대학 기초수학
수학교육학습센터
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목 차 ◀
Ⅰ
. 방정식과 부등식
1-1. 분수방정식 1-2. 무리방정식
1-3. 고차부등식 1-4. 분수부등식
Ⅱ
. 삼각함수
2-1 삼각함수의 정의
2-2 삼각함수의 여러 가지 성질
2-3 삼각방정식과 삼각부등식
Ⅲ. 극한과 연속
3-1 함수의 극한
3-2 함수의 연속
Ⅳ
. 미분
4-1. 미분계수와 도함수
4-2. 여러 가지 함수의 도함수
4-3. 미분법
4-4. 미분의 응용
Ⅴ
. 적분
5-1. 부정적분
5-2. 정적분
5-3. 적분법
5-4. 적분의 응용
3
-1. 방정식과 부등식
1-1 분수방정식
1. 분수방정식 아래의 예와 같이 무리식을 포함하는 방정식을 무리방정식 이라고 한다. (예) 1x+ x(x1- 1) = 12 , 1x- x+1 =1 x+2 -1 x+31 2. 분수방정식의 해법 주어진 분수방정식을 이항하고 통분하여 f(x) g(x) = 0 꼴로 변형한 후 다음의 동치관계를 이 용하여 부등식의 해를 구한다. gf((xx)) = 0 ⇔ f(x)g(x) =0, g(x)≠0 첫째. 양변 분모의 최소공배수를 곱해 정방정식으로 만든다. 둘째. 위에서 얻은 정방정식의 근을 구한다. 셋째. 정방정식의 근 중에서 주어진 분수방정식의 분모를 0(무연근)으로 하지 않는 것만을 근으로 한다. [기본예제1] 분수방정식 x- 2 -1 x+ 2 =x 4 x2- 4 의 해를 구하여라. [풀이] 분모의 최소공배수 x2- 4 = (x+ 2)(x- 2 )를 양변에 곱하면 정방정식 (x+ 2) -x(x- 2) = 4 을 얻을 수 있고 그 해를 구하면 x 2- 3x+ 2= 0 (x- 1)(x- 2 ) = 0 ∴ x= 1, 2 여기서 x= 2는 분모가 0이 되므로 무연근입니다. 이를 제외한 근을 구하면 x= 1이 주어진 방정식의 해이다.▐[기본예제2] 분수방정식 x2- 2x+ 2- 3 x2- 2x= 4 을 풀어라. [풀이] x 2- 2x= t라고 놓으면 아래와 같이 를 변수로 같는 분수방정식이 된다. t+ 2 - 3t = 4 ⋯ ① 양변에 분모의 최소공배수t를 곱하여 해를 구하면 t 2- 2t- 3= 0 (t- 3)(t+ 1 ) = 0 ∴ t= 3 , t=- 1 이것은 모두 ①식의 근이고 무연근이 아니다. t= 3일 때 x2- 2x= 3, (x- 3)(x+ 1 ) = 0 ∴ x= 3 , x=- 1 t=- 1 일 때 x2- 2x=- 1, (x- 1) 2= 0 ∴ x= 1(중근) 따라서 주어진 방정식의 모든 근은 x=- 1, x= 1 , x= 3 이다.▐ [기본문제3] 다음 분수방정식을 풀어라. x+ 1 x+ 2 + xx+ 3+ 4 = xx+ 2+ 3 + xx+ 4+ 5 [풀이] 분자를 분모로 나누어서 정리하면 (x+ 2) - 1 x+ 2 + (x+ 4) - 1x+ 4 = (x+ 3) - 1x+ 3 + (x+ 5) - 1x+ 5 ( 1 - x1 + 2 ) + ( 1 - x+ 4 ) = ( 1 -1 x+ 3 ) + ( 1 -1 x+ 5 )1 1 x+ 2 + x+ 4 =1 x+ 3 +1 x+ 51 양변의 분자식이 간단한 형태로 나오게 하기 위하여 우변의 x1 + 3 를 좌변으로, 좌변의 x+ 41 를 우변으로 이항하고 x1 + 2 - x+ 3 =1 x+ 5 -1 x+ 41 양변을 각각 통분하면 1 (x+ 2)(x+ 3 ) = (x+ 4)(- 1x+ 5 ) 를 얻는다. 이제 양변에 분모의 최소공배수 (x+ 2)(x+ 3 )(x+ 4)(x+5)을 곱하여
5 -정리하면 다음의 정방정식이 된다. (x+ 4)(x+ 5 ) =- (x+ 2)(x+ 3) x2+ 7x+ 13= 0 이 방정식의 해를 구하면 x= - 7± 3i 2 이고 두개의 근 모두 무연근이 아니다. 따라서 주어진 분수방정식은 서로 다른 두 개의 허근을 갖는다.▐ [기본예제4] 분수방정식 ax x- 1 = 1의 근이 존재하지 않을 때, a의 값을 구하면? [풀이] 먼저 양변에 x- 1을 곱하여 정리하면 a x=x- 1 (a- 1)x=- 1 ⋯ ① a= 1이면 방정식의 해는 존재하지 않는다. 한편 ≠인 경우 방정식 ①의 근은 이고 이면 방정식의 해는 (무연근)이 되어 주어진 방정식은 해를 갖지 않는다. 따라서 주어진 분수방정식이 해를 갖지 않는 값들은 a = 0 , 1이다.▐ [기본예제5] 매시간 2km의 속력으로 흐르는 강을 따라 어떤 배가 20km 떨어진 두 지점을 왕복하는데 걸린 시간이 4 시간 10 분이었다. 이 배의 흐르지 않는 물에서의 속력은? [풀이] 흐르지 않는 물에서의 배의 시속을 xkm라고 하면 올라갈 때와 내려갈 때의 시속은 각각 (x-2)km, (x+2) km이다. 따라서 두 지점을 왕복하는데 걸린 시간과 속력 사이의 관계를 식으로 나타내면 아래의 분수방정식이 된다. 20 x-2 +x20+2 = 25060 양변에 분모의 촤소공배수 60(x- 2)(x+ 2)을 곱하여 정리하면 5x2-48x-20= 0 , (5x+ 2)(x- 10) = 0 ∴x =- 25 , 10 이들은 모두 무연근이 아니다. 그러나 배의 속력은 음수일 수 없으므로 흐르지 않는 물에서 배의 속력은 10 (km/h)이다.▐
▶ 연습문제 ◀
1. 다음 분수방정식의 해를 구하라. ① x x- 1 + x-2 =1 2x 2-3 x2-3x+2 ② x x2-1 - x 2-1 x =- 56 ③ x x2-1 - x 2-1 x =- 56 ④ 1 - |1+xx| =x 2. 분수방정식 a(a+2) 2x - a2((ax-1) = 1-1) 이 근을 가질 조건을 구하여라. 3. 집합{
x∣
a(a+2) 2x -a2((ax-1) = 1-1)}
= ∅일 때, 상수 a를 구하여라. 4. 분수방정식 x- 5 x2-1 + x-1 =2 a 이 실근을 가질 조건을 구하여라. 5. 세 집합 A={x∣f(x) = 0 }, B={x∣g(x) = 0 }, C={x∣h(x) = 0 } 에 대하여, 방정식 f(x) g(x)h(x) = 0 의 해집합을 A, B, C로 나태내어라. 6. 매시간 2km의 속력으로 흐르는 강을 따라 어떤 배가 20km 떨어진 두 지점을 왕복하는 데 걸린 시간이 4 시간 10 분이었다. 이 배의 흐르지 않는 물에서의 매시간의 속력은? 7. A, B, C 세 사람이 공동으로 일하면 x일 만에 완공될 공사가 있다. 이 공사를 A, B, C가 각각 혼자서 일하면 (x+ 6)일, (x+ 15)일, 2x일이 걸린다고 한다. 이 일을 A 가 혼자서 하면 며칠 걸리는가?7
-1-2 무리방정식
