정답 및 해설 11월

(1)

정답 및 해설 11월

4

인 표본의 표본평균 XÓ는 정규분포 N{m, { 814 }

2}, 즉

N(m, 4²)을 따른다.

확률변수 Z= XÓ-m4 이 표준정규분포 N(0, 1)을 따르 므로 구하는 확률은

P(XÓÉm-2)=P{ XÓ-m4 É m-2-m4 }

=P(ZÉ-0.5)

=0.5-P(0ÉZÉ0.5)

=0.5-0.1915

=0.3085

11.

함수 y=ln|x|의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는

2_{e_1-:!e``ln x dx}

=2e-2[x ln x]!e` +2:!e``{x_ 1x }dx

=2e-2(e-0)+2[x]!e`

=2(e-1)

12.

점 (1, 1)은 곡선 xe^y+aye^-x=bx 위의 점이므로

e+ ae=b yy ㉠

xe^y+aye^-x=bx의 양변을 x에 대하여 미분하면 e^y+xe^y dydx +ae^-x dydx -aye^-x=b yy ㉡ 곡선 xe^y+aye^-x=bx 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 기 울기가 1이므로 ㉡에서

e+e+ ae-a

e =b ∴ b=2e

㉠에서 a=-e²+be=e²이므로 ab=e²_2e=2e³

13.

확률변수 X의 확률질량함수가

P(X=r)=30Cr a^r(1-a)^30-r (r=0, 1, 2, y, 30) 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(30, a)를 따른다.

E(X)=30a, V(X)=30a(1-a)이므로

30a(1-a)= 215 _900a², 1-a=4a ∴ a= 15 E(X)=30_ 15 =6, V(X)=30_ 15_4

5 =24 5 이므로

E(X²)=V(X)+{E(X)}²= 245 +6²= 2045

∴ 5E(X²)=204

14.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a+b=-4, ab=-2이고, 두 근은 서로 다른 부호를 갖는다.

함수 f(x)=a sin (-4px)+b이므로 주기는 p= 2p|-4p| =1

2

함수 f(x)의 최댓값은 |a|+b이고 이 값은 양수이므로 a<0 (∵ a+b=-4<0)

따라서 함수 f(x)의 최솟값은 m=-|a|+b=-4

∴ m_p=-4_ 12=-2

15.

확률변수 X의 평균과 표준편차를 각각 m, r라 하고 확률변수 Y의 평균과 표준편차를 각각 m', r'이라 하자.

조건 (가)에서 함수 y=g(x)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축의 방향으로 -5만큼 평행이동 시킨 것이므로 m'=m-5, r'=r

조건 (나)에서 f(10)=g(20)이므로 두 곡선 y=f(x), y=g(x)는 x=15에 대하여 대칭이다.

따라서 (m-5)+m2 =15에서 m=17.5

N

Y ZG Y ZH Y

이때 확률변수 X는 정규분포 N(17.5, r²)을 따르므로 확률변수 Z= X-17.5r 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

P(XÉ10)=P{ X-17.5r É 10-17.5r }

=P{ZÉ- 7.5r }=P{Z¾7.5 r }

=0.5-P{0ÉZÉ 7.5r }=0.0668 에서 P{0ÉZÉ 7.5r }=0.5-0.0668=0.4332이므로

7.5r =1.5 ∴ r=5

확률변수 Y는 정규분포 N(12.5, 5²)을 따르므로 확률 변수 Z= Y-12.55 는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

∴ P(15ÉYÉ20)

=P{ 15-12.55 É Y-12.55 É 20-12.55 }

=P(0.5ÉZÉ1.5)

=P(0ÉZÉ1.5)-P(0ÉZÉ0.5)

=0.4332-0.1915=0.2417

16.

Ú n=1일 때 (좌변)= 2³-3-4

4² = 116 , (우변)={1- 32²}²= 116 이므로 (C)이 성립한다.

Û n=m일 때, (C)이 성립한다고 가정하면 ;m

k=1

k(2^k+2-3k-4)

4^k+1 ={1- m+22^m+1 }² 이다. n=m+1일 때

m+1 ;_k=1k(2^k+2-3k-4) 4^k+1

={1- m+22^m+1}²+(m+1)

(

2^m+3-3m-7

)

4^m+2

={1- m+22^m+1}²+ m+1

2^m+1- (m+1)(3m+7) 4^m+2

=1- m+2

2^m + (m+2)²

4^m+1 + m+1 2^m+1

- (m+1)(3m+7) 4^m+2

=1- m+3

2^m+1+ (m+3)²

4^m+2 ={1- m+32^m+2}² 이다. 따라서 n=m+1일 때도 (C)이 성립한다.

Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 ;_k=1n k(2^k+2-3k-4)

4^k+1 ={1- n+22ⁿ⁺¹}²이다.

(가)= 116, (나)=2^m+3-3m-7, (다)=2^m+1이므로 p= 116, q=48, r=32

∴ p_q_r=96

17.

함수 f(x)는 x>0에서 미분가능하므로 닫힌구간 [n, n+2]에서 평균값의 정리를 이용하면

f(n+2)-f(n)

(n+2)-n =f '(cⁿ)

이 되는 cn이 열린구간 (n, n+2)에 적어도 하나 존재 한다. 즉,

f(n+2)-f(n)=2f '(cn) (단, n<cn<n+2) n → ¦이면 cn → ¦이므로

limn Ú¦ { f(n+2)-f(n)}=2_lim_n Ú¦ f '(cn)

=2_lim_x Ú¦ f '(x) yy ㉠ 이때

f '(x)=xln{1+ 3x }+1

2 x²_- 3 x² 1+ 3x + 32

- 92_ 1 x+3

1.

