[예제] 다음의 극값을 구하여라.
(1)
(2)
※ 미분에 의한 극값판정법
에서
￭ 가 극대 또는 극소이기 위한 1차 필요조건 : ′ ⇔
￭ 가 극대값을 갖기 위한 2차 충분조건: ″ ⇔
￭ 가 극소값을 갖기 위한 2차 충분조건: ″ ⇔
[1차조건] ⇔
제10장
1. 다변함수의 최적화
1.1. 2변수함수의 극값
￭ 선택변수가 2개인 함수 의 그래프는 3차원 공간에서 곡면으로 나타난다. 그러 한 그래프에서 연속 미분가능 한 함수라고 할 때, 두 변수함수가 극값을 갖기 위한 조건은 다음과 같다.
⇒ 에서 와 는 모두 0이 아닌 증분이므로 이라는 조건은
임을 의미한다.
[2차조건] 극대값을 가지기 위해서는 ⇔ 극소값을 가지기 위해서는 ⇔
[예제]
(1) 의 극값을 구하여라.
(2) 의 극값을 구하여라.
′ 와 같은 형태이므로 가 양정부호가 되기 위해서는( ) 다음의 헤시안 행렬식의 주소행렬식이
이어야 한다. 반대로 음정부호( )가 되 기 위해서는
이어야 한다.[정리]
2변함수 에서 헤시안행렬식이
일때, 극값을 갖기 위한 조건은 다음※ but, 필요조건일 뿐 충분조건은 아니다. (∵안장점(saddle point))
1.2. 헤시안 행렬식과 극값판정법
￭ 두 선택변수로 구성된 미분가능함수가 일 때 두 번 연속미분을 하면
⇒
￭ 헤시안 행렬(Hessian matrix : H)
2계 편도함수를 원소로 갖는 행렬을 말하고 이때의 행렬식을 헤시안 행렬식(Hessian determinant)라고 하고 로 나타낸다.
⇒ 위에서 헤시안 행렬식은
과 같다.
(1) 의 해가
이면 극대값을 갖는다.(2) 의 해가
이면 극소값을 갖는다.(3) 의 해가
이면 안장점이다.1차 필요조건
2차 충분조건
[예제]
(1) 의 극값을 구하여라.
(2) 의 극값을 구하여라.
1.3. 다변함수의 최적화
⇒지금까지의 논의를 개의 변수로 확장
￭ 다변수함수 에서
을 헤시안행렬식이라고 하고, 의 주소행렬식이
이라고 하면목적함수:
제약조건: 단 는 상수
조건 극대 극소
1차 필요조건
2차 충분조건 [극값판정법]
라그랑지 함수가 이면 유테헤시안(board Hessian)이 다음과 같이 되면
이면,
2. 등식제약하의 최적화
2.1. 라그랑지안 승수법
￭ 목적함수와 제약조건이 주어진 경우에 목적함수의 극값을 구하는 문제
⇒ 라그랑지 함수(Lagrange function)은 다음과 같이 정의
(※ 은 의 함수로, 이를 라그랑지 함수라고 하고, 를 라그랑지 승수(Lagrange multiplier)라고 한다.)
￭ 라그랑지 승수법(method of Lagrange multiplier)는 제약조건하에서의 최적화의 문제를 제약 조건없는 최적화의 문제로 변형시켜 제약조건이 없는 경우의 1차 필요조건을 적용할 수 있 게 하는 방법이다.
[예제]
(1) 다음 목적함수의 극값을 구하여라. (라그랑지 함수를 이용해서) 목적함수:
제약함수:
(2) 다음 목적함수의 극값을 구하여라.
목적함수: 제약조건:
2.2. 경제학에의 응용(소비자의 효용극대화)
이를 라그랑지 함수로 표시하면 다음과 같다.
<1차 필요조건>
<2차 충분조건>
꼭 풀어볼 문제
1. 다음 함수의 각각의 극값을 구하고, 극대값인지 극소값인지를 결정하여라.
(1) (2) (3)
(4)
(5)
2. 홍익기계는 현재 가동 중인 두 공장을 증설할 계획을 세우고 있다. 공장A에 x억원, 공장 B에 y억원을 투자하면 연간 이윤이
만큼 증가할 것 으로 예상하고 있다. 이윤의 극대화를 위해서는 각 공장에 얼마씩을 투자해야 하는가?
3. 라디오와 mp3를 생산하는 홍익전자는 과거의 자료를 이용하여 이 두 품목의 총생산비용 을 추정한 결과 다음과 같이 총비용함수를 얻었다.
이 식에서 x는 라디오의 생산량이고, y는 mp3의 생산량이다. 라디오와 mp3의 시장가격이 각각 5.5만원, 4만원일때, 이윤을 최대화할 수 있는 생산량의 수준을 구하여라.