1. 무리방정식 아래의 예와 같이 무리식을 포함하는 방정식을 무리방정식 이라고 한다. (예) x+ 2 =x , 2x+2-2 =x- x 2. 무리방정식의 해법 주어진 무리방정식 A(x) =B(x)의 양변을 제곱한 방정식 {A(x)}2= {B(x)}2이 정방정식이 면 방정식 {A(x)}2= {B(x)}2의 해를 구하고 그 해 중에서 주어진 방정식 A(x) =B(x)이 성립 하는 것만을 근으로 한다. 첫째. 무리방정식의 각 항을 적당히 이항하고 양변을 제곱하여 정방정식으로 고친다. 둘째. 위에서 얻은 정방정식의 근을 구한다. 셋째. 정방정식의 근 중에서 무연근을 버리고 주어진 무리방정식을 만족시키는 것만을 근으로 한다. [기본예제1] 무리방정식 x=x- 2 의 해를 구하라. [풀이] 주어진 방정식의 양변을 제곱하면 x= (x- 2) 2 ⋯ ① 이를 정리하면 x2- 5x+ 4 = 0 x= 1, 4 를 주어진 방정식에 대입하면 등식이 성립하지 않는다.(무연근) 를 방정식에 대입하면 등식이 성립하고 따라서 주어진 방정식의 근은 이다.▐ [기본문제2] 무리방정식 x2-x- x2-x-2 = 4 의 모든 근을 구하여라. [풀이] 먼저 양변을 이항하여 정리하면 x2-x- 4= x2-x-2 를 얻는다. 여기서 t=x2-x- 2 라고 놓으면 ⋯ ① 이고 양변을 제곱하여 정리하면 ∴ 를 ①식에 대입하면 등식이 성립하지 않는다.(무연근) 를 ①식에 대입하면 등식이 성립하고 이 값을 치환식 t=x2-x- 2에 대입 하면 x2-x- 2 = 4 , x2-x- 6 = 0 이므로 주어진 방정식의 근은 이다.▐ [기본문제3] 방정식 2x- 1- x+ 3 = 3 를 풀어라. [풀이] x+ 3을 우변으로 이항하면 2x- 1 = 3 + x+ 3 ⋯ ① 양변을 제곱하면 2x- 1 = 9 + 6 x+ 3+x+ 3 이를 정리하면 x- 13 = 6 x+ 3 ⋯ ② 다시 양변을 제곱하여 정리하면 다음의 정방정식을 얻는다. x2- 26x+ 169 = 36x+ 108 x2- 62x+ 61= 0 이 방정식을 풀면 (x- 1)(x- 6 1) = 0, ∴ x= 1, 61 이 값들을 주어진 방정식에 대입하면 은 무연근 이고 이 주어진 방정식의 해임을 알 수 있다.▐ [기본문제4] 무리방정식 x+ 1 =x+a 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 실수 a의 범위를 정하라. [풀이] y= x+ 1을 그린 다음 y=x+a의 그래프를 서서히 평행이동 시켜보면 아래의 그림의 두 직선 사이에서 서로 다른 두 점에서 만나는 것을 알 수 있다. y= x+ a O y x a = 1 a = 54 1 -1 y= x+ 1
9 -y=x+a가 곡선에 접할 때의 a의 값을 구하기 위하여 x+ 1 =x+a 의 양변 제곱하여 정리하면 x+1=x 2+2ax+a 2 x2+(2a-1)x+ (a 2-1)= 0 이 방정식이 중근을 가질 때, 곡선과 직선이 접하게 되므로 판별식을 쓰면 D= ( 2a- 1) 2-4(a 2-1)= 0 ∴a= 54 한편 y=x+a가 점 ( - 1, 0)을 지날 때 a의 값은 점 ( - 1, 0)을 직선의 방정식 y=x+a에 대입하여 얻을 수 있다. 0 =- 1 +a ∴a= 1 이 결과들과 위의 그림을 통하여 1 ≤a < 54 일 때, 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 가짐을 알 수 있다. ▐ [기본문제5] 두 점 A(0, 1), B(4, 3)이 있다. x축 위에 한 점 P를 잡아 AP + PB = 6이 되게 하고자 한다. 점 P의 좌표를 구하여라. [풀이] x y A B P O 1 4 3 x 축 위의 점 P의 좌표를 (x, 0)이라 하면 AP = x2+ 12 BP = (4 -x)2+ 32 이므로 AP + PB = x2+ 1+ (4 -x)2+ 9 = 6 x2+1- 6 =- x2- 8x+ 25 ⋯⋯ ① 이 성립하고 ①의 양변을 제곱하여 정리하면 (x2+ 1)- 12 x2+ 1+ 36 =x2- 8x+ 25 8x+ 12 = 12 x2+ 1 2x+ 3 = 3 x2+1 ⋯⋯ ② 다시 ②의 양변을 제곱하여 정리하면 5x2- 12x= 0 ∴ x= 0 또는 x= 125 이 값은 모두 ①의 근이므로, 구하는 점 P 의 좌표는 P( 0, 0) 또는 P
(
125 , 0)
이다.▐▶ 연습문제 ◀
1. 다음 무리방정식의 해를 구하라. ① x-1+3 =x ② x+2- 3-x= 1 ③x2+x+ x2+x+7 = 5 ④x2- 2x- 6 2x2- 4x- 6 =- 13 ⑤ 1+1-xx + 1-1+xx = 2 2. 무리방정식 x+3 =x+a 가 서로 다른 두 실근을 갖기 위한 정수 a의 값은? 3. 방정식 x-3 =mx+1이 실근을 가질 때, m의 최대값과 최소값을 구하여라. 4. 삼차함수 y=f(x)의 그래프 가 오른쪽 그림과 같을 때, 방 정식 f(x)= 3 +2 f(x)의 서 로 다른 실근의 개수를 구하여라. 5. 강 건너에 다섯 그루의 나무가 50m간격 으로 일직선 도로가에 나란히 서 있다. 그림에서와 같이 첫 번째 나무는 다리중앙을 통해 정면으로 바라볼 수 있고 두 번째 나무에서 세 번째 나무를 바라본 각과, 세 번째 나무에 서 다섯 번째 나무를 바라본 각의 크기가 같다고 할 때, 측량점에서 첫 번째 나무까지의 거리는? (단, 다리와 도 로는 수직이다.)11 의 구간 (x-2) (x+1)(x-2 )(x- 1)2 - - + + + - + + - + + + + +
1-3 고차부등식
1. 고차부등식 아래의 예와 같이 3차 이상의 다항식을 포함하는 부등식을 고차부등식 이라고 한다. (x+ 1)(x2-x+1)＞0 , x3-4x2+8＜0 2. 고차부등식의 해법1 (그래프를 이용한 방법) 1) 최고차항의 계수가 양이 되도록 f(x) > 0 또는 f(x) < 0의 꼴로 정리한다. 2) 계수가 실수인 범위에서 f(x)를 인수분해한다. 3) y=f(x)의 그래프를 이용하여 x 의 범위를 구한다. 즉 f(x) > 0 => x 축 위쪽에 있는 x 의 범위를 구한다. f(x) < 0 => x 축 아래쪽에 있는 x 의 범위를 구한다. γ β y=f(x) α f(x) > 0의 해 α<x< β, x>γ f(x) < 0의 해 x<α, β <x< γ 3. 고차부등식의 해법2 (인수의 부호를 이용한 방법) 부등식 (x+ 1)(x- 2)(x- 1)2＜0 에서 각 인수가 0이 되는 값을 경계로 구간을 나누면 아래의 네 개의 구간으로 나눌 수 있고 각 구간에서 인수들의 부호는 다음 표와 같다. 따라서 주어진 부등식의 해는 , 이다.의 범위 x (x2+ 1)(x3+ 1)(x+ 2) - + - - - - - + - + + - + + + + + + + + [기본예제1] 부등식x3+ 2x2-x- 2 > 0 의 해집합을 구하여라. [풀이] 주어진 부등식을 인수분해 하여 정리하면 x3+ 2x2-x- 2 > 0 ⇔ (x+ 2)(x+ 1 )(x- 1) > 0 이고 y= (x+ 2)(x+ 1)(x- 1)의 그래프에서 그래프가 축 위에 의 범위를 구하면 아래의 그림에서 + + x -2 -1 1 주어진 부등식의 해는- 2 <x<- 1, x> 1 이다.▐ [기본문제2] 부등식 x(x2+ 1)(x3+ 1)(x+ 2) > 0 의 해집합을 구하라. [풀이] 부등식 x(x2+ 1)(x3+ 1)(x+ 2) > 0에서 각 인수가 0이 되는 값을 경계로 구간을 나누면 아래의 네 개의 구간으로 나눌 수 있고 각 구간에서 인수들의 부호는 아래 표와 같다. 따라서 주어진 부등식의 해는 , 이다.▐
13 -[기본예제3] 다음 연립부등식을 풀어라.