(2¹³Ö2)¹³⁺¹=2(13-1)_(13+1)=2²=4

2.

_{2!_3! =}^5! (2_1)_(3_2_1) =10^5_4_3_2_1

3.

부채꼴의 반지름의 길이를 r라 하면 4p=r_ 25p ∴ r=10

따라서 구하는 부채꼴의 넓이는 12_10_4p=20p

4.

^{세 수 log}⁶^{3, a, log}⁶ 12가 이 순서대로 등차수열을 이 루므로 등차중항의 성질에 의해

2a =log6 3+log6 12=log6 36=2 ∴ a=1

5.

P(B^C)= 56이므로 P(B)=1-P(B^C)= 16 두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로

P(A'B)=P(A)+P(B)= 13 +1 6 =1

2

6.

{x+ ax }

6

의 전개식의 일반항은

6Cr x^r{ ax }

6-r=6Cr a^6-rx^2r-6 (r=0, 1, 2, y, 6) x^2r-6=x²에서 r=4이므로 x²의 계수는

6C4_a^6-4=15_a²=75 ∴ a=15 (∵ a>0)

7.

^{수열 {a}ⁿ}이 수렴하므로 lim_n Ú¦ an=a (a는 상수)라 하면

n Ú¦lim (2an+4)=2a+4

이때 ;_n=1^¦(12-3an)=2a+4이므로 급수 ;_n=1^¦(12-3an) 은 수렴하고 lim

n Ú¦ (12-3an)=0이므로 a=lim_n Ú¦ an=lim_n_Ú¦ { 12-3a-3 ⁿ+4}=0+4=4 ;¦

n=1(12-3an)=2a+4=12이므로 ;¦

n=1(4-an)= 13 ;_n=1^¦(12-3an)= 13_12=4

8.

정적분과 급수의 관계에 의해

n Ú¦lim 1 n ;n

k=1 sin kpn =1 p limⁿÚ¦

;n

k=1 { pn sin kpn }

= 1p:)^p sin x dx

= 1p[-cos x])^p

= 1p(1+1)=2 p

9.

^{곡선 y=3}^2x을 x축의 방향으로 m만큼, y축의 방향으 로 n만큼 평행이동한 곡선은 y-n=3^2(x-m)

∴ y=9^x-m+n

이 곡선이 곡선 y=3_9^x+1+1과 일치해야 하므로 9^-m=3_9이고 n=1이다.

9^-m=3^-2m=3³이므로 -2m=3 ∴ m=- 32

∴ m+n=- 32+1=-1 2

10.

이 공장에서 생산되는 제품 1개의 무게를 확률변수 X 라 하면 X는 정규분포 N(m, 8²)을 따르므로 크기가 4

①

21.

③

22. 2 23. 13 24. 10 25. 4

26. 17 27. 315 28. 80 29. 252 30. 7

가

(2)

11월 정답 및 해설 5

이며 정삼각형 A1A2F1의 넓이는

134 _(3-13)²= 134 _(12-613)=613-9 2 따라서 정삼각형 A₁B1C1의 내부와 원 O1의 외부의 공 통부분의 넓이는

3[ 613-92 -{ p2- 32 }]=913-9-3 2p

이다. 또, 부채꼴 OA2D1의 넓이는 12_(16)²_ p2=3 2p 이며 직각이등변삼각형 OA2D1의 넓이는 12_(16)²=3 이므로 정삼각형 A1B1C1의 외부와 원 O1의 내부의 공통 부분의 넓이는 3{ 32p-3}= 92p-9

∴ T1={913-9- 32p}+{ 92p-9}

=3(p+313-6) 따라서 ㉣에서

n Ú¦limSn= ;_n=1^¦Tn= T¹ 1- 12

=2T1=6(p+313-6)

19.

갑이 이기는 사건을 X, 갑이 정육면체 A를 던지는 사건을 Y라 하면 구하는 확률은 P(Y|X)이다.

두 정육면체 A, B에서 나온 눈을 각각 a, b라 하고 순 서쌍 (a, b)로 나타내자.

갑이 정육면체 A를 던지게 될 확률은 12이고, 이때 갑이 이기는 경우는

(3, 2), (4, 2), (4, 3), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 2), (6, 3), (6, 4)

이므로 P(X;Y)

= 12_{1 6 _1

6 +1 6 _3

6 +1 6 _6

6 }=2 9 갑이 정육면체 B를 던지게 될 확률은 12이고, 이때 갑이 이기는 경우는

(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)

이므로 P(X;Y^C)

= 12_{1 6 _6

6 +1 6 _6

6 +1 6 _5

6 +1 6 _3

6 }=5 18

∴ P(X)=P(X;Y)+P(X;Y^C)= 12

∴ P(Y|X)=P(X;Y) P(X) =

2 9 12

= 49

20.

