z e
C
i i
i i
i
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Ex. 1 An Integral of the Type (1)
cos 2 2
2
0
d
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
2 2 1 2 2
cos 2
2 1 1
2 1 1
2 1
2 Res 1
1 2
.
1 2
1 2 1
2 2
1 2 2 2
cos 2
2
0
1 z 2
z
2 1
2 2 1
2 1 2
0
2
i i d
z z
z
C z
C z
z z
dz z i
z
dz z
iz dz d
z
C C
i
C z
있으므로 내부에
원 은 단순극
제외된다 존재하므로
외부에 원
은 단순극
Ex. 1 An Integral of the Type (1)
cos 2 2
2
0
d
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Improper Integral (이상적분)
Cauchy Principal Value:
sum over all the residues at the poles of f(z) in the upper half-plane.
x dx f x dx f x dx f x dx f
R
R R b
a b
a
lim lim lim
0 0
dx x f . v . pr
z f i
dx x
f 2 Res
f z dz f z dz
Rf x dx i f z
R S
C
( ) ( ) ( ) 2 Res
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Ex. 2 An Improper Integral from 0 to ∞
2 1 2
0
4
x
dx
16.4 Residue Integration of Real Integrals (실적분의 유수적분)
Ex. 2 An Improper Integral from 0 to ∞
2 1 2
2 1 1
4 2 sin 4 2
2 4
2 1
4 1 4
1 4
1 '
1 Res 1
4 , 1 4
1 4
1 '
1 Res 1
,
.
,
,
,
1
1
0
4 4
4 4
4
4 4
9 3
4
4 4
3 3
4 4 3 2 4 1
4 4
4 3 3
4 3 2 4 4 1
2 2 2
1 1 1
x dx x
dx
i i e
i e x
dx
e z e
z z f
e z e
z z f
e z e
z
e z e
z e
z e
z z z
f
i i
i i
z z z
z z
z
i i
z z z
z z
z
i i
i i
i i
존재하므로 상반평면에
는 극
갖는다 을
단순극 개의
네 은 함수
2 1 2
0
4