4. A와 B 두 종류의 자원을 각각 x와 y만큼 투입하면 만큼의 생산량을 기대할 수 있다. 자원 A를 1단위당 구입가격이 5만원, 자원B의 1단위당 구입가격이 10만원 이면, 구입예산이 100만원으로 제한되어 있는 경우 생산량을 극대화할 수 있는 최적자원구 입량을 계산하여라.
5. 소비자의 효용함수가 로 주어진 경우, 각 재화의 가격이
으로 정해져 있다. 총구입예산이 100으로 제한되어 있는 경우 총효용을 극대 화할 수 있는 를 구하여라.
6. 뚜껑이 없는 부피 50㎤의 나무상자를 만들고자 한다. 나무의 두께는 고려하지 않고 상자 규격을 어떻게 설정해야만 나무판자의 소요량이 최소가 될 수 있는가?
7. 라그랑지승수법을 이용하여 극값을 구하여라.
(1) (2) (3)
8. 제약조건이 으로 주어져 있을 때,
을 최대화하는 을 구하여라.
9. A와 B 두 자원을 각각 와 만큼 투입하면 생산량은 다음 함수와 같이 주어진다.
총생산비용이 로 주어진 경우, 을 만족시키면서 총생산비용 을 최소화하기 위해서는 A와 B 두 자원을 각각 얼마씩 투입해야 하는가?
10. 홍익이의 효용함수가 로 주어져 있다. 재화의 구입비용이 이 고, 총예산이 200으로 주어져 있다.
(1) 효용을 최대화할 수 있는 재화의 구입량을 계산하여라.
(2) 정부가 재에 대한 단위당 10씩의 간접세를 부과하였다면 최적 구입량은 얼마가 되는 가?
(3) 만약 정부가 세수확보를 위하여 간접세 대신 40만큼의 소득세를 부과하였다면 효용의 수준은 어떻게 변화하겠는가?
참고답안
7.(1) L(x, y, λ) = 2x2-y2- 3 + λ( 1 -x-y)
∂L
∂x = 4x- λ = 0
∂L
∂y = - 2y- λ = 0 ⇒ x*= λ
4, y*= - λ 2
∂L
∂λ = 1 -x-y= 0 또한 1 -x-y= 1 - λ
4 + λ
2 = 0에서 λ = - 4임을 알 수 있으므로 x*= -1, y*= 2가 도출된다.
∣ H∣ =
0 1 1 1 4 0 1 0 -2
= (- 1)(- 2 - 0) + (1) (0 - 4) = - 2 ＜ 0
따라서 f ( - 1, 2)가 극소값임을 알 수 있다.
(2) L(x, y, λ) = 3x+ 4y+ λ( 9 -x2-y2)
∂L
∂x = 3 - 2λx= 0 ⇒ x*= 3 2λ
∂L
∂y = 4 - 2λy= 0 ⇒ y*= 4 2λ
∂L
∂λ = 9 -x2-y2= 0 9 -x2-y2= 9 - 9
4λ2 - 16
4λ2 = 0에서 λ*= ± 5
6임을 알 수 있다. 또한
∣ H∣ =
0 2x 2y 2x -2λ 0 2y 0 -2λ (ⅰ) λ*= - 5
6, x*= - 9
5, y*= - 12 5
∣ H∣ = ( -2x)( -4λx) + ( 2y)( -4λy) = 8λ(x2 -y2) ＞ 0 따라서 f
(
- 95, -125)
는 극소값이다.(ⅱ) λ*= 5
6, x*= 9
5, y*= 12 5
∣ H∣ = 8λ(x2 -y2) ＜ 0 따라서 f
(
56, 95)
는 극대값임을 알 수 있다.(3) L(x, y, λ) =x2+ 2xy+ 1 + λ( 27 -x2y)
∂L
∂x = 2x+ 2y- 2xyλ = 0 ⇒ x+y=xyλ
∂L
∂y = 2x-x2λ = 0 ⇒ x*= 2 λ
∂L
∂λ = 27 -x2y = 0 x+y= xyλ ⇒ 2
λ +y= 2
λ⋅y⋅λ ⇒ y*= 2 λ 따라서 27 -x2y= 0을 이용하면
27 =x2y=
(
λ2)
3⇒ 2
λ = 3 ⇒ λ = 2
3, x*=y*= 3
∣ H∣ =
0 2xy x2
2xy 2-2λy 2-2λx x2 2-2λx 0
= ( - 2xy)[ - ( 2 - 2λx)x2] + (x2)[ ( 2xy)( 2 - 2 λx) - ( 2 - 2 λy)x2]
= - 18[ -( 2-4)( 9) ] + ( 9) [ ( 2-4)( 9) ] ＜ 0 따라서 f (3, 3)는 극소값임을 알 수 있다.