마름모 ABCD의 두 대각선의 교점을 O라 하면 ACÓ⊥BDÓ

이므로 직각삼각형 ABO에서 BOÓ=ABÓ_cos h2 =cos h2, AOÓ=ABÓ_sin h2 =sin h2

삼각형 ABO에서 선분 BE는 ∠ABO의 이등분선이므로 BAÓ : BOÓ=AEÓ : OEÓ, 1 : cos h2 =AEÓ : {sin h2 -AEÓ}

∴ AEÓ=

sin h2 1+cos h2

같은 방법으로 삼각형 ABD에서 선분 BF는 ∠ABD의 이등분선이므로 BAÓ : BDÓ=AFÓ : DFÓ

1 : 2 cos h2 =AFÓ : (1-AFÓ) ∴ AFÓ= 1 1+2 cos h

2

# D

" '

&

$

%

0

=xln{1+ 3x } 1

x =t라 놓으면 limx Ú¦ f '(x)= lim

t Ú0+ ln(1+3t) t =3 따라서 ㉠에서

n Ú¦lim { f(n+2)-f(n)}=2_lim_x Ú¦ f '(x)=2_3=6

18.

그림 Rn에서 새로 색칠한 부분의 넓이를 Tn이라 하면 limn Ú¦Sn= ;_n=1^¦Tn

점 O에서 선분 AnBn에 내린 수선의 발을 Hn이라 하고 AnBnÓ=an이라 하자.

점 O는 정삼각형 AnBnCn의 무게중심이므로 AnOÓ= 13

2 aⁿ_ 23=13 3 aⁿ

∠OAnHn=30ù이므로 직각삼각형 AnHnO에서 sin 30ù= OHⁿÓ

AnOÓ

∴ OHnÓ=AnOÓ_sin 30ù= 133 aⁿ_ 12=13 6 aⁿ

yy ㉠ 이때 ∠AnOHn=60ù, ∠AnOAn+1=15ù이므로

∠HnOAn+1=45ù

따라서 직각이등변삼각형 An+1HnO에서

∴ OAn+1Ó=12_OHⁿÓ=12_ 136 aⁿ= 166 aⁿ yy ㉡ 이때 정삼각형 A_n+1Bn+1Cn+1의 외접원 On의 반지름의 길이는 선분 OAn+1의 길이와 같으므로 정삼각형 An+1Bn+1Cn+1에서 사인법칙에 의해

An+1Bn+1Ó

sin 60ù =2_OAⁿ⁺¹Ó

∴ an+1=An+1Bn+1Ó=2_OAn+1Ó_sin 60ù

=2_ 166 aⁿ_ 132 = 1

12an yy ㉢ 따라서 수열 {an}은 공비가 1

12인 등비수열을 이루므로 수열 {Tn}은 공비가 { 112 }

2= 12인 등비수열을 이룬다.

yy ㉣ 한편, 원 On의 반지름의 길이는 ㉡에서 OAn+1Ó= 16

6 aⁿ 이므로 원 On+1의 반지름의 길이는 166 aⁿ⁺¹이다.

이때 ㉠, ㉢에서 OHnÓ= 136 aⁿ= 166 aⁿ⁺¹이므로 원 On+1

은 직선 AnBn과 점 Hn에서 접하므로 색칠되어 있는 부 분끼리는 서로 겹치지 않는다.

한편, a1=6이므로 ㉠에서 OH1Ó=A2H1Ó= 136 a¹=13

∴ A1A2Ó=A1H1Ó-A2H1Ó= 12 _A1B1Ó-A2H1Ó

= 12_6-13=3-13

㉡에서 OA2Ó= 16

6 a¹= 166 _6=16이므로 부채꼴 OF1A2의 넓이는

"

'

)

$

%

#

&

$

0

12 _(16)²_ p6 =p

2 이고, 이등변삼각형 OA2F1의 넓이는

12 _(16)²_sin 30ù

= 12_6_1 2 =3

한편, ∠EAF= p2-h 2이므로 S(h)=1

2 _AEÓ_AFÓ_sin { p2 -h 2 }

=1 2 _

sin h2 1+cos h2

_ 1

1+2 cos h2_cos h2

∴ lim

h Ú0+ S(h)h = limh Ú0+

[

¹^{2 _}^sin hh ² 2 _2

_

cos h2 {1+cos h2 }{1+2 cos h

2 }

]

=1 2 _1

2 _ 1

(1+1)_(1+2) = 1 24

21.

-3Éx<0일 때 f(x)<0이고, x¾0일 때 f(x)¾0 이며 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 다음과 같다.

ㄱ. g{-312

2 }=0이 참이려면 t=-312

2 , s=0일 때 :_#t`` f(x)dx+:Ts`|f(x)|dx=0이어야 한다.

:_#-``³¹²²` f(x)dx=:_#-``³¹²²` 2x dx=[x²]_#-``³¹²²=-9 2 :`0_ 312

2

|f(x)|dx=:`0_ 312 2

{-f(x)}dx

=:`0_ 312 2

(-2x)dx=[-x²]`0_ 312 2

=9 2 이므로

:_#t`` f(x)dx+:Ts`|f(x)|dx=- 92 +9 2 =0 이 성립한다. ∴ 참

ㄴ. g(t)=1이므로

:_#t`` f(x)dx+:T1`|f(x)|dx=0 yy ㉠ 이다.

:_#t`` f(x)dx=:_#t`` 2x dx=[x²]_#t```=t²-9 :T1` |f(x)|dx=:T0`|f(x)|dx+:)1`|f(x)|dx

=:T0`(-2x)dx+:)1`xe^x dx

=[-x²]T0`+[xe^x])1`-:)1`e^x dx

=t²+e-[e^x])1`=t²+1 이므로 ㉠에서 (t²-9)+(t²+1)=0

∴ t=-2 (∵ -3<t<0)

따라서 방정식 g(t)=1의 실근은 유리수이다. ∴ 참 ㄷ. g(-2)=1에서 -312

2 <-2<0이고 ㄱ에서 -312

2 <t<0일 때 s>0이다.