{
x3+ 5x2+ 5x+ 4 > 0 ⋯⋯ ① 2x3+ 9x2+ 9x < 0 ⋯⋯ ② [풀이] x3+ 5x2+ 5x+ 4 = (x+ 4)(x2+x+ 1) > 0에서 x2+x+ 1 > 0이므로 (x+ 4)(x2+x+ 1) > 0 ⇔ x+ 4 > 0 ∴x> - 4 ⋯ ③ 두 번째 부등식을 정리하면 2x3+ 9x2+ 9x =x(x+ 3)( 2x+ 3) < 0 이고 그래프를 이용하여 해를 구하면 x< - 3 또는 - 32 < x< 0⋯④ 따라서 주어진 연립부등식의 해는 - 4 < x< - 3 또는 - 32 <x< 0 이다. 이를 수직선 위에 나타내면 아래와 같다. -3 -4 - 32 0 x ③ ④ ④ ▐▶ 연습문제 ◀
1. 다음 부등식을 풀어라. ① (x- 2)(x2-x+ 1) < 0 ② x3-2>x-2 x2 ③ (x- 1)2(x+1)(x+3)≦0 ④ x4-4 x3+3 x2+4x-4<0 2. 부등식 x3+ax2+bx+c > 0의 해가 - 2 < x< 1, x> 3일 때, 상수 a,b,c의 값을 구하여라. 3. 두 집합 A={x∣(x+ 1)(x- 1 )(x- 2) > 0}, B={x∣x2+ax+b≦0}이 다음 두 조건을 동시에 만족할 때, a+b의 값을 구하여라. A∪B={x∣x> - 1}, A∩B= {x∣2 <x≦4} 4. 다음 연립부등식을 풀어라. ①{
x((x- 2)(x-4) > 0 x- 5)(x- 3)(x- 1)≦0 ②{
(x+ 1)(x- 1 )(x- 4) < 0 (x- 2)2(x-3)(x+2) < 0 ③{
x 3+ 5x2+ 5x+ 4 > 0 2x3+ 9x2+ 9x< 015
-1-4 분수부등식
1. 분수부등식 아래의 예와 같이 분수식을 포함하는 부등식을 분수부등식 이라고 한다. 1x+ 1x+1 ≧32 , (x- 3)(x- 2 ) 2 (x-1)(x2-x+2) ＜0 2. 분수부등식의 해법 주어진 분수부등식을 gf((xx)) > 0 또는 gf((xx)) < 0꼴로 변형한 후 다음의 동치관계를 이용하여 부등식의 해를 구한다. (1) g(x) f(x) ＞0 ⇔f(x)g(x)＞0 (2) gf((xx)) ＜0 ⇔f(x)g(x)＜0 (3) g(x) f(x) ≧0 ⇔f(x)g(x)≧0, f(x)≠0 (4) gf((xx)) ≦0 ⇔f(x)g(x)≦0, f(x)≠0 [기본예제1] 부등식 x< 2 -1 x을 풀어라. [풀이] x- 2-1 x = x(xx-2)+ 1-2 = (xx- 1)- 2 2 < 0 ⇔ x≠1 이고 x- 2 < 0 ∴ x< 1 또는 1 <x< 2▐[기본예제2] 분수부등식 x+ 1 ≧ 1 -4 x- 32 의 해집합을 구하여라. [풀이] 우변을 좌변으로 이항하여 분모를 통분하면 x4 + 1 - 1+ x- 3 ≧ 02 4(x- 3) - (x+ 1)(x- 3) + 2(x+ 1) (x+ 1)(x- 3 ) ≧ 0 -x 2+ 8x- 7 (x+ 1)(x- 3 ) ≧ 0 ⇔ ((xx- 1)(+ 1)(xx- 7 )- 3 ) ≤ 0 ⇔ (x- 1)(x- 7 )(x+ 1)(x-3) ≤ 0 , (x+ 1)(x- 3 ) ≠ 0 x -1 1 3 - 7 -사차함수 y= (x- 1)(x- 7 )(x+ 1)(x-3)의 그래프를 이용하여 해를 구하면 주어진 분수부등식의 - 1 <x≤ 1, 3 < x≤ 7이다.▐ [기본예제3] 분수부등식 0 < 3xx- 1 ≦ 2를 풀어라. [풀이] 주어진 부등식은 두 부등식 3x x- 1 > 0 ⋯ ① x3- 1 ≤ 2x ⋯ ② 를 동시에 만족하는 x의 범위를 구하면 된다. 3x x- 1 > 0⇔3x(x- 1) > 0이므로 해는 x< 0 또는x> 1 ⋯ ③ 이고 3x x- 1 - 2 ≤ 0⇔ x3- 1 -x 2xx- 1 ≤ 0- 2
17 ⇔ xx+ 2 - 1 ≤ 0 ⇔ (x+ 2)(x- 1 ) ≤ 0 , ≠ 이므로 해는 - 2 ≤x< 1 ⋯ ④ 따라서 ③, ④를 동시에 만족하는 x의 범위는 - 2 ≦x< 0이다.▐ [기본예제4] 분수부등식 (x- 1)(x x- 3 ) + 1 > 0 이 성립하기 위한 충분조건은 x> a이고, 필요조건은 x> b이다. 이 때 a-b의 최소값을 구하여라. [풀이] (x- 1) (x- 3) x- 1 > 0 ⇔ (x+ 1)(x- 1 )(x- 3) > 0 이고 그래프를 그려서 x축의 위 부분의 범위를 구하면 - 1 <x< 1 또는 x> 3 -1 1 3 b a 위의 그림처럼 x> a는 충분조건이므로 a≥3이 성립하고 x> b는 필요조건이므로 b≤ - 1이 성립해야 된다. 따라서 a-b의 최솟값은 3 - ( - 1) = 4이다.▐
▶ 연습문제 ◀
1. 다음 부등식을 풀어라. ① x3 -1 < x+11 ② xx2+2 -1 ≦x2+2x-2 ③ x(x- 2) x+1 ≦0 ④{
(x(x- 1)(- 4)(xx+1)(- 6)x+3) ≧ 0 (x-1) ≦ 0 2. 부등식 0 < 2x+ 1 ≦1x 의 해가 α<x≦ β 일 때, α+β 의 값을 구하여라. 3. 분수부등식 (x- 1)(x x- 3 ) + 1 > 0 이 성립하기 위한 충분조건은 x> a이고, 필요조건은 x> b이다. 이 때 a-b의 최솟값을 구하여라. 4. y=f(x), y=g(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 부등식 g(x) f(x) ≧1의 해를 구하라. 5. 연립부등식{
(x(x-1)(- 4)(xx+1)(-6)x+ 3) ≧ 0 (x- 1) ≦ 0 을 만족 시키는 x의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 할 때, M-m의 값을 구하시오. 6. A={
x∣
x+2 +1 x-3 > 01}
, B={x∣(x-a) (x2+x-2) > 0}일 때 A⊂B 되는 상수 a의 최댓값을 구하여라.19
-2. 삼각함수
2-1 삼각함수의 정의
1. 삼각함수의 정의 위의 그림과 같이 위의 점 의 좌표를 , ( ), -축과 가 이루는 각을 라고 하자.sin , cos , tan , csc , sec cot 를 일반각 에 대한 삼각함수(trigonometric function)라 한다.
