※ 행렬대수의 장점
(1) 대규모 방정식체계를 간결하게 나타낼 수 있는 방법 제공
(2) 행렬식(determinant)를 계산해, 해의 존재유무를 검증하는 방법 제시 (3) (만일 해가 존재하면) 그 해를 구하는 방법을 제공
제4장
☞ 선형방정식체계(linear equation system)에서만 응용 : 선형방정식이 현실 경제 관계를 그대로 반영할 수 있는가?
⇒ ok!
∵ 선형성의 가정이 어느 정도 현실성을 희생시키지만, 현실의 비선형 관계를 충분히 근사 적으로 나타낼 수 있기에 선형방정식의 사용이 정당화 가능
[예] 그림4-1
[예] 행벡터는 프라임 기호(‘)를 통해 열벡터와 구분하는 것이 보통이다.
′
⇒ 양변에 로그화를 통해서 선형화 가능
1. 행렬과 벡터
1) 행렬의 정의
수 또는 수를 나타내는 변수 등을 직사각형 모양으로 순서 있게 배열해 놓고 괄호로 묶은 것
⇒ 괄호안의 숫자와 같이 행렬을 구성하는 요소들을 행렬의 원소(element) 또는 성분이라고 함
□ 행(row): 행렬에서 가로줄, 열(column): 세로줄
⇒ 라고 표현
[예] (2.3) 원소는 6이다.
2) 특수한 형태로서의 행렬
□ n차 정방행렬(square column vector)
: 행의 개수가 m이고, 열의 개수가 n일때, 이 행렬을 m×n 행렬이라고 함 이때 m=n인 경우를 말함
□ n차 행벡터(row vector) : 1×n 행렬 m차 열벡터(column vector) : m×1 행렬
[예]
을 행렬로 표현하면?
☞
행렬에서의 각 원소의 위치는 하첨자에 의해서 명확하게 결정되기에 각각의 행렬은 하나 의 순서집합이다.
[예제]
방정식 체계를 행렬의 형식으로 바꾸어 써라. 또 세 개의 변수가 의 순서로 배열 되어 있다면, 계수행렬은 어떻게 되는가? 상수항의 벡터는 어떻게 쓸 수 있나?
⇒
[예] 등식을 만족하는 a,b,c,d를 구해라.
2. 행렬 연산
1) 행렬의 상등
두 행렬 A와 B의 행의 개수와 열의 개수가 각각 같을 때 이 두 행렬은 “같은 꼴”이라고 하 고, 서로 대응하는 원소가 모두 같을 때 행렬 A와 B는 “서로 같다”라고 한다.
⇒ 등식(equality)란 두 행렬 A와 B가 서로 같으려면 ① 두 행렬의 차원이 같아야 하고, ② 대응 하는 원소가 같아야 한다.
[예]
(1)
(2)
[정리]
(1) O+A=A+O=A (2) (-A)+A=A+(-A)=O
[예제]
라면
(1) 를 만족시키는 행렬 를 구해라 (2) 를 만족시키는 행렬 를 구해라.
2) 행렬의 덧셈과 뺄셈
[정리]
행렬 A,B와 C가 서로 같은 꼴일 때
(1) A+B=B+A [교환법칙]
(2) (A+B)+C=A+(B+C) [결합법칙]
□ 영행렬(zero matrix)은 모든 원소가 0인 행렬로 알파벳 대문자 O로 나타냄
3) 스칼라 곱
□ 행렬 A가 주어져 있을 때 A+A=2A, A+A+A=3A, ...
⇒ 수, 변수 등은 행렬과 구분하기 위해서 스칼라(scalar)라고 함
□ 스칼라배(scalar multiple)
스칼라 k와 A의 곱으로 로 표시함
⇒
라면,
[예]
(1)
(2)
(3)
⇒ 위의 행렬에 스칼라 -1을 곱하는 것은 모든 방정식의 양변에 -1을 곱하는 것이 되므 로, 방정식체계의 모든 항의 부호를 바꾸는 셈이 된다.
[정리] A와 B가 같은 꼴이고, s와 t를 스칼라라고 하면 (1)
(2)
(3)
[예제]
1. 다음의 행렬의 곱을 계산해보자 (1)
(2)
4) 행렬의 곱셈
□
,
2. 다음을 의 형태로 나타내어라.