따라서 -312

2 <t<0일 때 :_#t```f(x)dx+:Ts`|f(x)|dx

0 Z

Y ZG Y

0 Z

Y ZG Y

U T

(3)

정답 및 해설 11월

6

=(t²-9)+:T0`(-2x)dx+:)s`xe^x dx =(t²-9)+[-x²]0T+[(x-1)e^x])s`

=2t²-9+(s-1)e^s+1

따라서 :_#t```f(x)dx+:Ts`|f(x)|dx=0에서 2t²-8+(s-1)e^s=0

(s-1)e^s=8-2t² s에 g(t)를 대입하면

{ g(t)-1}e ^g(t)=8-2t² yy ㉡㉡의 양변을 t에 대하여 미분하면

g '(t)e ^g(t)+g '(t){ g(t)-1}e ^g(t)=-4t ∴ g '(t)g(t)e ^g(t)=-4t

위 등식의 양변에 t=-2를 대입하면 ㄴ에서 g(-2)=1이므로 g '(-2)=8

e ∴ 거짓 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

22.

lim

n Ú¦ !%2ⁿ⁺¹+4

!%2^n-1+1=lim

n Ú¦

!$2²+ 4

!%2^n-1 1+ 1

!%2^n-1

=2+0 1+0 =2

23.

진수조건에서 2x-4>0 ∴ x>2 yy ㉠ log3 (2x-4)<3=log3 3³에서 밑이 1보다 크므로

2x-4<27 ∴ x<31

2 yy ㉡

㉠, ㉡에서 2<x<31

2 이므로 부등식을 만족시키는 자 연수 x는 3, 4, y, 15이므로 그 개수는 13이다.

24.

^첫째항이¹₂이고 공비가 -2인 등비수열 {an}의 첫째 항부터 제n항까지의 합 Sn은

Sn= 1

2_{1-(-2)ⁿ} 1-(-2) 이므로 Sn<-80이려면 1

6{1-(-2)ⁿ}<-80, (-2)ⁿ>481에서 n이 짝수이고 2⁸=256, 2¹⁰=1024이 므로 조건을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 10이다.

25.

^x>-³12인 모든 실수 x에 대하여 f '(x)= 3x²

2+x³¾0이므로 함수 f(x)의 역함수 g(x)가 존재한다.

g(0)=k라 하면 f(k)=0에서 ln(2+k³)=0이고, 2+k³=1에서 k=-1이다.

따라서 g(0)=-1, f '(-1)= 3

2-1 =3이므로 역함수 의 미분법에 의해

g '(0)= 1

f '(g(0))= 1 f '(-1) =1

3

∴ p+q=3+1=4

26.

3명의 남학생과 6명의 여학생을 남학생 1명과 여학생 2명으로 구성된 3명씩의 세 팀으로 나누는 경우의 수는

(3C1_6C2)_(2C1_4C2)_(1C1_2C2)_ 1 3! =90 B와 C를 같은 팀으로 정한 다음, A를 제외한 2명의 남 학생 중에서 B, C와 같은 팀에 속할 1명을 택하는 경우 의 수는 2C1=2

남아 있는 남학생 2명과 여학생 4명을 남학생 1명과 여 학생 2명으로 구성된 3명씩의 두 팀으로 나누는 경우의 수는

(2C1_4C2)_(1C1_2C2)_ 1

2! =12_1_1 2 =6 따라서 구하는 확률은

2_6 90 = 2

15 ∴ p+q=15+2=17

27.

^a1=9(>0), a2=a1-2=7(>0), a3=a2-2=5(>0), a4=a3-2=3(>0), a5=a4-2=1(>0), a6=a5-2=-1(<0), a7=6_a1=6_9=54(>0)

이때 54-2_27=0이므로 a7+27=a7-2_27=0(¾0)

따라서 an=0을 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 m=34

이때 a35=a34-2=-2(<0), a36=35_a1=35_9=315이므로

am+2=a36=315

28.

정삼각형 EBF의 높이는 13이므로 정삼각형 EBF의 한 변의 길이는 2이다.

∴ AEÓ=1, EDÓ=13-1

직각삼각형 EDH에서

DHÓ=EDÓ_tan 60ù=13(13-1)

직각삼각형 EDH의 넓이는 두 삼각형 EDG, HDG의 넓이의 합과 같으므로

12 _EDÓ_DHÓ= 12 _EDÓ_GDÓ_sin 45ù

+1

2 _DHÓ_GDÓ_sin 45ù EDÓ_DHÓ=(EDÓ+DHÓ)_GDÓ_sin 45ù

(13-1)_13(13-1)

={(13-1)+13(13-1)}_GDÓ_ 122

∴ GDÓ=16(2-13) 이때 BDÓ=16이므로

BGÓ=BDÓ-GDÓ=16-16(2-13)

=16(13-1)

삼각형 EBG의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 삼 각형 EBG에서 사인법칙에 의해

sin 60ù =2R, BGÓ 16(13-1) 132

=2R

∴ R=12(13-1)=16-12 따라서 외접원의 넓이는

pR²=p(16-12)²=(8-413)p 이므로 p=8, q=-4

∴ p²+q²=8²+(-4)²=80

29.