2. 삼각함수의 그래프
② cos의 그래프
③ tan의 그래프
④ csc의 그래프
21
-⑤ sec의 그래프
[기본예제1] cos 의 그래프를 그려라. [풀이] cos 는 cos 그래프를 -축의 방향으로 1, -축의 방향으로 2만큼 평행 이동한 함수이다. [기본예제2] sin 의 최댓값과 최솟값을 구하여라. [풀이] 주어진 함수의 치역을 구하면 된다. ≤ sin ≤ 의 양변에 4를 곱하면 ≤ sin ≤ 이 부등식의 양변에 2를 더하면 ≤ sin ≤ 이므로 주어진 삼간함수의 치역은 이고, 최댓값은 , 최솟값은 이다.▐ [기본예제3] 반지름이 100m인 관람차가 매초 회전하고 있다. 출발점 로 부터 출발하여 초 후 각을 라 하자. 단, 이다. 시각에서 로부터 높이를 , 수평위치를 라 할 때, 와 를 시각 의 함수로 나타내어라(아래 그림). 최저점에 있는 관람차가 최고의 위치에 도달하는 시간을 구하고 또한 회전을 시작한 후 모두 제자리로 돌아오는 시간을 구하여라.
23 -[풀이] 문제의 조건으로부터 와 는 다음 관계식을 만족한다. ∘ 따라서 로부터 높이 는 sin
이고 로부터 수평위치 는 cos
이므로 최고점에 도달하는 시간은 일 때이므로 sin
sin
, 이므로 초 후 또는 6분 후에 최고점에 도달하고 분 후에 에 되돌아온다.▐▶ 연습문제 ◀
1. 다음 함수의 그래프를 그려라. ① sin ② cos ③ cos ④ tan ⑤ cos ) ⑥ sin
⑦ tan
2. 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하라. ① sin ② cos ③ cos 3. sin 에서 치역이 이고 주기 일 때, 를 구하라. 4. cos cos 의 치역을 구하여라.25
-2-2 삼각함수의 여러 가지 성질
1. 역수공식과 상제공식
cosec sin sec cos
cot tan
tan cos sin cot sin cos 2. 제곱공식 ①sin cos ② tan sec ③ cot cosec [기본예제1] 에서 sin 일 때, cot의 값을 구하여라. [풀이] sin cos 에서 cos
sin
∵
∴ cot sincos
▐
3. 삼각함수의 덧셈공식
① sin ± sincos ±cossin
② cos ± coscos ∓sinsin
[기본예제2] cos 의 값을 구하여라.
[풀이]cos
cos◦ cos◦ ◦
=cos cos sin sin
▐
[기본예제3] 이차방정식
의 두 근이 tan tan일 때, tan 의 값을 구하여라.
[풀이] 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 tan tan tan tan
∴tan tantantan tan ▐ 4. 삼각함수의 합성 ① sin cos
단 sin cos
② sin cos
단 sin
cos
[기본예제4] 합성공식을 사용하여 다음 식을 sin 의 형태로 변형 하여라.
sin cos [풀이] 합성공식에 의하여27 -
sin cos = sin (
단, sinα= 12 , cosα= 3 2 ∴α= π6)
이므로
sin cos = sin 이 성립한다. ▐ [기본문제5] 3sin θ-4 cos θ 의 최댓값과 최솟값을 구하여라. [풀이] 3sinθ-4cosθ = 5sin (θ+α)(
단, sinα =- 45 , cosα= 3 5)
x y α -4 O 3 -1 ≦ sin (θ+α)≦1이므로 최댓값은 5, 최솟값은 -5 이다.▐ 5. 배각공식① sin 2α = 2 sin α cos α
②cos 2α =cos2α- sin2α= 2 cos 2α- 1= 1-2 sin2α
③ tan 2α≡ 2 tan α 1 - tan 2α
[기본예제6] sinθ+ cosθ = 62 일 때, cos 2θ의 값을 구하여라. [풀이] ( sin θ+ cos θ)2= 1+2 sin θ cos θ
= 1+ sin 2θ = 32 ∴ sin2θ= 12
sin cos 이므로
cos 2θ = ± 1 - sin 2
6. 반각공식
① sin 2 α2 = 1 - cos α2 ② cos 2 α2 = 1 + cos α2 ③ tan 2 α2 = 1 - cos α1 + cos α
[기본예제7] sinα = 45
(
π2 <α< π)
일 때, sin2α, sin α2 의 값을 구하여라. [풀이] sinα = 45(
π2 <α< π)
에서 cos α < 0이므로 cos α =- 1- sin2α =- 1-(
45)
2=- 35 ∴ sin2α = 2sinαcosα = 2⋅ 45 ⋅(
- 35)
=- 2425 한편, sin2α2 = 1- cos α2 = 1-(
2- 35)
= 45 π 4 < α2 < π2 이므로 sin α2 > 0 ∴ sin α2 = 45 = 2 55 ▐ 7. 곱을 합․차로 고치는 공식①sin α cos β = 12 { sin(α+β)+sin(α-β)} ②cos α sin β = 12 { sin(α+β)-sin(α-β)} ③cos α cos β = 12 { cos(α+β)+cos(α-β)} ④sin α sin β =- 12 { cos(α+β)-cos(α-β)}
29 -8. 합․차를 곱으로 고치는 공식
①sinA+ sin B= 2 sin A+2 B cos A-2 B ②sinA- sin B= 2 cos A+2 B sin A-2 B ③cosA+ cosB= 2 cos A+2 B cos A-2 B ④cosA- cosB=- 2 sin A+2 B sin A-2 B
[기본에제8] sin 3x+ cos 3x= sinx+ cosx (0 ≦x≦ π )의 해를 구하여라.
[풀이] sin 3x- sinx+ cos 3x- cosx= 0 2 cos 2xsinx- 2 sin 2xsinx= 0 2 sinx( cos 2x- sin 2x) = 0
∴ sinx= 0 또는 cos 2x- sin 2x= 0⇔ tan 2x= 1
sinx= 0에서
x
= 0, π ⋯ ⋯ ①tan 2x= 1에서 2
x
= π4 , 54 π 이므로x
= π8 , 58 π ⋯ ⋯ ②
α β
▶ 연습문제 ◀
1. sinx+ cosx= 2 일 때, sinxcosx의 값을 구하여라. 2. tan 75◦의 값을 구하여라.3. tanx= 247 일 때, sin x2 , cos x2 의 값을 구하여라.