====================================================================
8.
L (x1, x2, λ) = 10x1+ 12x2- 0.02x21- 0.03x22+ λ( 40 - 0.2x1- 0.1x2)
∂L
∂x1 = 10 - 0.04x1- 0.2λ = 0 ⇒ x*1= 10 - 0.2λ 0.04
∂L
∂x2 = 12 - 0.06x2- 0.1λ = 0 ⇒ x*2= 12 - 0.1λ 0.06
∂L
∂λ = 40 - 0.2x1- 0.1x2 = 0 ⇒ 40 = ( 5) ( 10 - 0.2λ) + 5
3( 12 - 0.1λ) 30 = 7
6 λ, 또는 λ = 180 7
따라서
(
x*1= 8507 , x*2= 11007)
이 제1차 필요조건을 충족시키게 된다.∣ H∣ =
0 0.2 0.1
0.2 -0.04 0
0.1 0 -0.06
= - ( 0.2)( - 0.012) + ( 0.1)( 0.004) ＞ 0
그러므로 f
(
8507 , 11007)
은 극대값임을 알 수 있다.================================================================
9.
L (x, y, λ) = 4x+ 8y+ 70 + λ
(
60 - 3x1 3y
2 3
)
∂L
∂x = 4 - λx -
2 3y
2
3 = 0 ⇒ y
2
3 = 4
λx
2 3
∂L
∂y = 8 - 2λx
1 3y -
1
3 = 0 ⇒ y
1
3 = 4
λy
1 3
∂L
∂λ = 60 - 3λx
1 3y
2 3 = 0
y
2
3 = 4
λ⋅x
2
3와 60 - 3x
1 3y
2
3 = 0을 이용하면 60 - 3x
1 3⋅4
λ⋅x
2
3 = 0에서
5λ = x임을 알 수 있다. 마찬가지로 x
1
3 = 4
λy
1
3과 60 - 3x
1 3y
2
3 = 0을 이용하면
60 - 12
λ y = 0에서 5λ = y가 도출된다. 따라서 x*=y*이며 60 - 3x
1 3y
2
3 = 0에서 x*= y*= 20, λ*= 4임을 알 수 있다.
∣ H∣ =
0 x -
2 3y
2
3 2x
1 3y -
1 3
x -
2 3y
2
3 2
3λx -
5 3y
2
3 -2
3λx-
2 3y -
1 3
2x
1 3y -
1
3 -2
3λx -
2 3y -
1
3 2
3λx
1 3y -
4 3
=-x -
2 3y
2
3
[
23λx -13y -13+43 λx -13y -23]
+2x
1 3y -
1
3
[
-23λx -43y 13- 43λx -23y 13]
에서 ∣ H∣는 모두 x＞ 0, y＞ 0에 대해 0보다 작다는 것을 알 수 있다. 따라서 f (20, 20)은 극소값이 된다.
==================================================================
10.
(1) L(x1, x2, λ) = x1x2+ λ( 200 - 10x1- 20x2)
∂L
∂x1 =x2- 10λ = 0 ⇒ x2= 10λ
∂L
∂x2 =x1- 20λ = 0 ⇒ x1= 20λ
∂L
∂λ = 200 - 10x1- 200x2= 0 200 = ( 10)( 20 λ) + ( 20) ( 10 λ) = 400λ
( λ*= 0.5, x*1= 10, x*2= 5)
∣ H∣ =
0 10 20 10 0 1 20 1 0
= 200 + 200 = 400
따라서 f(10, 5)는 극대값임을 알 수 있다.
(2) 간접세율 =t = 10
L=x1x2+ λ( 200 - ( 10 +t)x1- 20x2)
∂L
∂x1 =x2- (10 +t)λ = 0
∂L
∂x2 =x1- 20λ = 0
∂L
∂λ = 200 - ( 10 +t)x1- 20x2= 0
따라서, t= 10일 때, x*1= 4, x*2= 4 여기서, 2계조건의 확인은 생략함.
(3) 소득세 = 40
L= x1x2+ λ( 160 - 10x1- 20x2)
∂L
∂x1 =x2- 10λ = 0
∂L
∂x2 =x1- 20λ = 0
∂L
∂λ = 160 -x1- 20x2= 0
처음 두 식으로부터, 2x2=x1 따라서, 160 - 20x2- 20x2= 0
⇒ ˜x*2= 4, x˜*1= 8
간접세의 경우 u(x*1, x*2) = 16 ＜u(˜x*1, ˜x*2) = 32 직접세의 경우
∴ 소득세부과가 더 높은 효용을 준다.