조건 (가)와 조건 (나)에서

f(2)-f(1)=2p+3, f(3)-f(2)=2q+2, f(4)-f(3)=2r+3, f(5)-f(4)=2s+2 (p, q, r, s는 음이 아닌 정수)라 하면

f(5)-f(1)

=(2p+3)+(2q+2)+(2r+3)+(2s+2)

=25-1=24 이므로

p+q+r+s=7 yy ㉠

㉠을 만족시키는 모든 순서쌍 (p, q, r, s)의 개수는

4H7=4+7-1C7=10C3=120 한편,

f(6)-f(5)=2x+3, f(7)-f(6)=2y+2, 40-f(7)=z (x, y, z는 음이 아닌 정수) 라 하면

40-f(5) =(2x+3)+(2y+2)+z

=40-25=15

이므로 2x+2y+z=10 yy ㉡

z=0이면 x+y=5를 만족시키는 x, y의 모든 순서쌍 (x, y)의 개수는 (0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)이므로 그 개수는 6이다. 같은 방법으로

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)

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± ±

±

z=2이면 x+y=4를 만족시키는 x, y의 모든 순서쌍 (x, y)의 개수는 5

z=4이면 x+y=3을 만족시키는 x, y의 모든 순서쌍 (x, y)의 개수는 4

z=6이면 x+y=2를 만족시키는 x, y의 모든 순서쌍 (x, y)의 개수는 3

㉡을 만족시키는 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 1+2+3+4+5+6=21

따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 N=120_21=2520이다.

∴ N10 =252

30.

조건 (나)에서 f(x)=-ln ( f '(x)-1) yy ㉠

㉠의 양변에 x=ln 2를 대입하면 f(ln 2)=-ln ( f '(ln 2)-1)=0

∴ f '(ln 2)=2

㉠의 양변에 x=ln (e+1)을 대입하면

f(ln (e+1)) =-ln ( f '(ln (e+1))-1)

=1

∴ f '(ln (e+1))=1+1 e

:)1` f '( f ^-1(1x))dx에서 f ^-1(1x)=t로 놓으면 1x=f(t)이므로 121x=f '(t) dtdx에서

2f(t)f '(t) dtdx =1이고, x=0이면 f(t)=0이므로 t=ln 2, x=1이면 f(t)=1이므로 t=ln (e+1)

∴ :)1` f '( f ^-1(1x))dx=:_ln 2^ln(e+1) 2{ f '(t)}²f(t) dt yy ㉡

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면 f '(x)=- f "(x)

f '(x)-1, 즉 { f '(x)}²=f '(x)-f "(x) 이므로 ㉡에서

:)1` f '( f ^-1(1x))dx

=:_ln 2^ln(e+1) 2{ f '(t)-f "(t)}f(t) dt

=:_ln 2^ln(e+1) 2f '(t)f(t)dt-2:_ln 2^ln(e+1)f "(t) f(t)dt yy ㉢ 이때

:ln 2 ln(e+1)

2f '(t)f(t)dt=[{ f(t)}²]

ln 2 ln(e+1)

=1 한편, 부분적분법에 의해

:_ln 2^ln(e+1) f "(t) f(t)dt

=[f '(t)f(t)]_ln 2^ln(e+1)-:_ln 2^ln(e+1) { f '(t)}²dt

=f '(ln (e+1))f(ln (e+1))-f '(ln 2)f(ln 2) -:_ln 2^ln(e+1) { f '(t)-f "(t)}dt

=1+ 1e-[f(t)]ln 2 ln(e+1)

+[f '(t)]_ln 2^ln(e+1)

=-1+ 2e 따라서 ㉢에서

:)1` f '( f ^-1(1x))dx

=:_ln 2^ln(e+1) 2f '(t)f(t)dt-2:_ln 2^ln(e+1) f "(t)f(t)dt

=1-2{-1+ 2e }

=3- 4e

∴ p+q=3+4=7

(4)

11월 정답 및 해설 7

방정식 f(x)=0의 모든 실근은 -2, -1, 2, 3이고 함수 f(x)는 x=1을 제외한 모든 실수 x에 대하여 연속이다.

이때 lim

x Ú1- f(x)=-6, f(1)= lim_x_Ú1+ f(x)=6이다.

g(x)=f(x+1)f(x-a)라 하자.

함수 f(x+1)은 x+1=1, 즉 x=0을 제외한 모든 실 수 x에 대하여 연속이고, 함수 f(x-a)는 x-a=1, 즉 x=a+1을 제외한 모든 실수 x에 대하여 연속이다.

따라서 함수 g(x)가 x=0과 x=a+1에서 모두 연속이 면 g(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

Ú a+-1인 경우 lim

x Ú0- g(x)= lim_x Ú0- f(x+1)f(x-a)

= lim_t_Ú1- f(t) lim_s_Ú-a- f(s)=-6f(-a) lim

x Ú0+ g(x)= lim_x Ú0+ f(x+1)f(x-a) = lim_t_Ú1+ f(t) lim_s_Ú-a+ f(s)=6f(-a) g(0)=f(1)f(-a)=6f(-a)

함수 g(x)가 x=0에서 연속이려면 lim

x Ú0- g(x)= lim_x Ú0+ g(x)=g(0) 이어야 하므로

-6f(-a)=6f(-a), 즉 f(-a)=0 -a=-2, -1, 2, 3에서

a=2, 1, -2, -3 yy ㉠ 한편,

lim

x Ú(a+1)- g(x)= lim_x_Ú(a+1)- f(x+1)f(x-a) = lim_t Ú(a+2)- f(t) lim_s_Ú1- f(s)

=-6f(a+2)

lim

x Ú(a+1)+ g(x)= lim_x_Ú(a+1)+ f(x+1)f(x-a) = lim_t Ú(a+2)+ f(t) lim_s_Ú1+ f(s)

=6f(a+2)

g(a+1)=f(a+2)f(1)=6f(a+2) 함수 g(x)가 x=a+1에서 연속이려면 lim

x Ú(a+1)- g(x)= lim_x_Ú(a+1)+ g(x)=g(a+1) 이어야 하므로

-6f(a+2)=6f(a+2), 즉 f(a+2)=0 a+2=-2, -1, 2, 3에서

a=-4, -3, 0, 1 yy ㉡ 따라서 ㉠과 ㉡에서 a+-1일 때 함수

g(x)=f(x+1)f(x-a)가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 a의 값은 -3, 1이다.