(
단, π <x< 32 π)
4.y=- sinx- 3 cosx의 최대값과 최소값을 구하여라. 또, 그 때의 x의 값을 구하여라. (단, 0 ≤x< 2π) 5. 함수 f (x) = 2 sin
(
x+ π6)
- 3 cosx의 최댓값을 구하여라. 6. 오른쪽 그림과 같이 두 정사각형을 이어 붙인 도형에서 cos (α + β)의 값은? 7. π< α < 32 π에서 sin α =- 14 일 때, 다음 값을 구하여라.1) sin α2 2) cos α2 3) tan 2α
8. 함수 f(x)= sin
(
π3 -x)
sin(
π3 +x)
+ sin (π+x)의 최댓값과 최솟값을 구하라.9. 다음 그림과 같은 정사각형 ABCD가 있다. AD의 삼등분점 중에서 점 A에 가까운 점 P, CD의 삼등분점 중에서 점 C에 가까운 쪽을 점 Q, ∠PBQ= θ 라 할 때,
31
-1-1 삼각방정식과 삼각부등식
1. 삼각방정식의 일반해 삼각방정식의 특수해가 α 일 때, n이 임의의 정수이면 ① sinx=a ( |a|≦1 ) 의 일반해는 x=nπ+(-1)nα ② cosx=a ( |a|≦1 ) 의 일반해는 x= 2nπ±α ③ tanx=a의 일반해는 x=nπ+α <해설> 꼴의 방정식의 해는 두 함수의 그래프의 교점의 x좌표를 의미한다. ① sinx= 12 의 해를 구하여 보자. y= sinx와 y= 12 의 교점의 x좌표를 아래와 같이 구하면 된다. y y= sin x y= 12 π 6 π-π6 π+π6 2π -6π 3π +π6 4π -π6 5π +π6 x x1= π6 ,x2= π-π6 , x3= 2π+ π6 , x4= 3π- π6 ,․․․ 위의 그래프를 통하여 주어진 방정식 sinx= 12 의 모든 해를 x=nπ+(-1)n π 6 (은 정수)의 형태로 표현 될 수 있음을 알 수 있다. ② cosx= 12 의 해를 구하여 보자. y = cos x y= 12 -π3 π3 2π -π3 2π+π 3 4π -π3 4π +π3 6π -π3 6π +π3 x x1 =-π 3 , x2= π 3 , x3= 2π-π 3 , x4= 2π+ π 3 , ․․․ 이므로 방정식 cosx= 12 의 모든해는 x= 2nπ±π3 (은 정수)이다.. ③ tan x= 1의 해를 구하여 보자.y y=tan x y= 1 π 4 π+π4 2π +π4 3π +π4 x x1= π4 ,x2=π+ π4 ,x3= 2π+ π4 , x4= 3π+ π4 , ․․․ 이므로 방정식 tan x= 1의 모든 해는 x=nπ+π4 (은 정수)이다. [기본예제1] 2 sin2x- cosx= 1의 일반해를 구하라 [풀이] 2 sin2x- cosx= 1 ⇔ 2(1- cos2x) - cosx- 1 = 0 ⇔ 2 cos2x+ cosx- 1= 0 ⇔ (2 cosx- 1)( cosx+ 1) = 0 cosx= 12 또는 cosx=- 1 ∴ x= 2nπ±π3 또는 x= 2nπ±π ▐ [기본예제2]
① sinx= sin π6 ② cos 5x= sinx ③ 3 sinx- cosx= 1 [풀이] ① x=nπ+(-1)nπ 6 ② 양변을 cosine으로 통일 하자.( 물론 sine으로 통일해도 무방) cos 5x= cos
(
π2 -x)
에서 5x= 2nπ±(
π2 -x)
(ⅰ) 5x= 2nπ+π2 -x일 때, 6x= 2nπ+π2 ⇔ x= n3 +π 12π (ⅱ) 5x= 2nπ-π2 +x일 때,33 -4x= 2nπ-π2 ⇔ x= n2 -π π8
위(ⅰ),(ⅱ)를 정리하면
x= n3 +π 12 또는π x= n2 -π π8
③ 3 sinx- cosx= 1 ⇔ 2
(
2 sin3 x- 12 cosx)
= 1 ⇔ 2 sin(
x-π6)
= 1에서 x-π6 =nπ+(-1)n π 6 ∴ x=π6 +nπ+(-1)n π 6 ▐ 2. 삼각부등식 부등식 f(x) > g(x)의 해는 f(x)의 그래프가 g(x)의 그래프 보다 윗부분에 있는 x 의 범위이다. ①f(x) > g(x)의 해 ⇔ f의 그래프가 g의 그래프 보다 윗부분에 있는 x의 범위 ② f(x) < g(x)의 해 ⇔f의 그래프가 g의 그래프 보다 아래 부분에 있는 x의 범위 [기본예제1] 3 cosx- sinx< 2의 해를 구하라.[풀이] 3 cosx- sinx< 2 ⇔ 2
(
2 cos3 x- 12 sinx)
< 2 ⇔ 2 cos(
x+ π6)
< 2 y y= 12 π 4 2π -π4 2π +π4 4π -π4 y = cos θ θ 위 그래프에서 일반해는 2nπ+π4 < x+π6 < (2n+2)π- π4 ∴ 2nπ+12 <π x < (2n+2)π- 512 ▐π[기본예제4] 다음 삼각 부등식을 풀어라.
(1) 4 sin2x< 1 (2) sinx> cosx (3) cos 2x+ cosx< 0
[풀이] (1) sin2x - 14 <0 ⇔
(
sinx- 12)(
sinx+ 12)
< 0 - 12 < sinx< 12 y= sinx의 그래프가 y= 12 과 y=- 12 사이에 있는 x의 범위는 다음과 같다. ... π-π6 < x< π+π6 , 2π-π6 < x < 2π+π6 , 3π-π6 < x < 3π+π6 ... ∴ nπ- π6 < x <nπ+ π6 (2) y= sinx의 그래프가 y= cosx의 그래프보다 위부분에 있는 x의 범위는 다음과 같다. ... π4 < x < π+π4 , 2π+π4 < x < 3π+π4 , 4π+π4 < x< 5π+ π4 ... ∴ 2nπ+π4 < x< (2n+1)π+ π4(3) cos 2x+ cosx < 0 ⇔ 2 cos2x- 1+ cosx< 0
⇔ ( 2 cosx- 1)( cosx+ 1) < 0 cosx+ 1≥0이므로 2 cosx- 1 < 0 ⇔ cosx< 12
y= cosx의 그래프가 y= 12 의 그래프 보다 아래 있는 부분의 x의 범위는 다음과 같다.
... π3 < x< 2π-π3 , 2π+π3 < x< 4π-π3 , 4π+π3 < x < 6π-π3 ⋯
35
-▶ 연습문제 ◀
1. 다음 삼각방정식의 일반해를 각각 구하라 (1) cos2x+ sinx+ 1 = 0 (2) tan2x+ cot2x= 2 (3) - 2 secx+ cosx- 1 = 0 (4) cos 2x+ 3 sinx= 2 (5) sinx- sin 2x= 0 (6) cos 2x+ 3 sinx+ 1= 0 2. 다음 삼각방정식을 풀어라. 3 sinx+ cos x= 2 3. 연립방정식{
sinx+ siny= 3cosx- cosy= 1 을 만족하는 x, y에 대하여 sin (x+y)를
구하여라. (단, 0≦x≦π, 0≦y≦π)
4. 방정식 sin 6x-2 sin 4xcosx+ sin 2x= 0의 모든 해를 구하여라.