※ 통상적인 스칼라 대수에서의 덧셈과 곱셈에서의 교환법칙(commutative law), 결합법 칙(associative law), 분배법칙(distributive law)을 만족
교환법칙 a+b = b+a, ab = ba 결합법칙 (a+b)+c = a+(b+c) (ab)c = a(bc) 분배법칙 a(b+c) = ab +ac
□ 내적 (inner product)
: n개의 원소를 가진 두 벡터 u와 v가 두 행, 또는 두 열 또는 한 행과 한 열로 배열되면 u․v로 표시되는 내적은 다음과 같이 구해진다.
⇒ 대응하는 원소들의 곱들의 합 (두 벡터의 내적은 스칼라가 된다. )
[응용]
쇼핑을 한 후에 행벡터로서 구입한 n개의 상품을 나열하면 ′
이고, 가 격 벡터가 ′
로 가격 리스크가 주어졌다면, 이들 두 벡터의 내적(inner product)는 총구입비용이 된다. (⇒ 대응이 중요 ∴차원이 같아야 함)3. 벡터 연산에 대한 주석
4. 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙
(1) 행렬 덧셈
□ 교환법칙
□ 결합법칙
가 주어졌을 때
※ ′이 1×3이라고 하고, 그에 상응하는 열벡터 는 3×1이라고 하면
곱 와 을 구해보면 차원이 하나는 (1×1)이고 다른 하나는 (3×3)이 된다.
▶ =
▶ =
(2) 행렬의 곱셈
행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않지만 결합법칙은 만족한다.
인 경우
▶ =
▶ =
꼭 풀어볼 문제
1. 행렬이
로 주어져 있다.
(1) 는 정의되는가? 계산하여 보아라. 는 계산할 수 있는가? 왜 그런가?
(2) 는 정의되는가? 계산해보아라. 는 정의되는가? 정의 된다면 계산을 해보아라.
라는 것은 진실인가?
2. 다음의 곱행렬을 구하라.(모든 행렬 밑에 차원을 표시하여라.)
(1)
(2)
(3)
(4)
3. 앞의 내적의 응용사례에서 만일 상품과 가격을 행벡터 대신에 열 벡터로 나열한다면,
가 정의될 수 있는가? 총구입비용을 어떻게 나타낼 수 있는가? ′ ′
4. 행렬 의 뺄셈을 의 덧셈으로 생각할 수 있다. 덧셈의 교환법칙은 의 성립을 허용하는가? 만일 그렇지 않다면, 이 표현을 어떻게 수정되어야 하는가?
6. 홍익전자는 3개의 사업부로 구성되어 있는데 각 사업본부의 분기별 영업이익을 정리한 결과는 다음과 같다. 행은 사업부, 열은 분기를 나타낸다.
가전사업 산업전자 컴퓨터 1
2 3 4
(1) 각 행을 라고 할때, 를 계산하고 그 경제학적 의미를 설 명하여라.
(2) 각 열을 라고 할때, 를 계산하고, 그 경제학적 의미를 설명하여라.
7. 홍익 PC는 세 종류의 개인용 컴퓨터를 생산한다. 이들 세 가지 컴퓨터의 생산에 소요되 는 부품 중 그 비중이 가장 큰 네 가지 부품의 소요량을 행렬로 나타내면 다음과 같다.
컴퓨터
1 2 3
부품 1 2 3 4
한편 이들 세 가지 컴퓨터는 인천과 부산공장에서 각각 생산된다. 2004년의 생산실적을 정 리하면 다음과 같다.
인천 부산
컴퓨터
첫 번째 행렬을 라하고, 두 번째 행렬을 라고 할때, 를 계산하여라. 그 경제학적 의 미는 무엇인가?
8. 홍익가구는 식탁만을 전문으로 제조 판매하는 중소기업인데, 세 종류의 식탁이 주로 판 매되는데 각 품목의 제조에 소요되는 유리, 나무, 금속부품의 자재가격을 행렬로 나타내면 다음과 같다. (단위는 만원)
유리 나무 금속부품
식탁종류
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
품목 Ⅰ을 10조, 품목Ⅱ를 4조, 품목Ⅲ을 5조 생산할 때, 소요되는 자재비용은 얼마인가?