Û a=-1인 경우

lim_x_Ú0- g(x)= lim_x Ú0- f(x+1)f(x+1)

= lim_t Ú1- f(t) f(t)=(-6)_(-6)=36 lim

x Ú0+ g(x)= lim_x Ú0+ f(x+1)f(x+1) = lim_t_Ú1+ f(t) f(t)=6_6=36 g(0)=f(1)f(1)=6_6=36

이므로 함수 g(x)는 x=0=a+1에서 연속이다.

Ú, Û에서 함수 g(x)=f(x+1)f(x-a)가 실수 전 체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 a의 값은 -3, -1, 1이므로 그 합은 -3-1+1=-3이다.

21.

^{함수 f(x)=}[ 2x (-4Éx<0)

x² (x¾0) 의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. :_0$ f(x)dx=:_0$ 2xdx=[x²]0_$=-16 ∴ 참 ㄴ. 우선 s=g(t¹)=0일 때, 즉

:_$^t¹ f(x)dx+:_t

10` |f(x)|dx=0 일 때의 t1의 값을 구해보자.

0 Z

Y ZG Y

f(x)=6x-6 ∴ f(a)=f(1)=6-6=0

14.

확률변수 X의 확률질량함수가

P(X=r)=30Cr a^r(1-a)^30-r (r=0, 1, 2, y, 30) 이므로 확률변수 X는 이항분포 B(30, a)를 따른다.

따라서 E(X)=30a, V(X)=30a(1-a)이므로 V(X)= 215{E(X)}²에서

30a(1-a)= 215 _900a², 1-a=4a ∴ a= 15

15.

^{점 P의 시각}t에서의 위치는 f(t)= 52t이므로 점 P의 시각 t에서의 속도는 f '(t)= 52

f '(t)>0이므로 점 P는 항상 수직선의 양의 방향으로 움직인다.

따라서 두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이려면 점 Q의 속도는 음수이어야 하므로

g(t)=1

3 t³- 72t²+10t에서 g '(t)=t²-7t+10<0 즉, (t-2)(t-5)<0에서 2<t<5

이때 두 점 P, Q가 서로 반대 방향으로 움직이면서 만나는 시각은 2<t<5에서 방정식 f(t)=g(t)의 실근이므로 52 t=1

3 t³- 72t²+10t, t(t-3)(2t-15)=0 ∴ t=3

h(t)=g '(t)라 하면 점 Q의 가속도는 h '(t)=2t-7 이므로 t=3일 때 점 Q의 가속도는 h '(3)=-1

16~17.

가형의

15~16

번과 동일

18.

정삼각형 BFE의 높이는 13이므로 정삼각형 BFE의 한 변의 길이는 2이다.

∴ AEÓ=1, EDÓ=13-1

직각삼각형 EDH에서

DHÓ=EDÓ_tan 60ù=13(13-1)

직각삼각형 EDH의 넓이는 두 삼각형 EDG, HDG의 넓이의 합과 같으므로

12 _EDÓ_DHÓ=1

2 _EDÓ_GDÓ_sin 45ù

+ 12_DHÓ_GDÓ_sin 45ù EDÓ_DHÓ=

(

EDÓ+DHÓ

)

_GDÓ_sin 45ù

(13-1)_13(13-1)

={(13-1)+13(13-1)}_GDÓ_ 122 ∴ GDÓ=16(2-13)

삼각형 DGH에서 사인법칙에 의해 GHÓ

sin 45ù = GDÓ sin 30ù , GHÓ

1 12

= 16(2-13) 12 ∴ GHÓ=413-6

19.

^가형의

¹⁹

^{번과 동일}

20.

함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

# '

)

" %

(

$

&

± ±

±

0 Z

Y ZG Y

1.

세 수 36, 24, a가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 24-36=a-24 ∴ a=12

2.

_{f(x)= 13x}³^+2x²-4에서 f '(x)=x²+4x이므로 f '(-1)=1-4=-3

3.

^{cos 2}_{3 =}^p ^cos{p- p3}=-cos p 3 =-1

2, tan 9p

4 =tan {2p+ p4}=tan p 4 =1 ∴ cos 2p

3 +tan 9p4 =-1 2 +1=1

2

4.

부부인 2명을 한 사람으로 생각하여 3명이 원탁에 둘러 앉는 경우의 수는 (3-1)!=2

부부끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 각각 2!=2 따라서 구하는 경우의 수는 2_2_2_2=16

5.

^{log 40}_{3 -}^{log 2}_{15 =}^log{ 403 _15 2 }

=log 10²=2

6.

가형의

5

번과 동일

7.

^lim_x_Ú-1+ f(x)+ lim_x_Ú1- f(x)=-1+1=0

8.