5. 에 대한 이차방정식이 중근을 갖는 의 값을 결정하라. sin
sin 6. 함수 sin sin 의 그래프의 -절편 및 -절편을 구하라.3. 함수의 극한과 연속
3-1 함수의 극한
1. 함수의 극한의 뜻 (1) x→ α 일 때 f(x) → β이면 lim x→αf(x) = β로 나타낸다. (2) lim x→αf(x)가 유한 확정값을 가질 때, 수렴이라 하고 그렇지 않으면 발산이라고 한다. 2. 함수 극한의 기본성질 lim x→af(x) = α, limx→ag(x) = β일 때, (1) lim x→a{f(x)±g(x)} = α±β (2) lim x→a cf(x) =cα (3) limx→af(x)g(x) = αβ (4) lim x→a f(x) g(x) = βα (단, ≠ ) [기본예제1] 다음의 극한값을 구하여라 (1) lim x→3 x2-9 x- 3 (2) limx→0 (x+1)2-1 x2+x (3) x→ - 1lim ∣x2-2x+1x∣ - 3 (4) lim x→0 x2+1-1 x (5) limx→1 x+3-2 x2-2x+ 1 (6) limx→0 3 1+x-3 1-x x [풀이] (1) lim x→3 x2-9 x- 3 = limx→3 (x-3)(x+3) x-3 = limx→3(x+3) = 6 ∴ lim x→3 x2-9 x- 3 = 637 (2) lim x→0 (x+1)2-1 x2+x = limx→0 xx((xx+2)+1) = limx→0 xx+2+1 = 2 ∴ lim x→0 (x+1)2-1 x2+x = 2 (3) x2-2x> 0 ⇔ x(x- 2 ) > 0 ⇔ x< 0또는 x> 2 ∴ x=-1 근방에서는 x2-2x> 0 이므로 ∣x2-2x∣ =x2-2x가 된다. lim x→ - 1 x+1 ∣x2-2x∣ - 3 = limx→ - 1 x2-2x+1x- 3 = lim x→ - 1 x+1 (x+ 1) (x- 3) = limx→ - 1 1 x- 3 =- 14 ∴ lim x→ - 1 x+1 ∣x2-2x∣ - 3 =- 14 (4) lim x→0 x2+1-1 x = limx→0 x2 x( x2+1+1) = 0 ∴ lim x→0 x2+1- 1 x = 0 (5) lim x→1 x+3-2 x2-2x+1 = limx→1 ∣x-1∣(x+3-4x+3+2) = 14 또는 - 14 (6) lim x→0 3 1+x-3 1-x x = lim x→0 2x x(3 (x+ 1)2+ 3 1-x2+ 3 (1 -x)2) = 23 ∴ lim x→0 3 1+x-3 1-x x = 23 ▐
[기본예제2] 극한값 lim x→0 x2 1- 1-x2 를 구하여라. [풀이] 준식= lim x→0 x2(1- 1-x2) (1- 1-x2)(1- 1-x2) = limx→0(1+ 1-x2) = 2▐ [기본예제3]함수 y= 2x의 그래프 위의 동점 P(x, 2x) 에서 x축에 내린 수선의 발을 Q라 하고 f(x) = OP- OQ라 할 때, 극한값 lim x→∞f(x)를 구하여 라. [풀이] OP= x2+ 2x,OQ=x 이므로 f(x) =OP-OQ = x2+ 2x-x ∴ lim x→∞f(x) = limx→∞( x 2+2x-x) = lim x→∞ 2x x2+2x+x) = 1▐ 3. 미정계수의 결정 ① lim x→a g(x) f(x) =α이고, limx→af(x)= 0이면 limx→ag(x)= 0 이다. ② lim x→a g(x) f(x) =α (α≠0 ) 이고, limx→ag(x)= 0 이면 limx→af(x)= 0이다. [증명] ① lim x→ag(x) = limx→a g(x) f(x) ⋅f(x) = limx→a g(x) f(x) ⋅ limx→af(x)=α⋅0 = 0 ② lim x→af(x) = limx→a f(x) g(x) ⋅g(x) = limx→a 1 g(x) f(x) ⋅ lim x→ag(x)= 1α ⋅0 = 0 [기본예제4] lim x→ - 2 x2-ax+2b x+ 2 = 1 가 성립하도록 a+b의 값을 구하여라.
39 -[풀이] 분모 → 0이므로 분자 → 0 이다. 4+2a+2b= 0 ∴ a+b=-2▐ [기본예제5] lim x→2 a x+b x-2 = 1 가 성립하도록 a,b의 값을 구하여라. [풀이] 분모 → 0이므로 분자 → 0 이다. 2a+b= 0에서 b=- 2a㉠ 이 ㉠을 lim x→2 a x+b x-2 = 1에 대입하면 lim x→2 a x- 2a x-2 = 1 lim x→2 a(x-2) (x-2)( x+ 2) = 1 a 2 2 = 1에서 a= 2 2을 ㉠에 대입하여 a= 2 2 ,b=-4 를 얻느다.▐
4. 초월함수의 극한 초월함수의 극한 1. 삼각함수의 극한 lim x→0 sinx x = 1 ⋯ ① (단, x는 라디안) 2. e의 정의 e= lim x→0(1+x) 1 x = lim x→∞(1+ 1x ) x ⋯ ② 3. 자연로그의 정의 logex= lnx ⋯ ③ 4. 로그함수의 극한 lim x→0 ln(1+x) x = 1 ⋯ ④ 5. 지수함수의 극한 lim x→0 ex-1 x = 1 ⋯ ⑤ [증명] ⅰ) x→+0일 때 오른쪽 그림과 같이, 반지름의 길이가 r 인 원 O 에서 ∠AOB의 크기를 x(라디안), 점 A에서 원 O에 그 은 접선과 직선 OB와의 교점을 T 라 하면
(△OAB의 넓이)< (부채꼴 OAB의 넓이)< (△OAT의 넓이 ) 따라서, 12 r2sinx
< 12 r2x
< 12 r2tanx
41
sinx> 0이므로 각 변을 sinx로 나누고 역수를 취하면 1 > sinxx > cosx
그런데 lim
x→ + 01 = 1, limx→ + 0cosx= 1 이므로 xlim→ + 0
sinx x = 1 ⅱ) x→-0일 때, x=-t로 놓으면 t→+0이므로 lim x→ - 0 sinx x = limt→ + 0 sin(-t) -t = limt→ + 0 sint t = 1 ⅰ), ⅱ) 에서 lim x→0 sinx x = 1 [기본예제6] 다음 극한값을 구하시오. (1) lim x→∞
(
1 + a x)
bx (2) lim x→0(
1 + x 2)
- 3x (3) lim x→0 loga(1+x) x (4) limx→0 ax-1 x [풀이] (1) (주어진 식)= lim x→∞{(
1 + a x)
x a}
ab =eab (2) (주어진 식)= lim x→0{(
1 + x 2)
2 x}
- 32 ={
lim x→0(
1 + x 2)
2 x}
- 32 =e - 32 (3) (주어진 식)= lim x→0loga(1 +x) 1 x = logalim x→0( 1+x) 1 x = logae= 1ln a (4) ax-1 =t로 치환하면 x= log a(1+t) ∴ (주어진 식)= lim t→0 t loga(1+t)= lim t→0 1 1 t loga(1+t) = lim t→0 1 loga(1+t) 1t = log1 ae = ln a▐ [기본예제7] 다음의 극한값을 구하시오. ① lim x→π2 cosx π- 2x ② limx→0 tanx x [풀이] ①x-π2 =θ라 놓으면 x= θ+π2 , x → π2 일 때, θ → 0 lim x→π2 cosx π- 2x = limθ→0 cos
(
θ+π2)
-2θ = limθ→0 - sinθ -2θ = 12 ② lim x→0 tanx x = limx→0 sinx xcosx = limx→0 sinx x ⋅ cos1 x = 1 ⋅1 = 1▐43 -SUMMARY (1) 수렴과 발산 ◀
lim
→ ⇒수렴 ±∞ ⇒발산 진동 ⇒발산 ◀lim
→ ⇔lim
→ lim
→ (2) 부정형의 극한값 ◀lim