※ 항등행렬은 곱셈과정에서 행렬 곱의 값에 영향을 주지 않고, 항등행렬을 삭제할 수 있 다는 것을 의미
⇒ 가 있거나 없거나 행렬곱은 영향을 받지 않는다은 것을 의미
4.5. 항등행렬과 영행렬
1. 항등행렬(identity matrix, unit matrix) :
(1) 개념
주대각원소가 모두 1이고, 비대각원소는 모두 0인 정방(squre)행렬로 정의
(2) 특성
스칼라 대수에서 숫자 1과 비슷한 역할을 한다. 임의의 수 에 대해서 와 마찬가 지로 임의의 행렬 에 대해서
가 성립
⇒ 행렬의 곱셈이 교환법칙을 만족하지 않는다는 하나의 예외
(3) 멱등행렬(idempotent matrix)
if,
then,
∴
⇒ 항등행렬을 몇 번 곱해도 변하지 않는다. 즉 의 성질을 지닌 경우를 멱등행렬이라고 한 다.
[예]
라고 하면,
[예1]
일때, 를 구하여라.
[예2]
라고 할때, 각 경우를 구하고, 이용된 항등행 렬의 차원을 밝혀라.
(1) =
(2) =
(3) =
(4) ′=
[예3] 위의 주어진 [예2]에서 다음을 계산하여라.
(1)
(2)
(3) ′
(4) ′
※ 행렬의 경우 ′란 특성이 있는데 이러한 경우를 대칭행렬(symmetric matrix)라고 한다.
⇒ 항등행렬의 경우는 어떤가요?
① ′′
② ′′′
③ ′′′ [예1]
인 경우 (1) ′
4.6.전치행렬과 역행렬
1. 전치행렬(transpose)
(1) 개념
행과 열이 서로 바뀌는 경우를 말하며, ′라고 표현한다.
(‘는 행벡터와 열벡터를 구별하기 위해 이미 사용한 바 있음) [예1]
인 경우
′
′
[예2]
인 경우
′
′
(2) 특성
(2) ′ ′
[예2]
인 경우 (1) ′
(2) ′′
2. 역행렬(inverse matrix)
(1) 개념
× 인 정방행렬 에 대해서
을 만족하는 × 행렬 가 존재할 때, 행렬 를 행렬 의 역행렬이라고 하고, 로 표 시한다.
(2) 특징
① 의 역행렬이 존재하면 가 성립 ( 와 은 서로 상대방의 역행렬)
② 와 의 역행렬이 존재할 때, 이 성립
(3) 구하는 방법
2×2 행렬인
의 역행렬이 존재한다고 가정하고
라고 하면,
가 되어야 하기 때문에,
에서
[예1]
일때, 와 를 구했을때 얻을 수 있는 결론은?
⇒ 가 의 역행렬이고, 가 의 역행렬이 된다.
[예1]
일때
역행렬을 구하면 다음과 같다.
이 된다.
∴
∴
이 된다.
(4) 역행렬과 선형방정식 체계의 해
⇒ if, 역행렬 이 존재한다고 하면, ( 이 존재하면 유일하기 때문에 도 유일)
⇒
꼭 풀어볼 문제
1. 행렬
인 경우에, ′ ′ ′을 구하여라.
2. 앞의 문제에서 주어진 행렬을 이용하여 다음을 확인하여라.
(1) ′ ′ ′
(2) ′′′
3. 다음의 주어진 4개의 행렬 중에서 어떤 것이 다른 것의 역행렬인가를 검증하여라.
4. ′ ′라고 하자.
(1) 는 정방행렬이 되어야 하는가?
′ 는 정방행렬이 되어야 하는가?
는 정방행렬이 되어야 하는가?
(2) 행렬 가 멱등행렬임을 보여라. (주의: ′와 가 정방행렬이 아니면 앞의 정리에서
을 적용할 수 없다.
5. 행렬의 곱 와 이 정의될 수 있을때, 임을 보 여라.
6. 다음의 역행렬을 구하여라.
(1)
(2)