⁽12x+Ü12 )⁸의 전개식의 일반항은 8Cr (12x)^r(Ü12 )^8-r

=8Cr 2^r^{2 +}^8-r³ x^r=8Cr 2^r+16⁶ x^r (r=0, 1, 2, y, 8) 이므로 x²의 계수는 r=2일 때

8C2_2²⁺¹⁶⁶ =28_2³=224

9.

^가형의

⁹

^{번과 동일}

10.

점 (0, a)는 y축 위의 점이고 곡선 y=2x⁴+1이 y축 에 대하여 대칭이므로 두 접선도 y축에 대하여 대칭이며 두 접선의 기울기는 각각 1과 -1이다.

y '=8x³이므로 두 접점은 각각 { 12, 9

8 }, {- 12, 9 8 }이다.

따라서 점 { 12, 9

8 }에서의 접선의 방정식은 y- 98=x-1

2에서 y=x+ 58이므로 a=5 8이다.

11.

가형의

10

번과 동일

12.

^f(x)=x³-3x, g(x)=-x³+3x+4라 하자.

두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 교점의 x좌표는 x³-3x=-x³+3x+4, (x+1)²(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2

따라서 두 곡선 y=f(x), y=g(x)로 둘러싸인 부분의 넓이는

:_2!|g(x)-f(x)|dx=:_2!|-2x³+6x+4|dx -1ÉxÉ2에서 -2x³+6x+4¾0이므로 구하는 넓이는 :_2!(-2x³+6x+4)dx

=[- 12 x⁴+3x²+4x]2_!

=(-8+12+8)-{- 12 +3-4}=27 2

13.

20.

⑤

21.

③

22. 4 23. 26 24. 20 25. 10

26. 45 27. 17 28. 21 29. 645 30. 70

나

(5)

정답 및 해설 11월

8

t=4이면 p+q+r+s=7을 만족시키는 모든 순서쌍 (p, q, r, s)의 개수는 4H7=4+7-1C7=10C7=120 t=6이면 p+q+r+s=6을 만족시키는 모든 순서쌍 (p, q, r, s)의 개수는 4H6=4+6-1C6=9C6=84 t=8이면 p+q+r+s=5를 만족시키는 모든 순서쌍 (p, q, r, s)의 개수는 4H5=4+5-1C5=8C5=56 따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는 220+165+120+84+56=645

30.

f(x)=3x⁴-4x³-6x²+12x+a에서 f '(x) =12x³-12x²-12x+12

=12(x+1)(x-1)²

이므로 방정식 f '(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 이때 x=-1의 좌우에서 f '(x)의 부호는 음에서 양으

로 바뀌므로 함수 f(x)는 x=-1에서 극소이고, x=1 의 좌우에서 f '(x)의 부호는 모두 양이므로 함수 f(x) 는 x=1에서 극값을 갖지 않는다.

따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 그림과 같다.

한편, 함수 y=b-f(x)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동시킨 후 y축의 방향으 로 b만큼 평행이동시킨 것이다.

이때 함수 g(x)는 f(x)¾10이면 g(x)=f(x)이고, f(x)<10이면 g(x)=b-f(x)이므로 조건 (가)에서 함수 g(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면

f(x)=10일 때 f(x)의 값과 b-f(x)의 값이 서로 같

아야 한다. yy ㉠

이때 함수 g(x)가 x=a에서 미분가능하지 않은 a의 개 수를 h(a)라 하면

개

ZG Y

10>a+5이면

h(a)=2, 10=a+5이면 h(a)=1,

a-11<10<a+5이면 h(a)=2

10Éa-11이면 h(a)=0이므로

h(a)=

[

0 (a¾21) 1 (a=5)

2 (a<5 또는 5<a<21)

한편, 조건 (나)에서 h(a)=1이려면 다음 그림과 같이 a=5이어야 하고, ㉠에서 f(1)=b-f(1), 즉 10=b-10 이므로 b=20이어야 한다.

한편, 조건 (나)를 만족시키는 상수 c는 곡선 y=f(x)와 직선 y=10의 교점의 x좌표 중에서 1이 아닌 값이다.

f(x)=3x⁴-4x³-6x²+12x+5

이므로 f(x)=10에서 3x⁴-4x³-6x²+12x-5=0 (x-1)³(3x+5)=0 ∴ x=1 또는 x=- 53 따라서 c=- 53이므로

3(a+b+c)=3{5+20- 53}=70

B

ZG Y Z

0 Z

Y ZG Y

ZCG Y

{g(t)}³=3(16-2t²)

위 등식의 양변에 t=- 14142 를 대입하면 [g{- 14142 }]

3=3[16-2_{- 14142 }

2]=27 ∴ g{- 1414

2 }=3 ∴ 거짓 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

22.

^lim_x_Ú2^(x-2)(_x-2^15x+2+2)

=lim_x_Ú2(15x+2+2) =152+2+2=4

23.

진수의 조건에서 x-3>0 ∴ x>3 yy ㉠ 이때 log₃ (x-3)<3=log3 3³에서 밑이 1보다 크므로 x-3<27 ∴ x<30 yy ㉡㉠, ㉡에서 3<x<30이므로 정수 x의 개수는 26

24.

:_2# (3x²+6x+1)dx-:_-#2` (3x²+6x+1)dx =:_2@ (3x²+6x+1)dx

=2:)2` (3x²+1)dx =2[x³+x]2)=2_10=20

25.

^가형의

²⁴

^{번과 동일}

26.

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 a+b=-4, ab=-2이고, 두 근은 서로 다른 부호를 갖는다.