→ ± ∞ ± ∞∞ : 분모의 최고차항으로 분모, 분자를 나눈다. ◀lim
→ :
분수함수 인수분해하여 를약분무리함수 유리화하여 를약분 ◀lim
→ ± ∞ ± ∞ ∞ : 다항함수 최고차항으로묶는다 무리함수 유리화하여 ∞∞ 꼴로만든다 ◀lim
→ ± ∞ ⋅∞ : ∞ ∞ 꼴로 변형한다. (3) 삼각함수의 극한값lim
→ sin lim
→ tan lim
→ sin lim
→ tan (4) 에 관한 극한값lim
→ lim
→∞
lim
→ log lnlim
→ ln (5) 극한의 응용lim
→ 유한확정일 때 ◀lim
→ ⇒lim
→ ◀ ≠이고lim
→ ⇒lim
→ 3-2. 함수의 연속성
(1) 함수의 연속 ◀ 에서 연속 가 에서 연속 ⇔ (i) 가 존재 (ii)lim
→ 존재, (iii)lim
→ 예제 : sin 는 에서 연속인가? 는 불연속 ◀ 구간에서 연속 가 어떤 구간의 모든 점에서 연속일 때 는 그 구간에서 연속이라 한 다. (2) 극한으로 표시된 함수의 연속성lim
→∞ 을 포함된 는 인 경우로 나누어 생각한 다. 예제 : 함수 lim
→∞ 의 개형을 그려라. (3) 연속함수의 성질 ◀ 최댓값, 최솟값의 정리 : 함수 가 에서 연속이면 는 이 구간에서 최 댓값, 최솟값을 갖는다. ◀ 중간값 정리 : 함수 가 에서 연속이면 ≠인 와 사이 의 임의의 에 대해 를 만족하는 가 적어도 한 개 존재한다. 특히, 이면 을 만족하는 해가 와 사이에 적어도 한 개 존재 한다.45
-▶ 연습문제 ◀
1. 다음 극한값을 구하여라. ① lim x→ 2 x- 1 x2- 3 ② limx→ 0 x+2 - 2x ③ lim x→∞ x( x+ 1 - x) ④ xlim→ ∞( x 2+3x+2 -x) ⑤ lim x→3 1x- 3 ( x+ 1 -1 14 ) ⑥ limx→ 0sinxcos 1x
⑦ lim x→ 3 -0 x2-3x ∣x- 3∣ ⑧ x→ - 3 + 0lim (x+ [x]) ⑨ lim x→ - ∞ 4x 2 + x2-3 ⑩ limx→ 0 ∣xx∣ 2. 다음 극한값을 구하여라. ①lim x→0(1+3x) 1 2x ② lim x→∞
(
1+ 4x)
3x ③ lim x→∞(
1- 1x)
2x ④lim x→1x 1 1-x ⑤ lim x→0 tan2x sin 3x4) ⑥limx→0 1- cosx x2 ⑦ lim x→1 cosπ2 x 1-x2 ⑧limx→0 ln(1+2x x) ⑨ lim x→0 e2x-1 sinx ⑩ limx→0 ln(a+x)- lna x 3. f(x) = ax3+bx2+cx+d x2-x- 2 가 xlim→∞f(x) = 1, limx→ 2f(x) = 0을 만족 할 때, a,b,c,d 의 값을 정하여라. 4. lim x→0 ln(x+b) sina x = 13 을 만족시키는 상수 a,b에 대하여 a+b의 값을 구하여라. 5. 곡선 y=ex위를 움직이는 점 P와 세 점 A(0, e), B(0, 1), C( 1, 1)에 대하 여 △PAB, △PBC의 넓이를 각각 S1, S2라 할 때, lim x→0 S1 S2 의 값을 구하여라. 다음 각 함수의 x= 0에서의 연속성을 조사하여라. (1) f(x) =x- [x] 단, [x]는 x를 넘지 않는 최대 정수이다. (2) f(x) =x2+ x2 1+x2 + x 2 (1+x2)2+ x 2 (1+x2)3 + ⋯ 답. (1) f(x)는 x= 0에서 불연속 (2) f(x)는 x= 0에서 불연속 다음 함수의 그래프를 그리고, 불연속점이 있으면 구하여라. f(x) = lim n→∞ x2(1 -x2) 1 +xn (단, n은 양의 정수이다.) 답. x= ±1에서 불연속 다음 함수f(x)가 x의 모든 실수값에 대하여 연속이 되도록 상수 a,b의 값을 정 하고, 이 때의 y=f(x)의 그래프를 구하여라. f(x) = lim n→∞ x2n+ 1+ax+b x2n+1 ( 단,n은 정수) 답. a= 1,b= 0, { (x,y)|y=x,x∈R} 다음 함수의 불연속점이 있으면 구하여라. f(x) =
{
xsin 1x (x≠0) 0 (x= 0) 답. 없다. 구간 ( 0, 2)에서 다음 함수의 불연속점이 있으면 구하여라. 단, [x]는 x를 넘지 않는 최대정수를 나타낸다. (1) f(x) =[x]+[-x]47 (2) f(x) = [ sinπx+1] 답. (1) 1 (2) 12 ,1
4장 미분법
4-1 미분계수와 도함수
(1) 정의 ◀ 평균변화율 : 에 대해 값이 에서 ∆까지 변할 때 ∆∆ ∆ ∆ ◀ 미분계수 : ′ ′
′ lim
∆ →∆ ∆ lim
→ lim
∆→∆ ∆ 위의 한 점 에서의 접선의 기울기와 같다. ◀ 도함수 : ′ ′ ′ lim
∆ →∆ ∆ lim
∆→∆ ∆ lim
→ 위의 임의의 저에서의 접선기울기를 나타낸다. (2) 미분계수 이용한 극한값 계산lim
→ ′ (3) 미분가능성과 연속성 ′ 존재 × lim
→ 4-2. 여러 가지 함수의 미분법
(1) 기본공식 ◀ 상수 → ′ ◀ → ′ ◀ ± → ′ ′±′ ◀ → ′ ′ ′ ◀ → ′ ′ ′ (2) 미분 이용한 다항식의 나눗셈 ◀ 다항식 를 으로 나눈 나머지 : ′ ◀ 다항식 를 으로 나누어 떨어 질 조건 : ′ ⋯ 예제 : 다음 방정식의 중근을 구하고 해를 구하여라. (3) 삼각함수의 미분
◀ sin → ′ cos ◀ cos → ′ sin ◀ tan → ′ sec ◀ cot → ′ cosec ◀ sec → ′ sectan ◀ cosec → ′ cosec cot
(4) 지수 로그 함수의 미분법 ◀ → ′ ln ◀ → ′ ◀ log → ′ ln ◀ ln → ′ (5) 로그 미분법 일 때 ln ln이므로 ′ ′ (6) 합성함수, 음함수의 미분법 ◀ 합성함수의 미분법 : 이면 ′
49 -예제 : 이면 ′ ′ ◀ 음함수의 미분법 : 가 의 함수일 때 (7) 역함수, 매개변수 표시함수의 미분법 ◀ 역함수 미분법 : 의 역함수 에서 ′ ◀ 매개변수로 표시된 함수의 미분법 : 일 때, ′′ 단 ′≠ (8) 고계 도함수 를 번 미분하여 얻은 함수를 의 계 도함수라 하고 등으로 나타낸다. 예제 : , sin,
4-3. 도함수의 활용
(1) 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식 위의 점 에서의 ◀ 접선의 방정식 : ′ ◀ 법선의 방정식 : ′ (2) 함수의 증감 ◀ 일 때 ⇔ 증가함수 ⇔ ′ ≥ ◀ 일 때 ⇔ 감소함수 ⇔ ′ ≤ (단, ′ 인 점은 유한개) (3) 함수의 극대, 극소 가 에서 연속이고 를 경계로, ◀ 가 증가상태( ′ )에서 감소상태( ′ )로 변하면 에서 극대 ◀ 가 감소상태( ′ )에서 감소상태( ′ )로 변하면 에서 극소 (4) 함수의 최대, 최소의 응용 연속함수인 는 구간에서의 극값과 비교하여 최댓값, 최솟값 정 한다. 응용문제는◀ 변수를 적절히 정하고 ◀ 변수의 제한조건을 고려하여 변역을 정한 다음 ◀ 문제의 뜻에 맞게 함수르 만들어 계산 (5) 곡선의 개형 ◀ 곡선의 오목, 볼록과 극값 - ″ 이면 는 아래로 볼록 ↔ ′ 이고 ″ 이면 에 서 극소 - ″ 이면 는 위로 볼록 ↔ ′ 이고 ″ 이면 에서 극대 ◀ 곡선의 점근선 -
lim
→ ±∞이면 가 점근선 -lim
→ ± ∞ 이면 가 점근선 -lim
→ ± ∞ 이면 가 점근선 ◀ 곡선의 개형을 그릴 때 유의사항 - 곡선이 존재하는 법위, 즉 정의역, 치역 - 축, 축, 원점 등에 대한 대칭성 - 좌표축과의 교점 - 함수의 증감과 극점 - 곡선의 오목, 볼록과 변곡점 (6) 평균값 정리 함수 가 에서 연속이고 개구간에서 미분가능하면 ′ 인 가 적어도 하나 존재한다. (7) 속도, 가속도와 변화율 ◀ 직선 위의 운동 수직선 위의 동점 의 좌표 가 시각 의 함수 일 때 속도 : ′ 가속도 : ″ ◀ 평면 위의 운동 평면 위의 동점 의 좌표가 , - 속도 :
