관계

제 4 장

관계

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이 장에서 다루는 내용

• 관계

• 동치관계

• 분할

제 1 절 곱집합

정 의 4.1 a와 b의순서쌍(ordered pair)은 (a, b) ={{a}, {a, b}}로 정의된다.

[[ 예 ]] 4.2 만일 a ̸= b이면 (a, b) ̸= (b, a) (∵) {{a}, {a, b}} ̸= {{b}, {b, a}}

정 리 4.3 (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d

증명. (⇐) a = c ∧ b = d이면 {a} = {c} ∧ {a, b} = {c, d}이다.

따라서 {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}이다.

그러므로 정의에 의해 (a, b) = (c, d)이다.

(⇒) 대우명제를 증명하자.

a ̸= c ∨ b ̸= d이면

{a} ̸= {c} ∨ {a, b} ̸= {c, d}이다.

따라서 {{a}, {a, b}} ̸= {{c}, {c, d}}이다.

그러므로 정의에 의해 (a, b) ̸= (c, d)이다. 

정 의 4.4 집합 A의 원소 x와 B의 원소 y의 순서쌍 (x, y)들로 이루 어진 집합을 집합 A와 B의 데카르트곱(Cartesian product) 또는 곱집 합(product set)이라 한다. 즉,

A× B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}

참 고 4.5 곱집합 A × B를 좌표평면을 사용하여 기하학적으로 아래와 같 이 나타낼 수 있다.

A

B A B

그림 1 곱집합 A × B

[[ 예 ]] 4.6 A = {a, b, c}, B = {1, 2}일 때 곱집합 A × B의 원소는 {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}가 되며 유한집합일 경우 아래 그 림과 같이 평면상의 점들로 나타낼 수 있다.

B

A 2

1

a c b

그림 2 곱집합 A × B

[[ 예 ]] 4.7 A = {1, 2, 3}, B = {a, b}일 때 A× B, B × A, A×A, B ×B

등을 구하여라.

풀이. A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

B× A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}

A× A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

B× B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}

[[ 예 ]] 4.8 A = {감기, 식중독}, B = {고열, 복통, 콧물}일 때 A× B를 구하여라.

풀이. A × B = {(감기, 고열), (감기, 복통), (감기, 콧물), (식중독, 고열), (식중독, 복통), (식중독, 콧물)}

[[ 예 ]] 4.9 A : 집합 (1) A× ϕ = ϕ (2) ϕ× A = ϕ

풀이. (1) 어떤 점 (x, y)가 A × ϕ의 원소가 된다고 하자.

즉, (x, y) ∈ A × ϕ. 그러면 x ∈ A ∧ y ∈ ϕ. 따라서 y ∈ ϕ.

이는 모순이다. 따라서 어떤 점도 포함되지 않는다.

∴ A × ϕ = ϕ (2) 생략.

[[ 예 ]] 4.10 A = S¹, B = [0, 1]이면 B × B는 평면에서 길이가 1인 정사각 형과 내부의 모든 점들이 되고, B × B × B는 공간에서 각 모서리의 길이가 1인 정육면체와 그 내부의 모든 점들이다. 또 A × B는 공간에서 높이가 1인 원주상의 점들의 집합이라 생각할 수 있다. 마찬가지로 S¹ × S¹은 torus 상 의 점들의 집합이라 생각할 수 있다.

정 리 4.11 집합 A, B, C에 대하여 다음 사실이 성립한다.

(1) A× (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (2) A× (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)

증명. (1)

(x, y)∈ A × (B ∩ C) ≡ x ∈ A ∧ y ∈ (B ∩ C) (4.1)

≡ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ y ∈ C) (4.2)

≡ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C)(4.3)

≡ [(x, y) ∈ A × B] ∧ [(x, y) ∈ A × C](4.4)

≡ (x, y) ∈ (A × B) ∩ (A × C) (4.5)

∴ A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 

정 리 4.12 집합 A, B, C, D에 대하여 다음 사실이 성립한다.

(1) A× (B − C) = (A × B) − (A × C) (2) (A× B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)

증명. (1)

(x, y) ∈ A × (B − C) (4.6)

≡ x ∈ A ∧ (y ∈ B − C) (4.7)

≡ x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ y /∈ C) (4.8)

≡ (x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y /∈ C) (4.9)

≡ (x, y) ∈ (A × B) ∧ (x ∈ A ∧ y /∈ C) (4.10)

≡ (x, y) ∈ (A × B) ∧ (x, y) /∈ (A × C) (4.11)

≡ (x, y) ∈ (A × B) − (A × C) (4.12)

∴ A × (B − C) = (A × B) − (A × C)

(2) 증명은 연습문제로 남긴다. 이 관계를 그림으로 나타내면 다음과 같 다.

C D

B B

A D

C A A

C B

D

그림 3