따라서 함수 f(x)=a sin (-4px)+b이므로 주기는 p= 2p

|-4p| =1 2

함수 f(x)의 최댓값은 |a|+b이고 이 값은 양수이므로 a<0 (∵ a+b=-4<0)

따라서 함수 f(x)의 최솟값은 m=-|a|+b=-4 ∴ 10_|p-m|=10_| 12+4|=45

27.

가형의

26

번과 동일

28.

a1=10 (>0), a2=a1-1=9(>0), a3=a2-2=7(>0), a4=a3-3=4(>0), a5=a4-4=0, a6=a5-5=-5(<0) 이므로 a7=-6²_a6=180(>0)

이때 180-(7+8+9+y+m)<0 yy ㉠ 즉, ;_k=1^mk>180+(1+2+y+6)=201을 만족시키는 자연수 m의 최솟값을 구하자.

;19

k=1k= 19_202 =190, ;_k=1²⁰k= 20_212 =210이므로 ㉠을 만족시키는 자연수 m의 최솟값은 20이고, a21=a7-(7+8+9+y+20)=-9

따라서 an<-5를 만족시키는 자연수 n의 최솟값은 21

29.

조건 (가)와 조건 (나)에서

f(2)-f(1)=2p+3, f(3)-f(2)=2q+2, f(4)-f(3)=2r+3, f(5)-f(4)=2s+2, 29-f(5)=t (p, q, r, s, t는 음이 아닌 정수) 라 하면

29-f(1)

=(2p+3)+(2q+2)+(2r+3)+(2s+2)+t =29-1=28

∴ 2p+2q+2r+2s+t=18 yy ㉠ 음이 아닌 정수 t는 f(5)>20에 의하여 t<9이어야 하

고 ㉠에서 t는 짝수이어야 한다.

t=0이면 p+q+r+s=9를 만족시키는 모든 순서쌍 (p, q, r, s)의 개수는 4H9=4+9-1C9=12C9=220 t=2이면 p+q+r+s=8을 만족시키는 모든 순서쌍 (p, q, r, s)의 개수는 4H8=4+8-1C8=11C8=165 -4Éx<0일 때 f(x)<0이고, x¾0일 때

f(x)¾0이며 -4Ét1É0이므로 :_$^t¹ f(x)dx+:_t

10` |f(x)|dx =:_$^t¹ f(x)dx-:_t

10` f(x)dx=0 즉,

:_$^t¹ f(x)dx=:_t

10` f(x)dx yy ㉠ 이때 ㄱ에서

:_$⁰ f(x)dx=:_$^t¹ f(x)dx+:_t

10` f(x)dx=-16 이므로 ㉠에서 :_$^t¹ f(x)dx=:_t

10` f(x)dx=-8 이때

:_$^t¹ f(x)dx=:_$^t¹ 2xdx=[x²]_$^t¹ =t¹²-16=-8 이므로 t1=-212 (∵ -4Ét1É0)

∴ :_$^-212 f(x)dx+:_-212 |f(x)|dx=0 s=g(t²)>0일 때, 즉

:_$^t² f(x)dx+:_t

2s` |f(x)|dx=0 일 때의 t2의 값을 구해보자.

:_$^t² f(x)dx+:_t

2s` |f(x)|dx =:_$^t² f(x)dx+:_t

20` |f(x)|dx+:)s` |f(x)|dx =0

이고 :)s` |f(x)|dx>0이므로 :_$^t² f(x)dx+:_t

20` |f(x)|dx<0 yy ㉡ 이때 -4ÉxÉ0에서 f(x)É0이므로

-4Ét2<-212이면

:_$^t² f(x)dx>:_$^-212 f(x)dx, :_t

20` |f(x)|dx>:_-212 | f(x)|dx 이므로

:_$^t² f(x)dx+:_t

20` |f(x)|dx

>:_$^-212 f(x)dx+:_-212 |f(x)|dx=0 이 되어 ㉡에 모순이다.

한편,-212<t²<0이면 :_$^t² f(x)dx<:_$^-212 f(x)dx, :_t

20` | f(x)|dx<:_-212 | f(x)|dx 이므로

:_$^t² f(x)dx+:_t

20` |f(x)|dx

<:_$^-212 f(x)dx+:_-212 |f(x)|dx=0 이 되어 ㉡을 만족시킨다.

따라서 t>-212이어야 한다. ∴ 참 ㄷ. -212<- 14142 이므로 ㄴ에서 s>0이다.

이때 :_t$ f(x)dx=t²-16이고 :Ts` |f(x)|dx

=:T0` |f(x)|dx+:)s` |f(x)|dx =:T0` (-2x)dx+:)s` x²dx =[-x²]0T+[ 13 x³])s`=t²+ 13s³ 이므로

:_t$ f(x)dx+:Ts` |f(x)|dx =(t²-16)+{t²+ 13s³}=0 따라서 13 s³=16-2t²이므로

0

정답 및 해설 11월

정답 및 해설 11월

4

11.

12.

13.

14.

15.

  N 

N

Y ZG Y ZH Y

16.

(

)

17.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

수학 영역

1.

2.

3.

14.

25.

6.

7.

8.

29.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22. 2 23. 13 24. 10 25. 4

26. 17 27. 315 28. 80 29. 252 30. 7

가

11월 정답 및 해설 5

19.

20.

# D

" '

&

$

%

0

18.

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$

%

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N

N

Y ZG Y ZH Y

Y ZG Y

Y ZG Y

± ±

±

±

±

Y ZG Y

¹⁹

± ±

±

±

±

0