51 - 속력 :
- 가속도 :
◀ 시간에 대한 변화율 길이 , 넓이 , 부피가 시각 의 함수로 주어지면 - 길이의 변화율 : - 넓이의 변화율 : - 부피의 변화율 : ▶ 연습문제 ◀
다음 각 함수의 주어진 구간에서의 평균변화율을 구하여라. (1) y=2x2- 3x+ 4 [- 1,3] (2) y=x3, [2,2+Δx] 답. (1) 1 (2) (Δx)2+6(Δx)+12 다음 각 함수의 x= 2에서의 변화율을 구하여라. (1) y=3x2 (2) y=x3-x 답. (1) 12 (2) 11 함수 f(x) = |x|의 x= 0에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라. 답. 연속, 미분불능 함수 f(x) =x2+px+q에 대하여 다음에 답하여라. (1) 구간 [a,b]에서 평균변화율을 구하여라. (2) x=c (a<c<b)에서의 미분계수를 구하여라. (3) (1)의 평균변화율과 (2)의 미분계수가 같을 때, c를 a, b로 나타내어라. 답. (1) a+b+p (2) 2c+p (3) c=a+2 b 함수 f(x) =x2-4x+3의 그래프 위의 두 점 ( 0, 3), ( 2, - 1)을 잇는 선분의 기울 기와 x좌표가 a인 점에서의 접선의 기울기가 같을 때, a의 값을 구하여라. 답. a= 1 x가 1로부터 4까지 변할 때, 함수 f(x) =x3-1의 평균변화율과 x=c ( 1 <c< 4) 에서의 f(x)의 미분계수가 같아지는 c의 값을 구하여라. 답. 7 다음 각 함수의 도함수를 구하여라. (1) f(x) =x (2) f(x)=x3 (3) f(x) = 1x (4) f(x) = x53 답. (1) 1 (2) 3x2 (3) - 1 x2 (4) 21x 도함수의 정의에 따라 다음 함수를 미분하여라. (1) y= {f(x)}2 (2) y= f(x) 답. (1) 2f(x)f '(x) (2) f '(x) 2 f(x) 도함수의 정의에 따라 다음 각 함수를 미분하여라. (1) y= 2x2-4x+3 (2) y=x3+x2- 3x+ 1 (3) y= (3x+ 1)2 (4) y= x+2 답. (1) y '= 4x- 4 (2) y '= 3x2+2x-3 (3) y '= 6(3x+ 1) (4) y '= 2 x1+ 2 함수 f(x) =(x- 1)(x3+ 2x2+8)의 도함수를 구하고, x= 1에서의 미분계수 f '( 1)을 구하여라. 답. 11 다음 각 함수의 도함수를 구하여라. (1) y= ( 2x2+1)5 (2) y=(ax2+bx+c)n 답. (1) y '= 20( 2x2+1)4x (2) y '=n(ax2+bx+c)n- 1( 2ax+b) x2+y2=r2 (r은 상수)에서 (1) 양변을 x에 관하여 미분하여라. (2) 양변을 t에 관하여 미분하여라. 단, x,y는 t의 함수이다. 답. (1) dxdy =-xy (y≠0) (2) x dxdt +y dydt = 0 f(x),g(x)는 x의 다항식이고, 모든 x에 대하여 f '(x) =g(x), f(x)⋅g(x) =f(x)+g(x)+ 2x3+2x2-1 을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) f(x)는 몇 차식인가? (2) f(x)를 구하여라. 답. (1) 이차식 (2) f(x) =x2+x+1 다항식 x7- 2x+ 4를 (x-1)2으로 나누었을 대의 나머지를 구하여라. 답. 5x- 2 다음 각 함수의 x= 0에서의 미분가능성을 조가하여라. (1) f(x) =
{
xsin 1x (x≠0) 0 (x= 0) (2) f(x) ={
x 2sin 1 x (x≠0) 0 (x= 0) 답. (1) 미분불능 (2) 미분가능 다항함수 f(x)에 대하여 다음 물음에 답하여라. (1) 기함수 f(x)의 도함수는 우함수임을 보여라. (2) f(x)가 기함수이고, f '( 2) = 3일 때, f '( - 2)의 값을 구하라. (3) f(x)가 기함수이고, x= 0에서 미분가능할 때, f '( 0)의 값을 구하여라. 답. (1) 생략 (2) 3 (3) 0 다음 각 물음에 답하여라. (1) 포물선 y=ax2+bx+c는 점 ( 1, 1)을 지나며, 점 (2,- 1)에서 직선y=x-3에 접한다. 상수 a,b,c의 값을 구하여라. (2) 곡선 y=ax3+bx2+cx위의 두 점 ( 1, 3), ( 2, 0)에서의 접선이 평행할 때, 상수 a,b,c의 값을 구하여라. 답. (1) a= 3,b=-11,c= 9 (2) a= 2,b=-9,c= 10 곡선 y=x3+ax2+b는 점 ( 1, 2)를 지나며, 이 점에서의 접선의 기울기는 -3이라 한다. a,b의 값을 구하여라. 답. a=-3,b= 455 곡선 y=ax3+bx2+cx+d는 점 ( 0, 1)에서 직선 y=x+1에 접하고, 점 ( 3, 4)에서 직선 y=- 2x+10에 접한다고 한다. 이 때, a,b,c,d의 값을 구하여라. 답. a=- 13 ,b= 1,c= 1,d= 1 다음 주어진 점에서 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하여라. (1) y=x3- 2x, ( 0, 2) (2) y=x3- 4x2+5x-2, ( 2, 8) 답. (1) y=x+ 2 (2) y= 5x-2 원 x2+y2=r2 위의 점 (x 1,y1)에서의 접선의 방정식을 구하여라. 답. x1x+y1y=r2 다음 각 곡선 위의 점 (x1,y1)에서의 접선의 방정식을 각각 구하여라. 단, y1≠0 이다. (1) y2= 4px (2) x2 a2+ y 2 b2 = 1 (3) x2 a2 -y 2 b2 = 1 답. (1) y1y= 2p(x+x1) (2) x1x a2 + y1y b2 = 1 (3) x1x a2 -y1y b2 = 1 다음 각 함수는 모든 구간에서 증가함을 보여라. (1) f(x) =x3-6x2+ 16x+ 3 (2) f(x) =2x3+6x2+ 6x+ 2 함수 f(x) =-x3+ax2- 12x- 1이 구간 (-∞,∞)에서 감소하기 위한 a의 값의 범위를 구하여라. 답. -6≤a≤6 다음 함수의 극값을 구하고, 그 개형을 그려라. (1) f(x) =2x3-9x2+ 12x- 1
(2) f(x) =- 2x3- 3x2+12x+ 10 답. x= 1일 때 극대값 f(1) = 4, x=2일 때 극소값 f(2) = 3 (2) x=-2일 때 극소값 f(-2) =-10, x= 1일 때 극대값 f(1) = 17 함수 f(x) =x3+ax2+bx+ 2에 대하여 (1) f(x)는 x= 2일 때, 극대, x= 4일 때 극소라 한다. 상수 a,b의 값을 구하여라. (2) 이 때, 극대값이 3이면 극소값은 얼마인가? 답. (1) a=-9,b= 24 (2) -1 삼차함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 f(x)f '(x)> 0을 만족시키 는 x의 값의 범위를 구하여라. 답. a<x<b,x>c 한 변의 길이가 acm인 정삼각형의 두꺼운 종이의 귀에서 그림과 같이 합동인 사 각형을 잘라 내어서 나머지로 상자를 만들 때, 그 부피가 최대가 되게 하려면 x의 길이를 얼마로 하면 되겠는가? 답. x=a6 (cm) 방정식 x3-6x2+9x+a= 0에 대하여 (1) 세 개의 서로 다른 실근을 갖도록 a의 범위를 정하여라.
